高考数学复习：函数的概念与性质

专题03函数的概念与性质

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・耀精向绐

年01求具体国改睚义《

厂（函数的概念：两个非空段集之间的对应关系）

型02

_（。知识点一函数的有关高）-（函数的三要素定义域、值域、对应关系）型03/函数的定义域求参数

型04判断是否为同一个函数

L（相等函数与分段函数）

型05求国蜕解侬

型06分段函数及其应用

型01函数单调性瞪厮（硼）

______________________________函数单调性的定义凝02求西毁的单调区间

Y◎知取点二函数的单箍）4^豳嫡隼卓彘）霞03利用函数单调t物盘值

型04曲酒数直或目涯的大小

函数单调性的性质朝05利用函数的隼谓也跖得式

朝06利用函单调性求皴雌腕圉

函数的概念与性质型01函数奇偈性腓厮

,------------------------、H奇『（-xA/tr法于原点51搭型02利用奇偶性求函击信

,-------------------------------「函数奇偶性的定义与图象特点T）.......■

Y。知设点三函数的奇倜性XK"（"R市送于称J型03利用奇蝌求参数

翘04利用奇儡性求翩成

、----------------------------，匚函数奇偶性的几个重要结论型05利用单调性与却黯解不管

型06利用单调性与奇禺在t般大小

周期函数的定义：存砂铸常数T满足f（x+7）弓Xx）

知识点四函数的周期性型01利用周期性求函数直

是小正周期：所有周期中最小的正数周期型02利用周期性求函数解侬

一（。知识点五函数的对称性^,3逊）1周期性与康超学应用

京。2奇号三壬二Q■三铠学

刀转点前）

41j辘03gg

口端盘点・置；层讣与

知识点1函数的有关概念

1、函数的概念：一般地，设A3是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应

关系/,在集合5中都有唯一确定的y和它对应，那么就称/:Af3为从集合A到集合3的一个函数，

记作y=f（x）,XGA.

2、函数的三要素：

（1）在函数y=/（x）,xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合伏x）|xGA｝叫做函数的值域。显然，值域是集合8

的子集.

（3）函数的对应关系：y=/（x）,xeA.

3、相等函数与分段函数

（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的

依据.

（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为

分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分

构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。

知识点2函数的单调性

1、单调函数的定义

设函数人犬)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值的,马，

当王＜巧时，都有了(xJv/X0),那么就说函数力劝在区间D上是单调递增函数。

当王＜%2时，都有/'(匹)＞/(％)，那么就说函数在区间D上是单调递减函数。

单调性的图形趋势(从左往右)

2、函数的单调区间

若函数y=/")在区间D上是增函数或减函数，则称函数幻在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D

叫做y=/田的单调区间.

【注意】

(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，

故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.

(2)单调区间。U定义域/.

(3)遵循最简原则，,单调区间应尽可能大；

(4)单调区间之间可用“，”分开，不能用“U”，可以用“和”来表示；

3、函数单调性的性质

若函数f(x)与g(x)在区间。上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

(1)/(x)与/(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

(2)/(%)与—/(x)的单调性相反.

(3)当。＞0时，400与/(%)单调性相同；当。＜0时，4(%)与/(%)单调性相反.

(4)若/(x)K),则/(x)与具有相同的单调性.

(5)若/(幻恒为正值或恒为负值，则当。＞0时，/(x)与」^具有相反的单调性；

/(x)

当。＜0时，/(%)与'具有相同的单调性.

/(X)

(6)/(%)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上)：

简记为：/+/=/;(2)'+、=、；(3)/-\=7;(4)\-/=、.

(7)复合函数的单调性：对于复合函数y=/[g(x)],

若t=g(x)在区间(a,6)上是单调函数，且>=式。在区间(g(a),g(6))或(g(6),g(a))上是单调函数

若f=g(x)与y=/⑺的单调性相同，则y=/[g(x)]为增函数

若r=g(尤)与的单调性相反，则y=/[g(x)]为减函数.简称“同增异减

知识点3函数的奇偶性

1、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个尤，都

偶函数关于y轴对称

有/(-%)=f(x),那么函数y(x)是偶函数

如果对于函数兀0的定义域内任意一个无，都有

奇函数关于原点对称

/(-%)=-/(x),那么函数/(尤)是奇函数

2、函数奇偶性的几个重要结论

(1)/(X)为奇函数=/(x)的图象关于原点对称；/(尤)为偶函数Q/(x)的图象关于y轴对称.

(2)如果函数/(x)是偶函数，那么/(x)=f(M).

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即/(x)=0,xG。，其中定义域。是关于原点对称的非

空数集.

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于

原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.

知识点4函数的周期性

1、周期函数的定义

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有/(x+T)=/(x),那

么就称函数/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

2、最小正周期：如果在周期函数了(无)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做了(无)的

最小正周期.

知识点5函数的对称性

1、关于线对称

若函数y=/(x)满足〃a+x)=/S-x),则函数y=/(x)关于直线彳=也对称，特别地，当。=6=0时，

2

函数y=/(x)关于y轴对称，此时函数y=f(x)是偶函数.

2、关于点对称

若函数y=/(%)满足f(2a-x)=2b-f^x),则函数y=/(%)关于点(。，/?)对称，特别地,当a=0,Z?=0时，

/（^）=-/（-x）,则函数y=/（x）关于原点对称，此时函数了（X）是奇函数.

Xy点突破•春分•必检

重难点01求函数值域的七种方法

法一、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值（值域）.

（1）若函数y=/（x）在区间㈤切上单调递增，则ymax=A6）,Jmin=/（«）-

（2）若函数y=A无）在区间［a,切上单调递减，贝！Jymax=Aa），＞而产和）.

（3）若函数y=/（元）有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值.函

数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值.

【典例1】（2324高三•全国•专题）函数〃同=等（尤目2,6］）的最大值为（）

X—1

?22

A.2B.—C.—D.—

3535

【答案】B

【解析】因为函数了=炉-1在［2,6］上单调递增，

所以根据单调性的性质知：函数了（切=下一在［2,6］上单调递减，

X—1

所以当x=2时，函数/（无）=等取到最大值为了（2）=3=；故选：B

x—12—13

【典例2】（2324高三.全国.专题）函数f（x）=lgx+x的定义域为10,则值域为（）

【答案】A

【解析】因为函数〃x）=lgx+x的定义域为《，1。，

且y=lgx,三在',10内单调递增，可知〃尤）在^,10内单调递增,

可知在\，1°内的最小值为了位=-奈，最大值为/（1。）=11，

「91

所以值域为一丁11.故选：A.

法二、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数

形结合.

(1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于

作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域.

(2)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确

定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.

【典例1】(2324高三上.河南新乡・月考)对VxeR,用M(x)表示〃x),g("中的较大者，记为

M(x)=max{/(x),g(x)},若函数M(x)=max|-x+3,(x-l)2|,则M(x)的最小值为.

【答案】1

【解析】当T+34X-1)2,即尤2_尤_2<0,即—14x42时，M(x)=-x+3,

当一x+3<(x-l/，A：2-x-2>0,即x>2或x<-l时，=(尤一I)?,

~x+3,x£1,21

所以M(x)=、2,、，、，

(x-1),xe(-<»,-l)u(2,+ao)

函数图象如图所示：

由图可得，函数M(x)在(y,T),(1,2)上递减，在(2,+8)上递增,

所以"L=")=-2+3=L

【典例2】(2324高三上.重庆北倍・月考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名

的“高斯函数”为：对于实数%符号印表示不超过尤的最大整数，例如[-e]=-3,[2.1]=2,定义函数

/(x)=x-[x],则函数/(X)的值域为.

【答案】10,1)

【解析】由高斯函数的定义可得：

当0(x<l时，[v]=o,贝Ijx-[幻=x,

当lVx<2时，[幻=1,则x-[x]=x-l,

当2Vx<3时，[x]=2,贝[]x-[x]=x-2,

当34x<4时，印=3,贝Ijx-[x|=x-3,

易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示,

由图象知了⑺的值域为。1).

法三、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.

【典例1】(2324高三上.全国.专题)函数〃％)=一2x+3的值域是()

A.[0,2]B.[0,+8)C,[2,+oo)D.(0,2)U(2,+w)

【答案】A

【解析】令-d-2x+320得，-3<x<l,故定义域为[一35，

/(X)=J-x。-2尤+3=J—(尤+1)~+4e[0,2]■故选:A

【典例2】(2023高三•江西萍乡•开学考)函数y=—^的值域为_________.

-X+X+2

_4

【答案1(-°°,0)IJ[―,4-00)

【解析】由题得一%2+尤+2工0,「.工工_1且%：/：2.

1oo

因为*+x+2=-(x--)2,且一%2+%+2.

244

4

所以原函数的值域为(-8,0)U[§，+8).

法四、换元法：换元法是将函数解析式中关于％的部分表达式视为一个整体，并用新元/代替，将解析式化

归为熟悉的函数，进而解出最值(值域).

(1)在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围.

(2)换元的作用有两个：

①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即

可‘消灭”根式，达到简化解析式的目的.

②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理

【典例1】（2023高三上•广东河源•开学考试）函数〃x）=2x+7n7的最大值为.

17

【答案】v

O

【解析】令90）,贝鼠=1一『，所以y=_2〃+f+2=—21-（J+[QNO）,

由二次函数的性质知，对称轴为"J,开口向下，

4

所以函数丫=-21-；|2+£在0,；单调递增，在[;,+幻]上单调递减.

所以当r=；=即彳=与时，

416

了⑴取得最大值为/（%）_=八热#+m-

168V168

【典例2】（2324高三・全国•专题）函数y=l-x+&二五的值域为（）

01

A.卜,]B.[0,+co）C.-,+℃D.—,+00

2

【答案】C

【解析】令jrz=%，（，之。），贝

所以函数E+一+”卜出=",函数在[。,+00）上单调递增,

t=o时，y有最小值

所以函数y=l-x+Vi^的值域为故选：C

法五、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，

fix_i_AC+bx+0

形如y=9士或y=-------—（〃，C至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法

cx+dcx+d

以,=竺心为例，解题步骤如下：

cx+d

第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成y=@+—的形式，

ccx+d

第二步，求出函数y=—^在定义域范围内的值域，进而求出y=丝心的值域。

cx+dcx+d

【典例1】（2024高三・全国・专题练习）函数1小的值域为--------

【答案】3yeR且

【解析】函数的定义域为{ylyx-1},

5

1o1

y=--------=--------=--1-——w—

2%+52%+522%+52

故函数的值域为{ylyeR且yH-g}.

【典例2】（2024高三下•北京怀柔・模拟预测）己知函数〃切=肃打，则对任意实数x,函数的值域

是（）

A.（0,2）B.（0,2]C.[0,2）D.[0,2]

【答案】C

【解析】依题意，〃力=2（2尤71）-2=2一

v'2%2+12X2+1

27

显然2/+121,则°<罚"于是。<2,

所以函数/（x）的值域是[0,2）.故选：C

✓7Y2_i_bx+c

法六、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：>二---------

ax+ex+j

将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应

用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。

另外，此种形式还可使用分离常数法解法。

【典例1】（2324高三.全国.专题练习）求函数y=—彳+2的值域.

X+X+1

【答案】[1,5]

【解析】显然M+x+l>0恒成立，即原函数定义域为R,

由,二^^—,^(y-2)x2+(y+l)x+y-2=0,

X+X+1

当y=2时，x=0,符合题意；

当尸2时，由xeR,得(y-2)x2+(y+l)x+y-2=0恒有实数根,

因此A=(\+1)2_4(,_2)220,解得IVy<5且y*2,

所以函数y=一尤+2的值域为[1,5].

x+x+\

Y—1

【典例2】(2324高三上•全国・专题练习)函数y=丁,「，%>0的值域为.

x-6x4-7

/

1

【答案】—oo9———,+00

7

【解析】因为y=-整理得讨―(6y+l)x+7y+l=0,

x-ox+7

可知关于X的方程"2-(6y+l)x+7y+l=0有正根,

若y=0,贝|J_%+1=0,解得了=1,符合题意;

若ywO,贝!］无-_16H—1j.x+7H—=0,

yy

6+-6+-

—>0

--<0,解吐

可得2或，2

2yy

1

7+-<0A=6+--47+->0

yyy

则-;<y<o或y>o或yw―垃：”

综上所述：—或”-个

即函数3=2“11，X>0的值域为

龙一6x+7

法七、导数法：对可导函数/(x)求导，令/'(x)=0,求出极值点，判断函数的单调性：

如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；

如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。

【典例1](2324高三上•辽宁•开学考试)函数〃x)=(-2x+4)e£在区间[1,+8)上的最大值为一

【答案】2e

【解析】r(x)=(-2x+2)e\当xe[l,+8)时,_f(x)<0,〃x)单调递减，/(%)</(l)=2e.

【典例2】(2324高三上•山东济宁・月考)函数/(x)=x-lnx的最小值

【答案】1

【解析】ra)=u=」，尤>o,

XX

当o<x<i时，r(x)<o,函数/(X)单调递减，

当x>l时，/^x)>0,函数/■(%)单调递增，

所以当x=l,函数取得最小值/(1)=1.

重难点02常见奇函数、偶函数的类型及应用

1、/(x)=a*+af(a>0且a20)为偶函数；

2、/(x)=«A-a~x(。>。且。2。)为奇函数；

3、/(%)=-——--=-^——-(。>0且。#0)为奇函数；

(jx+a*a*+1

4、y(x)=logfl-~-(a>0且awO力w0)为奇函数；

5、/(x)=log,,(J龙，+1土x)(a>0且a#0)为奇函数；

6、/(%)=麻+4+版—可为偶函数；

7、/('=麻+.一麻一百为奇函数;

【典例1】(2324高三下•四川南充・二模)已知函数/。)=/一b'，则函数y=+1的图象()

A.关于点(U)对称B.关于点(TD对称

C.关于点(-1,0)对称D.关于点(1,0)对称

【答案】A

【解析】因为析x)=e-eT,所以f(r)=e--/(x),即/⑴的图象关于原点对称，

函数y=/(x-D+i的图象可由/a)的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到,

所以函数>=/(尤-D+1的图象关于点CU)对称.故选：A.

【典例2】(2324高三下•重庆•模拟预测)(多选)函数/(X)=2，；2',8⑴=川Jl+9f-3@,那么()

A./(x)+g(x)是偶函数B.是奇函数

g(x)

C.是奇函数D.g（y（x））是奇函数

/(x)

【答案】BC

【解析】因为y（r）=W^=/（x）,所以〃力=/二为偶函数,

因为g(-x)+g(x)=In(，l+9x?+3x^+ln(A/1+9X?=lnh/l+9x2+3xh/l+9x2-3x=lnl=O,

即g(-x)=-g(x),所以g(x)=ln(Jl+9x2-3x)为奇函数,

所以〃x）+g（x）为非奇非偶函数，A错误;

/(-x)»g(-x)=-[/(A：).g(x)],所以/(x)-g(尤)为奇函数，B正确;

g(f)黑二一工’所以党是奇函数’C正确;

〃-尤)

令H(x)=g(/(x))，H(-x)=g(/(-x))=g(/(x))=H(x)”（x）为偶函数，D错误.故选：BC.

重难点03函数周期性的常用结论及应用

1、（。是不为0的常数）

(1)若/(x+a)=/(x),则丁=。；(2)若/(x+a)=/(x-a),则T=2a；

(4)若/(x+a)=y^j,则T=2a；

(3)若/（%+。）=一/（尤），则T=2a；

若/(x+a)=-~,贝!JT=2a；(6)若/(x+a)=/(%+〃)，则T=|a—4(a#h)；

2、函数对称性与周期性的关系

（1）若函数/（九）关于直线x=a与直线x=b对称，那么函数的周期是2也—M；

（2）若函数/（九）关于点（a,0）对称，又关于点（仇0）对称，那么函数的周期是2|。—a.

（3）若函数/（九）关于直线x=a,又关于点0,0）对称，那么函数的周期是4|A—a|.

3、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系

（1）①函数/（九）是偶函数；②函数图象关于直线x=a对称；③函数的周期为21al.

（2）①函数/（九）是奇函数；②函数图象关于点（a,0）对称；③函数的周期为21d.

（3）①函数/（九）是奇函数；②函数图象关于直线x=a对称；③函数的周期为41H.

(4)①函数/(九)是偶函数；②函数图象关于点(a,0)对称；③函数的周期为41al

其中awO,上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

【典例0(2324高三下.河北•模拟预测)定义在R上的函数〃x)周期为4,且/(2x+l)为奇函数，贝卜

A./(X)为偶函数B./(x+1)为偶函数

C./(x+2)为奇函数D.〃x+3)为奇函数

【答案】D

【解析】定义在R上的函数〃元)周期为4,所以/(x+4)=〃x),

又〃2x+l)为奇函数，所以/(—2x+l)=-〃2x+l),

即/(—x+l)=-/(x+l),所以为奇函数，故B错误；

所以/(-x+2)=—/(x),则/(-x+2)=—/(x+4),

所以〃r+3)=-〃x+3),则〃x+3)为奇函数，故D正确；

由〃r+l)=-〃x+l),所以〃T+1)+/(X+1)=0,则关于(1,0)对称，

令/(x)=sin(7cr),贝!|/(x+4)=sin7t(x+4)=sin7tx=/(x),满足函数〃力周期为4,

J=L/(2x+l)=sin(27LV+7i)=-sin(27tx)^/g,/(2x+l)为奇函数，

但是〃力=如(m)为奇函数，故A错误；

令〃x)=cosgx),则/(x+4)=cos曰(x+4)=cos^x^=/(x),满足函数周期为4,

又〃2x+l)=cos1(2x+l)=3(口+。=-5亩(口)满足〃2x+l)为奇函数，

但是〃x+2)=cos5(x+2)=cos[]x+j=-cos15x)为偶函数，故C错误.故选：D

【典例2】(2324高三下•江西・月考)(多选)已知f(x)的定义域为R,若/(X)的图象关于直线>对称,

且/(x+1)为奇函数，则()

A.7(/(%))=xB./(x)+/(-x)=2C./(X+4)-/(X)=4D./(2024)=-2023

【答案】ABD

【解析】因为〃工)的图象关于直线对称，

令y=/(x)，则/(y)=x,所以/(〃x))=〃y)=x,故A正确;

因为/(x+i)为奇函数，所以〃—x+l)=-〃x+l),

令/(i一x)=y，贝1J/(x+i)=-y,所以/(>)+/(—y)=i-x+i+x=2,

即〃x)+〃-x)=2,故B正确；

由〃x)+〃-x)=2,令x-l替换x可得/(xT)+/(lr)=2,

X/(-x+l)=-/(x+l)，所以/(x+l)-/(x—l)=-2,

贝"(x+4)-/(x+2)=-2,/(x+2)-/(x)=-2,

所以“x+4)—〃x)=T,故C错误;

由〃x+l)=/(xT-2,

所以/(2024)=/(2022)—2=/(2020)-4=…=/(0)—2024=1-2024=-2023,故D正确.

故选：ABD

重难点04抽象函数的性质综合应用

1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处

的函数值或某抽象代数式的值。常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令尤;…,-2,-1,0,1,2…等特殊

值求抽象函数的函数值。

2、判断抽象函数单调性的方法：

(1)凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；

(2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型”抽象函数F(X+y)=…，判断符号时要变形为：

/((%2或/(%2)-/(%))=/(%2)-/((%1-X2)+%2)；

②若给出的是“积型”抽象函数，(孙)=…，判断符号时要变形为：

/(X2)-/(%1)=/X].举-/(尤1)或/(苍)-/(%)=〃9)-了-^2•

\Xl)\X2J

3、求抽象函数解析式的方法

①换元法：用中间变量表示原自变量X的代数式，从而求出f(x)；

②凑合法：在已知/'(g(x))=h(x)的条件下，把h(x)并凑成以。(久)表示的代数式，再利用代换即可求/(久)；

③待定系数法：已知函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，求出出关系式中的未知系数；

④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式；

⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出"》)的表达式；

⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如©),将左边的两个抽象函数看成两个变量，变换变

量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求/(%)的解析式.

【典例1】(2324高三下•河南・月考)(多选)已知非常数函数/(x)的定义域为R,且

f(x)〃y)=f3)+型(x+y),则()

A.〃。)=0B./(l)=-2或〃1)=1

C.q1是｛x|xeR且XAO｝上的增函数D.〃尤)是R上的增函数

【答案】AC

【解析】在/(x)l/(y)=/(孙)+移(+丫)中,

令尸0,得“0)〃x)=〃0)，即VxeRJ(O)[〃x)—1]=0.

因为函数为非常数函数，所以"0)=0,A正确.

令g(x)="^,xwO,则g(x)g(y)=g3)+x+y.

令x=y=-l,则[g(-l)F=g⑴-2,①

令x=y=令则[g(l)F=g(l)+2,②

由①②,解得g(l)=2,g(-l)=0,从而〃1)=2,B错误.

令y=l,贝1|g(x)g⑴=g(x)+x+l,即g(x)=x+l,

因为"0)=0,所以*x)=x(x+l),所以C正确，D错误.故选：AC

【典例2】(2324高三上•福建莆田.开学考试)已知函数/(x)的定义域为R,并且满足下列条件：对任意尤,

yGR,都有〃x+y)=/(x)+〃y),当尤>0时，f(x)<0.

(1)证明：〃x)为奇函数；

(2)若〃-1)=1,解不等式/■(*+2x)-〃2-力>-2.

【答案】(1)证明见解析；(2)(-4,1)

【解析】(1)\•函数/(X)的定义域为R,则定义域关于原点对称.

•..对任意X,yGR,都有/(x+y)=/(x)+/(y)，

故令x=y=O,则/(0)=/(0)+〃0)=2〃0),二/(0)=0,

令丫=一了，贝iJ/(x-x)=/(x)+/(—x)=O,BPf(-x)=-f(x),

；J(x)是奇函数;

(2)任取士,工2eR，且玉〉尤2，由题意得，xI-x2>0,/(A;-X,)<0,

/(石)=/(%-々+马)=/(石f)+/㈤,

.-.f(xl)-f(x2)^f(xI-x2)<0,

・•./(百)</(%2)，，/(x)在R上为减函数.

因〃-1)=1,=〃2)=〃1+1)=-=

Z./(X2+2X)-/(2-X)>-2<^/(X2+2X)+/(X-2)>-2

07(f+2;<:)+/(%—2)>/(2)0/[(尤2+2尤)+(彳-2)]>/(2)=尤2+3尤一2<2,

解得T<x<l,

.­./(%2+2%)-/(2-%)>-2的解集为：(T,1).

法技巧•遑哀学霸

一、求函数定义域的依据

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围

1、分式的分母不能为零.

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即正（其中〃=2左，左eN*）中xNO,

奇次方根的被开方数取全体实数，即於（其中“=2左+l#eN*）中，x&R.

3、零次塞的底数不能为零，即x°中XH0.

4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“U”连接。

【典例1】（2324高三下•四川南充.三模）函数/（彳）=巫三的定义域为_____.

V7x-1

【答案】HM）U（I,4]

【解析】因为“X）

所以16—d之0且x—IwO,角军得一4Wx«4且xwl,

故函数的定义域为[yi）u（i,4].

【典例2】（2324高三下•北京•开学考）函数/（司=但（1_]）的定义域为

【答案】（1,2）"2,M）

【解析】由题意【炮（：一?,°,解得l<x<2或x>2,

x-l>0

所以函数=面/刁的定义域为(1,2)U(2,E).

二、函数解析式的四种求法

1、待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法.

(1)确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；

(2)根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；

(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数/(%)的解析式的问题

(1)先令g(x)=f,注意分析/的取值范围；

(2)反解出x,即用含/的代数式表示x；

(3)将/(g(%))中的无度替换为f的表示,可求得了(7)的解析式,从而求得了(%)。

3、配凑法：由已知条件/(g(X))="%),可将川龙)改写成关于g⑺的表达式，

然后以x替代gQ),便得/(%)的解析式.

4、方程组法：主要解决已知"%)与/(-%)、f的方程，求"%)解析式。

例如：若条件是关于〃龙)与/(-X)的条件(或者与/)的条件,

可把X代为-X(或者把X代为工)得到第二个式子，与原式联立方程组，求出了(%)

X

【典例1】(2324高三上・甘肃兰州・月考)已知y(4+l)=