广西联盟2024-2025学年高二年级上册入学考试数学试题

2024年秋季学期高二入学检测卷

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章L1—1.2.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.在复平面内，复数（2-i）i对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.若｛流瓦可是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）

A.a,b,a+2bB.a,a+b,a+c

C.a,a-c,cD.b+c,a+c,a+b+2c

3.已知一组数据为-2,0,1,3,5,5,则该组数据的方差为（）

4.已知AABC的三个顶点分别为A（1,2）,3（3,1）,C（5,加），且/ABC=],则机=（）

A.2B.3C.4D.5

5.在正四棱柱ABC。—中，43=2,招=4,设荏=第砺=方，福=—则0k+B+C）=

（）

A.2B.2V2C.4D.8

6.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanB=—6"/=J荻，则=（）

ac

A.6B.4C.3D.2

r\

7.已知向量落B的夹角为T，且同=5，M=4,则方在B方向上的投影向量为（）

A.--Z3?-B.-5--bc.5--bD.」7-b

8888

8.现有7张分别标有1,2,3,4,5,6,7的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为。，

剩下的2张卡片数字之和为〃，则a.3b的概率为()

5243

A.—B.—C.—D.一

7777

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若空间几何体A的顶点数和空间几何体B的顶点数之和为12,则A和8可能分别是()

A.三棱锥和四棱柱B.四棱锥和三棱柱

C.四棱锥和四棱柱D.五棱锥和三棱柱

10.已知复数z=——，贝IJ()

1-i

A.z=3-3iB.|z|=30

C.z的虚部为3D.zi=z

11.抛掷质地均匀的骰子两次，事件A="第一次出现偶数点"，事件6=”第二次出现奇数点”，事件

C="两次都出现偶数点”，则()

A.A包含CB.A与8相互独立

C.5与C互为对立事件D.6与C互斥但不对立

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数(6—l)+(a+l)i为纯虚数，则实数a=.

13.《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑，现将乾、坤、巽三卦按

任意次序排成一排，则乾、坤相邻的概率为.

14.在四棱锥P—A5CD中，底面A3CD为菱形，AB=BD=2,点P到AD,的距离均为2,则四棱

锥尸-ABCD的体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出

100名学生的成绩(满分为100分)，按分数分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求机的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；

（2）若认定评分在［80,90）内的学生为“运动爱好者”，评分在［90,100］内的学生为“运动达人”，现采

用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生

中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1

人的概率.

16.（15分）

在棱长为2的正方体ABC。—44GA中，石为AG的中点.

（1）求异面直线AE与用。所成角的余弦值；

（2）求三棱锥A-4CE的体积.

17.（15分）

在△ABC中，角的对边分别是a,Z?,c,已知sinCbosB=（a-l）cosCsinB,>>l.

（1）证明：cosC=—.

b

（2）若a=20A8C的面积为1,求c.

18.（17分）

已知不透明的盒子中装有标号为1,2,3的小球各2个（小球除颜色、标号外均相同）.

（1）若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率；

（2）若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率.

19.（17分）

如图，圆台的上底面直径A。=4,下底面直径3C=8,母线A5=4.

(1)求圆台的表面积与体积；

(2)若圆台内放入一个圆锥AQ和一个球o,其中0在圆台下底面内，当圆锥AQ的体积最大时，求

球。体积的最大值.

2024年秋季学期高二入学检测卷

数学参考答案

1.A因为（2—i）i=l+2i,所以其对应的点位于第一象限.

2.B因为G=（万+25）—25,所以。出为+25共面；｛流瓦可是空间的一个基底，假设++C共

面，则存在不全为零的实数SJ,使得H=s（a+方）+《万+可，即M=（s+f）G+sB+笈，贝|

s+/=l,s=r=0,无解，故。,日+瓦彳+｝不共面；因为4=仅一乙）+｝,所以。，少一己]共面；因为

a+b+2c=^b+c^+（^a+c^,所以B+乙1+工万+5+2｝共面.

-2+0+1+3+5+5

3.A因为平均数为二2,

6

所以方差为(―2—2『+(0—2)2+(l—2)?+(3—2『+(5—24+(5—2)2=20

6_3.

4.D因为丽=(—2,1),抚=(2,m—1),丽J_方心，所以丽•反=-4+(m—1)=0,解得机=5.

5.Ca-^a+b+c^=a-a+a-b+a-c.

2兀

6.B因为taaB=—石，所以5=—,由余弦定理可得/=+c2-laccosB=a2+c2+ac=3ac，

即（a+c）2=4ac,故丝土生=4.

ac

7.B因为同=5,忖=4,d与B的夹角为所以GZM@|Wcosg=5x4x]-g]=io,故4在万方

-*7*<

向上的投影向量为2彳啰=-7"5.

\b\28

8.D由题意得0+6=1+2+3+4+5+6+7=28,即。=28—6，由a.3b,得女,7.设事件人=

“b„7”，则样本空间可记为Q=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（1,7）,（2,3）,（2,4）,（2,

5）,（2,6）,（2,7）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（3,7）,（4,5）,（4,6）,（4,7）,（5,6）,（5,7）,（6,7））,共包含21个样本

点，其中4={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4)},共包含9个样本点,所以

3

7

9.AD三棱锥和四棱柱、五棱锥和三棱柱的顶点数之和均为12,四棱锥和三棱柱的顶点数之和为11,四棱

锥和四棱柱的顶点数之和为13.

_6i（l+i）

10.BCD因为z=2-=—3+3i,所以N=—3—3i,|z|=30,

1-i"-2~

z的虚部为3,21=（—3+3。1=一31—3=乞.

31311

11.ABD由题意得A包含C,A正确.因为P（A）=—=—,P（B）=—=—,P（AB）=P（A）。P（5）=—,

62624

所以A与5相互独立，B正确.因为3与C不可能同时发生，且不是必然事件，所以5与C互斥但

不对立，C错误，D正确.

a—1=0,

12.1由＜得a=1.

a+1w0,

13.-乾、坤、巽三卦按任意次序排成一排，共有6种排法，其中乾、坤相邻的排法有4种，故乾、坤相邻的

3

一42

概率为——一•

63

14.圾如图，因为人3=应＞=2且底面A3CD为菱形，所以△A8D为

3

等边三角形.

过点P作底面A58的垂线，与底面交于点。，作。分别垂直于

因为所以E/_LA£>.又ADLPO,瓦cOP=。,

所以AD,平面PEF，则AD'PEBC'Pb,即PE=PF=2,OE=工EF=也,

22

PO=《PE?—OE2=巫.故四棱锥P—A5co的体积为L>2x2xsin巴>巫=叵.

23323

15.解:（1）由直方图知（0.005+0.015+0.020+0.030+m+0.005）x10=1,

则功=0.025.

因为分数在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80)内的频率分别为0.05,0.15,0.2,0.3,

0.5-0.05-0.15-0.2

所以这100名学生的成绩的中位数为70+士73.3分.

0.03

(2)因为分数在[80,90),[90,100]内的频率分别为0.25,0.05,

所以用分层抽样方法抽取的6名学生中“运动爱好者”有5人，“运动达人”有1人.

设抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人为事件A,

记这5名“运动爱好者”分别为a,0,c,d,e,lg“运动达人”为M，

则从这6名学生中抽取2名学生进行经验交流发言有(a,》),(a,c),(a,d),(a,e),0,c),

共15个基本事件,

而事件A包含了5个基本事件，所以P(A)=5=g,

故抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率为工

3

16.解：(1)连接A。，则a。〃4c.

连接A，，记AD]CAD=。，则。为A。1的中点.

连接QE,取0E的中点尸，连接。尸，则O尸是AQAE的中位线,

所以OR〃AE，所以为所求的角.

连接4/，在44。/中，。4=后,0/=手，4/=芈，

所以cos/AOF=4广=B,故异面直线AE与耳。所成角的余弦值为昱.

,2。410b66

(2)因为EG〃平面A3CD,所以匕.BQE=%—A6c,

因为正方体的棱长为2,所以％_方0=3*；X2乂2乂2=

44

院所以匕「83=耳

12

法二：因为匕见鹤ngS"明•AA=§,

T7_XCCC——

%G明_§阴・y^一耳，

_1_4__

By-ABC~§^AABC，~~AABC,与=4,

4

=

且^ABrCE^\BXCX-ABC-^4^期-VcCiEB]~^BV-ABC，所以以lB]CE-3

17.(1)证明：HsinCbosB=(a-1)cosCsinB,

所以sinCbosB+cosCsinB=acosCsinB,即acosCsinB=sin(C+B).

根据5+。=兀-4,得sin(C+5)=sinA,所以acosCsinB=sinA,

由正弦定理得abcosC=a,所以灰x）sC=l,从而cos。二

b

(2)解：由(1)可得sinC=」i—1=也二1~

\b2b

因为AABC的面积为1,

亚-1

所以^absinC=b-=yjb2—1=1,解得b=A/2,COSC=

2b

又a=2,所以由余弦定理得°=力2+。2—2a》cosC=<4+2-2x2x7^

2

18.解：⑴一次取出3个小球，取出小球的编号为（1,1,2）的有2种，（1,1,3）的有2种，（1,2,2）的有2

种，（1,3,3）的有2种，（2,2,3）的有2种,（2,3,3）的有2种,

（1,2,3）的有8种,共20种,

而3个小球上标号均不相同的情况为（1,2,3）,共8种,

Q2

所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为——=—.

205

（2）记6个小球的标号分别为1”16,2”26,3°,3”则有放回地先后取出2个小球的情况有

（Ij），£，m），（i/），（2a2）,（2〃2）,⑵2）,⑵2）,

（3”,31（3”,3〃）,（九,3）（43）,£,2）£2）,&2）02）,

（2J）,（2J）,（2J）,（2J）,（L3）£3）&,3）（1&3）,

（3J）,（3J）,（34）,（35）,（2a，3）（2a，3j,⑵,3）⑵3）,

（二幺“）,。”,？〃）,。〃,4）,。