复数（学生版） 2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第03讲复数

（9类核心考点精讲精练）

I他.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第2题，5分复数的四则运算无

2024年新II卷，第1题，5分复数的模无

2023年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共辗复数无

2023年新II卷，第1题，5分复数的四则运算、复数的几何意义无

2022年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共轲复数无

2022年新II卷，第2题，5分复数的四则运算无

2021年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共辗复数无

2021年新II卷，第1题，5分复数的四则运算、复数的几何意义无

2020年新I卷，第1题，5分复数的四则运算无

2020年新H卷，第2题，5分复数的四则运算无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、

及纯虚数

2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轨复数

3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共软复数、模长运算、几何意

义，题型较为简单。

知识点1数集的分类

知识点2虎数单位及周期

知识点3复数的代数形式及复数分类

知识点4复数相等

知识点5嘶出

知识点6复数的几何意义及复数的模

知识点7复数的四则运算

知识点8复数的三角表示

考点1复数的四则运算

考点2求复数的实吾屿虚部

考点3复数相等

考点4复数的分类及地虎数概念考查

考点5复数的几何意义

考点6亮改的模长及与模相关的轨迹问题

考点7箕数的三角形式

考点8欧拉公式

考点9复数多选题

知识讲解

1.复数的定义

我们把形如a+bi(a6cR)的数叫做复数，其中i叫做,满足i2=________-虚数单位的周期

为.

2.复数通常用字母z表示，即z="+bi(a,6eR),其中的。与6分别叫做复数z的与.

3.对于复数z=a+砥a,beR),复数z=a+6i(a,6eR),z为实数o；z为虚数o；z

为纯虚数o；z为非纯虚数o.

即复数z=“+历(a,6eR)_(一)

1—J)[二(二)

4.在复数集。={0+历|0力€1i}中任取两个数a+bi,c+di[a,b,c,deR),规定a+6i与c+di相等当且仅

当__________,即复数相等：a+bi=c+di^>{a,b,c,deR).

5.共轨复数

Cl)定义：当两个复数的实部,虚部时，这两个复数叫做互为共朝复数.虚部不等于0

的两个共轨复数也叫做共轨虚数.

(2)表示方法：复数z的共辗复数用7表示，即如果z=a+6i,那么7=.

6.复数的几何意义

为方便起见，我们常把复数z=a+历说成点Z或说成向量应，并且规定，—的向量表示同一个复数.

7.复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做,x轴叫做,y轴叫做.实轴上的点都表

示；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

向量应的模称为复数z=a+6i的模或绝对值，记作或.即|z|=|a+历卜,其中

a,beR.如果6=0,那么z=a+bi是一个实数°,它的模就等于.

9.复数的加、减法运算法则

设Z]=Q+bi/?=c+di(a,b,c,d£R),IJIlJz1+z2=,zx-z2=.

10.复数加法的运算律

对任意马尼乌eC,有

(1)父换律：zi+z2=.(2)结合律：(Z1+Z2)Z3=-

11.复数的乘法

(1)复数的乘法法则

^：zl=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR)是任意两个复数，那么它们的积

(a+bi)(c+di)=ac+bci+ad\+bdi2=

(2)复数乘法的运算律

对于任意句/2/3eC,有

交换律乎2=

结合律(.2”3=_

乘法对加法的分配律Z|(Z2+Z3：=

12.设的三角形式分别是Z|=4(cosq+isin<9j,Z2=2(cosa+isin6>2),

那么，Z|z?==.

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘,

辐角相加.

13.设az?的三角形式分别是％=4(cos。］+isin6j,Z2—(cosa+isinH),且Zz^O,那么，—=

Z2

*

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减

去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减.

考点一、复数的四则运算

典例引领

1.(2024•全国•高考真题)设z="，贝"与=()

A.-iB.1C.-1D.2

5(l+i3)

2.(2023•全国•高考真题),=()

(2+1)")

A.-1B.1C.1-iD.1+i

即时检测

1.(2024・天津•高考真题)已知i是虚数单位，复数心+i)•心-2i)=.

2.(2023・全国•高考真题)设z=,贝唯=()

1+1+1

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

(l+i)

3.（2024•河南,三模）已知i为虚数单位，

O-O-

A.1+iB.1-iC.-l+iD.-1-i

考点二、求复数的实部与虚部

典例引领

1-2i

L（2024•全国•模拟预测）已知z=I,贝丫的实部是（）

1+1

A.-iB.iC.0D.1

2+2

2.⑵24嘿龙江三模）若不二:i,则Z0-1）的虚部为（）

A.-1B.1C.3D.-3

即时他虬

1.（2024•重庆•三模）设复数z满足2z-iF=l,则z的虚部为（

11

A.—B.—C.3D.—3

33

2.（2024•陕西•二模）复数z=i（l+i'）（iJ2i）的实部为（）

A.1B.3C.-2D.-1

3.（2024•江西鹰潭•二模）已知z=（"i）4，则I的虚部为（）

1-i

A.2iB.-2iC.-2D.2

考点三、复数相等

典例引领

1.(2023•全国,高考真题)设awR,(a+i)(l—oi)=2,,则。=()

A.-1B.0C.1D.2

2.(2022•浙江・高考真题)已知/b£R,Q+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，贝I]()

A.Q=l,b=-3B.a=-l,b=3C.。=-1,6=-3D.a=1,b=3

即

1.（2024•河南•模拟预测）已知i为虚数单位，a,beR,满足（a-2i)i=b+i,贝！Ja+6=()

A.0B.1C.2D.3

2.（2024・安徽合肥•三模）已知z(i-3)=7+2,贝i]z=()

42.c42.

A.—+—1B.-------1

9999

…42.r42.

D.----------1

9999

—m+1

3.（2024•河北保定•三模）若复数z满足z-z=?匚，则实数m二()

3-1

111

A.YB.一C.—D.——

323

考点四、复数的分类及纯虚数概念考查

典例引领

1.（2024,河北•二模）已知复数zufW+aiSeR）是实数，贝（）

（1+1）

A.V2B.-72C.-2D.2

已知复数鲁（aeR）为纯虚数，则。的值为（）

2.（2024•河南•三模）

A.2B.1C.-1D.-2

即时购

1.（2024•辽宁大连•二模）设XER，则"x=l"是"复数Z=(f-l)+(x+l)i为纯虚数”的()

A.充分必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

D7+1

2.（2024・辽宁•模拟预测）若复数五T为实数,则实数"等于（）

11

A.-B.-1C.——D.2

32

考点五、复数的几何意义

典例引领

■——

1.（2023•全国•高考真题）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（2021・全国•高考真题）复数与在复平面内对应的点所在的象限为（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2024•山西•三模）已知复数（l+2i）-加（3-i）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数优的取值范围

是.

即时检测

1.（2024・山东•二模）己知复数z满足（l-i）z=3+i,则彳在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2

2.（2024•江西•模拟预测）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1,-1）,则^=（）

l-2i

42.24.42.24.

A.----1B.----1C.-+-1D.-+-1

55555555

3.（2024•江西•模拟预测）若复数Z的共辗复数I满足12。23三=i_2i，则2在复平面内对应的点的坐标为（）

A.（2,1）B.（-2,1）

C.(-2,-1)D.(2,-1)

考点六、复数的模长及与模相关的轨迹问题

典例3阚

L（2024•全国高考真题）已知z=—l-i,则目=()

A.0B.1C.亚D.2

2.（2023•全国・高考真题）2+i2+2i3=()

A.1B.2C.V5D.5

3.（2024•广东揭阳•二模）已知复数z在复平面内对应的点为（a,6）,且|z+i|=4,贝1］（）

A.a2+(Z?+l)2=4B.a2+(b+l)2=16

C.(a+l)2+b2=4D.(a+l)2+b2=16

即时检测

1.(2024•福建南平•二模)若复数z满足z+i=2i(z-i),则目=()

A.1B.-y/2C.5/3D.2

2.(2024•贵州毕节三模)若复数z满足(l+i2+i5)・z=3i202J4i,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

3.（2024•辽宁•二模）已知i是虚数单位,复数z满足卜-i|=l,则卜-词的最小值为()

A.V3-1B.1C.V3+1D.3

考点七、复数的三角形式

典例引领

1.(2024•黑龙江哈尔滨三模)复数z=。+历(a/eR,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z,设，・=|OZ|,。是

以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则2=<7+历=小05。+15也。)，把r(cos6»+isin。)

叫做复数a+bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，

卜(cos61+isin6»)]"=r"(cos”0+isin〃e)(〃eN*),例如：-，+且i]=fcos—+isin—=cos27t+isin27t=1,

)=-4,复数z满足：/=l+i，则z可能取值为）

2.(2024•内蒙古赤峰•一模)棣莫弗公式(cosx+i-sinx)"=cos(〃x)+i-sin(〃x)(其中i为虚数单位)是由法国

数学家棣莫弗(1667-1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数\osg+i-sing]在复平面内所对应的点位

于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

即时检测

I______________________

1.(2024•陕西商洛•模拟预测)法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现了棣莫弗定理：设两个复数

4=q（cos，】+isin6Q,z2=r2（cos%+isin%）（6,弓>0）,贝|z/=rxr2[cos（〃+^2）+isin（^+2）].设

Z=」-@i,则Z2024的虚部为（）

22

A.--B.—C.1D.0

22

2.（2023・全国•模拟预测）已知复数2=337+1新袅7,则卜-1）卜2-1）…卜23-1）=（）

20232023'八）''

A.2022B.2023C.-2022D.-2023

考点八、欧拉公式

典例引领

L（2024•四川绵阳•模拟预测）欧拉公式e'"=cos0+isin0把自然对数的底数e,虚数单位i,cos。和sin。

联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥".则e加+1=（）

A.-1B.0C.1D.i

2.（2022•重庆北倍•模拟预测）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.由《物

理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式"建+1=0"与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公

n.5万.

式其中，欧拉恒等式是欧拉公式：/=cosO+isind的一种特殊情况.根据欧拉公式，er+eT'=（）

A.—B.3C.V2D.V3

22

七即时窜L

1.（2023•云南昆明•一模）欧拉公式：e"=cose+，sind将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中

占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数e上在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（2024・浙江绍兴•模拟预测）已知e"=cos6+isin，，则在下列表达式中表示sin。的是（）

考点九、复数多选题

典例引领

■——

1.（2024•福建福州•三模）已知复数4/2,下列结论正确的是（）

A.若Z]=Z2，则z；=z；B.-z2=-z2

C.若平2=°,则4=0或Z2=0D.若々WO且z,=Z2,贝!]乎2=匕]「

2.（2024•福建莆田•三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（）

A.若z+』=0,则三=iB.若z-7=2|z|,则忖=2

Z

C.若Z]=z,贝!Jz]=zD.若|z+zJ=0,贝!]Z]•彳+|z「=0

3.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知复数句/2满足：4为纯虚数，忤-1|=2"-4],则下列结论正确的是

（）

A.z；=-[z]「B.3<|Z2|<7

C.归12|的最小值为3D.|z「Z2+3i|的最小值为3

1.（2024•江苏南通•模拟预测）已知4，句都是复数，下列正确的是（）

A.若Z]=Z2，贝"z?wRB.若ZRCR,则Z]=Z2

C.若㈤=团,则z；=z；D.若z；+z；=O,则㈤=团

2.（2024•山东济宁•三模）己知复数z”Z2,则下列说法中正确的是（）

A.|21Z2|=|Z1|-|Z2|B.|z[+z2|=|zj+㈤

C."z^eR"是"Z]=["的必要不充分条件D."㈤="|"是"z；=z；”的充分不必要条件

3.（2024•重庆渝中•模拟预测）已知方程z2+2z+3=0的两个复数根分别为4/2,则（）

A.4=Z2B.z1+z2=2

C.2必2=%「D.\zx-Z2\=2A/2

IN.好题冲关

基础过关

一、单选题

1.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知i是虚数单位，若（。+方）（1-i）为纯虚数，则实数°的值为（）

A.0B.1C.2D.-2

2.（2024・河北•三模）已知复数I满足2W°23+12。24）1025,贝匹的共轨复数的虚部是（）

3.(2。24•河南洛阳・模拟预测)已知2=普-2]，则八()

A.-2+iB.-l+2iC.-2-iD.-l-2i

4.（2024•河北沧州•模拟预测）设4，Z?是复数，则下列命题中是假命题的是（）

A.若z=z/Z2,则|z|=|z卜仁|B.若，=2/22，则彳=Z「Z2

C.若匕|=氏|,则z；=z；D.若|Z1|=|Z21,则Z/Z]=Z2-Z2

5.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知复数z满足济（l+i）=2-i,则2=（）

13.13.

A.—+—1B.----1

2222

13.13.

C.-----1D.——+—1

2222

1-i

6.（2024•山东泰安•二模）若复数z满足」=i,则同=()

Z

A.75B.2C.V2D.1

二、多选题

7.（2024•安徽蚌埠•模拟预测）已知复数z=2+ai（。为实数），若目=右，贝壮的值可能为（）

A.-3B.-1C.1D.3

8.（2023•重庆沙坪坝•模拟预测）设i为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（）

A.匕逐2|=匕卜匕|B.若4/2互为共辗复数，则㈤=目

C.若㈤="|,则Z；=Z；D.若复数Z="7+l+（加-l）i为纯虚数，则"7=-1

三、填空题

9.（2024•上海三模）设2=病一1+（加一）（i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数加的值为.

10.（2024・广东•二模）设deR,i为虚数单位，定义e"=cos0+i-sin。，则复数J?+i的模为.

能力提升

I________________

一、单选题

1.（2024・河北保定•二模）复数z="3=（）

2-i3

A.2—iB.-------i

55

_275V5.n2y/5y/5.

5555

2.（2024•浙江杭州•三模）已知复数z满足『=l+i,贝I的共轨复数I在复平面上对应的点位于（）

3-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2024•江苏南通•三模）已知z为复数，则"z=7'是2=/"的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

4.（2024・四川成都•模拟预测）复数2=字丝在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数。的值为（）

1-1

A.1B.2C.-1D.-2

1m+\

5.（2024・广东广州•三模）当-彳＜加＜2时，复数「在复平面内对应的点位于（）

22+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6（2024・安徽・模拟预测）若zeC,i为虚数单位，|z+2i-l|=l,则|z-i|的最大值为（）

A.2B.V10-1C.4D.V10+1

7.（2024•河南商丘•模拟预测）已知复数句和Z?满足阂=归-22|=1,匕+22卜6,则匕21=（）

A.1B.-y/2C.D.2

二、多选题

8.（2024•福建宁德•三模）已知4