贵州省遵义市2024届高三第二次模拟测试数学试题（含答案解析）

贵州省遵义市2024届高三第二次模拟测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.样本数据11,12,13,15,16,13,14,15,11的第一四分位数为（

A.11.5B.12C.12.5D.13

2.已知数列｛%｝的前〃项和=/+〃T,则为+%=（）

A.16B.17C.18D.19

3.已知单位向量£是满足归-闸=6,则£与Z+5的夹角为（）

4.已知集合/=｛x［2<x<6｝,8=｛刈若/U3=R,则整数。的值为()

A.4B.5C.6D.7

5.若函数/(%)=sin(s:+*3>0)在［0,兀］上有且仅有一个零点，/(^)=1,则啰=()

54

A.-B.1C.-D.2

63

6.已知平面。,£,7满足&_1_£,〃_17,。_17，下列结论正确的是()

A.若直线贝/〃£或

B.若直线///c,贝!1/与£和/相交

C.若/ua,贝!!/，"，且

D.若直线/过空间某个定点，则与生夕,7成等角的直线/有且仅有4条

2

fV

7.已知双曲线C:三-5=1(°>0,6>0)的左右焦点分别为耳F2,过点片且与渐近线垂直

ab

的直线与双曲线C左右两支分别交于43两点，若tan/可叫=《，则双曲线的离心率为

()

A.叵B.—C.—D.V2

552

8.已知定义在R上的函数/(X)满足：/(1)=|,且/'(X+力+/(尤-力=2/(x)/(y),则下

列结论正确的是()

A./(0)=0B./(力的周期为4C./(2xf关于x=g对称D.1(同在

试卷第1页，共4页

（0,+8）单调递减

二、多选题

9.已知实数a,b,c满足。>6>c,a>0,则下列结论正确的是（）

A.（ac）2>（bcfB.2024j>2024j

C.2a+3a>2h+2bD.若a+6=2,则/+〃的最小值为2

10.关于复数z,下列结论正确的是（）

A.

Z

B.若m=2,则z=l+指i

C.若z=（l+i）‘°=a+6i（a,6eR）,则6=C：。xl'=1。

D.若z+彳=1,则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线

II.已知平面内曲线C：2（/+/）=|尤|+|川+1,下列结论正确的是（）

A.曲线C关于原点对称

B.曲线C所围成图形的面积为，兀

O

C.曲线C上任意两点同距离的最大值为叵土立

2

10o

D.若直线”质-;（左>0）与曲线C交于不同的四点，则广左

三、填空题

12.三角形48c中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2c,cos5+2sinC=l,则

c=.

13.某校开展劳动技能比赛，高三（1）班有3名男生，5名女生报名参赛，现从8名同学

中选4名同学代表班级参加比赛，要求男女生各至少1人，则不同的选派方案共有

种.

14.如图，棱长为4的正方体-44GA中，点N为G2中点，点/在正方体内（含

表面）运动，且满足则点M在正方体内运动所形成的图形的面积

为;若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形48CZ）,圆锥顶

试卷第2页，共4页

点S与正方体上底面中心重合，则点”运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率

四、解答题

15.已知直线/过点尸(0,1),抛物线£:/=4X.

(1)若直线/与抛物线E于48两点，且中点的横坐标为3,求直线/的方程；

(2)若直线/与抛物线E有且仅有一个交点,求直线I的方程.

16.商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加抽奖活

动.规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2

个黑球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1

分，过程中若顾客持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等

奖，抽奖结束.

(I)求顾客3次取球后持有分数r的数学期望£(y)；

(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为〃分最终获得一等奖的概率为夕=0,1,…,15)；

①证明：｛匕｝是等差数列；

②求顾客获得一等奖的概率.

17.通过化学的学习，我们知道金刚石是天然存在的最硬的物质，纯净的金刚石是无色透明

的正八面体形状的固体，如图1是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，从图中

可以看出，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接，从立

体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点

处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离相等的位置，如图2所示：

试卷第3页，共4页

M

p

N

图3

(1)在金刚石的碳原子空间结构图(图2)中，求直线04与直线02所成角的余弦值；

(2)若四面体尸-N3C和正八面体M0RS力V的棱长相等，现将两几何体拼接起来，使它们一

个表面完全重合，得到一个新多面体，判断新多面体为几面体，并说明理由.

18.函数/(xAf+hHaeR)有且只有两个零点看,々(网＜乙).

(1)求实数。的取值范围；

(2)已知6为常数，设函数尸⑷=/工+2],若尸⑷1nhi=e,求b的值.

I再x27

19.设集合q={(xl,x2,---,xn)\xi=0或l,i=l,2,…,片中的元素。=(%,&，…，氏)，

6=(可也，…也)，定义：°㊉6=(%-々)4+(ga)4+…+(。"-")4•若”为七的左元子集,

对Vxe%,都存在ye",使得x㊉yV3,则称河为区的左元最优子集.

(1)若〃5，。㊉6=4,且a=(L0,LL。)，试写出两个不同的6；

(2)当〃=7时，集合/={(再,々,…，吃),也,%，…，％)}，%,％e{0」},为+%=1,证明：A为凡

的2元最优子集；

(3)当〃28时，〃“是否存在2元最优子集，若存在，求出一个最优子集，若不存在，请说明

理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BDBACDACBCAD

题号11

答案AC

1.B

【分析】把样本数据由小到大排列，再利用第一四分位数的定义求解即得.

【详解】样本数据由小到大排列为11,11,12,13,13,14,15,15,16,

由9x25%=2.25,得样本数据的第一四分位数为12.

故选：B

2.D

【分析】根据给定条件，利用。“=邑-求出名，即可计算即得.

,22

【详解】依题意，%=凡=1,a9=59-S8=(9+9-l)-(8+8-l)=18,

所以％+°9=19.

故选：D

3.B

【分析】由归-闸二百求出73,再求出［与Z+B数量积和模长，由向量的夹角公式可得出

答案.

【详解】由归―*6平方可得2-273=3,即》=—；,

则归+同=2+2a-b=1,则|万+可=1,

y^a-(a+b^=\+a-b=；,

所以cos2,2+Z?=---4=-2-=—，

\a\］a+b\1x12

故［与Z+B的夹角为

故选：B

4.A

【分析】先求出集合5,再根据4UB=R即可求解.

【详尚毕】因为不等式,一〃|〉10工一。〉1或%—4〈一1,解得—1或X>Q+1,

答案第1页，共15页

所以8={小<。-1或X>Q+1},

t[a-l>2

因为NUB=R,所以解得3<Q<5,则整数。的值为4,

[a+l<6

故选：A

5.C

【分析】根据给定条件，求出相位。X+E的范围，再结合正弦函数的性质列式求解即得.

6

【详解】当xe[O,用时，+,兀。+口,

666

由/'(x)在[0,可上只有一个零点，得兀(8+2<2兀，解得

666

7T7T717T4

由/(一)=1,得一。+—=一+2左兀,左eZ,解得。=—+8左,左eZ,

44623

一4

所以4=0,0=^.

故选：C

6.D

【分析】根据给定条件，作出正方体，举例说明判断ABC；利用正方体的体对角线推理判

断D.

【详解】在正方体44G。中，平面48CA,平面AD。/1,平面CDD£两两垂直,

令平面ABCD为平面a,平面ADDM为平面/3,平面CDD©为平面Y,

对于A,直线Z)2，a,DDiU/3,DD、uy,当/为直线。〃时，lu/3,luy,A错误；

对于B,4耳//2，当/为直线4用时，////，B错误；

对于C,ABua,当/为直线N8时，〃/乙C错误；

对于D,在正方体4GA中，直线/GM。*，,"□相交于点。，

它们与平面4BCD,平面4DA4，平面CDDG所成的角都相等，

而正方体过其中心的直线有且只有4条直线与该正方体各个面所成的角相等，

过空间给定点作直线平行于直线4G，4C/2,8Q之一，所得直线与与巴民7所成角相等，

因此直线/过空间某个定点，与生力,7成等角的直线/有且仅有4条，D正确.

故选：D

答案第2页，共15页

【分析】求得片到渐近线的距离为b,从而可求得sin/郎旦的值，再在△明与中利用正弦

定理求出忸8|,然后结合双曲线的定义和余弦定理求解即可.

b\bc\

【详解】由题意知，点真（-。,0）到渐近线y=的距离为d='

aVa-+b'C

所以sinNBFF2=-,cosNB4耳=-，

cc

因为tan/6=(>0,/月Bge(O,7t),所以/月8与q0,鼻，

所以sinZFtBF2=(cosNF",

25

2222

因为sinNF'BB+cosZFXBF2=1,所以—cosNF^BF?+cosZFrBF2=1,

125

得cos,则sinZFBF=—,

Z.FXBF2=—l2

I附

在片匕中，由正弦定理得二丁

smZFiBF2sin/BFE

2£_M26

即3一丁，得忸闾=

——5

13c

由双曲线的定义知|明|-|即1=2，

所以忸耳|=2a+忸用+,

在△A?笆中，由余弦定理得闺阊2=|毋;『+忸9J-2忸胤忸居|cos/4肛,

362262612

即4c2=u+-acix—uX，

513

整理得,2=生/,即25c2=61/,

25

答案第3页，共15页

V61

所以离心率为e

a5

【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质结

合正、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题.

8.C

【分析】由余弦函数的和、差角公式结合题目条件，可设/(x)=cos"，先求出。，再对选

项进行逐一验证即可得出答案.

【详解】由cos+P^=cosacos(3-sinasin[3,cos(«-/?)=cosacos]3+sinasin0

可得cos(a+〃)+cos(a-夕)=2cosacos0,可设/(x)=cosax

由〃1)=J,即cosa=《，则可取a=(,即/(x)=cos(gx]进行验证.

选项A：/(0)=1,故选项A不正确.

ZX2冗

选项B：由“x)=cos|jxj,则其最小正周期为三,故选项B不正确.

选项D：由于/(无)为周期函数，则在(0,+8)不可能为单调函数.故选项D不正确.

选项C：/(2x-l)=cos(gx_m，又/]J=cosO=l,故此时x为其一条对称轴.

此时选项C正确，

故选：C

9.BC

【分析】利用不等式的性质、指数函数的单调性以及二次函数进行计算求解.

【详解】对于A,(ac)2>(6c)2等价于62,2,当0=1,/,=一2时，显然不成立，故A错

误；

答案第4页，共15页

对于B,-：a>b>c,:.a-c>a-b,2024">2024"司，故B正确;

对于C,'：a>b>c,3a>2a>2b,2a>2b,2"+3a>2"+26,故C正确；

对于D,-：a+b=2,<2>0,a>b,所以6=2-a,

所以/+/=〃+(2一=202-4a+4=2(a-i『+2,

所以当。=1时，/+〃的最小值为2,此时。=6=1,显然不满足，故D错误.

故选：BC.

10.AD

【分析】利用复数代数形式计算判断A；举例说明判断B；利用复数乘方运算求出复数z,

再利用复数相等求出6判断C；求出轨迹方程判断D.

r_L十、门.nn.rIZ|2加？+〃2Vm_]\一

ALn

【详解】对于A,设Z=冽+〃1,加,〃ER,贝-=------=------1-------=m—m=z,A

zm+m(m+m)(m-m)

正确；

对于B,当z=2时，|21=2,B错误；

对于C,(l+i)10=(2i)5=32i,贝”a+bi=32i,而a,beR,因此6=32,C错误；

对于D,^,z=x+yi,x,y&V.,由z+彳=1,得x=[,因此z在复平面内对应的点的轨迹为

2

一条直线，D正确.

故选：AD

11.AC

【分析】利用一羽一>分别换曲线方程中的阳〉判断A；探讨曲线在第一象限所围部分面积判

断B；利用圆的性质求出两段圆弧上各取一点的两点间距离最大值判断C；判断直线

y=kx-3^,(2<左<巳9与曲线的位置判断D.

【详解】对于A,在曲线C：202+/)=向|+|川+1中，-尤，一夕分别换龙/方程不变，

因此曲线C关于原点对称，A正确；

2

对于B,当时，l{x+y^=x+y+\,即(x-与表示以点为

44844

圆心，叵为半径的圆在第一象限的圆弧，

4

圆弧端点41,0),5(0,1)，|/为=拒，c°sNON8=/?=Z>"=cos四，则

|。国|近26

答案第5页，共15页

71

0<AO.AB<-,

2兀12兀557i

NAO]B=TI-2Z.OAB>――,扇形力QB的面积Si>—x-z~x---，

X323o24AOB

在曲线。的方程中，用-X换X或者用7换y方程都不变，则曲线C关于X对称，也关于y轴

对称，

所以曲线C所围成图形的面积为5>4,平>S?ir>?Sir,B错误；

6o

对于C,由选项B知，曲线C在第二象限、在第三象限、在第四象限内的部分

分别是以点。2（-1！），。3（-！，-9），。4（1-3为圆心，半径为巫的圆弧，圆心角都等于

4444444

NAO]B,

由图知，两个点分别在两段圆弧上时，两点间的距离才可能最大，由圆的性质知，

当两个点在相邻两个象限的圆弧上时，两点间距离最大值等于|QQI+2x芈=匕普，

当两个点在相对两个象限的圆弧上时，两点间距离最大值等于I0031+2」乎=也;而，

而且上巫>H叵，所以曲线。上任意两点同距离的最大值为匹也，。正确；

222

对于D,直线y=9：3交V轴于点（0,-：3），交汇轴于点（一39,0）都在曲线。在第四象限的

132218

圆弧下方，

91339

14

点。信,一）到直线9x-13”史=0的距离/_匕+万一7_>圆,

442衣+13「丽丁

93

于是直线y=■曲线C无公共点，且在曲线C的下方，

当。2<左<9[时，直线y=区-;3在曲线C的下方，与曲线C无公共点，D错误.

【点睛】结论点睛：曲线C的方程为尸（x,y）=0,（1）如果尸（-x,y）=0,则曲线C关于〉

轴对称；（2）如果尸（％-历=0,则曲线。关于x轴对称；（3）如果尸（f,-y）=0,则曲线C

关于原点对称.

答案第6页，共15页

71

12.

6

【分析】利用正弦定理边化角，利用给定等式，结合同角公式求出C0S3,进而求出角C.

【详解】在V/5C中，由正弦定理及b=2c,得sinB=2sinC,而cosB+2sinC=1,

则cosB+sin5=1,两边平方得cos?B+sin2i?+2sin5cosB=1,

于是2sin5cos5=0,而0<5<兀，贝！JsinB〉0,于是cos5=0,sinC=—,

2

TT

而c<6,根据大边对大角，c不可能是钝角，所以c=：.

6

故答案为：5

6

13.65

【分析】利用组合计数问题，结合排除法列式计算即得.

【详解】从8名同学中任选4名，有C；种方法，其中全是女生的选法有C：种，

所以不同的选派方案共有C”C：=70-5=65（种）.

故答案为：65

14.8加!

【分析】取《4，。，的中点E,尸连接5E,斯*C,证明平面BMC,从而得出“在

正方体内运动所形成的图形为四边形8MC内，得出答案；作出截面椭圆，过截面椭圆的中

心作与圆锥底面平行的截面，由圆中的相交弦定理结合正弦定理可得出离心率.

【详解】取《4，的中点瓦厂，连接BE,EF,FC,则E尸//48且所=4B,

则点M在正方体内运动所形成的图形为四边形BMC,

又在正方体中3C，平面CD2G，且CFu平面CDQG，则8CLCF,

所以四边形BEFC为矩形.

又ACDF必DD、N,则ZDCF=NDQN

又NC£W+NDQN=90P,所以ZDCF+NCDN=9QP,即CF_LON,

由上可知BC_L平面CDQG,且DVu平面CD，G，则3C_LDN,

由CFcBC=8,且CFu平面BMC,BCu平面BMC,所以DV工平面AEFC.

当点”在正方体内运动所形成的图形为四边形2跖C时，BMu平面8MC,所以满足

BM1DN,

答案第7页，共15页

此时，CF=m+2?=2退，面积为2百X4=8A/?.

由上可知ZFCD为平面BEFC与底面ABCD所成角.

2

则CO=4,FD=2,贝IJC/=2布，故sinN尸。=法,

设截面椭圆的中心为Q,长轴为"1=2a,短轴为忆匕=26,

过椭圆的短轴飞作与圆锥的底面平行的截面分别交母线阳，阳।于G1,Gz两点.

设该截面与圆锥的轴所成角为尸，则尸=90。-/尸CD,则cos£=f，

设圆锥的母线于圆锥的轴所成角为。，贝hana=1.cosc=35,

25

由相交弦定理可得：〃=Q/xQ匕=qG|XQG?,

在△〃℃2中,AOxHfi2=a+0,/O[G2Hl=9(T-a,

斫以=OG=asin(a+〃)

,即。怎=

“sin(90。一a)sin(a+/?)cosacosa

在△"QG]中，/OiHGi=0—a/OSH=9b+a,

即D0】H-。£—aQsin(p-a)

,即。£二

“sin(90°+a)sin(夕—a)cosacosa

设椭圆的离心率为e,贝!|e?=1-《=1一°。乎G?=1_sm(…),sin(二一a)

aacosa

cos2B

cos2a

故答案为：8^/5;~.

答案第8页，共15页

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是证明。平面BEFC,从而得出“在正方体内运

动所形成的图形为四边形8EFC内；以及在圆锥的截面椭圆中过截面椭圆的中心作与圆锥底

面平行的截面，从而结合圆的相交弦定理得到62=。/'。匕=。。e。。2,由正弦定理得出

asm(a+Z?)as\n(B-a\口.,口1一、一

002=——―。6］二——上一从而得出禺心率.

cosacosa

15.⑴x+y-l=O或2%-3>+3=0；

(2)x=0或)=1或kx+1.

【分析】(1)设出直线/的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即得.

(2)按直线/的斜率不存在、为0,存在且不为0分别求解即可.

【详解】(1)依题意，直线/的斜率存在且不为0,设其方程为歹二6+1,/区,%),夙工2，%)，

左

由I年y=…kx+1消巧得入c一.+（2I）x+l=0,w0

A二（2左一4）2—4左2=16—16左＞0

4-2k

解得0W左＜1,%+%2=,2，

k

4一2左2

由45中点的横坐标为3,得三警=6,解得左=一1或左=§,

9

所以直线/的方程为＞=—x+l或歹=§x+l,即x+y—l=o或2%—3歹+3=0.

(2)当直线/的斜率不存在或为0时，直线/与曲线石有唯一公共点，此时直线/的方程为

%=0或>=1；

当直线/的斜率存在且不为0时，设直线/的方程为〉=履+1,

由(1)知，A=16—16左=0,解得左=1,直线/的方程为>=%+1,

所以直线/的方程为x=0或歹=1或》=九+1.

答案第9页，共15页

y/

K_____________.

K

16.（1）5

（2）证明见解析；!

【分析】（1）先求出一次取出红球的概率，设顾客3次取球取得红球的次数为随机变量为X,

可得其服从二项分布，再设3次取球后累计分数为随机变量丫，得出其与x的关系，从而

得出答案.

（2）①由々=：匕7+；勺+1可证明；②由①中的结论先求出匕=，有，然后得出耳，由题意

求出苗即可.

41

【详解】（1）记事件A：“一次取出红铲，则小户

设顾客3次取球取得红球的次数为随机变量为x,3次取球后累计分数为随机变量y.

贝|y=X_（3_X）+5=2X+2,

则丫~«3,£|,故£（X）=g,

3

所以E（y）=E（2X+2）=2><2+2=5；

（2）①由题意当时，匕即

所以｛£｝是等差数列；

②由题意勺=0,由上可知：pm、=……=4-<=耳，

所以£

又由题意里=1，所以

由先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，即心=5<=\x5=；,

答案第10页，共15页

所以先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，顾客获得一等奖的概率g.

17.（1）1:

（2）七面体，理由见解析.

【分析】（1）把正四面体尸-N8C放入正方体中，利用余弦定理计算即得.

（2）利用余弦定理求出二面角N-PC-B及二面角尺-2M-7的余弦值，借助余弦值的关

系确定共面即可推理得解.

【详解】（1）将正四面体尸-/BC放入正方体中，。为正方体的中心，如图，设正方体棱长

为a,

则O/=OB==,在△048中，由余弦定理得:

2

04?+0B?1

cosZA0B-

20A0B3"

所以直线0/与直线05所成角的余弦值为:

（2）新多面体为七面体.

设四面体尸-和正八面体的棱长为1,

在正四面体尸-4BC中，取PC中点为E,连接AE,BE,

在正△4PC中，AE1PC,同理BE_LPC,则N/EB为二面角2-PC-8的平面角,

答案第11页，共15页

AE=BE在A/EB中,由余弦定理得:

2

生+净』

…nAE2+BE2-AB21

cosZAEB=---------------

2AE-BE一"?

22

在四棱锥M-QRST中，取。河中点尸，连接RF,TF,在正中，RFVQM,同理

TFLQM,

即/心7即为二面角R-QM-7的平面角，而RF=TF=回,RT=g,

2

3+3_

RF+TFJRF4+42_1

在△麻7中，由余弦定理得：cosNRFT=

2RF-TFc6G一3'

z----------

22

于是二面角4-尸C-8与二面角及--7互补，同理得二面角M-QR-N的余弦值为-1

以平面尸8c与平面火完全对应重合为例，则A,Q,M,7四点共面,

同理A,Q,R,N四点共面，A,R,S,/四点共面,

所以将两几何体拼接起来，使它们一个表面完全重合，得到一个七面体.

18.(1)(0,—)；

e

(2)&=e2-2e.

【分析】(1)求出函数/(x)的导数，利用导数结合零点存在性定理求解即得.

(2)利用零点的意义建立方程a=fjn无।n-Xzlnx2,并令/=%，用，表示尸(0),再利用

最小值建立不等式，并等价转化建立函数，利用导数探讨最大值即可得解.

【详解】(1)函数〃x)=@+lnx定义域为(0,包)，求导得/，(》)=J+1=

XXXX

当时，/'(刈>0,〃；0在(0,包)上单调递增，此时至多一个零点，不合题意；

当0>0时，由/'(x)<0,得0<x<a；由/'(x)>0,得无>。，

答案第12页，共15页

则函数/(X)在(0,。)上单调递减，在(。,+划上单调递增，“X)1nhi=/(a)=l+lna,

当x趋近于0时，“X)趋近于正无穷大，当无趋近于正无穷大时，“X)趋近于正无穷大，

则只需l+lna<0,即0<a<L此时/(x)在(0,a)上有唯一零点々，在(%+8)上有唯一零点

e

%,符合题意，

所以“的取值范围是(0」).

(2)由(1)知巴+ln%=0,幺+ln%2=。，得。=一再In^=一吃山々，令/二1，则”1，

Inx2=In(及J=InZ+ln'i，—玉In%=-x2Inx2,Inx,=/Inx2=(ln，+lnxj,

"1),

F{a)>eo/>>——―~t,iHg(^)=―—->1,

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eln，d---eeh】公厂e—L,令加⑺=eln，+Je-ln",则

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=-(e----2InZ),

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4«(0=e---21nZ,求导得"(7)=,一2=^