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文档简介
重庆市乌江新高考协作体2025届高考质量调研(一)
数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.已知复数Z满足Z=l—i,则归卜()
A.-B.1C.2D.4
4
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的乘方运算法则,结合复数模的运算公式进行求解即可.
【详解】:Z=1—i,,z2=l—2i—1=—2i,,团=2,
故选:C
2.下列命题中的真命题是()
A.互余的两个角不相等B.相等的两个角是同位角
C.若“2=^,则|°|=|切D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
【答案】C
【解析】
【分析】由两角互余的概念可判断A;可举对顶角相等判断B;运用平方差公式,可判断C;运用三角形
外角的性质可判断D.
【详解】对于A,互余的两个角可能相等,比如都为45°,故A错误;
对于B,相等的两个角可以是对顶角,故B错误;
对于C,若“2=从,则(a+9(a—力=。,即。=〃或。=—贝||。|=|切,故C正确;
对于D,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和,故D错误;
故选:C
3.若向量M==1),且方//k+2孙则同=()
A.75B.2C.72D.1
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量线性坐标运算及向量共线的坐标表示求解》,再代入求模即可.
【详解】由已知2=(九
得1+2B=(x,l)+2(1,-1)=(x+2,-l),
因为方//(6+2石),所以一l=x+2,解得x=—1,
则同=’(-1)2+12=母,
故选:C.
4.以下关于统计分析的描述,哪一个是正确的?()
A.样本均值越接近总体均值,样本的代表性越好.
B.样本标准差越大,数据的离散程度越小.
C.相关系数的绝对值越接近1,表示两个变量的线性关系越弱.
D.决定系数R越接近1,模型的解释能力越强.
【答案】D
【解析】
【分析】根据均值、标准差、相关系数、决定系数的含义即可判断.
【详解】对于A,样本均值不能表示样本的代表性,A错;
对于B,样本标准差越大,数据的离散程度越大,B错;
对于C,相关系数的绝对值越接近1,表示两个变量的线性关系越强,C错;
对于D,决定系数昭越接近1,模型的解释能力越强,D对.
故选:D
5.已知双曲线。:=-二=1(。〉0,6〉0)的左右焦点分别为耳,F2,过点工且与渐近线垂直的直线与
ab
双曲线C左右两支分别交于AB两点,若tanN片3g=(,则双曲线的离心率为()
A.B.C@D.72
552
【答案】A
【解析】
【分析】求得《到渐近线的距离为6,从而可求得sin4心的值,再在月《中利用正弦定理求出
\BF2\,然后结合双曲线的定义和余弦定理求解即可.
—x的距禺为d=w
【详解】由题意知,点耳(一。,0)到渐近线丁=2
aJa十62
ah
所以sinNBFF2二一,cosNBFF2=-,
cc
因为tanNEBF^=(■>0,AFXBF2e(0,71),所以/片
所以sinN43乙=\cosN耳B工,
22252
因为sinZF{BF2+cosZF{BF2=1,所以不cos?ZFXBF2+cosAFXBF2=1,
125
得85/片3层二百,则sin/F;B^=R,
I阻
在耳玛中,由正弦定理得
smZrjBr^sin/B耳E,
2c_忸2126
即a,得忸叫=彳。,
13c〉
由双曲线的定义知忸耳卜忸阊=2a,
所以忸周=2a+忸闾=2a+ga=]a,
在△①谯中,由余弦定理得闺阊2=忸叶+忸忸娟|%|cosN4时,
整理得,2=―/,即25c2=614,
25
所以离心率为e=£=甄.
a5
【点睛】关键点点睛:此题考查双曲线离心率的求法,熟练掌握双曲线的定义与几何性质结合正、余弦
定理是解题的关键,考查逻辑推理能力和计算能力,属于较难题.
6.已知函数/■(x)=asin2au+cos2ftu(ft)>0)图象的对称轴方程为x=kit+—,(左eZ).则
R也
D.-------------C.五D.—y/2
2
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的对称轴可得T=2兀即可求得利用函数的对称性可得/2E+3-x=/(x),则
=/(O),即可求得。的值,得到函数解析式,代入即可求解.
【详解】当a=0时,/(x)=cos2Gx,又函数对称轴为不=配+:,(^eZ),
2冗i
则函数周期T=——=2TI,G=—,函数/(x)=cosx,对称轴为l=®,keZ,与题干不符;
2。2
当aW0时,=asin2a)x+cos2a)x=y/a2+1sm{2a)x+cp^,其中tan*=—,
由函数/(%)图象的对称轴方程为X=E+/丘Z),得/(%)的最小正周期丁=:=2兀,所以
1
CO--
2
所以/(x)=asinx+cosx,
由函数/(%)图象的对称轴方程为x=E+?左eZ),得/12®+'-xJ=/(x)(左eZ),
令%=0,得/(2而+、卜/⑼(keZ)即asinI2左兀+-|-1+cost2ht+'=l(keZ)得。=1,
71
所以/(x)=sinx+cosx-^2sinXH---
4
故选:C.
7.三棱锥S—ABC的侧棱5A是它的外接球的直径,且SA=8,43=1,30=3,4。=抽,则三棱锥
S—ABC的体积为(
Ry/35A/3A/3
3223
【答案】B
【解析】
【分析】根据SA是三棱锥S-ABC外接球的直径,先找到垂直条件,求出SC,SB,再作出三棱锥
S—A5C的高SO,在VA3C中,用余弦定理求得再结合垂直关系求得N05C,设S0=〃,
表示出3。。。,在△03C中,用余弦定理列等式求得〃,再套入三棱锥体积公式求解即可.
取S4的中点Af,则三棱锥S-ABC的外接球是球“,半径为』SA=4,
2
因为SA是球M的直径,氏。在球”的球面上,所以5。,4。,55,45,
SC=,8~=V51>SB=A/S2—I2=A/63=3用,
过点5作5。,平面ABC,垂足为。,连接3。,。。,
因为SO,平面ABC,ABu平面ABC,所以SOLAB,
又SO,S3u平面SOB,SO^\SB=S,所以AB,平面SOB,
又BOu平面SOB,所以A3L80,
在VA5C中,由余弦定理cosNAEC」'——(如)=1,
2x1x32
所以NABC=120。,ZOBC=120°-90°=30°,设SO=〃,
因为SO,平面ABC,5O,COu平面ABC,所以SO,50,SO,CO,
BO=y/SB2-SO2=yl63-h2,CO=^SC2-SO2=551—J,
63-/I2+32-(51-/I2)J3
在AOBC中,由余弦定理cosZOBC=---------/'-------=cos30°=—,
2xV63-/z2x32
解得=,匕=lxSABCx/2=-x-xlx3xsinl20°x^^^^.
30-/1DC-3△/1DC3232
故选:B.
【点睛】关键点点睛:本题的关键在于底面三角形运用余弦定理的处理,以及三棱锥高的求解.
,、ln(x+l),x>0
8.已知在函数〃X)=\、八的图像上存在四个点构成一个以原点为对称中心的平
ax\x+b),x<G
行四边形,则一定有:()
Aab>lB./(-2)>0C./(x)>-1D.b<2册
【答案】C
【解析】
【分析】通过对称性将问题转化为函数零点的问题,因为变量比较多,构造的函数较复杂,我们可以先计算
较较简单选项,然后利用排除法即可.
【详解】由题可知,原点线段AC,3D中点,
不妨设A(%,%),5(々,%),。(一兀2,—%),。(一七,一%),%>°,兀2>0
则有bI=ln&+1)fy2=ln(x2+l)
[一为=-abX[[一%=内;-abx2
分别相加得ln(x]+1)+高-abxy=0,ln(x2+1)+ax;-abx2=0
相当于方程ln(x+l)+ar2-abx=Q,在(0,+8)有两个不同的根,
即/z(x)=ln(x+l)+ar2-成r在(0,+8)有两个不同的交点,
显然力(0)=0,即M%)=In(%+1)+依?—必为在[0,+。)有三个不同的交点,
^#/z(x)=ln(x+l)+or2-a/zx示意图
叫
由示意图可知该函数需要在(0,+8)有两个极值点
求导/=2ax2+(2"-孙+1-"
即导函数需要在(0,+8)有两个不同的零点,
当〃<0时,显然=+在(0,+8)单调递减,故不可能在(0,+8)有两个不同的零点,
当〃>0时,
〃(%)=]+lax-ab=2加+(2”"卜+1一"有两个不同零N
')x+1x+1
即2改2+(2。一")1+1-"=0在(0,+8)有两个不同的根工3,工4,
止匕时(2〃一〃人)2一8々(1一々人)>0n々(2+6)2-8>0
,.,、TE—心l-ab八ab-2bb-2八
由韦达t定理可知七/=----->0,x+x=------=---->0
2a342a2
得ab〈l,b>2,故AD错误;
因为a>。,b>2
f(-2)=4a-2ab=2a(2-b)<0,故B错误;
由题可知,当入20时,/(x)=ln(x+l)>0
当%<0时,/(x)=or(x+/?),因为〃>0,b>2
得〃x)2/H=q-〉一;xlx2=_g,故C正确.
故选:C
【点睛】先利用对称性,将对称问题转化为交点问题,最后转化为函数零点问题,因为构造的函数有三
个零点且连续,所以有两个极值点,然后讨论其导函数的解的问题,先判断简单选项,再判断复杂选项
即可.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得2分.
9.设〃eN*,曲线y=x,,+1在点(1,1)处切线的斜率为厩,与尤轴的交点为(匕,0),与y轴的交点为(0,%),
则()
A.kn+yn=-1
B.y„=-knxn
1
c.再马…乙丁
D-k*2…kg=(—1)”"%%…%
【答案】BC
【解析】
【分析】应用导数的几何意义判断A,结合数列的基础运算判断B.C,D.
【详解】由于y'=("+l)九",所以女"="+1,切线方程为y=("+l)x-〃,从而%=」一,%=-〃.
n+1
%〃+%=1,A错误;
kX
yn=~nn>B正确;
左…《-1=2x3x…x"=加,=(-1)"xlx2x…X”=(-1)”川,D错误.
故选:BC.
10.在平面直角坐标系x0y中,已知圆GXx—iy+V=2的动弦AB,圆
G"X—a『+(y—也『=8,则下列选项正确的是()
A.当圆G和圆C2存在公共点时,则实数a的取值范围为[-3,5]
B.AABG的面积最大值为1
C.若原点。始终在动弦AB上,则砺.砺不是定值
D.若动点尸满足四边形Q4PB为矩形,则点尸的轨迹长度为26兀
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数。的范围判断A,根据三角形面积结合正弦函数可求出面积
最大值判断B,分类讨论,设直线方程,利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C,先根据矩
形性质结合垂径定理得到点尸的轨迹,然后利用圆的周长公式求解判断D.
【详解】对于A,圆G:(x—1)2+V=2的圆心为(1,0),半径为血,
圆C2:(x-a了+(y-及/=8的圆心为(a,应),半径为20,
当圆G和圆C?存在公共点时,2后一行W区2行+J5,
所以虚K(a—1)2+J?<3夜,解得—3WaW5,所以实数口的取值范围为[—3,5],正确;
对于B,AABC1的面积为SABC]=|xV2xV2xsinZAQB=sinNAJB<1,
jr
当NAG3=5时,AABG的面积有最大值为1,正确;
对于C,当弦A3垂直X轴时,A(O,-1),5(0,1),所以砺•砺=0+1x(-1)=一1,
当弦AB不垂直无轴时,设弦AB所在直线为y=H,
与圆£:(》—1)2+丁2=2联立得,(1+二)尤2一2左一1=0,
设4(孙%),B(x2,y2),
-1XjX+yy=%1%+IcXyX^=(i+k^x^=(1+女?)x——:
贝i|XROAOB=2x22=-1,
1+k2J.Ift
综上丽•丽=-1,恒为定值,错误;
对于D,设POo,%),。尸中点(段,与J,该点也是中点,且AB=OP=Jx;+y;,
'所以2卜-13—1]+々="x;+y;,
化简得(%—I)?+y:=3,所以点P的轨迹为以(1,0)为圆心,半径为有的圆,
其周长为长度为2后,正确.
故选:ABD
V-2+1
11.已知函数/(x)=--^\g(x)=^+bx+c,则下列说法正确的有()
X-1
A.若g(x)=0有两个相同的实数根,则函数y=cx+仅2—4c+l)经过一二四象限
B.7(%)的图象和一个以(1,0)为圆心,1为半径的圆没有交点
C.7(%)可以—12Wx40时取到最小值20—2
D.若g(x)有两个不同零点,设这两个零点分别为巧、x2(均在%的左边)在%>1时,若"X)的最
小值等于%,则6=c是不可能成立的
【答案】BC
【解析】
【分析】由g(x)=0有两个相同的实数根,得出片=4cN0,取c=0即可判断A;由两点之间距离公式
及基本不等式即可判断B;由基本不等式即可判断C;由基本不等式及韦达定理即可判断D.
【详解】对于A,若g(x)=0有两个相同的实数根,则尸—4c=0,即/=4c20.
所以Z?2-4C+1=1,CN0,则函数y=cx+W-4c+l)=cx+l,
当c=0时,函数y=l,图象过一二象限,故A错误;
X,+1
对于B,/(%)=:——-,x*l,设(1,0)为点A,
X-1
m2+1
设函数”力的图象上一动点尸坐标为m,,mwl,
m-1
7
2
/21、2m2+1
则丛2=(根—1J+m+12
>(m-l)+——-——T
(m—1)2(m—1)
I2
2,当且仅当根=2或冽=0时,等号成立,
m—1)
/21、2
m+1
当根=0时,PA2=(m-1)2+—2,PA=5/2,
)(7刀_i_1]___
当机=2时,PA2=(m-l)-+--=26,24=后,所以9>1,
>n—l,
所以/(%)的图象和一个以(1,0)为圆心,1为半径的圆没有交点,故B正确;
f+1
对于C,当一12<x<0时,/(x)=-^—设x—l=/e[—13,—1],X=t+1,
X1
则J+:+2―〉2,2存2,
2
当且仅当T=—7时,即/=—应时等号成立,X=l—0,
所以/(%)可以在—12<x<0时取到最小值20-2,故C正确;
对于D,若g(x)有两个不同零点,则方程9+区+C=0有两个不相等的实数根,
所以/—4c>0,^+x2=-b,x1x2=c,
f4-1
在时,/(x)=------,设%-1=力>。,贝!Jx=1+1,
X1
所以/⑺"11+]J+;+2=/+”“收+2,
2__
当且仅当/=:,即/=0时取等号,此时》=应+1,则%=20+2,
若b=c,则一(玉+%)=%龙2,即—王—(2,^+2)=%(2j^+2),解得菁=2—2,^</,
则存在Z?=c=T,A=/—4c=16—4x(Y)=32>0,故D错误;
故选:BC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
Ss
12.设5”是各项均为正数的等比数列{4}的前〃项和,若《也=10,则瞪=.
【答案】13
【解析】
【分析】利用等比数列的前"项和公式,结合已知求出q"=3,继而化简白,即可求得答案.
【详解】设数列{4}的公比为4,由题意,显然4〉0,4〉0且
q(W)
则乒==1+7=1°,解得/=3,
S2n)
i-q
%(1-产)
所以亲=L“\=1+小/'=1+3+9=13.
S”%(1-4)
i-q
故答案为:13
兀)(717C]
[0,—I,[-5,]卜且(1+8520(1+5m/7)=$11120(»5力,则2tan戊一tan/7的最小值
为.
【答案】73
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及差角公式可得cos】=sin(i—尸),进而得到尸=2。-然后
7T
2tan。—tan/7中万用2a-万代换,化简后利用基本不等式求出最值.
【详解】由(1+cos2a)(l+sin0=sin21cos齐得,2cos2a(l+sin/?)=2sin«cosacos/3,
又所以cosiwO,所以coso(l+sin/?)=sinocos/7,
所以cosa=sinacos尸-cosasin/?=sin(a—,
(兀)I7t7Ti
因为(/[。,万),/3elI,tana>0,所以cose=sin(e—/7)>0,
jrjr
则a—/?+a=2a-0=即/?=2a——,
2tana-tan/?=2tana-tan12a-松
sin2a——
o.I2Jc*-cos2a
2tana---------------1-2tana------------
(c7i)sinla
cos2a——
I2j
八l-2sin2a八1-tan2a
-2tanaH-----------------2tanaH----------------
2sinacos。2tana
3tan2dz+1
—3tana+------
2tana21tana
>—x2J3tana---=6
2Vtana
当且仅当tana=也时,即&=乌,尸=—四时等号成立.
366
故答案为:5
14.对于两个事件M,N,若O<P(")<1,O<P(M)<1,称尸(M,N)=
P(MN)-P(M)P(N)
为事件M,N的相关系数.在春暖花开、风和叶翠的季节,小张、小李、小
《P(M)P网P(N)P(N)
王、小刘四人都计划周末去踏青,现有四个可出游的景点:南湖、净月、莲花山和天定山,若事件M:
净月景点至少有一人:事件M莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人,则事件M,N的相关系数为
【答案】嚅##嘉府
【解析】
【分析】先求事件“,N,的概率,再按定义求事件",N的的相关系数.
【详解】事件事件M:净月景点至少有一人,则事件而:净月景点无人,
则F垓_QIi75
^LUP(M)=1-P(A?)=1--=—
事件M莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人,所以
C;©+C:x2+Cx22+C[x23)_65
4^-128
所以*)=1—P(N)=1一部=粽
事件MN:净月景点至少有一人,莲花山和天定山两个景点恰有一个景点无人,
C〔C;(C;+C;+C;)+C©(C;+C;)+C4C2_10025
P(MN)=
4425664
2517565
所以P"N)=J(丝必必自31=64-256X12819后
」QP(M)P(M)P(N)P(N)啰匕义更义且一819
V256256128128
故答案为:吆叵.
819
【点睛】方法点睛:解决组合综合题目,要先分类,再分布.在求事件所包含的基本事件个数时,按
净月景点的人数为1,2,3分类,再选定莲花山和天定山中一个景点无人,则另一个景点必须有人,按
人数分类,最后讨论剩下的人员的安排.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.VABC的内角ASC的对边分别为。,4c,已知acosB—Z7cosA=Z?+c.
(1)求角A;
(2)若a=3,2sinC+sin3=,求VABC的面积.
2
2
【答案】(1)A=-7l
3
⑵9-3、
4
【解析】
【分析】(1)由题意利用边化角可得sinAcosB-sinjBcosAMsinB+sinC,再利用sinC=sin(A+5)
结合和差公式化简得cosA=-工,继而即可求解.
(2)利用和差公式,由2sinC+sin5=迈可得cosB=^,继而可得3=2,C=—
22412
由(1)的结论,结合正弦定理及。=3,可得b=&,根据sin乌=sin(巴-巴),利用和差公式可得
1234
sinC=逅二也,再由面积公式即可求解.
4
【小问1详解】
acos3—Z?cosA=b+c,
由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=sin5+sinC,
即sinAcosB-sinBcosA=sinB+sin(A+B),
/.sinAcos5—sin5cosA=sin5+sinAcosB+cosAsin5,
-2sinBcosA=sin5,
・.,sin5w0,
cosA=--,
2
*/0<A<?r,
A=—兀.
3
【小问2详解】
2sinC+sinB=2sinf台+g+sinB
(1g)
=2——sinBH-----cos5+sinB
122J
=R°SB=9,
...cosB=^
2
=—,C=兀一A-3=7i----=—
43412
由〃a
=2A/3,
sinBsinA
得/?=2gsin8=2代x变=卡,
2
.71..7171..717171.71
,/sin—=sm(----)=sin—cos---cos—sin—
12343434
A/3VI1V2V6-V2
--X------X---=--------,
22224
S丛ABC-absmC=-x3xV6xsin—
2212
V6-V29-36
=—x3x^/6X-------=-------
244
16.设数列{时}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设勿=—4log2智,数列{加}的前〃项和为7;,若对任意的“wN*,7;<22—1恒成立,求彳的
取值范围.
3
【答案】(1)«„=-
(2)[5,+co)
【解析】
31
【分析】(1)根据s〃与巴之间的关系分析可知数列{%}是首项为万,公比为5的等比数列,进而可得通
项公式;
3〃+33〃+9
(2)由(1)可知:bn=——,利用错位相减法可得7;=9———,结合恒成立问题分析求解即可.
【小问1详解】
因为50=3,
3
当〃=1时,由q+%=3,解得4=/;
当〃22时,则Sn+an=3,S,T=3,
an1
两方程相减得2%-%_]=0,即---=—;
a„-i2
31
可知数列{4}是首项为万,公比为5的等比数列,
所以g=3尸3
2"
【小问2详解】
由⑴可知:—咋2?=3几十3
T
69123〃+3
则(=
222232"
69123n+3
~Tn域+了+下+…+k
3
1-
4
两式相减得=3++aL3〃+3r3n+3
=3+
2”一+曰2"12向
可得—]T==Q—3_ri+Z9,即7=9—£3n_+9乙
222n+12"
3n+123〃+93几+6八
因为1+i—(,=9-^--ir->0,
T2"1
可知{北}是单调递增数列,且券2〉0,可得(=9-烁2<9,
因为对任意的〃eN*,7;<24—1恒成立,可得9<2X—1,解得425,
所以X的取值范围为[5,+8).
17.已知函数/(x)=ox—lnx—a(aeR),且/(x)»0恒成立.
(1)求实数。的取值集合;
(2)证明:e'2X?+(e—3)X+2+1ILV.
【答案】⑴{1}
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)由题可知只需证明/(XL。》0,利用导数研究函数最小值即可;
(2)先利用(1)InxW九-1进行放缩,再构造函数证明即可.
【小问1详解】
①当aW0时,/'(力<0J(%)在(0,+8)上单调递减,
当1>1时,/(x)</(l)=O,这与/(力》0矛盾,不合题意.
②当a>0时,
由((%)<0得0<%<,;由((%)>0得%>工,
aa
则/(X)在上单调递减,在上单调递增,
x=:时,函数八可取得唯一极小值即最小值.
又•."(x)»0且f(l)=0
.-.1=L解得。=1,故实数。的取值集合是{1}.
【小问2详解】
由(1)可知:a=l时,/(x)>0,即lnx<x-l对任意%>0恒成立.
.••要证明:e'N2+x?+(e—3)x+lrtv,
则只需要证明e—1+f+(e—2)%,
即e%-]-f_(e-2)xN0.
令/?(%)=I-l-炉-(e-2)x,x>0,/ir(x)=ex-2x-(e-2),
令M%)=e*_2%_(e_2),M(%)=e"_2,
令M(x)=e*-2=。,解得x=ln2.
当N£(0,ln2)时,M(%)v0,"(x)单调递减,
当X£(ln2,+8)时,”'(x)>0,单调递增.
即函数/(可在(O,ln2)内单调递减,在(ln2,+“)上单调递增.
而“(O)=l—(e_2)=3_e>O,〃(ln2)v/z”)=O.
所以存在玉)£(。,山2),使得〃(王^二。,
当%e(0,而)时,〃(%)>0,%(%)单调递增;
当天£(%,1)时,"(x)vo,/z(x)单调递减.
当%€(1,+8)时,单调递增.
又〃(0)=1-l=O,Ml)=e-1-1-(e-2)=0,
对Vx>0,/z(x)20恒成立,即e'—1—x2—(e—2)x>0.
综上可得e'N+(e-3)x+2+lux.
18.近年来,社交推理游戏越来越受到大众的喜爱,它们不仅提供了娱乐和休闲的功能,还可以锻炼玩家
的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神,增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次
活动中组织了“搜索魔法师”游戏,由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前,“侦
探”是公认的,每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中,由“侦探”对
“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答,直至找出所有的“魔法师”为止.
(D若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”,第10次才找到最后一个“魔法师”,则这样的不同搜索
方法数是多少?
(2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”,则这样的不同搜索方法数是多少?
(3)游戏开始,有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色,主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最
终确认人员.三人围成一圈,第1次由甲将花传出,每次传花时,传花者都等可能地将花传给另外两个人
中任何一人.试问,5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种?
【答案】(1)103680
(2)576(3)10
【解析】
【分析】(1)(2)根据排列组合,结合分步乘法计数原理即可求解,
(3)根据题意可得“eN*,即可根据递推关系求解.
【小问1详解】
先排前4次搜索,只能取“麻瓜”,有A:种不同的搜索方法,
再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索,有A:种搜索方法,
再排余下4个搜索位置,有A:种搜索方法.
所以共有A:A;A:=103680种不同的搜索方法.
【小问2详解】
第5次搜索恰为最后一个“魔法师”,
则另3个在前4次搜索中出现,从而前4次有一个“麻瓜”出现,
所以共有C;C;A:=576种不同的搜索方法.
【小问3详解】
由于甲是第1次传花的人,因此第2次传花时,甲不能再次拿到花.
这意味着在第2次传花时,花必须传给乙或丙.
同样,第3次传花时,花不能回到前一次传花的人手中.
因此,传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况.
设与为经过〃次传花后花在甲手上的线路数,其中的=0.
则an+1为经过n+1次传花后花在甲手上的线路数,即经过n次传花后花不在甲手上的线
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