2025年高考数学总复习：函数及其表示

函数

DIERZHANG—

第一节函数及其表示

考试要求：1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.

2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函

数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用.

-------------必备知识落实“四基”-------------

自查自测

知识点一函数的概念

1.判断下列说法的正误，正确的画“J”，错误的画“X”.

(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.(X)

(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(X)

(3)在函数的定义中，集合8是函数的值域.(X)

2.(教材改编题)下列函数中，与函数y=x+l是同一个函数的是(B)

A.y=J(x+1)2B.>=源+1

c.y=^+iD.产行+1

3.函数y=x—2,+2的定义域是「2,+8).

核心回扣

函数的概念

一般地，设48是非空的实数集,如果对于集合N中的任意一个数x,按照某种

概念确定的对应关系f,在集合8中都有唯一确定的数v和它对应，那么就称/

为从集合N到集合8的一个函数

对应关系y=/(x),x^A

三要素定义域工的取值范围

值域与无的值相对应的y的值的集合在31叵£L

自查自测

知识点二函数的表示方法

1.已知函数兀。由下表给出,则｛3)=工

X122<x<4

於)123

2.已知人则/)=.

X2—1(x^0)解析：令/=依，则/>(),故X=5,则加)=--1,所以兀V)=x2-1(x20).

核心回扣

函数的表示方法

解析法一般情况下，必须注明函数的定义域

列表法选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征

图象法注意定义域对图象的影响；与X轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点

自查自测

知识点三分段函数

2X,xWl,i

则{2)=________.

{f(x—1),x>\,

2解析：犬2)=八2—l)=/(l)=2i=2.

x+2,xW—1,

x2,—l<x<2,若火。)=3,贝U4=3.

{2x,x22.

核心回扣

1.若函数在其定义域的不同子集上，因图⑥呈不同而分别用几个不同的式子来表示，这种

函数称为分段函数.

2.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数

的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.

【常用结论】

求函数的定义域时常用的结论

①分式中，分母不为0;②偶次方根中，被开方数非负；③对于y=x°,要求xWO,负指数

的底数不为0;④对数函数中，真数大于0,底数大于0且不等于1；⑤指数函数的底数大

于0且不等于1；⑥对于正切函数歹=1211彳，要求xWE+f,左ez.

应用函数外)=六一(x—3)°的定义域是()

上2

A.[2,+°°)B.(2,+8)

C.(2,3)0(3,+8)D.[3,+8)

x-2>0,,

C解析：由解得x>2且xW3,所以函数兀0=—一(x—3)°的定义域是(2,3)U(3,

、X—39，lx-2

+8).

核心考点提升“四能”

考点一函数的定义域

1.(2024・济宁模拟)函数了(无)=/田一]的定义域是()

A.[-1,0)U(0,+8)B.[-1,+8)

C.RD.(—8,0)U(0,+0°)

A解析：由函数/。)=/用一%得解得X2一1且x=0,所以函数/(x)="\/l+x—

IxWO,

，的定义域是[—1,0)U(0,+°°).故选A.

2.函数/任)=半=+二的定义域为()

A.(I，+8)B.G，l)u(l,+8)

C.g,1)U(1,+o°)C.I，+oo).

3x—2>0

5，解得0且x丰i,所以函数/(X)今的定义域为

{x-l#03C一C%一1

G，1)U(1,+oo).

3.已知函数f=<。)的定义域是[-2,3],则函数y=<(2x—1)的定义域是()

A.[-5,5]B.[―；,2]

C.[-2,3]D.[1<2]

B解析：因为函数的定义域是[―2,3],所以一2W2x—1W3,解得一所以

函数产#2x—1)的定义域是,2].故选B.

4.若函数了二〃%2—1)的定义域为[―6，V3|,则函数y=/(x)的定义域为.

[-1,2]解析：因为y=/(x2—l)的定义域为[-0,V3],所以xe[—g,V3],x2-ie[-

1,2],所以函数y=/(x)的定义域为[―1,2].

►■反思感悟

1.求具体函数的定义域的策略

根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可.

2.求抽象函数的定义域的策略

(1)若已知函数/(x)的定义域为[a,6],则复合函数/(g(x))的定义域由不等式aWg(x)W6求出.

(2)若已知函数/(g(x))的定义域为[a,b],则函数/(x)的定义域为函数g(x)在[a,可上的值域.

考点二求函数的解析式

【例1】⑴已知/(尤+l)=lnx,贝！)〃x)=()

A.In(x+1)B.In(x—1)

C.In|x—11D.In(1—x)

B解析：(方法一：换元法)因为/(x+l)=lnx,所以x>0.令f=x+l(介1),则x=L1,所

以/⑺=ln(f—1),因此，/(x)=ln(x—故选B.

(方法二：配凑法)因为/(x+l)=lnx=ln[(x+l)—l],所以/(x)=ln(x—l)(x>l).

(2)若/(x)为二次函数且"0)=3,/(x+2)-/(x)=4x+2,则/(x)的解析式为.

/(X)=X2-X+3解析：设又/(0)=c=3,所以/(x)=a/+6x+3,

所以/'(x+2)—/(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3—(a/+6x+3)=4ax+4a+26=4x+2.

所以14彳解得｛j：所以函数/(x)的解析式为/(X)=X2—X+3.

(3)已知函数/(x)满足/(—x)+/(x)=2x,求/(x)的解析式.

解：由/(—x)+才■0)=2》①，

得/(x)+)(—x)=2「②，

由①义2一②，得"(劝=2,一2=，即/(x)=W

故f(x)的解析式为/(x)=二9一(XeR).

>反思感悟

函数解析式的求法

⑴配凑法：由已知条件/(g(x))=尸(X),可将尸(X)改写成关于g(x)的表达式，然后以X替代g(x),

便得到了(X)的表达式.

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.

(3)换元法：已知复合函数/(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新变量的取值范围.

(4)方程思想：已知关于/(x)与/(J或/■(一;<)的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个

等式，组成方程组，解方程组即可.

多维训练

•••-----------------------------------■

1.已知一次函数/(%)满足/«(x))=x+2,则/(x)=.

x+1解析：设/(x)=fci+b(左W0),则/«(%))=周h+6)+6=信+(左+l)b=x+2,

左2=1,解得1,故/(x)=x+l.

故

.01)6=2,(左=1,

2.已知y(x+B=x2+g求/(x)的解析式.

解：因为/(x+1)—x+—=(x+1)—2,

所以2,xG(—8,-2]U[2,+°°).

考点三分段函数

考向1分段函数求值

【例2】(1)(2024・济南模拟)已知函数x<°'若/(f(—2))=3,则左=()

Z-k,x20.

A.-1B.0

C.1D.2

C解析：因为/(—2)=log24=2,所以/(/■(一2))=/(2)=22一左=4一左=3,解得左=1.故选

C.

(2)已知狄利克雷函数。(x)=11'%eQ，则。(D(x)=

10,XMRQ,

''所以当xdQ时，z)(x)=l,故£>(D(x))=£>(l)=l;

0,xeQ

当XG[RQ时，£>(x)=0,故。(。^))=。(0)=1.综上，r>(O(x))=l.

A反思感悟

分段函数求值的策略

要求分段函数的函数值，先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解

析式求值.当出现/仁(。))的形式时，应从内到外依次求值.

考向2分段函数与方程、不等式

''若/(a)+/(l)=0,则实数。的值等于()

x+1,xWO.

A.—3B.—1

C.1D.3

A解析：/(l)=2Xl=2,据此结合题意分类讨论：当a>0时，/⑷=2a,由/⑷+/⑴=0,

得2a+2=0,解得a=—1,不满足题意，舍去；当aWO时，/(a)=a+l,由/(a)+/(l)=0,

得a+l+2=0,解得a=—3,满足题意.故选A.

丫2-4Y+6Y>f)

则不等式/㈤歹⑴的解集是()

(x+6,x<0,

A.{x|x<—3,或l<x<3}B.{x|l<x<3}

C.{x\x<-3}D.{x\x>3f或一3〈%vl}

A解析：由函数的解析式可得/(1)=1—4+6=3.当时，不等式为A2—4x+6<3,即

X2-4X+3<0,解得1<X<3;当x<0时，不等式为x+6<3,解得x<一3.综上可得，不等式的

解集是{邓K一3,或14<3}.故选A.

A反思感悟

分段函数与方程、不等式问题的求解思路

(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数

的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可.

(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解.

多维训练

r2.

(—x+2,1,

1.已知函数/'(x)=

x+-一1,x>L

37解析：由已知得/(J=—(；)+2=：,/Q=泻一1=基所以/1(；))=最

28

2.(2024・烟台模拟)已知函数f(x)=J1'则不等式/(/—x+l)<12的解集是

—X+x,x<0,

(-1,2)解析：因为当x20时，f(x)^0且单调递增；当x<0时，f(x)<0且单调递增，且

函数/(x)连续，所以/(x)在R上单调递增，画出函数图象如图所示.

又因为/(3)=12,所以/(》2—芯+1)<12,即/(/-x+l)勺'(3),即％2—》+1<3,解得一

课时质量评价(五)

*考点巩固

1.下列所给图象是函数图象的个数为()

④

A.1B.2

C.3D.4

B解析：图象①关于x轴对称，当x>0时，每一个％对应2个y,图象②中xo对应2个y,

所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象.

2.已知函数/(x)的对应值如表所示，则/«(2))等于()

X012345

y365427

A.4B.5

C.6D.7

D解析：由表可知"2)=5,/(5)=7,所以/(f(2))=/(5)=7.故选D.

3.已知/(x)=；L,当xWO时，下列选项中与/(f(x))相等的是()

1—X

A.1B---

•xf(.x)•可G)

C.D.—!—

xf(x)x~f(x)

C解析：因为〃x)=占，所以/(/^))=匚/=1—=.=一..故选c.

1x1J\Xj1——---x巧

1—X

4.已知函数/(x)满足/(%)+)(—9=3%，则”2)等于()

A.-3B.3

C.-1D.1

A解析：因为函数/(x)满足/(x)+^(一，=3x,所以在(—g)=3x中分别令1=

/(2)+2/(-i)=6,

2,x=一：，可得解得〃2)=—3,大一9=；.故选A.

/(-9W(2)=-3

2

5.(2024・佳木斯模拟)若函数/(2x—l)的定义域为[—1,1],则函数y的定义域为()

A.(-1,2]B.[0,2]

C.[-1,1)D.(1,2]

D解析：由函数/(2x—1)的定义域为[―1,1]，即一lWxWl,得一3W2x—1W1,因此，

由函数产父有意义，得尸《一臼，解得1<XW2,所以函数>=芈曰的定义域为

Jx-1lx—1>0,n

(1,2].故选D.

6.函数)=lg(。-4)+/12+6%的定义域是

C工2—4>0,

{x[x>2或xW—6}解析：由题意得|解得x>2或6.

〔£+6X20,

7.已知函数/(%)满足f(x+2)=f(x)+2,则/(x)的解析式可以是(写出满足条

件的一个解析式即可).

"x)=x(答案不唯一)解析：设/(X)=QX,则由/(x+2)=/(x)+2,得Q(X+2)="+2,解得

a=\,所以/(x)=x.

8.已知/(9==，则/(x)=----------

2aW0且xWl)解析：由令l=(xW0且xWl,华0且华1),则x=:(£W0

1X\X/X1xt

且样1),所以/(7)=土=匕(存0且岸1),所以/(x)=±(xW0且xWl).

9-设、「一函w,数小)(电ax+,b启,x0V,OM,厂/(-2)=3,/(-1)=/(1).

(1)求/(x)的解析式;

(2)画出了(无)的图象.

/(-2)=3,—2。+6=3

解：(1)由解得

八一1)=/⑴，—a+b=2,

—x+1,xVO,

所以小)=

2X,QO.

(2Y(x)的图象如图所示.

。高考培优

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c

10.(数学与生活)某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加

满，下表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况.

加油时间加油量/升累计里程/千米

10月1日1232000

10月6日4832600

(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程).在这段时间内，该车每行驶100千

米平均耗油量为()

A.6升B.8升

C.10升D.12升

B解析：由表格中的信息可知，10月1日油箱加满了油，此时的累计里程为32000千米，

到10月6日，油箱加满油需要48升，说明这段时间的耗油量为48升，累计里程为32600

千米，说明这段时间汽车行驶了32600—32000=600(千米)，则在这段时间内，该车每行驶

100千米平均耗油量为?=8(升).故选B.

11.已知定义在R上的函数/(x)满足：Vx,yeR,/(x+y)=/(x)/O),且/(1)=2,则/(0)

+〃2)=()

A.4B.5

C.6D.7

B解析：因为Vx,>£R，/a+y)=/a)；/*(y),且/(1)=2,取x=0,y=l,可得/(1)=/(1)：/

(0)，则〃0)=l.取x=〉=l,可得/(2)=/(l)〃l)=4,所以/(0)+7(2)=5.

12.(2024•淄博模拟)记国为不超过x的最大整数,如[-22]=—2,[2.3]=2.已知函数/(劝

L2[x]—L1,C,则."L2))=

n，/(x)W3的解集为

3[-V2,3]解析：根据[x]的定义，得/(/X—1.2))=/(2.44)=2[2