传热学-10-导热微分方程

冶金传输原理冶金工程专业本科生必修课北京科技大学冶金与生态工程学院

冶金传输原理第二部分传热学第十章：稳态导热传热吴铿

2011.03.05第十章导热微分方程2.1导热微分方程

2.2导温系数(热扩散系数)

2.3柱坐标系和球坐标系的导热微分方程2.4定解条件一、导热微分方程式确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场，理论基础：傅里叶定律+热力学第一定律，假设：

(1)所研究的物体是各向同性的连续介质；

(2)热导率、比热容和密度均为已知；

(3)物体内具有内热源；强度qv[W/m3]；内热源均匀分布；

qv

表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量:10.1导热微分方程

在导热体中取一微元体,dt时间内微元体中：

[导入的总净热量Qd]

+[内热源的发热量Qr]

=[内能增加ΔU]热力学第一定律，微元体的内能变化加上对外界所做的功，等于微元体与外界的热量交换，即：Q=△U+W。讨论导热问题，不考虑与外界的功交换，Q=△U。dt时间内、沿x轴方向导入与导出微元体净热量：10.1导热微分方程

导入导出x方向导入的净热量：同理：微元体内热源生成热：微元体内能的增量：10.1导热微分方程

式中：a=λ/ρcp━导温系数，∇2

－拉普拉斯算符固体导热无内热源稳态温度场另外：由此可得：需要指出：对于固体和不可压缩流体cv≈cp，组成：物性参数

λ、cp和

ρ单位：m2/s如把傅里叶定律中的导热系数用导温系数代替，则傅里叶定律可改写为：10.2导温系数是单位体积物体在y方向的热量梯度反映了流体的动量传输能力与热量传输能力的关系从导温系数的定义可知，导温系数反映了物体的导热能力(λ)与蓄热能力(ρcp）之间的关系。在同样的加热或冷却条件下，a越大物体内温度越均匀。普朗特数10.3柱坐标系和球坐标系的导热微分方程(a)柱坐标系(b)球坐标系热量传输微分方程是描述物体内温度随时间和空间变化的一般关系式，它没有涉及特定热量传输过程的具体特点。为求得某一特定的热量传递过程的特解，还必须给出“定解条件”。从数学理论上讲，微分方程反映了同一类现象的共性，而“定解条件”则反映了具有共性的各具体现象的个性。①几何条件：任何具体现象都发生在一定的几何空间内。因此物体的几何形状和大小必须事先给定。②物理条件：任何具体现象，都必须有介质参与。因此，介质的物理性质(如密度、热容、导温系数等)也是定解所需的条件。由于密度ρ与重力加速度g有关，因此g是伴随ρ出现的物理量，故g也属于定解条件。2.4定解条件③边界条件：任何具体现象都发生在某一体系内，而该体系必然受到其直接相邻的边界情况的影响。因此，发生在边界的情况也是定解条件。④初始条件：除非进入稳态，任何过程的发展都会受到初始状态的影响。例如，流速、温度等在初始时的分布规律直接影响以后的过程。因此，初始条件也属于定解条件。最简单的温度初始条件是，开始时刻物体内各点温度相同，即：边界条件(Boundaryconditions)一般可分为三类：第一类、第二类、第三类边界条件。2.3导热微分方程

常见的温度边界条件可分为三类：第一类边界条件已知任一时刻导热体边界上温度值：第二类边界条件已知物体边界上热流密度的分布及变化规律：即第三类边界条件当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知任一时刻边界面周围流体的温度Tf和表面传热系数

α：2.3导热微分方程

例题1：一厚度为s的无限大平板，其导热系数λ为常数，平板内具有均匀的内热源qv(W/m3)。平板x=0的一侧是绝热的，x=s的一侧与温度为Tf的流体直接接触，已知平板与流体间的对流给热系数为α。试写出这一稳态导热过程的微分方程和边界条件。解：对于λ=const，具有内热源的导热问题。无限大平板的稳态导热，简化为一维稳态导热微分方程，即2.3导热微分方程

x=0-侧为绝热边界，x=s-侧为对流边界

例题2：一厚度为s，宽和长远大于s的平板，导热系数为常量，开始时整个平板温度均匀为T0，突然有电流通过平板，板内均匀产生热量qv(W/m3)。假定平板x=0的一侧仍保持T0；x=s的一侧与温度为Tf的流体相接触，流体与平板间的给热系数为α，试写出描述该问题的导热微分方程和单值性条件。解：为不稳态导热和一维的问题。当λ、qv均为常数时，一维不稳态导热微分方程简化和边界层如下：2.3导热微分方程

t=0，x=0，T(0，x)=T02.4小结本章以傅里叶导热定理和热力学第一定律为基础，给出了的固体导热微分方程。通过导热微分方程及结合具体的定解条件，可以求得不同条件下物体内部的温度场。傅里叶定律是从实际导热现象中概括出的基本规律，要深刻理解它的意义和应用。导热系数反映了物体的导热能力，其数值根据傅里叶定律，以实验方法测得。在实际应用中应注意温度、湿度和密度等因素对导热系数的影响。另外，还定义了导温系数。导出的Pr是联系动量传输和热量传输的一个重要指标。为了求解传热的微分方程，需要给出定解条件。要熟悉定解条件的内容，特别是要熟练掌握导热的三种不同边界条件的表达式和物理意义。

傅里叶(JeanBaptisteJosephFourier，1768~1830)生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，8岁时沦为孤儿，就读子地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长，由于对热传导理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科学院终身秘书。

傅里叶旱在1807年就写成关于热传导的基本论文，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。

1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》(Theorieana1ytiquedelaCha1eur，Didot，Paris，1822)。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶的名字命名。

傅里叶应用三角级数求解热传导方程