湖北省武汉市某中学2024-2025学年高二年级上册10月联考数学试卷（含答案）

湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中2024-

2025学年高二上学期10月联考数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1.已知2（1,1,1）,8（1,0,1）,元=（1,-1,1）,则点Z到直线5c的距离为（）

3333

2.若直线歹="+4（无>0）与曲线y=有两个交点，则实数上的取值范围为（）

A.（V3,+oo）B.[G,+OO）C.[G,2]D.（V3,2]

oi

3.已知°>0,6>0,直线4：（a—l）x+y—l=04：x+2如+1=0,且4LG贝）一+」的最小

ab

值为（）

A.2B.4C.8D.9

4.若圆/+/+4尸令―]0=o上至少有三个不同的点到直线/：G+勿=o的距离为

20,则直线/的斜率的取值范围是（）

A.[2-V3,2+V3]B.[-2-73,-2+73]C.[-2-73,2+V3]D.[-2-73,2-V3]

5.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为

8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为（）

A.7.6B,7.8C.8D,8.2

6.已知圆0：/+/=4,从圆上任意一点拉向x轴作垂线段〃N,N为垂足，则线段的中

点尸的轨迹方程为（）

222222

A.二+/=1B4+匕=1C.土+匕=1D.土+匕=1

44164416

2

7.已知椭圆C:\+/=1的左、右焦点分别为耳，F2,直线y=x+加与。交于48两

点，若△片4B面积是△鸟48面积的2倍，则加=（）

B.—U.------D-

3t

8.已知点P在以片，鸟为左、右焦点的椭圆0：£+工=1伍〉6〉0）上才解圆内存在一点

a1b2

。在尸鸟的延长线上，且满足。片，。尸,若sin/公尸0=|厕该椭圆离心率取值范围是（）

、

D.

47

二、多项选择题

9.下列说法正确的是（）

A.若有空间非零向量则存在唯一的实数2，使得3=苏

84民。三点不共线,空间中任意点。,若赤=』方+工砺+工反,则尸4民。四点共面

488

C.a=(x,2,l),b=(4,-2+x,x)，若a//b,则x=-2

10.已知实数灯满足曲线C的方程/+/—2》_2=0,则下列选项正确的是（）

A.x2+y2的最大值是6+1

B.2±l的最大值是2+逐

X+1

C.|x-y+3]的最小值是2行一6

D.过点（0,/）作曲线C的切线，则切线方程为x—g〉+2=0

11.设椭圆C:[+[=l的左、右焦点分别为片，F2,坐标原点为。.若椭圆C上存在

一点P,使得|OP|=S，则下列说法正确的有（）

A.cosZFlPF2=—B.PFXPF2=5

C.zXF/g的面积为2口.△公尸月的内切圆半径为3-1

三、填空题

12.已知空间向量£=（2,1,2）,3=（1,则々在加上的投影向量的坐标是-

13.已知椭圆c.二+金=1的左、右焦点分别为片、鸟〃为椭圆C上任意一点,P为曲

54

线E：+/一6丫—4歹+12=0上任意一点，则|必|+的最小值为.

14.已知产为直线歹=-2上一动点，过点尸作圆/+/=1的两条切线,切点分别为民。，则

点/(2,1)到直线的距离的最大值为.

四、解答题

15.设直线4:y=2x与直线(：x+y=3交于P点.

(1)当直线机过产点，且与直线％:x-2y=0垂直时，求直线机的方程；

(2)当直线机过P点，且坐标原点。到直线机的距离为1时，求直线机的方程.

16.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和19

5cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),第八组

[190,195],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八

组人数相同，第六组的人数为4人.

(1)求第七组的频率；

(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；

(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分

别为X),事件E=^x-y\<5｝，求P(£).

17.如图,三棱柱48C-451G的底面为等边三角形,441=ZC,点分别为NC,CG的

中点,NCED=30°,AB=6BD=戈■

(1)求点4到平面ADE的距离;

(2)求二面角4-BE-。的余弦值.

18.在校运动会上，有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下:累计负两场

者被淘汰,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，直至有一人被淘汰;当

一人被淘汰后，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，甲、丙首先比赛,乙轮空.设每场比

赛双方获胜的概率都为

2

(1)求丙连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大?请说明理由.

19.设片，耳分别是椭圆6£+E=1伍〉6〉0)的左、右焦点，过£作倾斜角为三的直

crb23

线交椭圆。于43两点，片到直线48的距离为3,连接椭圆。的四个顶点得到的菱形面积

为4.

(1)求椭圆。的方程；

⑵已知点〃(-1,0),设E是椭圆。上的一点，过两点的直线/交了轴于点C,若

屋=2前，求2的取值范围；

(3)作直线4与椭圆。交于不同的两点尸,0,其中尸点的坐标为(-2,0),若点N(0#是线

段P。垂直平分线上一点,且满足NP.NQ=4，求实数/的值.

参考答案

1.答案：c

解析：因为4（1,1,1）,5（1,0,1）,就=（1,—1,1）,所以诙=（0,1,0）,

BA-BC

所以就在元上投影的长度为d=

BC

所以点Z到直线的距离为

故选:C

2.答案：D

解析：如图所示:

直线y=自+4（无>0）过定点N（0,4）,曲线y=六二7与%轴负半轴交于点8（-2,0）,

设直线ZC与曲线（半圆）相切于点C,

若直线y=Ax+4（左〉0）与曲线y=有两个交点，

则kAC<k<kAB,

4-0

而

若歹="+4（左>0）与半圆一+必=4,520）（圆心。（0,0）,半径尸=2）相切，

4

则圆心到直线的距离满足d=~^==2，解得k=出脚鼠=6,

\lk2+1

故选:D.

3.答案：C

解析：因为4所以(a—l)xl+lx2b=0,即a+23=l,

因为a>0,6>0,所以2+[=已+1](4+29=2+2+竺+324+2、也上=8,当且仅当

ab\ab)ab\ab

竺=@，即q=：L/=J_时等号成立，

ab24

所以2+工的最小值为8.

ab

故选:C.

4.答案：B

2

解析：根据题意，圆X+/+4X-4J；-10=0的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=18淇圆心

为(-2,2)泮径—3夜,

若圆/+/+4x—4y—10=0上至少有三个不同的点到直线/：ax+by的距离为20，

则圆心(-2,2)到直线/的距离"<3/-2/=VL

设直线/:ax+by-0的斜率为左，则k=，直线/的方程为y=0,

则有〈夜，

解得2-左4-2+6,即左的取值范围是[-2-G,-2+G].

故选B.

5.答案：B

解析：依题意这组数据一共有5个数，中位数为8,则从小到大排列8的前面有2个数，后面

也有2个数，

又唯一的众数为9,则有两个9,其余数字均只出现一次,则最大数字为9,

又极差为3,所以最小数字为6,

所以这组数据为6、7、8、9、9,

所以平均数为6+7+8+9+9=7.8.

5

故选:B

6.答案：A

解析：设线段跖V的中点尸(x,y),〃(%,%))，

x=x0

x0=x

所以＜j0+0解得＜

2

y0=y

又点河在圆0：》2+「=4上,

2

则—+（24=4,即亍+产=1-

故选:A

7.答案：C

解析：设直线y=x+加与%轴交于点A/（-加,0），直线方程与椭圆方程联立得

4v24/。\

-J—+2mx+m2—1=0,A=（2m）2—4---^m2—1）〉0,解得-2＜m＜2.

设耳（-夜,0）,耳（亚,0）到直线的距离分别为4，d2,由题意得，

2--\AB\-d2=~\AB\-di,所以[=2刈.由三角形相似可得，

攻=34」干+叽2,解得m=一也或加=一3及.因为一2〈加＜2,所以

d2\F2M\IV2+m|3

m=,故选C.

3

8.答案：B

3

解析：因为。片，。尸,sinN片尸0=《，

不妨设I尸周=5,则阳0|=3,故|尸0|=4,

设|尸用=加，则2a=5+M，|QF2\=4-m,

因为点。在线段学的延长线上，且点。在椭圆内，

所以功＜4且怩。|+|g。|=3+4-加＜2。=5+根,所以1＜加＜4,

I------------4

又cos/F、PQ=J1一sin?AFXPQ=—,

2

所以阳用=2c=^\PF^+\PF^\-2\PF]-\PF^co^AF}PQ=7m-8m+25，

2

2(2。丫m-8m+25_18m18

则离心率满足e一(五J+10w+25~~m2+10m+25~一一一25，

'/mH----F1U

m

因为1〈加＜4,由对勾函数的性质可得用+三+10e~,36,

mv4J

18门81,50/11、

所以可，所以'2=1-169,/

m-\------FlO'7mH-------1-26'7

mm

故选:B.

9.答案：ABC

解析：对于A:若有空间非零向量£，B，Z//M则存在唯一的实数2，使得3=花,A正确;

对于B:赤=3厉+，砺+!玩=3（而+秒）+1（而+而）+』（而+定），

4884、,8、’8、）

即可=-LPB-LPC，故则尸45c四点共面,B正确；

66

4=2x

rx—一2

对于C:因为力后,则存在实数2，使3=疝即-2+x=24,解得，，C正确；

A=—2

x=A

对于D:若｛厉,无，玩｝是空间的一个基底，则。,4片C四点不共面,D错误.

故选:ABC.

10.答案：BD

解析：由圆Cd+j?—2x-2=0可化为（x-以+/=3，可得圆心（1,0），半径为厂=G,

对于A中，由/+/表示圆C上的点到定点。（0,0）的距离的平方，

所以它的最大值为[^/（1-0）2+02+V3]2=4+2G，所以A错误；

对于B中,2±1表示圆上的点与点尸1）的斜率上设2±1=左，即＞+1=左（升1）,

x+lX+1

由圆心(1,0)到直线y+l=Mx+l)的距离4=箕工三百，解得2-&4左V2+几，

“2+1

所以2±1的最大值为2+迷，所以B正确；

X+1

对于C中，由卜->+3|表示圆上任意一点到直线x-y+3=0的距离的表■倍，

4

圆心到直线的距离d==2V2，所以其最小值为V2(2V2-V3)=4-新，所以C错误;

则点C与圆心连线的斜率为kx=-V2,

所以切线方程为了一行。(x—0),即xf+2=0,所以D正确.

故选:BD.

11.答案：ACD

解析：法1：由题意得。=2也，|^|=2c=2V8^4=4,则片(-2,0),g(2,0).由对称

性可设尸(x0>0,j0>0),\PFX\=m,\PF2\=n,ZFlPF2=0,由

22

辽+江=1fx=46

84,解得广。7°,又大(-2,0),与(2,0),所以

后三=不必=1

m=7(V6+2)2+l2=711+476,n=7(V6-2)2+l2=711-476,所以

mn=yjl1+4^6,yjl1—4^6=yjlI2—(4y/6)2=5.由椭圆的定义得加+〃=2Q=4j^,在

△片尸修中，由余弦定理，得忸回2=/+”2—2加“COS。，即

42=(m+-2mn-2mncos0=(4A/2)2-2X5-2X5COS0,解得cos。，故A正确；

___.3

PF、•PF,=mncosB=5义一=3,故B错误；

'25

△耳隼的面积为S△4%=g机〃sin8=gx5xjl—D=2,故C正确；

设△公尸耳的内切圆半径为r,由△片尸耳的面积相等，得S△与根=g(祖+〃+怩刃)〜即

2=1(4V2+4)r,解得厂=血-1,故D正确.故选ACD.

法2：设归周=7",|尸引=〃，/耳尸乙=。.易知a=2亚，c=V8^4=2,由极化恒等

式，得两•可［=|。尸/_|。制2=7_4=3,故B错误；由中线长定理得

疗+/=2(］。尸「+.叶)=22,由椭圆定义得掰+〃=2。=4近，所以

pp.pp3

(掰+〃)2=加？+〃2+2加〃=22+2加〃=32,所以加〃=5,所以cos。=——----,故A

mn5

正确；

3I-----------41id

由cos8=一,得sin8=Jl-cos?。,所以=—mnsm3=—x5x—=2,故C正

55国2225

确；

设△片尸耳的内切圆半径为r,由△片PR的面积相等，得S△耳”=3(祖+〃+|耳月1)人即

2=1(4V2+4)r,解得厂=应-1,故D正确.故选ACD.

12.答案：

(333j

解析：«-S=(2,1,2).(1,1,-1)=2+1-2=1,|^|=V1+1+1=73,

b_(U,-l)J43V3_叵

同-Ji+i+i-丁~Ty

故上的投影向量的坐标

故答案为:ST］

13.答案：2^-1

22

解析:椭圆C：二+2=1中，右焦点月(1,0),圆E：(x-3)2+3-2)2=1的圆心E(3,2),半

54

径r=1,

显然椭圆C与圆E相离，由点P在圆E上，得

于是|"P|+19以ME|-1+1班闫％|=J（3-1）2+2?-l=2V2-b

当且仅当M尸分别是线段即与椭圆。、圆E的交点时取等号，

所以恢。|+\MF21的最小值为20-1•

故答案为：20一1

14.答案：1

2

解析：设PQo，%）,

过点尸引圆X?+/=1的两条切线,切点分别为民C,

则切点在以。尸为直径的圆上，

圆心（且为］,半径西则圆的方程是［x-血］+1-比］=不+1，

U2；2I2）V2）4

22

整理为:x+y-xox-yoy=0,

又点用。在圆/+/=］上，

两圆方程相减得到了0%+^^=1,

即直线BC的方程是与1+为夕=1，因为为=-2,

代入XoX+VoV=1得x0%-2）/=1，则直线5CT旦过定点,

2=3

所以点,（2,1）到直线5c的距离d<|ZN|=（0-2）2+

~2

所以点/（2,1）到直线的距离的最大值为g.

故答案好

15.答案：(1)2x+y—4=0

(2)1=1或3x-4y+5=0

解析：⑴由尸x，解得尸=1,即点.(1,2).

x+y=3［j=2

由直线/0:x-2y=0可知:勺=；.

•.“,/。，.•.直线加的斜率加―k—「，又直线机过点P(l,2),

I。一

2

故直线加的方程为:y—2=——,即2x+y—4=0.

(2)因为直线加过点尸(1,2),

①当直线次的斜率存在时,可设直线用的方程为y-2=左(1-1),SPkx-y-k+2=0.

由坐标原点o到直线加的距离d=£3=1,解得k=-,

因此直线机的方程为:0x—歹一；+2=0,即3x—4歹+5=0.

②当直线用的斜率不存在时，直线加的方程为x=1,验证可知符合题意.

综上所述,所求直线机的方程为x=1或3、-4》+5=0.

16.答案：(1)0.06;

(2)平均数为174.1,中位数为174.5;

7

(3)尸(£)=行.

解析：(1)第六组的频率为巴=0.08,

50

.•.第七组的频率为1-0.08-5x(0.008x2+0.016+0.04x2+0.06)=0.06.

(2)由直方图得,身高在第一组［155,160)的频率为0.008x5=0.04,

身高在第二组［160,165)的频率为0.016x5=0.08,

身高在第三组［165,170)的频率为0.04x5=0.2,

身高在第四组［170,175)的频率为0.04x5=0.2,

由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5,

设这所学校的800名男生的身高中位数为机，则170（根<175,

由0.04+0.08+0.2+{m—170）x0.04=0.5得加=174.5，

所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm,平均数为

157.5x0.04+162.5x0.08+167.5x0.2+172.5x0.2+177.5x0.06x5+182.5x0.08+187.5x0.06+

192.5x0.008x5=174.1-

（3）第六组[180,185）的抽取人数为4,设所抽取的人为名“cd,

第八组[190,195]的抽取人数为0.008x5x50=2,设所抽取的人为

则从中随机抽取两名男生有ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB^B^15种情况，

因事件£={|x-y|45}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件£包含的基

7

本事件为心她共7种情况.所以尸（£）

15

17.答案：（1）-

2

⑵@

1

解析：（1）连接/G,4。,设4。与DE交于点F,

由44]=ZC可知，侧面NCG4为菱形，所以NC]±4。，

因为点。,E分别为ZC,CG的中点，所以DEHAG,则DE1A{C,

因为ZCED=30°，所以ZCQA=30°,

则AAXAC=2NCC[A=60°，又AC=AAX，所以△44C为等边三角形，

由AABC为等边三角形,BD=6，得AC=2,

连接NQ，则4。1AC,AiD=43,

又48=#,5。=G，所以4序=BD'+4犷，则4。1BD,

易知8。，NC,因为NCn4。=。,4Cu平面ACCXAX,A.Du平面ACC.A,,

所以8£>J_平面NCG4，

又4。u平面NCG4,所以8。，4。，

因为ADn0E=。,80u平面8。瓦DEu平面8QE,所以4c1平面8QE,

所以AXF为点4到平面8QE的距离，

又AXF=（4C=|，故点4到平面BOE的距离为1.

（2）由（1）可知，AD,NC，4。两两垂直，以。为坐标原点，直线£（民。。,。4分别为x,y/轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

（3

则0（0,1,0）,2（0,-1,0）,8（百,0,0），4（0,0,道），6（0,2,百）,£0,-,^-

36

所以而二仲,-@,砺=不

-V3,-?—,=0,-厂力

l22）、

由（1）知平面ADE的一个法向量为禾=（0,1,—百卜

3-2=。

设平面4BE的法向量为3=（xj,z），则［丝J=°,即2—,

\^BE•n=0-s/3x+—y+^-z=0

12,2

取歹=1,则〃=,

41c,n1—3V7

于祠*2M=-7，

-BE-D的余弦值为也.

因为二面角4-5E-。为锐二面角，所以二面角4-

7

18.答案：（1）—

16

⑵1

4

（3）乙最终获胜的概率最大，理由见解析

解析：（1）丙连胜四场的情况为:“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”,

所以丙连胜四场的概率:p=（1T=1；

⑴16

（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，

而甲、丙连胜四场的概率为仕丫X2=L

乙上场后连胜三场获胜的概率为巴=

⑺8

需要进行第五场比赛的概率巴=1-工-'=1-工=3；

38844

（3）三人中乙最终获胜的概率最大.理由如下：

记事件N为甲输，事件8为丙输，

记事件〃:甲赢,记事件N:乙赢，

贝U甲赢的基本事件包括:3。8。,幺5cBe4c

9

(I)32

由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等,

即丙最终获胜的概率也是2,

32

所以乙赢的概率为尸（N）=l-2x2=2,

又2_>2，所以三人中乙最终获胜的概率最大.

1632

2

19.答案：（1）土+/=1

4

7

(2)A<-2^/l>--