内蒙古部分2023-2024学年高二年级下册期末考试数学试题（含答案）

内蒙古部分名校2023-2024学年高二下学期期末考试数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

I.若集合2=卜卜2—X<X<2},5={—1,0,1,2},则幺口5=()

A.°B.{0,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1}

2.已知复数z满足2z-i=zi,则月=（)

A.V5B.—C.—D.V3

35

3.从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：mm）,其数据为88,89,76,101,121,89,

90,90,则该组数据的第60百分位数为（）

A.89B.90C.89.5D.101

4.已知3cosa=l-cos2a,贝Ucosa=()

11—1—V5—1+y/-5

A.D.C.D.

2244

5.设等比数列｛%｝的前〃项和为S〃，且53=3邑+耳，则｛%｝的公比］为（）

A.1或一3B.1或3C.一1或一3D.一1或3

6.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机摆放到书架的同一层上，则

相同科目的书相邻的排法有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

7.已知歹是抛物线=2.（夕〉0）的焦点，点〃（1,4）在C上，则（）

A.以为直径的圆与歹轴相切，切点为（0,1）

B.以为直径的圆与歹轴相切，切点为（0,2）

C.以披为直径的圆与C的准线相切，切点为（5，1）

D.以以为直径的圆与C的准线相切，切点为（§,2）

8.若直线/是曲线歹=lnx—1与y=ln(x—1)的公切线，则直线/的方程为()

A.y=x-2B.y=xC.y=x+\D.y=ex

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

TT

9.已知函数/(x)=3cos(2x—万)，则下列结论正确的是()

JTJT

A.3是/(x)的一个周期B./(x)的图象关于点(-七，0)对称

C./(X—巴)为奇函数D./(x)在区间[-巴,刍上的最大值为3

632

10.定义在区上的函数/(%)满足/(盯)=0(%)+M(歹)，则()

A-/(0)=0B./(-1)=0

C./(x)为偶函数D./(x)可能在(1,+8)上单调递增

11.已知球。的直径为尸0,48,C为球面上的三点，尸0，平面48c.若A48C是边长为2省的等边

三角形，且尸。=石，则下列说法正确的是()

A.球。的体积为B.二面角尸一4§一。的正切值为*

63

TT

C.平面尸48与平面48c的夹角为女D.过48中点的平面截球。所得截面面积的最小值为3兀

4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.已知(0,2)是双曲线-—/=加的一个焦点，则加=.

13.设S“是等差数列｛%｝的前〃项和，且数列｛邑-〃2｝是公差为1的等差数列，则｛%｝的通项公式为%=

14.若不等式k/+伍+/7)》-4＜》对工€[1,2丁恒成立，则8a+6的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在A48C中，内角4尻。所对的边分别为“c，旦(6-a)(中nZ+sin3)+c(sin3+sinC)=0.

(1)求角/；

(2)已知。=3,求A48C面积的最大值.

16.(15分)

如图，在正四棱柱48CD—44Gq中，4B=2,=3,E,尸分别为&〃，48的中点，。为四边

形Z8CD的中心.

(1)证明：。。］〃平面£尸。1.

(2)求二面角F-ECX-4的余弦值.

17.(15分)

已知椭圆C的两个焦点是大(1,0),与(—1,0),点河在椭圆。上，且惘制+|%|=4.

(1)求椭圆C的标准方程；

12

(2)已知。为坐标原点，直线/与椭圆C交于48两点，且CML08,证明：直线/与圆/+/=不相

切.

18.(17分)

某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛(三类题目知识题量占比

111212

分别为一,一,一).甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为一,一,一.

424333

(1)若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.

(2)知识竞赛规则随机从题库中抽取2〃道题目，答对题目数不少于"道，即可以获得奖励.若以获得奖

励的概率为依据，甲在〃=5和〃=6之中选其一，问应选择哪个？

19.(17分)

若存在正实数%对任意xe。，使得0</(x)«ax2,则称函数/(刀)在。上被。控制.

(1)已知函数/(x)=lnx+a在［l,+oo)上被a控制，求a的取值范围.

(2)①证明：函数g(x)=x-ln(x+l)在(0,+co)上被g控制.

②设〃eN*,证明：1+士+…+/^<21n(〃+l).

4I/

高二数学考试参考答案

1.B2.C3.B4.A5.D6.C7.B8.A9.BD10.ABD11.ACD

12.-213.2n14.3

15.解：(1)因为(6—〃)(51114+51115)+0($吊5+5111。)=0,

所以由正弦定理可得(b-a)(a+b)+c(b+c)=0,即〃+c?一/=_bc.

122_2-be_1

由余定理可得cos/=-----———

2bc~2bc~~2

又/£(0,兀)，所以4=飞-.

(2)由(1)可知/+/一/=一力。，所以〃+。2+匕。=9.

因为〃+，之2加(当且仅当b=c时，等号成立),

所以〃+/+加=922bc+be,

解得be<3(当且仅当b=c时，等号成立)，

所以A48C面积的最大值为LX3X@=±8.

224

16.(1)证明：连接5。,OF.因为。为四边形Z8CD的中心，所以。为8D的中点.

又/为4s的中点，所以0E/〃/£>,OF=-AD

2

因为E为42的中点，所以2E〃4D,D[E=gAD,

所以。1E〃OE,DXE=OF,

所以四边形。。在为平行四边形，则0,//EF.

又。2a平面EFC],£/匚平面£尸。1，所以。2〃平面EFC].

(2)解：在正四棱柱45C。-44cl2中，以幺为坐标原点，所在直线分别为x,y,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系.

因为Z8=2,Z4=3,所以G(2,2,3),E(l,0,3),F(0,1,0),

则属=(1,2,0),定=(-1,1,-3).

设平面CXEF的法向量为〃=(x,j,z),

n-ECX=x+2y=0,-

则_____-令y=—1，得x=2,z=—1,即〃=(2,—1,—1).

n-EF=-x+y-3z=0,

连接4C].易知碗=(0,0,1)是平面AXECX的一个法向量,

因为二面角F-EQ-4的平面角为锐角，所以二面角F-EQ-4的余弦值为—.

6

17.(1)解：设椭圆C的标准方程为=+《=1(。〉6〉0),

ab

C=l,

由题意可知<2。=4,

a2=b2+c2,

b=V3,

522

解得。=2,所以椭圆。的标准方程为土+二=1.

43

C=l,

1nD/o1

(2)证明：由题意，圆x2+/=亍的圆心为o(o,o),半径为号一.

当直线I的斜率不存在时，由对称性可知AAOx=NBOx=45°,

不妨设幺(/,%),则]+。=1,|/|=|比|=2?，即直线/的方程为手或》=—2手,

此时直线/与圆/+v2=上相切.

7

当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=kx+m,A(Xl,%),B(x2,y2),

r22

土+匕=1

联立｛43一'得(4左2+3)f+8而x+4机2—12=0,

y=kx+m,

由A=64k2m2-4(4左2+3)(4疗-12)>0,得4〃+3—/〉0,

2

士工用,曰8km4m-12

由韦达定理俏西+%=E''

一..7m2-12k2-12

22

则OA-OB=xxx2+yxy2=(1+k)xrx2+km(x1+x2)+m=----..------=0,

212左2+12

H即nm=---------.

7

圆心。到)的距离为J时=上包,此时直线/与圆/+/=U相切.

7T7I77-7

19

综上，直线/与圆/+/=上相切.

7

is.解:(1)设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件4,幺2,4,所选的题目

回答正确为事件6,

则尸(5)=p(4)尸(同4)+尸(4)尸(冏4)+尸(4)尸(5|4)=；X：+；X:+：X；=：,

所以甲在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为

2

(2)当〃=5时，设X为甲答对题目的数量数量，则X:5(10,/?),

故当〃=5时，甲获得奖励的概率4=P(X=5)+P(X>6).

当〃=6时，甲获得奖励的情况可以分为如下情况：

①前10题答对题目的数量大于等于6；

②前10题答对题目的数量等于5,且最后2题至少答对1题；

③前10题答对题目的数量等于4,且最后2题全部答对.

故当”=6时，甲获得奖励的概率5=P(X26)+尸(X=5)x[l—(1—3)x(1—；)]+

1131

P(X=4)x/x5=P(X>6)+^-尸(X=5)+aP(X=4),

则5—4=24)—；尸(X=5)=1[^；(1)10-C；°(gy°]<0,

所以甲应选77=5.

19.解：因为/(x)=lnx+a在工+oo)上单调递增，所以/(x)2/(I)=a〉0.

由/(x)Wax?,KT#a(x2-l)-lnx>0

1Q21

令F(x)=a(x2-l)-lnx,xG[1,+oo),则F\x)=lax——=—----.

xx

当0<Q<3时，由厂'(x)=0,得工=，，〉1,

所以当时，F\x)<0,函数/(x)单调递减，F(x)<F(l)=0,不符合题意；

V2a

当a2；时，2a21,因为x»l,所以2。/一12()，则尸(乃之。，所以函数尸(x)在口,+oo)上单调递增,

F(x)>F(l)=0,符合题意.

综上，a的取值范围为［；,+oo).

1