专题410数学归纳法(B)-《2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性单元测试AB卷》

专题4.10数学归纳法(B)第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（理））对某些，，用数学归纳法可以证明不等式：成立，第一步验证不等式成立，正确的是（

）．A．时， B．时，C．时， D．时，【答案】D【分析】根据确定第一步对应的即可【详解】由题，，时对应，分母每次增加1，故时，为第一步.故选：D2．（2022·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】当时，写出左端，并当时，写出左端，两者比较，可得答案.【详解】当时，左端，那么当时

左端，故由到时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，即，故选：．3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知经过同一点的个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由到时，应证明增加的空间个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由数学归纳法的概念求解【详解】当时，这三个平面将空间分成了8部分，若时，平面将空间分成个部分，则再添加1个面时，与其他个面共有条交线，此条交线过同一个点，将该平面分成个部分，每一部分将所在的空间一分为二，故．故选：A4．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，表示前n项和，且，，成等差数列，通过计算、、的值，猜想等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差中项求出，的关系，然后求出，，的值，化简表达式的分子与分母，然后猜想结果．【详解】由题意可知．当时，，时，，．，，分别为：、、．猜想当时，．故选：B5．（2022·全国·高二课时练习）欲用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有”，则验证不等式成立所取的第一个，最小应当是（

）．A．1 B．大于1且小于6的某个正整数C．10 D．大于5且小于10的某个正整数【答案】C【分析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证，，…，时，命题是否成立，即可得答案．【详解】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立；结合本题，要验证时，左，右，成立，时，左，右，不成立，时，左，右，不成立，时，左，右，不成立，时，左，右，不成立，时，左，右，不成立，时，左，右，不成立，时，左，右，不成立，时，左，右，不成立，时，左，右，成立，当时，恒成立，所以．故选：C6．（2022·福建师大附中高二期末）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出时，不等式的左边，再求出当时，不等式的左边，得到当时，即可推出不等式的左边比时增加的项.【详解】当时，不等式左边等于，当时，不等式左边等于当时，不等式的左边比时增加.故选：D7．（2022·全国·高二课时练习）函数，，…，，…，则函数是（

）．A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数【答案】A【分析】因为是奇函数，可得也是奇函数，再根据数学归纳法证明对任意的

，有

是奇函数.【详解】易知是奇函数，，，，满足，所以也是奇函数，假设

是奇函数，则

，即也是奇函数，因此对任意的

，有

是奇函数，故：也是奇函数.故选：A8．（2019·浙江·温州中学高二开学考试）已知数列满足：，，记的前项和为，且，其中，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由已知递推关系归纳出数列的通项公式，然后计算，由归纳法归纳出并用数学归纳法进行证明，从而得出后可得值．【详解】，则，所以，，所以，，，，依此类推得，即，时，，时，，，由，得，是递增数列，因此时，，时，时，，假设时，，则时，，综上，时，，所以，显然，即，所以．故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查求数列的通项公式与前项和，解题方法是归纳法，一是用归纳法求出通项公式，二是对数列的前项和，利用归纳法得出一般结论并用数学归纳法证明．对学生的运算求解能力、逻辑思维能力要求较高，属于难题．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高二课时练习）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（

）A．过程全部正确 B．时证明正确C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确【答案】BD【分析】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可.【详解】易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确.故选：BD.10．（2022·全国·高二专题练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（

）A．若成立，则成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则成立D．若成立，则当时，均有成立【答案】AD【分析】由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.【详解】对于A：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.若成立，则成立，故A正确；对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；对于C：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.故若成立，则成立，所以C错误；对于D：根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立，故D正确.故选：AD11．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）已知数列满足，，则（

）A． B．是递增数列C．是递增数列 D．【答案】ABD【分析】根据所给的递推公式，利用基本不等式判断A，利用函数的单调性判断B，利用特例判断C，利用数学归纳法判断D【详解】对于A，由可得，故即，当且仅当即时取等号，故A正确；对于B，由A可得为正数数列，且，则，故为递增数列，故B正确；对于C，由，由题意，，即，所以，，可知不是递增数列，故C错误；对于D，由C可得，，满足，当时，因为是递增数列，所以，即，所以由可得，所以即，假设时，不等式成立，即，所以，所以当时，命题也成立，故D正确，故选：ABD12．（2020·山东·青岛二中高三期中）已知数列满足，，，是数列的前项和，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．存在常数，使得【答案】BC【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再逐项分析判断作答.【详解】，数列满足，，即有，而，因此数列是常数列，有，则数列的通项公式是，对于A，令时，，而，即当时，不成立，A错误；对于B，，令，，即，数列是递增的，有，即，B正确；对于C，用数学归纳法证明：当时，，当时，，即当时，不等式成立，假设当时，不等式成立，即，则，即当时，不等式成立，因此，成立，当时，，而，不等式成立，当时，，，所以，，C正确；对于D，，取，则，显然当时，数列是递增的，无最大项，所以不存在常数，使得成立，D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：涉及数列最大最小项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·全国·高二单元测试）（，），则______．【答案】【分析】由题意先求出，两式相减即可得出答案.【详解】因为，所以，，所以：.故答案为：.14．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用归纳假设，应将变形为______，从而可以用归纳假设去证明．【答案】或(写出其中一个即可)【分析】使用数学归纳法时，需要用到时的结论，即，故应将变形为含有的等式.【详解】假设时命题成立，即：能被3整除；当时，；或.故答案为：或.(写出其中一个即可)15．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为______．【答案】【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义及证明命题的方法步骤直接写出结论作答.【详解】依题意，当时，应证明的等式为：.故答案为：16．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，若，，…，，猜想的函数表达式为______．【答案】【分析】根据数学归纳法证明即可.【详解】，，假设，即成立，则，对于也成立.所以一定有：故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：．【答案】证明见解析【分析】先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，然后证明当时，不等式也成立，则由数学归纳法可知，不等式成立.【详解】（1）当时，，不等式成立；当时，，不等式成立；当时，，不等式成立．（2）假设当时不等式成立，即．则当时，．因为，所以，从而，所以．即当时，不等式也成立．根据（1）和（2）可以断定，对任何都成立．18．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））设，，．(1)当时，试比较与1的大小；(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．【答案】(1)；；；；(2)当，时，有，证明见解析.【分析】（1）求出的值即得；（2）利用数学归纳法证明即得.(1)∵，，∴，．∵，，∴，．∵，，∴，．∵，，∴，．(2)猜想：当，时，有．证明：①当时，猜想成立．②假设当（，）时猜想成立，．当，．∵，∴，则，即，∴当时，猜想成立.由①②知，当，时，有．19．（2022·全国·高二单元测试）已知数列，满足，．(1)求，，，的值；(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；(3)设，求数列的前n项和．【答案】(1)，，，，(2)，证明见解析，(3).【分析】（1）分别令，2，3，4，结合已知递推式可求出，，，的值；（2）根据（1）可得，然后利用数学归纳法证明即可，（3）由（1）得，然后利用错位相减可求出结果.（1）因为，所以．因为，所以当时，，得，当时，，得，当时，，，当时，，得（2）猜想数列的通项公式．用数学归纳法证明如下：证明：①当时，由（1）知结论成立；当时，，结论成立．②假设时，结论成立，即．当时，．所以，即当时，结论也成立．根据①和②可以断定，结论对一切正整数n都成立．（3）由（2）知，．所以，所以，所以，所以．20．（2022·全国·高一课时练习）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？猜测并用数学归纳法证明你的结论．【答案】或，证明见解析【分析】由、分别代入可得的值，进而猜想结论成立，最后用数学归纳法证明即可.【详解】解：将、分别代入，得即所以或猜测对一切正整数都成立．证明：①当时，显然成立；②假设时，成立；则当时，左边右边，所以时，等式也成立．综合①②，等式对一切正整数n都成立．21．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高二开学考试）数列对任意且，均存在正整数，满足，，．(1)求可能值；(2)若，成立，求数列的通项公式．【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用递推关系式可得，然后计算的值即可；（2）由题意可得，，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式．（1）解：由，可得，所以或；（2）因为，，，，，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立：当，明显成立，假设时命题成立，即，则，则，命题得证．回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：①若，则矛盾，②若，则，，，此时，，③若，则，，，，，事实上：矛盾．综上可得．【点睛】本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属于难题．22．（2020·河南信阳·高二期中（理））已知，（其中）.(1)当时，计算及；(2)记，试比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)，(2)答案见解析【分析】（1）利用赋值法令求出，再令、两式相减，即可求出；（2）令，可得，令，可得，即可得