锐角三角函数（解析版）-2023年中考数学一轮复习专练

专题26锐角三角函数

一、锐角三角函数概念

【高频考点精讲】

在RtZ\ABC中，NC=90°

1、正弦：我们把锐角A的对边。与斜边c的比叫做NA的正弦，记作sinA,即siM==^

c

2、余弦：锐角A的邻边6与斜边c的比叫做/A的余弦，记作cosA,即cosA=k>

c

3、正切：锐角A的对边a与邻边6的比叫做NA的正切，记作tanA,即tanA=^

b

4、三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数。

【热点题型精练】

1.（2022•天津中考）tan45°的值等于（）

V2V3

A.2B.1C.—D.—

23

解：tan45°的值等于1,

答案:B.

2.（2022•淮南模拟）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上，则tanA

的值是（）

1

C.2D.

2

则2£>=&,AD=2近,

mu,BD421

则ta也=而=派=才

答案：D.

3.（2022•荆州中考）如图，在平面直角坐标系中，点A,5分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点。在08上，OC：

BC=1：2,连接AC,过点。作O尸〃A8交AC的延长线于P.若尸（1,1）,则tanNOAP的值是（）

V3<21

A.—B.—C.-D.3

323

解：如图，过点P作尸。，无轴于点。，

答案：C.

4.（2022•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形A8CD的顶点A,B,C在坐标轴上，若点A的坐标为（0,

3）,tanZABO=V3,则菱形ABC。的周长为（）

y

B0

A.6B.6V3C.12V3D.8V3

解：•.•点A的坐标为（0,3）,

.AO=3,

,tanZAB(9=V3,

AO

BO

3

BO

.BO=V3,

•△AOB是直角三角形,

.AB=yjAO2+B02=32+(V3)2=V12=2V3>

•菱形的四条边相等,

.菱形ABCQ的周长为2遍X4=8V3.

答案：D.

12

5.(2022•滨州中考)在中，若NC=90°,AC=5,BC=12,则sinA的值为一

—13―

解：如图所示：•；NC=90°,AC=5,BC=12,

：.AB^V122+52=13,

.,.sinA=!|.

6.（2022•扬州中考）在△ABC中，ZC=90°,〃、b、c分别为NA、NB、NC的对边，若房=〃c,则sinA的值

为—J

解：在△ABC中，NC=90°,

.'.c1=(r+b2,

b2—ac,

••ca+ac,

等式两边同时除以得:

ca

=-+1,

ac

Aa

令一=x,则有一=x+L

CX

1•W+x-1=0,

解得：Xl=^2~,X2=一¥匹（舍去）,

当％=与二时，x/0,

.•.%=空＞是原分式方程的解,

,..u—1

—

••siHzT.——Q

c2

田山V5-1

答案：。一.

7.（2022•绥化中考）定义一种运算:

sin(a+P)=sinacosP+cosasinP,

sin(a-p)=sinacosp-cosasinp.

例如：当a=45°,p=30°时，sin(45°+30°)=*x字+*xJ=耳色，则sinl5°的值为‘一?

zZZz4—4

解：sinl5°=sin(45°-30°)

=sin45°cos30°-cos45asin30°

_V2V3_V2

x

46V2

4—彳

V6-V2

-4-

V6-V2

答案:

4

8.（2022•湖州中考）如图，已知在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3.求AC的长和sinA的值.

解：VZC=90°,AB=5,BC=3,

：.AC=7AB2—8c2=V52-32=4,

.,BC3

sinA=AB=5-

3

答：AC的长为4,sinA的值为J

二、解直角三角形

【高频考点精讲】

1、解直角三角形常用关系

(1)锐角、直角之间的关系：ZA+ZB=90°；

(2)三边之间的关系：/+庐=02；

(3)边角之间的关系

sinA=—,cosA=—,tmA-二包(〃，b,c分别是NA、ZB.NC的对边)

b

=返；tan30°=返；

2、sin30°=—；cos30°

223

sin45°=①；cos45°=U；tan45°=1；

22

sin60°=Kcos60°=2；tan60°=V3;

22

【热点题型精练】

1

9.(2022•乐山中考)如图，在RtaABC中，NC=90°,BC=底点。是AC上一点，连结BD.右tanZA=2,

1

tanZABZ）=j,则CD的长为（）

D.2

解：过。点作。ELA3于E,

../ADE1/AnnDE

・tanNA=,tanABD==

：.AE=2DE,BE=3DE,

；・2DE+3DE=5DE=AB,

在RtAABC中，tanZA=BC=V5,

.BCV51

"AC-AC-2’

解得AC=2V5,

：.AB=<AC2+BC2=5,

：.DE=1,

：.AE=2,

.'.AD=y/AE2+DE2—Vl2+22=V5,

/.CD=AC-AD=A/5,

答案：C.

10.（2022•通辽中考）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以为直径的圆经

2

c.一D心

131333

解：TAB为直径,

AZACB=90°,

又•.,点A,B,C都在格点上,

ZADC=ZABC,

在RtAABC中,

/口r_BC_3_3闻_/人八二

cosz_A4nC=.==-干5~=cos/A£)C,

/iDI99ID

J3Z+2Z

答案：B.

11.（2022•宜宾中考）如图，在矩形纸片ABC。中，AB=5,8C=3,将△BCD沿8。折叠到△BE。位置，DE交

A5于点R则cosNA。尸的值为（

87158

A.——B.—C.——D.—

17151715

解：：四边形ABCO是矩形,

ZA=90°,AB//CD,AD=BC=3,AB=CD=5,

：.ZBDC=/DBF,

由折叠的性质可得/

:・/BDF=/DBF,

：.BF=DF,

设BF=x,则DF=x,AF=5-x,

在RtZ，4£>/中，32+(5-x)2=x2,

•_17

,•x-T'

315

cosZADF=F=F，

T

答案：C.

12.(2022•济宁中考)如图，点A,C,D,8在O。上，AC=BC,ZACB=90°.若CD=a,tan/C8£)=热则

AD的长是242a.

设AO交8C于点T.

VZACB=90°,

二•AB是直径，

TEC是直径，

：.ZCDE=90°,

•：NCBD=NE,

1

tan£=tanZCBD=3,

.CD1

••=一,

ED3

:.DE=3a,

：.EC=AB=y/CD2+DE2=^a2+(3a)2=y/lOa,

：.AC=BC=5AB=V5a,

■:/CAT=/CBD,

1

tanNCAT=tanNCBD=3,

:.CT=*a,BT=^a,

.\AT=yjAC2+CT2=J(VSa)2+(-^a)2=

9：AB是直径，

/.ZADB=90°,

DT1

VtanZZ)BT==可，

：.DT=钾BT=寺a,

：.AD=AT+DT=2>j2a,

13.（2022•河池中考）如图，把边长为1：2的矩形A8CD沿长边8C,A。的中点E,歹对折，得到四边形ABEF,

2

点G,H分别在BE,EF上,且BG=EH=^BE=2,AG与BH交于点、O,N为A尸的中点，连接ON,作。M_L

5

ON交AB于点、M,连接MN,贝Utan/AMN=___.

：.AF=BE=^BC,

•..四边形ABC。是矩形,

；./A=90°,AD//BC,AD=BC,

：.AF=BE^^AD,

四边形48跖是矩形，

由题意知，AD=2AB,

：.AF=AB,

矩形A2EF是正方形，

：.AB=BE,NABE=/BEF=9Q°,

,:BG=EH,

：.^ABG^ABEH(SAS),

NBAG=NEBH,

：.ZBAG+ZABO=/EBH+NABO=/ABG=90°,

AZAOB=90°,

2

■:BG=EH=^BE=2,

:・BE=5,

：.AF=5,

•・•ZOAB=ZBAG,ZAOB=AABG,

：.AAOBsAABG,

・OAOB

AB~BG'

tOAAB5

'*OB~AG~2

•：OM1ON,

：.ZMON=90°=/AOB,

NBOM=/AON,

,：ZBAG+ZFAG=90°,ZABO^-ZEBH=90°,NBAG=NEBH,

：.ZOBM=ZOANf

：./\OBM^/\OAN,

.OBBM

OA~AN'

・・•点N是A厂的中点，

：.AN=^AF=I，

5BM

A2=h

2

：.AM=AB-BM=4,

AN75

在RtZXMAN中，tanNAMN=*J=/=],

答案:I-

14.（2022•张家界中考）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三

角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就.如图，已知

3

大正方形相。的面积是1。。，小正方形跖GH的面积是4,那么tan/A近

A

B

解：：大正方形ABC。的面积是100,

：.AD=10,

,/小正方形EFGH的面积是4,

...小正方形EFGH的边长为2,

：.DF-AF=2,

设AF=x,则£>F=x+2,

由勾股定理得，?+(x+2)2=1()2,

解得x=6或-8(负值舍去)，

：.AF=6,DF=8,

tanZADF=需=\=X，

答案：7.

三、解直角三角形的应用

【高频考点精讲】

1、坡度坡角问题

(1)坡度是坡面的垂直高度力和水平宽度/的比，常用，表示。

(2)坡面与水平面的夹角a叫做坡角，坡度i与坡角a之间的关系：i=/z:/=tana。

(3)解决坡度问题，一般通过作高构成直角三角形，坡角是锐角，坡度是锐角的正切值，水平宽度或垂直高度是

直角边，本质是解直角三角形问题。

2、仰角俯角问题

(1)概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角。

(2)解决此类问题需要了解角之间的关系，找到与条件和所求相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时,

要通过作高构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形中边角关系问题加以解决。

3、方向角问题

(1)辨别方向角：以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。

（2）解决方向角问题，要根据题意理清图形中各角的关系，如果所给方向角不在直角三角形中，可以用“两直线

平行，内错角相等”“余角”等知识转化为所需要的角。

【热点题型精练】

15.（2022•黑龙江中考）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时

小明看山顶的角度为60°,山高为（）米

A.600-250V5B.600V3-250C.350+350百D.500V3

解：设所=5x米，

:斜坡BE的坡度为5：12,

：.BF=nx^z,

由勾股定理得：(5x)2+(12%)2=(1300)2,

解得：龙=100,

则斯=500米,B歹=1200米，

由题意可知，四边形OCFE为矩形,

...£）C=M=500米，DE=CF,

在Rt/VIDE中，tanNAED=罂，

则DE==乌AD,

tanot)3

AC

在RlAACB中，tanNA3C=釜，

500+4。V3

~=丁

1200+—3

3

解得：AO=600百一750,

山高AC=A£)+£)C=600^—750+500=(600b一250)米,

答案：B.

16.（2022•济南中考）数学活动小组到某广场测量标志性建筑A2的高度.如图，他们在地面上C点测得最高点A

的仰角为22°,再向前70机至。点，又测得最高点A的仰角为58°,点C,D,8在同一直线上，则该建筑物

AB的高度约为（）

（精确到1/77.参考数据：sin22°心0.37,tan22°心0.40,sin58°"0.85,tan58°七1.60）

解：由题意可知：AB-LBCf

在RtZkA£>5中，ZB=90°,ZADB=5S°,

VtanZAZ)B=tan58°=丽，

••但丽丽—询(m))

在RtZkACB中，ZB=90°,ZC=22°,

•:CD=7Um,

:.BC=CD+BD=(70+备)m,

AD

.,.AB=BCXtanC«(70+,)X0.40(m),

解得：AB^37m,

答:该建筑物AB的高度约为37日

答案：C.

17.（2022•柳州中考）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为a,sina="，堤坝高8c=30机，则迎水坡面A8的

长度为_J0m.

Q

解：Vsina=堤坝高5C=30m,

..3BC30

■'Sma=5=AB=AB'

解得：AB=5Q.

答案：50.

18.（2022•黄石中考）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：己知无人机的飞行高度为30处当无人机

飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°,继续飞行20机到达8处，测得旗杆顶部的俯角为60°,则旗杆的

高度约为12.7m.

（参考数据：旧=1.732,结果按四舍五入保留一位小数）

解：设旗杆底部为点C,顶部为点过点。作交直线于点E.

则CE=30/7?,AB=2Qm,Z£AD=30°,NEBD=60°,

设DE=xm,

在RtZ\BDE中，tan60°=挠=盘=百，

解得BE=亭x,

则AE=4B+BE=（20+等x）m,

在RtZXADE中，tan30°=~=—，•=孚,

AE20+号x3

解得x=10V3句7.3,

经检验，x=10^-17.3是原方程的解，且符合题意,

：.CD=CE-DE=\2.1m.

答案：12.7.

19.（2022•巴中中考）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航

行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的2处，此时与灯塔P的距离约为50海里.（参考数

242

据：sin37°《耳，cos37°《耳，tan37°、4）

北

八

---A东

B

根据题意得，ZCAP=ZEB4=60°,ZCAB=30°,B4=30海里,

：.ZPAB=90°,ZAPB=180°-67°-60°=53°,

.,.ZB=180°-90°-53°=37°,

ADQf)Q

在RtZ\P4B中，sin37°=篝=需〜。

解得PB-50,

此时与灯塔P的距离约为50海里.

答案：50.

20.（2022•长沙中考）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行

优化改造.如图，AB表示该小区一段长为20根的斜坡，坡角NBA£）=30°,2。LAD于点。.为方便通行，在

不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°.

（1）求该斜坡的高度BD；

（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.（假设图中C,A,。三点共线）

解：(1)在中，VZADB=90°,ZBAD=30°,BA=20m,

：.BD=1BA=10(m),

答:该斜坡的高度8。为10%;

(2)在△AC8中，ZBAD=30°,ZBCA=15°,

：.ZCBA=15°,

：.AB=AC=20（机），

答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m.

21.(2022•广州中考)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度.如图，在某一时刻，旗

杆AB的影子为2C,与此同时在C处立一根标杆CD标杆CD的影子为CE,CD=I.6m,BC=5CD.

(1)求BC的长；

(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求旗杆AB的高度.

条件①：CE=1.0m；条件②：从。处看旗杆顶部A的仰角a