专题30圆锥曲线中的存在性问题

30圆锥曲线中的存在性问题【2022届新高考一模试题分类汇编】一、解答题1．（2022·安徽六安·一模（理））已知椭圆的左右焦点分别是，，右顶点和上顶点分别为，，的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意得

①

因为

，所以②

由①②得③，由②③得，所以椭圆方程为；(2)假设能构成等腰直角，其中B(0，1)，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设边所在直线的方程为(不妨设)联立直线方程和椭圆方程得：，得，用代替上式中的，得，由得，即，，故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.2．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足．(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点且斜率不为零的直线交椭圆于不同的两点、，则在轴上是否存在定点，使得平分？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)（1）因为，所以，，即，所以，又点在椭圆上，、，且由椭圆定义得，则，，则椭圆的标准方程为.(2)假设存在定点满足要求，因为直线斜率不为零，所以设直线，设点、、，联立可得，则，由韦达定理可得，，因为直线平分，则，即，，整理得，，由于，，所以存在满足要求．3．（2022·山西晋中·二模（理））已知：的离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且，是否存在定圆E，使得直线与圆E相切？若不存在，说明理由，若存在，求出圆E的方程.【解析】(1)∵点在椭圆上，∴，∵椭圆的离心率，∴，即，代入，得到，，∴椭圆的方程为.(2)假设存在.∵，∴得到，①当直线的斜率不存在时，设：，代入椭圆方程得，不妨令，，由，得，解得，此时，与圆相切.②当直线的斜率存在时，设：，，，联立得，则，由根与系数的关系得，，则，由，即可得，整理得，满足，∴，即原点到直线的距离为，∴直线与圆相切.综上所述，存在定圆，使得直线与圆E相切，这时定圆的方程为.4．（2022·全国·模拟预测）已知在平面直角坐标系：中，动圆P与圆内切，与圆外切，记动圆圆心P的轨迹为曲线E.(1)求E的标准方程.(2)若直线与E交于A，B两点，直线与E交于另一个点M，连接AM交x轴于点N，试问是否存在t，使得的面积等于？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意知，圆，圆心，半径为3，圆，圆心，半径为1.设动圆P的半径为R，则，，所以，由椭圆的定义可知，曲线E是以，为左、右焦点的椭圆（不包含右顶点），设曲线E的方程为，则，，得，，又，故，所以E的标准方程为.(2)由题易知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，代入得，，易知，设，，则，，易知，，由椭圆的对称性知，则，所以直线AM的方程为，令，得，所以，要使的面积等于，则，代入，得，由题知，（舍）所以，不妨设，则直线AM的方程为，代入，得，因为，所以，所以存在，使得的面积等于.5．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点F到C的渐近线的距离为1.(1)求C的方程.(2)若直线与C的右支相切，切点为P，与直线交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意，双曲线的渐近线方程为，又由双曲线的右焦点为，可得，所以到渐近线的距离，所以，所以C的方程为.(2)由题意易知直线的斜率存在，设其方程为，联立与C的方程，消去y，得，因为直线与C的右支相切，所以，（双曲线右支上的点需满足的条件），得，则，设切点，则，，设，因为Q是直线与直线的交点，所以，，假设x轴上存在定点，使得，则，故存在，使得，即，所以x轴上存在定点，使得.6．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【解析】(1)由椭圆的定义可知△，的周长为，即，∵，∴，又∵，∴，故椭圆C的方程为：，(2)将联立，消元可得，∵动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P，∴，∴，此时，，∴由得，假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M，设，则，，，整理得，对任意实数m，k恒成立，则，故在x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.7．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））圆的离心率为，且过点，点分别为椭圆的左顶点和右顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在定点，对任意过点的直线（在椭圆上且异于两点），都有.若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意得：，解得：，椭圆的标准方程为；(2)由（1）知：，；①当直线斜率不存在时，由得：或，若，，则，，，解得：；若，，同理可求得：；②当直线斜率存在时，设，，则；设直线，由得：，，解得：，，又，同理可得：，，，整理可得：，当时，恒成立；综上所述：存在满足题意的点，使得恒成立，此时.8．（2022·湖南永州·二模）设双曲线，点，为双曲线的左､右顶点，点为双曲线上异于顶点的一点，设直线，的斜率分别为，.(1)证明：；(2)若过点作不与轴重合的直线与双曲线交于不同两点，，设直线，的斜率分别为，.是否存在常数使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明：由双曲线，点A，为双曲线的左､右顶点，可知：,设，则，所以；(2)假设存在常数使，由题意设直线l的方程为，联立，整理得：，设，则，所以，则，故，而，所以===，令，解得，故存在常数，使.9．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，圆与轴相切，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，是否存在直线使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为圆与轴相切，所以所以，又，所以，所以椭圆；(2)由（1）可知椭圆的右焦点为，①当直线的斜率为时，显然不适合题意；②当直线的斜率不为时，设直线，联立，恒成立，所以，则所以令，解得或，即得或所以符合条件的直线方程分别为或或或.10．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的准线为，直线交于，两点，过点，分别作上的垂线，垂足分别为，.(1)若梯形的面积为，求实数的值；(2)是否存在常数，使得成立?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由?【解析】(1)由题得准线，直线过焦点.设，，则，，联立得，所以，，所以，，.而梯形的面积解得或.(2)，又，所以为常数.11．（2022·全国·模拟预测）有一种画椭圆的工具如图1所示，定点O是滑槽AB的中点，短杆OP绕O转动，长杆PQ通过P处铰链与OP连接，PQ上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动P绕O转动一周（D不动时，P也不动），Q处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，过点的动直线l与曲线C交于E、F两点，是否存在异于点M的定点N，使得MN平分？若存在，求点N坐标；若不存在，说明理由．【解析】(1)由题意可知：曲线是中心在坐标原点，焦点在轴的椭圆，设：，则，所以曲线C的方程为；(2)假设存在异于点的定点N，使得MN平分；当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点为，由对称性知：若定点N存在，则点N一定在轴上，设，当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点为，MN平分也成立；当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为：，，联立，得，，，所以，又，又，所以，因为不恒为0，所以，即，，综上可知：存在，使得MN平分12．（2022·四川·成都七中二模（理））在中，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足，且．（1）求的顶点的轨迹的方程；（2）直线与轨迹相交于两点，若在