三角形中的“四心”问题-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展13三角形中的“四心”问题(精讲+精练)

、知识点梳理

一、三角形的四心定义

外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；

重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

二、三角形的重心

(1)三角形的重心是三角形三边中线的交点.

(2)重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

重要结论：(1)设点6是4ABC所在平面内的一点，则当点6是仆ABC的重心时，有京+丽+反=6

或运=3(a+而+正)(其中P为平面内任意一点)；

(2)在向量的坐标表示中，若G、A、B、C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x,y)、

Y1++y3

A(X],yj、B(X2,y2),C(x3,y3),则有仃户十,一,).

三、三角形的外接圆与外心

(1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

(2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个.

重要结论：若点0是仆ABC的外心，贝iJ|GX|=|丽|=|配|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(6C+6A)AC=O；反之，若|GX|=|丽|=|瓦|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0,则点0是4ABC的外心。

四、三角形的内切圆与内心

(1)内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.

(2)三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.

重要结论：若点1是仆ABC的内心，则有|阮卜氏+iCA1苗仁=0；反之，若

|BC|-lA+|CA|-IB+|AB|-iC=O,则点1是4ABC的内心.

五、垂心

三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.

重要结论：若H是△ABC的垂心，则前■=而辰=阮前或

HA+BC=HB+AC=HC+AB，反之，右HAHB=HBHC=HCHA或

HA2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2»则H是△ABC的垂心・

二、题型精讲精练

【典例1］若。为融C的重心(重心为三条中线交点)，且次+丽+几沅=6,则7=—.

【答案】1

【解析】在AABC中，取BC中点。，连接AD,由重心的性质可得。为AD的三等分点，且讴=-2砺,

又。为BC的中点，所以砺+反=2砺，所以西+无+反=-2罚+砺=6,所以久=1.故答案为：1

BD

【典例2】已知点尸是AABC的内心、外心、重心、垂心之一，且满足2Q.反^前?-欣，则点尸一定

是AABC的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】设BC中点为。，所以通+蔗=2而，

所以2衣.配二衣2—前2=（/+荏）（蔗—血/肥.2而，

即前.（而-/）=交.丽=0,所以阮，丽，

又由。为5c中点可得点P在BC的垂直平分线上，所以点尸是“1BC的外心，故选：B

【典例3】己知。是平面上的一个定点，人艮C是平面上不共线的三点，动点尸满足

（2eR）,则点尸的轨迹一定经过“WC的（

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

【答案】C

__.uum

ABAC

【解析】因为扃为阳方向上的单位向量，器为前方向上的单位向量,

贝I]a+工AC的方向与ZBAC的角平分线一致,

\AB\\AC\

、

由丽ABAC

=m+2,可得苏-两=4,R+M即AP=A

所以点P的轨迹为/区4c的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过AABC的内心.故选：C.

【典例4]设。为AABC的外心，^OA+OB+OC=OM,则M是AABC的（）

A.重心（三条中线交点）B.内心（三条角平分线交点）

C.垂心（三条高线交点）D.外心（三边中垂线交点）

【答案】C

【解析】在AABC中，。为外心，可得。4=O3=OC,

'-"OA+OB+OC=OM，/.OA+OB=OM-OC，设A8的中点为O,则8_LAB,CM=2OD，

：.CMVAB,可得CM在AB边的高线上.同理可证，AM在BC边的高线上，

故M是三角形A3C两高线的交点，可得M是三角形ABC的垂心，故选：C

【题型训练-刷模拟】

』.重心

一、单选题

1.（四川省泸州市泸县第五中学2023届高三下学期二诊模拟考试文科数学试题）已知△ABC的重心为O,

则向量的=（）

9__.1_.1_.9___►?uw1uumi___o__.

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.——AB+-ACD.——AB+-AC

33333333

2.（2023・全国•高三专题练习）。是平面内一定点，A,B,。是平面内不共线三点，动点尸满足

OP=OA+^（AB+AC）,2G[0,+OO）,则P的轨迹一定通过“IBC的（）

A.外心B.垂心C.内心D.重心

3.（陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）在△ABC中，设/=£,AB=b,

G为AABC的重心，则用向量Z和石为基底表示向量GS=（）

2-1-1-2-2-1--2-

A.—a——bB.—a—bC.—a——bD.a——b

3323323

4.（2023•全国•高三专题练习）设G为AABC的重心，贝U/+2诙+3玄=（）

A.0B.ACC.~BCD.AB

5.（2023•全国•高三专题练习）边长为2的正AABC中，G为重心，尸为线段BC上一动点，则而.而=（）

A.1B.2

2__.__,__k

C.（BG-BA）（BA-BP）D.-（AB+AC）AP

6.（陕西省西安市长安区2023届高三一模理科数学试题）在平行四边形A3CQ中，G为△BCD的重心，

AG=xAB+yAD,则x—2y=（）

24

A.—B.2C.—D.3

33

7.（福建省福州第一中学2023届高三适应性考试（三）数学试题）在三棱锥中，点。为AABC的

重心，点。，E,厂分别为侧棱E4,PB,PC的中点，若]=赤，b=CE，c=BD，则而=（）

1-1r1-1-1r1-门2-l2_c2-2云2-

AA.-a+—b+—cBD.——a——b——cC.——a——rb——cD.—a+—b+—c

333333333333

8.（2023・全国•高三专题练习）已知A,B,C是不在同一直线上的三个点，0是平面ABC内一动点，若

OP-OA=A.^AB+^BC^,2e[0,^）,则点尸的轨迹一定过AASC的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

9.（2023・全国•高三专题练习）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB,AC两边交

于M,N两点，设无而=湎7，yAC^AN，则一+一的值为（）

xy

C.5D.6

10.（2023•全国•高三专题练习）。是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点尸满足:

0P=O4+/l(AB+AC),2>0,则直线AP一定通过△48(?的()

A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心

11.（江苏省盐城市2022-2023学年高三上学期11月模拟数学试题）在AABC中，过重心E任作一直线分别

UUUHimUU1UUU1U

交AB,AC于N两点，设=AN=yAC＞（尤＞0,V＞。），则4x+y的最小值是（）

C.3D.2

7T

12.（重庆市第八中学校2023届高三上学期图考适应性月考（二）数学试题）在AABC中，A=-,G为AABC

的重心，若IS•丽=而・正=12,贝！IAABC外接圆的半径为（）

A.6B.2C.20D.273

13.（2023•全国•高三专题练习）记AABC内角AB,C的对边分别为a,b,c,点G是AABC的重心，若

BGLCG,56=6c贝I]cosA的取值是（）

59n5711r61

A.—B.—C.—D.—

75751575

14.（吉林省吉林市2023届高三第四次调研考试数学试题）点G是AABC的重心，GB±GC,BC=4,则

CABA=（）

A.32B.30C.16D.14

15.（贵州省毕节市2023届高三诊断性考试（三）数学（文）试题）已知点G为三角形A8C的重心，且

|GA+GB|=|G4-GB|,当，C取最大值时，cosC=（）

A.iB.3C.2D,1

5555

二、多选题

_________________UUUL

16.（2023•全国•高三专题练习）已知G为AABC的重心，ZB4C=60°,ABAC=2,则IAG|的可能取值为

（）

A.-B.1C.亚D.-

332

17.（重庆市2023届高三学业水平选择性考试模拟调研（二）数学试题）如图，M是AABC所在平面内任

意一点，。是44SC的重心，则（）

B.MA+MB+MC=3MO

C.MA+MB+MC=MD+ME+MFD.BCAD+CABE+ABCF^O

18.（2023・全国•高三专题练习）己知AABC的重心为G,过G点的直线与边AB,AC的交点分别为N,

9

若瓦1=4砺，且△AAW与AABC的面积之比为三，则4的可能取值为（）

435

A.—B.—C.-D.3

323

三、填空题

19.（山东省济宁市育才中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）在AABC中，G为重心，

AC=2拒,BG=2,则丽屈=.

20.（黑龙江省齐齐哈尔市2023届高三二模数学试题）已知等边AABC的重心为O,边长为3,则

W-CA=.

21.（2023•全国•高三专题练习）已知MBC的重心为G,经过点G的直线交于。,交AC于E,若明=AAB，

—.—.,11

AE="AC,贝U丁+—=______.

X4

22.（2023・全国•高三专题练习）记△ABC的内角A,5,C的对边分别为〃也°,若。为△ABC的重心，OBLOC,

3b=2c,则cosA=.

23.（江苏省南京市教学研究室2022届高三下学期高考前辅导数学试题）在AABC中，AB.AC=0,\AB\=^,

|AC|=4,。为AABC的重心，Z）在边BC上，且AD_Z.BC,则AD,AO.

24.（2023•全国•高三专题练习）设G为AABC的重心，^^|BC|-G4+2|C4|-GB+2A/3|AB|-GC=6,贝IJ

ABBC

25.（2023・全国•高三专题练习）若点G为"RC的重心，且AGLBG,贝UsinC的最大值为.

2.外心

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）点尸是平面ABC外一点，且P4=P3=PC,则点尸在平面ABC上的射影一

定是AABC的（）

A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心

2.（2023•全国•高三专题练习）已知。为锐角三角形ABC的外心，204+30^+406=0,贝UcosNACB的值

为（）

B.—D

40I-1

3.（河南省名校青桐鸣2023届高三3月联考理科数学试题）已知点。为^ABC所在平面内一点，在^ABC中,

满足2通=|丽2,2AC-Ad=\AC^,则点0为该三角形的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

4.（广东省佛山市第一中学2023届高三4月一模数学试题）在“4BC中，^AC-JJB=2AM-^AC-AB）,

那么动点M的轨迹必通过AABC的（）

A.垂心B.内心C.重心D.外心

5.（山东省滨州市邹平市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）在AABC中，内角A,B,C

所对的边分别为o,6，c,且6=6,c=4,点。为外心，则；^.前=（）

A.-20B.-10C.10D.20

6.（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题）AABC的外心。满足丽+历+点方=6,

|AB|=A/2,则AABC的面积为（）

A.在史B.匕也C.V2D.2

22

7.（重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷））已知点。是AASC的外心，AB=6,BC=8,

2兀__>.__,__„

B=—,^BO=xBA+yBC,则3x+4y=（）

A.5B.6C.7D.8

8.（2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学理科试题）在AABC中，AB=3,AC=5，点N满足

丽=2标，点。为AABC的外心，则丽.酒的值为（）

1759

A.17B.10C.—D.—

26

9.（2023•全国•高三专题练习）在AABC中，AB=4,AC=6,8c=5,点。为AABC的外心，若

AO=lAB+^iAC^贝12+〃=（）

A.-B.-C.-D.-

3579

10.（河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题）已知。是的外心，且满足

9.

2A0=43+蔗,若丽在布上的投影向量为元2C,则cosZAOC=（）

A.』B.典C.1D.亚

510510

TT

11.（2023・全国•高三专题练习）在AABC中，ZABC=-,。为AABC的外心，BABO=2,氤.前=4,

,UUUL1U

则2A8C=（）

A.2B.2A/2C.4D.45/2

12.（2023•全国•高三专题练习）在"WC中，8=60°,O是AABC的外心，若03=2,则血.正=（）

3L

A.-B.3C.6D.6^3

13.（福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试题）已知平面向量OA,而满足

网=画=2,次.赤=一2，点D满足砺=29，E为AAOB的外心，则两方的值为（）

.168八8n16

A.-----B.—C.—D.—

3333

14.（北京市八一学校2023届高三模拟测试数学试题）已知。是“IfiC的外心，外接圆半径为2,且满足

□uun

2AO=AB+AC^若丽在团上的投影向量为则Z3.就二（）

4

A.-4B.-2C.0D.2

15.（安徽省黄山市2022-2023学年高三上学期第一次质量检测数学试题）在融。中，

AB=72,ZACB=45°。是^ABC的外心，则ACBC+OCAB的最大值为（）

37

A.1B.—C.3D.一

22

二、多选题

16.（2023春•江苏南京•高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）设点。是AABC的外心，且

W=ACA+JUCB（A,JU^R）,下列命题为真命题的是（）

A.若4+〃=1,则C=g

B.若况//砺，贝1]储+〃2=]

2

C.若AABC是正三角形，则X+〃=j

D.若久+〃>1,AB=（-2,1）,CO=（2,4）,则四边形AO3C的面积是5

17.（2023秋•山西大同•高三统考阶段练习）设。为的外心，AB=2,AC=4,-54C的角平分线AW

交BC于点闻,则（）

----►2—►1——►----.1—.9—.

A.AM=-AB+-ACB.AM=-AB+-AC

3333

C.ABAO=2D.AMAO=6

18.（2023・广东深圳•深圳中学校联考模拟预测）已知融。的内角A,B,。所对边的长分别为〃，b,c,已

知/?=4,c=6,^ABC的面积S满足仅+c）=（46+8）S+〃，点o为△ABC的外心，满足AO=XAB+juAC,

则下列结论正确的是（）

D.1一半

A.5=6B.CBAO=10C.|孙平

三、填空题

19.（2023・河北•校联考一模）已知。为AABC的外心，若。4=2,且/54C=75。，^\OB.OC=.

20.（2023•河北•模拟预测）已知。为“1BC的外心，AC=3,BC=4,则历.而=.

21.（2023・全国•高三专题练习）在AABC中，。为其外心，应函+2赤+反=0,若3c=2,则。4=

22.（2023•广东广州•广州市第二中学校考模拟预测）已知。是AABC的外心，AB=6,AC=10,若

AO=xAB+yACS.2x+10y=5,则AABC的面积为一.

23.（2023•海南省直辖县级单位•校联考一模）已知点。是锐角AABC的外心，AB=8,AC=12,A=g,

^AO=xAB+yAC,贝l]2尤+3y=.

24.（2023•全国•高三专题练习）已知。是AA5C的外心，1.3OA+4OB+5OC=6，贝iJcosN54C=.

25.（2023•全国•高三专题练习）设。为41BC的外心，若而=荏+2正，贝Usin/BAC的值为.

3.内心

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）在AABC中，|筋|=3,|AC=2,AD=-AB+-AC,则直线AD通过AABC

的（）

A.垂心B,外心C.重心D.内心

2.（安徽省淮南市2023届高三上学期一模数学试题）在AABC中，AB=4,AC=6,点E分别在线段AB,

AC上，且。为A8中点，AE=-EC,^AP=AD+AE，则直线AP经过AABC的（）.

A.内心B.外心C.重心D.垂心

3__»__»__

3.（2023・全国•高三专题练习）在△ABC中，cosA=-,。为△ABC的内心，^AO=xAB+yAC（x,JGR）,

则1+y的最大值为（）

A2R6—y/6p7-A/7八8-2A/2

3567

4.（2023•全国•高三专题练习）在平面上有AABC及内一点。满足关系式：

S.QBC,次+54皿・砺+S△皿,诙即称为经典的“奔驰定理"，若"1BC的三边为a,b,c,现有

°・丽+6・砺+c-玄=。则。为“15。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

AOABAOACCOCACOCB

5.（2023・全国•高三专题练习）平面内AABC及一点0满足|丽|=।前;।।珂=।历।,则点。是

△ABC的（）

A.重心B.内心C.外心D.垂心

6.（山东省聊城市2021届高三三模数学试题）在AABC中，\AB\=3,\AC\=4,\BC\=5fM为BC中点，

。为AA5c的内心，AO=2,AB+JLLAM»贝4%+4=（）

735

A.—B.—C.—D.1

1246

7.（2023•全国•高三专题练习）若。在△ABC所在的平面内，a,b,c是AABC的三边，满足以下条件

a-OA+b-OB+c-OC=6,则。是△43。的（）

A.垂心B.重心C.内心D.外心

8.（2023・全国•高三专题练习）在AABC中，AB=2AC,动点M满足亚.（配+*）=0,则直线AM一定

经过AASC的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

9.（2023•全国•高三专题练习）已知AASC,/为三角形所在平面上的一点，且点/满足：a-TA+blB+clC=Q，

则/点为三角形的

A.外心B,垂心C.重心D.内心

—.4―-1—.

10.（2023・全国三专题练习）已知点。是ABC的内心，^AO=-AB+-AC,贝iJcosNR4C=（）

A.—B.—C.—D.一

5689

二、填空题

11.（2023•全国•高三专题练习）已知AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,S,a=6,b=-c,A=2C,

设。为AABC的内心，则AAOB的面积为

12.（2023・天津・三模）设A,B,C是AABC的三个内角，AASC的外心为。，内心为/•力工。且万与前

"uaM“="1+］一1

tan-tan—

22

13.（2023・湖北•模拟预测）在AABC中，AB-AC=16,^ABC=6fBC=3,且AB>AC,若。为AABC的

内心，贝U而.而=.

14.（2023・全国•高三专题练习）已知G为AABC的内心，且cosA・GA+cos5・G5+cosC・GC=0，则

ZA=•

4.垂心

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）已知。是平面内一点，A,B,C是平面内不共线的三点，若

OAOB=OBOC=OCOA，。一定是/ABC的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

2.（2023•全国•高三专题练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角

形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称

为三角形的欧拉线，设点O,G,H分别为任意AABC的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是（）

A.W=-OHB.OH=-GH

23

C.—"+2而D,—=2而+而

33

3.（2023・全国•高三专题练习）在三棱锥尸-ABC中出、PB、尸C两两垂直，。是尸在平面ABC内的射影，

则。是“LBC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

4.（2023•全国•高三专题练习）已知”为44BC的垂心，AB=4,AC=6,M为边BC的中点，则丽.瓦:=

（）

A.20B.10C.-20D.-10

5.（2023.全国•高三专题练习）若“为AASC所在平面内一点，且冏2+国2=|flS|2+同2=|西2+网2则点”

是“1BC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

6.（2023•全国•高三专题练习）已知。是平面上一定点，A、3、C是平面上不共线的三个点，动点尸满足

（__________________k\

___,___kADAr

OP=OA+^^——+产石——,AG（0,+O））,则动点尸的轨迹一定通过AABC的（）

ABcosBACcosC

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

__.1—.2—►

7.（2023・全国•高三专题练习）已知“为AABC的垂心，^AH=-AB+-AC,贝lJsinNB4C=（）

35

AV15RV10

55

C.逅D.昱

33

8.（2023・全国•高三专题练习）设。是AABC所在平面上一点，点H是AABC的垂心，^S^OA+OB+OC=OH，

且6.方+历+忘.无=6,则角A的大小是（）

.3兀71_71-71

A.—B.-C.-D.一

4