2024-2025学年辽宁省鞍山市一中高三上学期二模数学试题及答案

2024—2025学年高三（25届）二模数学科试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1zzi1.已知，则（）A.1B.2C.5D.3ysin(2x)ysin(2x)的图像2.为了得到函数的图像，只需把函数36A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位44C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位223.在VABC中，点M、N在边BC上，BMNC，设，n，则AB（）AMmB.2nmA.2mnC.m2n4.设函数D.n2mfx，其中，则是偶函数的充要条件是（）x0fxA.f01B.f00f00f01C.D.2,x01xfx5.已知函数f2xfx解集为（，则不等式的）2,x01xA.,C.B.D.在1fxa有唯一的零点，则（fxcosxax6.已知函数2，若）A.1B.2C.3D.42c（7.已知函数fxxxc在x1处有极大值，则）A.1B.2C.3D.460743f(x)sinx,,0的最小正周期为πxf(x)时，函数取最小π8.已知函数，当值，则下列结论正确的是（）2f0f2f2f2f0fA.B.D.C.f0f2f2f2f0f2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.，，，则（）9.已知O为坐标原点，A1B1,2C210310,方向的单位向量为A.AB10104,1B.若AP2PB，则点P的坐标为3πACBC.4D.CA在上的投影的数量为10CBπ3fxsin2x10.设函数sin2x，则下列结论正确的是（）A.函数的最大值为2fxππB.区间fx,有两个极值点5π6C.fxfx03yfx的切线D.直线y3x是曲线211.VABC中，角A，B，C的对边分别为，b，，下列结论中正确的是（ac）a2b2c2abbc2A.B.abc，，不能构成三角形1a1b1cC.若a3bc3，则VABC为锐角三角形3为有理数D.若，b，均为有理数，则ABac三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.ee12etetR的最小值为______.，则1212.已知单位向量e，e满足1212，则实数的取值范围是______.a13.函数yx2ax1的值域是14.如图，圆内接四边形ABCD中，BD为直径，ABAC22，1.则BC的长度为______；______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤nSa0S6.15.等差数列{푎푛}的前项和为，已知，12n6（1）求数列{푎푛}的通项公式；a的前项和Tn（2）求数列..nn16.已知函数xa2xfx2（1）若为偶函数，求的最小值；fxfx的不等式a0fxx（2）当时，判断2的解集.faxf2x02π17.在VABC中，D为BC的中点，BCABAD，记ABC，ACB.2π（1）证明：或；23（2）若3，且，求AD的最大值.π21fxsinx0,018.如图，函数yy的图象与轴相交于点，且在轴右侧的25π第一个零点为.12（1）求和的值；π21213π223π0πf，求的值.（2）已知，，f226fxexexx19.已知函数.（1）若k2，求的单调区间；fx（2）若在上单调递增，求正实数的取值范围；fxkπeπππ2πxx1exeex（3）时，证明：222.42024—2025学年高三（25届）二模数学科试卷命题人：孙方辉校对人：王立冉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1zzi1.已知，则（）A.1B.2C.5D.3【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据模长公式求解.11izz2i，【详解】由得iii2225，故z2i，故z故选：Cysin(2x)ysin(2x)的图像2.为了得到函数的图像，只需把函数36A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位44C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位22【答案】B【解析】sin(2x)f）【详解】试题分析：记函数，则函数6＝sin(2x)[2(x)]fx）fx）∵函数f（x）图象向右平移单位，可得函数346444sin(2x)sin(2x)的图象∴把函数的图象右平移单位，得到函数4的图象,故选B.63考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．3.在VABC中，点M、N在边BC上，BMNC，设，n，则AB（）AMmB.2nmA.2mnC.m2nD.n2m【答案】A【解析】【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，即可得到结果.【详解】1由BMNC，可得NMCB，3ABANNBAN2NMAN2AMAN2AMAN则，又AMm，n，所以AB2mn.故选：Afx，其中0，则是偶函数的充要条件是（fx）x4.设函数A.f01B.f00f00f01C.D.【答案】D【解析】【分析】根据偶函数可得π,kZ，即可代入求解.fxx，若【详解】是偶函数，则fx，故fx2π,kZ,fxxx进而可得π,kZ，fxcosxπ故，kf(0)=±1,f0sinπ0，fxsinxπ，故故选：D2,x01xfx5.已知函数f2x的解集为（fx，则不等式）2,x01xA.,C.B.D.【答案】B【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据单调性求解不等式.【详解】当x0时，y2x单调递增，当x0时，yx单调递增，且在分界点处2010，2所以函数在定义域上单调递增，fxf2xfx2xxx1，，得所以所以不等式的解集为.故选：B在1fxfxcosxax6.已知函数2a，若有唯一的零点，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】先判断是偶函数，根据偶函数的对称性即可求解.fx2fxxax1xax【详解】由于21fx，所以是偶函数，fx要使在(−1,1)有唯一的零点，则，f0fx0即f01a0，解得a1，故选：A2c（7.已知函数fxxxc在x1处有极大值，则）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】首先根据，求，再代入验证，即可求解.f10c【详解】fxxc22xxcxc3xc，由题意可知，0，得c1或c3，f113当c1时，x3x0，得x1或x，fx131xx1，푓′(푥)<0，得x1，当푓′(푥)>0，得或3131,1,所以函数的单调递增区间是和(1,+∞)，单调递减区间是，3所以x1是极小值，故c1，c3时，fxx33x30，得x1或x3，当푓(푥)>0，得x1或x3，(푥)<0，得，1x3′푓′所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是3，所以x1是极大值，故故选：Cc3.60743f(x)sinx,,0的最小正周期为πxf(x)时，函数取最小π8.已知函数，当值，则下列结论正确的是（）2f0f2f2f2f0fA.B.D.C.f0f2f2f0f2f2【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出,，再借助正弦函数的单调性判断即得.f(x)Asinx,,0的最小正周期为π，得2【详解】由函数，60742π2πxπ2024π3πf(x)在x而，则函数取得最小值，3332ππ22π,kN，即2π,kN于是，326ππfxAsin2x2πAsin2x因此函数A0（66πππf(2)Asin(4)Asin(42π)f(2)Asin(4)，而，666π5ππ5πππ3πf(0)AsinAsin42π4，又，6626662π3πππ5πysinx(,)sin(4)sin(42)sin正弦函数在上单调递减，即，22666f(2)f(2)f(0)所以.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.，，，则（）9.已知O为坐标原点，A1B1,2C210310,方向的单位向量为A.AB10104,1B.若AP2PB，则点P的坐标为3πACBC.4D.CA在上的投影的数量为10CB【答案】BC【解析】【分析】利用向量的坐标表示，结合数量积的公式，即可求解，判断选项.AB10310，所以AB方向的单位向量为1,3,【详解】对于A.,，故A错误；1010对于B.设푃(푥,푦)，由AP2PB，则xy121x,2y，43x222xx43P,1，故B正确；所以，所以，所以y142yy1CACB32142CACB4ACB,CB对于C.，，，10252CACBπACB所以，故C正确；4CACB105，故D错误.对于D.向量CA在故选：BC.方向上的投影数量CBCB25π3fxsin2x10.设函数sin2x，则下列结论正确的是（）A.函数的最大值为2fxππB.在区间fx,有两个极值点5π6C.fxfx03yfx的切线D.直线y3x是曲线2【答案】BCD【解析】【分析】化简函数解析式，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断ABC，利用导数的几何意义判断D.π323π6【详解】由题意得fxsin2xsin2x3sin2x2x3sin2x2选项A：函数的最大值为3，错误；fx11xπ2x2πysinu，由正弦函数图象可得푦=푓(푥)有2个极值,选项B：当时，12126点，π3ππ2πππ由2x和2x解得xx和为函数的极值点，正确；6262635π6π611π6选项C，fxfx3sin2x3sin2xπ6π63sin2x3sin2x2ππ6π63sin2x3sin2x0正确，π6fx3sin2x选项D，π6π63y22x3得2x由，2πππππ2x2π2x2πkZxπxπkZ，解得或，，所以或，666633π6k2303，所以函数푦=푓(푥)在点处的切线斜率为2333x0即y3x切线方程为y故选：BCD，正确；2211.VABC中，角A，B，C的对边分别为，b，，下列结论中正确的是（ac）a2b2c2abbc2A.B.abc，，不能构成三角形1a1b1cC.若a3bc3，则VABC为锐角三角形3为有理数D.若，b，均为有理数，则ABac【答案】ACD【解析】abc【分析】根据三角形三边关系，平方即可求解A，利用即可判断B，利用余弦定理以及不等式的性质即可求解C，利用余弦定理，结合图形关系即可求解D.abc,bca,acb【详解】对于A,由于，平方可得aa22bb22bcc2,b2c2bca2,a2c22acb2，相加化简可得c22abbc，故A正确，abcabc对于B，取，则，，能构成三角形，B错误，1a1b1c对于C，由a3b3c3可知ca,cb，故C为最大的内角，则2cabcb2a2cb2cc3a2cb2ca3b3aa2b2c20，ccc故C为锐角，进而可得VABC为锐角三角形，C正确，ac222对于D，若，b，均为有理数，则a,b,c,2ab,均为有理数，c2a2b2则B为有理数，不妨设AB，延长到DDB，使得，2ac过C作CEAB，故DCAAB，由于AD2BEAB2BCBAB2aBc，AD,ACb,CDa故AD为有理数，所以均为有理数，CD2AC2AD2因此ABDCA为有理数，CDAC故选：ACD【点睛】关键点点睛：利用三角形图形关系，作出DCAAB，在ACD中由余弦定理即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.ee12etetR的最小值为______.，则1212.已知单位向量e，e满足12123【答案】【解析】22te2【分析】首先利用数量积模的公式etee，转化为二次函数求最值.1212【详解】eteete1t2tee2t2t11212121212343t，当t时等号成立，23ete所以的最小值为2.1232故答案为：，则实数的取值范围是13.函数yx2ax1的值域是a______.(,2][2,)【答案】【解析】[0,)1和xa402该函数的值域为x2a该不等式即可得出实数的取值范围．【详解】根据题意知，函数x21可以取到；0函数xx21和轴有交点；a解得a2，或a2；实数240；a(,2][2,)的取值范围为：．(,2][2,)故答案为：．14.如图，圆内接四边形ABCD中，BD为直径，ABAC22，1.则BC的长度为______；______.423409②.【答案】【解析】①.【分析】首先根据圆的性质，得到ACB=BC求解CBD和ABD，转化向量，再根据向量数量积的定义求解.BD3，【详解】因为BD是直径，AB22，1，所以1313cosADBACBACB，所以，ABAC22，BC2AC2AB2BC28813，2BCAC2BC2242所以BC；3BC42AB22在RtCBD中，CBD，Rt△ABD中，ABD，BD9BD3ACBDBCBABDBCBDBABD，CBD，4234292233223，40.942340；故答案为：9四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤nSa0S6.15.等差数列{푎푛}的前项和为，已知，12n6（1）求数列{푎푛}的通项公式；an的前项和Tn（2）求数列.nan6n【答案】（1）2nn,n52T（2）nn2n60,n62【解析】1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；（2）根据数列正项和负项的分界，讨论n与的关系，求解.Sn【小问1详解】设数列{푎푛}的公差为d，S6aa1a06a17a5，∴公差为1，∴，1∵∴，∴，∵，∴1267n5(nn6；【小问2详解】n(5n6)n2n由已知Sn，22n2nn5时，TS；nn2n2nn2n60n6时，TS2S30；nn5222nn,n52T综上.nn2n60,n6216.已知函数xa2x.fx2（1）若为偶函数，求的最小值；fxfx的不等式a0fxx（2）当时，判断2的解集.faxf2x02【答案】（1）22）【解析】{x|2x.1）根据为偶函数，由a1，然后利用基本不等式求函数的最fxf(x)f(x)恒成立求得小值；在R上为单调递增函数，然后指数和对数运算，得到a0fxfax（2）易知时，2f(x)f(x)f2x2，然后将问题转化为，利用函数的单调性求解.1）的定义域为R，xR,xR，fx∵为偶函数，fxf(x)f(x)∴恒成立，x2xa2x恒成立，∴2xa2整理得22a)0xx恒成立，a1∴2xx2x2，当且仅当2x2x即x0时等号成立．∴f(x)2x22∴的最小值为2.fxa0（2）时，在R上为单调递增函数，fxlog2axxlog2afax2log2a2a22log2a2a2xx∵，21a2xa2xa2xx2f(x)，af(x)f2x2则，∴2x2x，即x2x20，解得2<x<1，∴解集为{x|2x.fax.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用指数和对数运算化简2π17.在VABC中，D为BC的中点，BCABAD，ACB，记ABC.2π（1）证明：或；23（2）若3，且，求AD的最大值.【答案】（1）证明见解析92（2）8【解析】1△ABD与ACD中分别用正弦定理即可得到sincossin正弦的二倍角公式，即可证明；π（2BCAABC与到结果.BCAABC32【小问1详解】πBCABAD∵∴，2π，2π2πCADπ∴，2BDADsin在△ABD中，则π；sin2CDADsin，在ACDπ中，则sin2∵BDCD，∴sincossin∴sinsin2，，π0,∵∴，2π22π，即或或.2【小问2详解】BCAABC时，∵3，∴∴AC3，6BC3AC9，由已知，矛盾；πBCAABC3时，，213∴∴，1tan218，29818BC2AB2AC29∴，tan292∴，4BCAD∵，2928∴AD的最大值为.π21fxsinx0,018.如图，函数yy的图象与轴相交于点，且在轴右侧的25π第一个零点为.12（1）求和的值；π21213π223π0πf，求的值.（2）已知，，f226π【答案】（1），2679（2）【解析】1πT5πTsin可得1）根据2，，即可根据周期关系得，结合中心对称即可求解264122223（2）根据同角关系可得cos【小问1详解】，进而根据和差角公式即可求解.12πππ6由已知sin，∵0≤≤，∴，∴f(x)sinx，265ππ26k1由已知π，kZ，∴，kZ，1265T5πT2π612，∵T，∴2由图象可知∴，∴412255【小问2详解】π6f(x)sin2x由（1）知，π113π223f，∴sin0，∴cos∵，∵；21232ππ3πππ，∴π∵∴，2222π1223sinπsinsinsin，即23π2222313∵f，∴cos，∴sin2637cossinsin∴9fxexexx19.已知函数.（1）若k2，求的单调区间；fx（2）若在上单调递增，求正实数的取值范围；fxkπeπππ2πxx1exeex（3）时，证明：222.4【答案】（1）单调递增区间是[0,)，单调递减