平面向量的数量积常考题型归类（考题猜想10题型）

专题03平面向量的数量积

型大裳合

___________

八、数量积与向量垂直关系~~、

三、基底法求向量的数量积平面向量的数量积

四、向量的投影求解九、向量数量积的最值与范围

五、利用数量积求向量夹角十、向量的新定义问题

驳型大通关

・

向量数量积的运算律

1.（2324高一下•河南周口・月考）设向量£,石的夹角的余弦值为一，同=2,恸=3,则（2办3到0=

()

A.23B.23C.27D.27

【答案】B

【解析】设2与B的夹角为。，则cos”-5

又问=2,忖=3,所以a.B=k「Wcosd=2x3x

所以(2Z+3万)％=223+3/=-4+27=23.故选：B.

2.（2324高一下•广东东莞•月考）对任意向量方石忑，下列向量运算一定成立的是（）

A.若声=庐，贝B.（a-b\c=a-（b-c]

C.若无B=则D.（a+b^a-b）=a2-b2

【答案】D

【解析】例如且=（1,0）/=（一1,。）忑=（0,1）,可知42=斤=1,但口力方，故A错误;

可知（西/"=3=（0,—1）,无（5句=0汗=。，即伍旬10如（53,故B错误；

例如商=（l,O）,B=（O,l）,1=（一1,0）,可知无B=B.^=O，但Mwl,故C错误；

对于选项D：由数量积的运算律可得,+可・（日-q=/-52,故D正确；故选：D.

3.（2324高一下.四川成者小期中）以下等式错误的是（）

A.（m+H）•（m—n^=fn2—n2B.（m+n）2=m2+2m-n+fi2

C.|m+n||m-n|=|m2—n21D.（m-n）2=m2-2m-n+n2

【答案】C

【解析】对于A,（羽+力）•（比一为）=庆？一庆•万+庆•万一万2=庆2一万2正确；

对于B,（m+n）2=（m+H）-（m+n）=m2+m-n+n-m+n2=rn2+2m-n+n2,正确；

对于C,设庆=（1,1）,万=（-1）,则访+为=（2,0）,玩—方=（O,—2）,

所以惘+司=2,|成一臼=2,贝（J忸+为帧_司=4,而行2=12+12=2,而之=仔+（一炉=2,

所以怔—砌=。，贝”庆+司同一同w同一同，错误；

对于D,（初一讯）2=（玩一为）.（玩一而）=病一玩力一亢玩+五2=玩2-2玩•为+为2,正确.故选：C

4.（2324高一下.安徽・月考）（多选）下列关于平面向量的运算中，错误的是（）

A.伍+5）+卜+1）=（万+3+（5+3）

B.（五-B）•*=b-（a-c）

C.（文•B）•^=5•（H）

D.若,则B=

【答案】BCD

【解析】因为（五+5）+1+，）=（万+不）+（5+1）,故A正确；

因为,一可e二历^一5忑，b{a-c）=a-b-bc,a-c-b-ca-b-b-c故B错误；

因为仅石卜表示与^共线的向量，瓦他⑹表示与B共线的向量，

而］与B不一定共线，且倒归”与石伍⑹不一定相等，故C错误；

若@=0,且商1=则5与才是任意向量，故D错误.故选：BCD.

5.（2324高一下•江西・月考）（多选）已知乙石忑是三个非零向量，则下列说法正确的是（）

A.若=B贝！J4=B

B.若卜+可=卜一可，则商工B

C.若K一同=同+呵,则C〃石

D.若G//E,则（万方六二®•，日

【答案】BCD

【解析】A：由必［=兀3,所以同cos伍4='|cos（瓦©,不一定有a=5,故A错误；

B：因为卜+0=,一W，所以卜+B『=忖一5『，gpar+la-b+b2=az-2a-b+b2.

得d.5=。,所以五工B，故B正确；

C：因为K_同=同+忖，所以，_q=（|^|+|/?|）2,即。2—2。Z+万2=左2+2同W+7,

得cos„=T,故一与方反向,所以商〃5,故C正确：

D：因为方〃人所以存在实数X,使得江=斯，

此时,加卜=（2。5,=彳卜,方）己（5］"=（方］）衣=彳（济5斤，

即（洒5卜=（5下”，故D正确.故选：BCD.

坐标法求向量的数量积

1.(1213高一上•黑龙江牡丹江•期末)已知Z=(1,1),3=(2,5),工=(3,x),若(8£-3>"=30,贝口=()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】因为Z=(l,l)石=(2,5),"=(3,幻,所以“―1=(8,8)—(2,5)=(6,3),

又(8〃-B)•c=30,c=(3,x),所以18+3x=30,解得x=4.故选：C.

2.(2324高一下•重庆・期中)已知向量4=(2,〃)，5=(—1,2),5=(n,n),若口〃石，则无(2方+h=()

A.-12B.24C.-24D.12

【答案】A

【解析】因为4〃B，故2X2-(T)X”=0,故〃=—4,故Z=(2,T),"=(T,-4),

5.(25+5)=(2,-4).(2x(-1,2)+(-4,-4))=(2,-4)-(-6,0)=-12A

3.（2324高一下.江苏•月考）在AABC中，满足A5=3,BC=4,AC=5,则恁.而=.

【答案】16

【解析】在AABC中，由AB=3,BC=4,AC=5,AB1+BC2=AC2,所以44BC为直角三角形,

以B为原点，以所在的直线分别为羽y轴，建立平面直角坐标系，

如图所示，则B(0,0),C(4,0),A(0,3),可得尼=(4,一3),南=(4,0),

所以前•居=4x4+(-3)x0=16.

4.（2324高一下•江苏南通・期中）在矩形ABCQ中，已知AB=4,4）=2,点尸在C。边上，满足

UUU1UUU___________

AP-AB=6，则福•丽=（）

【答案】C

【解析】如图建立平面直角坐标系，A（0,0）,B（4,0）,C（4,2）,D（0,2）,

设尸（x,2）,（04x44）,则Q=（x,2）,通=（4,0）,

ULU1UUU13

所以APAB=4x=6，得x=m，

所以Q=g,2）,而［-

—.—151

所以”加=-二+4=:.故选：C.

44

5.（2324高一下・甘肃天水・期中）如图，在边长为4的正方形ABC。中，M,N分别为线段8C,OC上的

7T

点，且MN=2,ZCNM=-,则赤.而的值为.

【答案】32-8A/2

【解析】建立如图所示的直角坐标系，

TT

由于MV=2,ZCNM=-,

4

所以MN=y/2NC=y[2MC,MC=NC=&,

故M,,4_夜),N(4-&,4),W=(4,4-A/2),M=(4-V2,4),

三.基底法求向量的数量积

1.（2324高一下•天津・月考）在平行四边形A3CD中，AB=2,AD=\,/」RW=60。，点E在CD上，满

足配=3麻，^\AC-BE=.

、41

【答案】一丁―J

【解析】因为平行四边形ABC。中，AB=2,AD=1,NS4D=60。，点E在。。上，满足诙=3诙，

所以荏.而=|丽,而卜os60°=2xlxg=l,AC=AB+AD，

__,__.__2__.__.9__»

BE=BC-^-CEk=ADk+-CD=AD——AB,

33

所以就领=（市+莅）•（而函=ABAD-^AB2+AD-^ABAb

224

=1——x4+l——xl=——，

333

DEC

2.（2324高一下•江苏南京•期中）在平行四边形ABC。中，AB=3,AD=4,ABAD=6,DC=3DM,则

MAMB=()

A.12B.16C.14D.10

【答案】A

i____.__.2_______.__.

【解析】MA=DA-DM=-AD--AB,MB=MC+CB=-AB-Al5,

33

—►—►(—►1—A(2—►—2—►—►—a2—d1—►—►

所以+4£)-14叶］§48-40)=-§40.42+40--AB+-ADAB

=--AD-AB+AZ)2--AB2=--x6+16--x9=-2+16-2=12,^^：A,

3939

3.（2324搞一下•四川南充・月考）如图，在边长为3的正三角形ABC中，而=2觉，丽=4砺，则

AEAC^（）

A

【答案】C

­.1-.—»9―►

【解析】由题意知3石=工3。，AD=-AC,

-|1o1Q1

则衣=通+丽=南+］丽=通+彳网+画=1荏+］莅=1通+不正，

―.―.(3—►1—A—.3—►—►1->231c39

所以AE-AC=一A3+—AC-AC=—AB-AC+—AC=-x3x3xcos600+-x32=—.^：C.

［46)46468

TT

4.（2324高一下.江西景德镇.期中）如图，在平面四边形A3CQ中,ABJ.BC,AD±CD,NBCD=—

3

CB=CD=273.若点"为边BC上的中点，则苏.丽的值为（)

B.6C.8D.12

4

【答案】B

【解析】由ADLCD,得羽灰=0,正钻=0,

由CB=CD=2^»得瓦-6=|丽||丽kosg=2若x2-xg=6,

BAW=^-CB+CD+yCD=-CBO5+CD2+CI>DA=~6+n=6,

MA=MB+BA=-CB+BA,MD=MC+CD=--CB+CD,

22

|CB+BA^-1CB+

所以耐•汨二=--CB+-CB-a)--CBBA+BA-CD

422

」xl2+4x6+6=6故选：B

42

L-»1—.

5.(2324高一下•安徽・月考)如图所示，中，AB=AC=16,BC=16y/3,BD=-BC,

DE=^DA,则砺•酝=（）

A.-161B.-232C.-291D.-300

【答案】A

【解析】由题意，BE=BA+AE=BA+|AD=BA+|(BD-BA)=BA+|QBC-BA^=-^-AB+^BC

^AAB+L(AC-AB\=--AB+-AC,

416、)1616

CE=AE-AC=-A5-AC=-(B5-BA)-AC=-|-BC-BA|-AC=—BC--BA-AC

44、)4(4)164

-AB-AC=-AB--AC.

1616

在AABC中,由余弦定理得©osABAC=©+16=(16⑹1

2x16x162

913239--2

所以赤•屈二-工费+2正.2起上63.AB+111AB.AC-——AC

16161616256256256

空139

-Wx*xl6xl6xxl62=-161.故选：A.

2562562256

四.向量的投影求解

1.（2324高一下•吉林长春•期中）已知向量日与石的夹角为同=4,则不在方上的投影向量的模

为;

【答案】2

【解析】@在B上的投影向量的模为为同卜os（叫=4xcos1=2.

2.（2324高一下.云南・月考）已知向量2=（2,2）,a-b=4,则向量方在行方向上的投影向量的坐标

为.

【答案】（U）

【解析】依题意，而|=在万=2夜,

。-►―►1―►

所以向量3在Z方向上的投影向量为亚=

3.(2324高一下.河北邢台・期中)已知平面向量％=(1,0),B=(2,行)，则向量Z+分在B方向上的投影向量

为()

2_5_7f

A.bB.—bC.—bD.—b

333

【答案】C

【解析】平面向量Z=(1,0),B=(2,0),

Q+历1=(3,2扬<2,应)=3x2+20x忘=10,|年厅7说7="，

所以向量Z+B在B上的投影向量为丝土处*・±=：九故选：c.

\b\\b\3

4.(2324高一下.江苏连云港•期中)已知向量Z=(-2,2g)出=(1,6),贝州在£方向上的填影回量为()

1一1f一一

A.—ciB.—aC.—bD.b

44

【答案】A

【解析】由Q=(―2,2b=(1,,得|a|二J(-2)2+(2A/§)2=b=—2x1+2\/3xy/3=4>

所以石在Z方向上的投影向量为警Z区故选：A

|a|24-4

5.(2324高一下•山东淄博•期中)已知。是AABC的外心，AB+AC=2AO,|OA|-|AB|,则向量方在向

量而上的投影向量为()

QUUU/?1B

A.-BCB.^-BCC.--BCD.上配

4444

【答案】C

【解析】由而+恁=2而，可知点。在8C的中点，且。是AABC的外心，

所以AB1AC,又因为|方|=|而则ZB=60。，则COS(丽网=120。，

所以向量存在向量阮上的投影向量为网xcosl2(Tx赢=；｛-£|而=一;而故选：c

五.利用数量积求向量夹角

1.（2324高一下.天津・月考）已知2=（2,-1）与石=。,-3）,它们的夹角为（）

A.90°B.45°或135°C.135°D.45°

【答案】D

八a-b2xl+(-l)x(-3)V2

【解析】设£与石的夹角为则cos"丽

722+(-1)^^12+(-3)2

因为0。<。4180。，所以8=45。，故选：D

2.(2324高一下.河南•期中)在四边形ABCD中，AD+2AB=AC,S.AB=1,AD=2,AC=2盘,则

cos/CBD=（）

A.垣B,-C.好D.-

5555

【答案】B

【解析】•••汨+2丽=/，.•.加=2顺，则。C//AB且DC=2AB=2,

又AD=2,AC=25/2,所以AC?=4£>2+£^2,则AD_LDC,

所以四边形A5CD为直角梯形，

如图，以点。为坐标原点，DC,ZM分别为轴建立平面直角坐标系,

则8（1,2）,C（2,0）,0（0,0）,所以丽=（一1,一2）,BC=（1,-2）,

BDBC—1+43

所以cos/C&)==不故选:

^5x^5B.

3.（2324高一下•辽宁・期中）已知向量Z,b,c，满足同:帏同=3:胱6（左eN*）,且12石=2色-"）,

若6为"的夹角，则cos©的值是（）

A,--B.立C.如D.--

8536

【答案】A

【解析】因为。-=2（石—c）,可得Z+2工=4万，

所以/+47+4初=16片，可得疝"=16片-二――

所以4间同8S6=同51一同2-4|c|2,可得cos。」6）4|[[4同，

不妨令同,W，同分别为3,太6且壮N*,

16汰2-9-4x3616左2一15372cos6>+153

所以cos6=,即42=

4x3x67216

因为cos6e[-l,l]且keN*,经检验可得左=3,此时cosO=-已故选：A.

8

4.（2324高一下•安徽安庆・月考）已知平面内非零向量d在向量石上的投影向量为-;且同=3问，则

西与方夹角的余弦值为

【答案】

0

【解析】设H与石的夹角为。,

|^|-|5|cos0

a-bba-b一同cos6i_同cosei..

因为寸・口=/力r=,6=-/即^p=_］，又同=3忖,

网网出||5|2

则3cos6=——,即cos。=

26

5.（2324高一下•湖北・月考）已知向量，石忑满足|=|B|=2,修|=2®,且M+B+乙=0，则

cos（a-c,b-c）=（）

433

A.——B.——C.-

544

【答案】D

【解析】因为商+B+稣6,所以上力=」，所以,+方『=（-靖,

即同2+忖+2。石=同2,所以4+4+27B=8，即7B=0，

a+c=-b^(4+32H-5),|a|2+|c|2+2^-c=|fe|,即H=—4；

b+c=—a(5+E)=(—万)，M+同+2b-c=\a\,B|J-c=-4;

(«—c)-^—cj=d'b-a-c—b-C+|C|2=0+4+4+8=16,

_{a-c)\b-c\

164

所以cos〈M-c,b-c)=------p~~I2.故选：D

口一1b-c\2^X2A/5

六.根据向量夹角求参数

1.（2324高一下•上海.月考）已知商=（1』）石=（2,加）,若日与B夹角为锐角，则实数，〃的取值范围

为.

【答案】(—2,2)U(2,M)

【解析】已知4=(1,1)石=(2,⑼，

当日〃3时，有〃？=2,此时商与B方向相同，

若少与B夹角为锐角，则小B>o且汗与石不同向,

f2+m>0,

即《，解得机>-2且机w2,

[m^2

所以实数机的取值范围为(-2,2)"2,y).

2.(2324高一下•江苏盐城•期中)设Z=(x,3),5=(2,-1)且a,B的夹角为钝角，实数尤的取值范围

是.

【答案】(-S,-6)U(-6,||

【解析】因为商方的夹角为钝角，则无5<0且为方不共线,

j2x-3<03

可得[-%-6w0解得且xw-6,

所以实数X的取值范围是(-s,-6)U、6,1

3.(2324高一下•江苏南京・月考)已知向量M=(-L-2),b=(1,X),若花，石的夹角为钝角，则几的取值范

围是()

A.1一双-JB.1一;,2卜(2,+8)

C.D.(2,+8)

【答案】B

【解析】因为4=(-1,-2),^=(1,2),a,方的夹角为钝角，

-1-22<0

所以“1A,解得几>一：，且彳关2,

——w—2

1-1-2

即彳的取值范围是1;，2]“2,+s),故选：B

4.(2324高一下•浙江•期中)已知向量2=(-1,6),B=(私6),且Z与石的夹角为三.

(1)求加和忖一2q；

⑵若向量2+4与Z+2B所成的角是锐角，求实数几的取值范围.

【答案】（1）租=1,0一2'=2g；（2）|^-1,2jU（2,+oo）.

【解析】（1）向量Z=（T,右），方=（私出），且日与石的夹角为三.

则）/=一加+3，同=2,忖=+3,

由万石=|aWcos；,有-加+3=J1+3,解得〃］=1,

所以苕-2石=卜3,-@,得卜-2M=2丘

（2）（2+几5>（1+25）=万2+（2+彳）万.5+2XF2=4+2（2+彳）+8彳=102+8,

4

由题意，10A+8>0A>——,

又乙+4〃=（―l++,a+2b=^1,3A/3j,

若Z+彳万与Z+2］共线，贝！J有34（-1+彳）=有+融，解得2=2,

此时Z+4与Z+2B同向平行，不合题意，

4

所以％>-1且4w2.

则实数力的取值范围为1-。2）口（2,+8）.

5.（2324高一下.河南濮阳•月考）已知向量:=（1,2）,5=（0,2）,向量"满足且初/（2之+@.

⑴求2的坐标；

（2）若"与的夹角为钝角，求实数x的取值范围.

【答案】⑴（-2,1）；（2）［-右-£|1-；，。）

【解析】（1）设"=（x,y）,贝U2Z+"=2（l,2）+（x,y）=（2+x,4+y）,

Xa±c,且初/（2Z+Z）,

\x+（x=

所以：2（22+y力=0。（4+疔解得0=—12,所以-I一2」）

（2）因为£+4=（1，2）+九（。，2）=（1,2+2孙

因为2与Z+XB的夹角为钝角，

不仿+加=-2xl+lx（2+22）<05

则、,，解得彳<0且彳*-1,

-2x（2+22）#lxl4

所以实数力的取值范围为卜巩-

七.利用数量积求向量的模长

1.（2324高一下•江西赣州•期中）已知向量;=（1,2）,向量"满足7"=3,>"=2,贝亭|=（）

A.V2B.73C.走D.史

22

【答案】A

【解析】设f,力则\二tc——一JV4+~23V—"32,解得Ei

即1=所以同=正+俨=0.故选：A.

2.（2324高一下.山东青岛•期中）如果冏=1,忖=后，a-b=l，贝中-同的值是（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【解析】因为同=1,忖=0,a-b=l，

所以忖_闸=,（£_石『=6+62-2£石=1+（用一2x1=1,故选：A.

3.（2024•江苏扬州•模拟预测）已知向量心方满足同=1,忖=&,且至与方的夹角为,，贝“2”同=

（）

A.1B.V13C.1D.13

【答案】B

【解析】根据题意，=|而|cosg=lx石x

贝!1124_.=J（2日=V4a~-4a-b+b2=—4+6+3故选:B

4.（2324高一下•云南・月考）已知平面向量日=（1,2）,5=（%,彳+1）,万_15,则卜-*

【答案】9R应

33

【角星析】因为商=（1,2）石=（冗,尤+1）,万_15,

2

所以M・B=1XX+2(X+1)=0,解得x=-§

则TV可得苕所以I”昨半.

5.（2324高一下•北京顺义・期中）已知非零向量商,b,5满足:a-b=O,同=忖=2,10=2,

c-&=b则同=

【答案】回《非

22

【解析】因为限归=0，同=2,

不妨设互=(2,0),石=(0,2),c=(x,y),

由E0=2x=2,得x=l；

由於B=2y=l,得＞=；；所以

八.数量积与向量垂直关系

1.（2324高一下•重庆璧山・月考）已知向量4=（2,-1）,方=（1,3）,且〃（姐+B）,贝1］左=（）

A.--B.--C.-D.-

5454

【答案】C

【解析】因为向量4=（2,-1）,石=0,3）,可得妨+石=（2左+1,-左+3）,

因为商_L（妨+B）,所以苕・（妨+方）=4左+2+%-3=0,解得：*=［，故选：C

2.（2324高一下.河北保定•月考）已知单位向量方与5的夹角为三国，（依+可，贝心=（）

A.|B.立C.--D.-近

2222

【答案】C

——711

【解析】依题意，tZ-Z?=lxlxCOSy=-,

_]1

由a_l_(%a+))，得a,(ka+b)=ka+a-b=k+—=0,所以左=一万.故选：C

3.（2324高一下.广东茂名.月考）已知向量Z=（2—,-3）3=（-1,2+力，^alb，贝心=

【答案】-4

【解析】由向量Z=(2T,—3)1=(—1,2+0,

因为〃_LB，可得〃%=(2—入一3)《一1,2+力=-2+1一6—3,=0,解得，=-4.

4.(2324高一下•黑龙江哈尔滨•期中)已知|泊=2,出|=g,落石的夹角。==,若

6

(23+3^)1(ma-4b),则m=.

【答案】岑

【解析】由13=2,出|=6以及夕=£可得=B=WWcos0=2x0x#=3,

由(22+35)±(ma-^b)

,,_2一一一260

可得(2M+3B),(m^—4$)=2mq+(3m-8)«-&-12&=8m+3(3m—8)-12x3=0,解得根=在・

5.（2324高一下•山西运城•月考）已知向量Z,B满足|〃|=2,|b\=2^3,cos（a,E）=

4

⑴求Z在石上的投影向量；

（2）若向量2Z—彳3与2Z+B垂直，求实数之的值.

【答案】（l）jB；；（2）2二-2±也.

43

【解析】（1）a-b=\a\\b\cos（a,b）=2x2>/3x^-=3,

4

所以£在B上的投影向量为c学i'h力—=白3—6=1:6—

|邸124

（2）由向量2。一几5与痛+5垂直，得（2。一万）万+5）=0,

整理得22a2+(2-22)ab-^M=82+3(2-A2)-122=0>即3分+44-6=0,

所以彳=一2±®.

3

九.向量数量积的最值与范围

1.（2324高一下・四川泸州•期中）在梯形ABC。中，AB//DC,ADA.DC,AD=AB=2OC=2,E为

3C的中点，尸为。C上的动点（含端点），则通•正的取值范围是（）

「58]（9、817-

A.B.2,—C.3,—D.2,—

\_23jI2）L3jL2」

【答案】D

【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A（0,0）,3（2,0）,C（l,2）,£>（0,2）,F（x,2）（0<x<l）,

所以荏=1|,1）/=（工2）,正-正=3工+2,

「7"

因为X的取值范围是[0』，所以在.衣的取值范围是2,-故选：D.

2.（2324高一下.山西运城•月考）已知正六边形ABCOEF的边长为4,点尸为边。E上的一个动点（含端

点），则衣•衣的取值范围是.

【答案】[24,48]

【解析】建系如图，则A（0,0）,C（6,2A/3）,设尸（X,46）,

因为点尸是边DE上的一点，则04x<4,Q=,4君），AC=（6,273）,

贝I反,丽=（6,2@.（x,4@=6x+24e[24,48].

3.（2324高一下•安徽合肥・期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域A3CD市民健身用

地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角ZPAQ始终为45°（其中P,Q

分别在边BC,CD上），则市5•硕的取值范围.

【答案】[872-8,4]

【解析】设NPAS=atane=r,

2（l-tang）2（l-r）

则5尸=2tan9=2乙DQ=2tan。=

1+tan0i+t''

以点A为坐标原点,AB,AO所在直线分别为羽y轴建立坐标系,

（2。一）]

,2,Q=（2,2f）,曲i+t5

7IJ

告-2]

所以Q,而=4。―。+4=4,+]+

~1+t1

令〃=t+1,wG[1,2],则AP•AQ=4M+--2|,we[l,2].

uJ

由对勾函数的性质可得/'（M）=a+2在（1,应）上单调递减，在（0,2）上单调递增,

H

月7以后）=20.

又〃1）=3"（2）=3,所以〃"）=a+2在"中,2］上的值域为［20,3］,

U

所以Q•而=4U+--2

U

4.（2324高一下.辽宁朝阳・期中）已知||荏|=1,|①|=2,AD-AC=\A^,则在.诟的最大值为

（）

A.2B.2A/2C.3D.4

【答案】A

【解析】由砺=|闾2,得（女+①）•正=|罔2,即9•就=|无至『，则无.*=0，

因此在.前=（无+通）・前=石.历+南.历=砺.而=|诟H而卜OS（诟，比）=2cos（丽现,

而-IVcos（荏，①）＜1,所以当cos〈丽，国〉=1时，丽.①取得最大值2.故选：A

5.（2324高一下•山西忻州•月考）已知|商|=3,|石|=2,©=1,且2%-0-办"-1=0,则百上的取值范围

是.

【答案】［-2/2我

【解析】由=0,得=（a-B）・c=|a-B||c|cos〈a-反c〉，

则Ia-11=|a1|cos〈a-b,c）\<\a-b\,当且仅当a-b,c共线时取等号,

两边平方得（£.历2_27石+14f+/_2£0，即03）2+1432+2?,解得-6，

所以3上的取值范围是［-2百,2君］.

十.向量的新定义问题

1.（2324高一下•山东淄博・期中）已知两个非零向量商与B的夹角为凡我们把数量同忸卜皿。叫作向量H

与5的叉乘汗xB的模，记作人司,即人司=同Wsine.若向量4=（2,1）,B=（Y,3）,则融同=（）

A.-10B.10C.-2D.2

【答案】B

一a-b2X（-4）+1X375

【解析】若向量”（2/），6=（T3）,则，。=丽=总§=一"，

0£［。,兀］,贝!Jsin0=Vl-cos20=~~~，

卜又可=|«||&|sin=A/5x5x-10.故选：B

2.（2324高一下.福建福州•期中）（多选）定义:已知两个非零向量1,5的夹角为8,把第5两个向量的叉乘

记作:少xB=|打|.|5|-sin。，则以下说法正确的是（）

A.若。xB=0,贝!JM//5

B.2①xB）=（%㈤x5

C.若四边形A3CD为平行四边形，则它的面积等于前xMi

D.若1x5=百,万.6=1,则|2+方|的最小值为"

【答案】ACD

【解析】对于A,由0x5=0,得|万||5|sin0=0,而|初出隹0,因此sin8=0,

又0«。《兀，则9=0或8=兀，所以商/历，A正确；

对于B,xb）=A\a\\b\sinO,当2<0时，（Aa）xb=\^a\\b\sin（?i-0）=-A\a\\b\sin0,

当0<。<兀时，40x5）w（4万）x5,B错误；

对于C,YABCD的面积S=|瓶||砺|sinNE4O=希x而，C正确；

对于D,由。乂万二有，得|M||B|sin9=g,由洒5=1，得|M|出|cos。=1,

两式平方相加得\a\\b\=2,贝ljg+刈=yla2+b2+2,a-b=A/F+P+2>万||5|+2=娓，

当且仅当Ia1=1B1=0时取等号，D正确.故选：ACD

rrm•77

3.（2324高一下.重庆璧山・月考）对任意两个非零向量方，n,定义：

⑴若向量讶二（5,3）,石=（-3,2）,求到』+2力）的值；

（2）若单位向量B满足R+6）®（25-6）=得，求向量4与2-5的夹角的余弦值；

（3）若非零向量石满足同割力|,向量日与石的夹角是锐角，且4（力君）是整数，求日丽的取值范围.

【答案】⑴^⑵亭⑶加

【解析】（1）因为益=（5,3）,3=（—3,2）,所以。+2力=（5,3）+2（-3,2）=（-1,7）,

5x（-l）+3x7_16_8

故％伍+2/）的值为白

（2）因为向量G、方是单位向量，所