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信息工程大学算法设计与分析动态规划—引例—兔子繁殖国家级实验教学示范中心计算机学科组规划教材算法设计与分析Python案例详解微课视频版兔子繁殖问题：

一对兔子从出生后第三个月开始，每月会生一对小兔子。如果兔子只生不死，一月份抱来一对刚出生的小兔子，问一年中每个月各有多少对兔子。F(n)表示第n个月的兔子对数，F(n)=上个月的兔子+本月新出生的兔子F(n-1)F(n-2)斐波纳契数列（FibonacciSequence）F(n)=

1 ifn=0or1F(n-1)+F(n-2) ifn>11，1，2，3，5，8，11，19，30，49，……方法一：递归实现基于分治的递归实现：intF(intn){ if（n==0||n==1）return1; returnF(n-1)+F(n-2);}F(n)=F(n-1)+F(n-2)问题：该方法求解第n项的时间复杂度是多少？单选题。递归求解Fibonacci数列第n项的时间复杂度是多少？A.O(n)B.O(n2)C.O(2n)D.O(1)方法一：递归实现F(n)F(n-1)F(n-2)F(n-2)F(n-3)F(n-3)F(n-4)F(n-3)F(n-4)F(n-4)F(n-5)F(n-4)F(n-5)F(n-5)F(n-6)F(n)F(n-1)F(n-2)F(n-2)F(n-3)F(n-3)F(n-4)F(n-3)F(n-4)F(n-4)F(n-5)F(n-4)F(n-5)F(n-5)F(n-6)T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1=O(2n)F(n)=F(n-1)+F(n-2)思考：时间复杂度高的原因是什么？原因：存在大量的重复计算。方法二：带记忆的递归实现（备忘录）去除重复计算的方法：保存计算结果/*A[i]表示第i个月的兔子对数，初始化为0*/intA[MAXSIZE]={0};intF(intn){

if(n==0||n==1)A[n]=1;elseif(A[n]==0)A[n]=F(n-1)+F(n-2);returnA[n];}T(n)=O(n)方法三：递推实现intF(intn){

A[0]=A[1]=1;for(inti=2;i<=n;i++)A[i]=A[i-1]+A[i-2];returnA[n];}月份12345678兔子数1123581321A[8]A[6]A[7]+依然在内存T(n)=O(n)方法四：递推实现（消除数组）intF(intn){a=1,b=1,c=0；for(inti=3;i<=n;i++){c=a+b;a=b;b=c;}returnc;}第i次计算abc第i+1次计算abc斐波那契数列的时空复杂度分析实现：方法一

方法二方法三

方法四

时间复杂度：O(2n)O(n)O(n)空间复杂度：O(1)O(n)O(1)O(n)O(n)

（递归）

（备忘录）

（递推）

（空间优化的递推）从兔子繁殖问题引出斐波那契数列，并就该问题讨论多种求

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