上海市九年级上学期数学期中模拟试卷（测试范围：相似三角形、锐角的三角比）

2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷满分：150 测试范围：相似三角形、锐角的三角一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分下列两个图形一定相似的是 两个菱 B．两个周长相等的直角三角C．两个正方 D．两个等腰梯x:y21，那么2xyx等于（3: B．3 C．2

3，则α等于 A． B． C． D．下列说法中，正确的是 反向量，那么ab0B．如果a和ba 如果a和b ab，那么a

如果a2b（b为非零向量，那么aDEABACDEBC的条件是（AD:ABDE:C．AD:DBAE:

AD:DBDE:D．AE:ACAD:如图，在VABC中，D、EAB、ACDEBCAEEC23S△ADE:S△BEC（4: B．4 C．4: 二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分 km已知线段a3厘米，c12厘米，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么b 厘米在VABC中，C90，AC2，BC3，则∠A的余切值为 已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且APBP，那么AP:AB的比值 一段公路的坡度为1∶3，某人沿这段公路路面前进100米，他上升的最大高度 Rt△ABC中，C90,AC4,BC6，则VABC的内接正方形CFDE的边长 在正方形网格中，VABC的位置如图所示，则cosB的值 ABCD中，EAC上一点，设–––→

，若AE2EC， （结果用含ab的式子表示如图，AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，l1与l2相交于点O，如果AC2，OC1，OF3，BE8，那么DE的长为 清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A，自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 1所示安装，支点AC分别固定在门框和门板上，门宽OD52cmAB18cmBC24cm，闭门器工作时，摇臂、连杆和OC2sinB

5，则AC的长 cm．如图3，门板绕点O旋转，当ÐB=90°时，点D到门框的距DK48cm，则OC的长

π

1

4sinabc且abc27，求a、b、c 已知l1∥l2∥l3AM3BM2BC4DF15DM,ED,EF某中学开展综合与实践活动，小宇所在的小组负责测量该校附近的ft坡的护坡石坝坝顶AB之间的距离AB5AC1米处(CD1米）DE0.78米，小组其他同学测得石坝与地面的倾斜角ABF67．请你根据以上信息，求出石坝坝顶AB之间的距离AB（sin670.92，cos670.39tan672.36)ABCDADBCEF分别是𝐴𝐷BC的中点，𝐵𝐷EF交于点GO为OFDCOE

设BAa，DCb，如果DE:BF1:3，那么FO ，EG ．(用向量a、b表示如图，过VABCCABADF、EDDMFCAB若SAEFS四边形MDEF23AEEDAEFB2AFED如图，RtABCC90AC2BC4，PAB 当CACPAPCP平分∠ACBPBCPPQBC，PQCBQAPxBQyyx2024-202501满分：150分 测试范围：相似三角形、锐角的三角比一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分)下列两个图形一定相似的是（ ）A．两个菱形 B．两个周长相等的直角三角形【答案】C【知识点】相似多边形用排除法求解．【答案】C【知识点】相似多边形用排除法求解．【详解】A.两个菱形，对应边成比例，对应角不一定成相等，故不符合题意；两个周长相等的直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；.C.【点睛】此题主要考查了相似多边形的识别．理解相似多边形的判断依据是解题的关键．2x:y21，那么2xy:x等于（）A．3:2 B．3:1 C．2:1 D．2:3【答案】【答案】A【知识点】比例的性质x2k,yk，代入2xy:x即可求解．x2kyk，2xy:x4kk:2k3:2,故选：A．αcosα20

3，则α等于（ ）2【答案】B【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数A．30 B．50 C．60 D．80【答案】B【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值直接求解．【详解】解：∵已知α为锐角，cosα20∴α2030，∴α50．3，2故选：B．下列说法中，正确的是（ ）→ → → → → →如果a和b是相反向量，那么ab0B．如果a和bab→ → → →

→ → → → →C．如果a=b，那么ab D．如果ab（b为非零向量，那么a∥b【答案】【答案】D【分析】根据向量的定义与性质，逐一对选项判断即可．0，故本选项不符合题意；B、平行向量为方向相同或相反，模不一定相等，故本选项不符合题意；D、两个向量方向相同，所以是平行向量，故本选项符合题意；答案：D．【点睛】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键．DEABACDEBC的条件是（）AD:ABDE:BCC．AD:DBAE:ECAD:DBDE:BCD．AE:ACAD:DB【答案】【答案】C【知识点】由平行判断成比例的线段的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．【详解】解：设DEBC，::::，选项选项A、B、D、不符合平行线分段成比例定理．（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．∵AD:DBAE:EC，DEBC．故选：C．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解答此题的关键的是明确哪些对应线段成比例．学生初学，容易出错．如图，在VABC中，D、EAB、ACDEBCAE:EC23，那么S△ADE:S△BEC（）A．4:9 B．4:15 C．4:21 D．4:25【答案】【答案】B【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解键．根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：∵DEBC，∴△ADE∽△ABC，AC BC ABAE:EC2:3，AE:ACAE:AECE2:5∴AEDEAD，ADESAE2 4SABCAC 25，ADADBD AB AC 5ADAE2，AD2，BD 3SADE2 AD2，1ADhSBDE1BDhBD 32设SADE为4x，则SABC为25x，S△BDE为6x，S△ADES△ADE4xS△BEC S△ABCS△ADES△BDE25x4x6x 15x 154x4，∴S△ADE:S△BEC4:15，故选：B．二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分)【答案】48°或72°【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【详解】∵ABC与DEF相似，且，∠B≠∠A≠∠F，∴∠E＝∠B或∠E＝【答案】48°或72°【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【详解】∵ABC与DEF相似，且，∠B≠∠A≠∠F，∴∠E＝∠B或∠E＝∠A，∵∠B＝48°，∠A＝72°72°，故答案为：48°或72°．【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应角相等是关键．在比例尺为2000000的地图上，量得线段𝐵两地距离是12m，则𝐵两地实际距离为 km．【答案】【答案】240【知识点】成比例线段即可得出答案．【详解】解：设实际距离为xcm，由题意得：12x 20000001，解得x24000000，经检验，x24000000是分式方程的解，24000000cm240km,故答案为：240．【答案】6【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到abbc，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，ab【答案】6【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到abbc，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，abcd，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当abbc时，线段b是线段a和c的比例中项．【详解】∵线段b是线段a和c的比例中项，abbc，即b2ac312，∴b6cm，在VABC中，C90，AC2，BC3，则∠A的余切值为 ．22【答案】3【知识点】解直角三角形的相关计算的定义是解题的关键．【详解】解：在VABCC90AC2BC3，BC 3故答案为：．23【答案】512根据黄金分割的定义即可得出答案．【详解】解：PABAPBP，【答案】512根据黄金分割的定义即可得出答案．【详解】解：PABAPBP，AP51AB，2AP 51，AB 2故答案为：51．2一段公路的坡度为1∶3，某人沿这段公路路面前进100米，他上升的最大高度为 ．【答案】【答案】1010米．的铅直高度，即此人上升的最大高度．【详解】解：如图．Rt𝗈ABC中，tanA=1，AB=100米．3x2+（3x）2=1002，x=1010（负值舍去．故答案为：1010米．【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函数的运用能力．12【答案】5【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．根据正方形的性质可得出DEAC、EFBC，进而可得出△ADF∽△DBE，设正方形CFDEa，则AF4aBE12【答案】5【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．根据正方形的性质可得出DEAC、EFBC，进而可得出△ADF∽△DBE，设正方形CFDEa，则AF4aBE6aa的方程，解之即可得出结论．【详解】解：如图，DEAC、EFBC，ABDE,BEDCAFD90，DEBE，AF DF设正方形CFDEa，AC4,BC6，AF4a,BE6a，a4a a6a，即10a24，a12，5故答案为： ．125在正方形网格中，VABC的位置如图所示，则cosB的值为 【答案】【答案】22【知识点】勾股定理与网格问题、求角的余弦值【分析】本题主要考查余弦函数的定义和勾股定理，构建直角三角形是解题的关键．AD⊥BCDADBD5AB，再由余弦函数的定义求解即可．AD⊥BCD，∴AB= AD2+BD2= 52+52=52，∴cosÐB=BD=AB5= 2．52 215 ABCD中，EAC上一点，设–––→→，

–––→，若AE2EC，则 ． AC → →

BE b DC （结果用含ab的式子表示．【答案】【答案】2→3ab→【知识点】向量的线性运算AE2AC，3–––→ABAEEB．【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，DC∥AB，DCAB．EACAE2EC，AE2AC，3ABAEEBAEBEab，2→→3DC–––→2→→3ab，故答案为：ab．32→→如图，AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，l1与l2相交于点O，如果AC2，OC1，OF3，BE8，那么DE的长为 ．1616【答案】3【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值ABEFBOOE4，再利用CD∥EF，可得OD4，结合线段的和差，从而可得答案．3【详解】解：∵ABEF，∴AOBO，OF OE∵∵AC2，OC1，OF3，∴OE 3∴BOOE4，∵CD∥EF，OF OE 3 4∴OD4，3∴DEODOE4416；3 3故答案为： ．163清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A，自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里．【答案】8【答案】8【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，设这座方城每面城墙的长为x里，根据题意得到BECDBECADC90，证明△CEB∽△ADC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：设这座方城每面城墙的长为x里，BECDBECADC∠DCE90CECD1xBE2AD8里，2BACD，△CEB∽△ADC，BECE，即221xCD AD1x8，2x8，故答案为：8．1所示安装，支点AC分别固定在门框和门板上，门宽OD52cm，摇臂AB18cmBC24cm，闭门器工作时，摇臂、连杆和OC2，当门闭合时，

5，则AC的长为 cm．如图3，门板绕点O旋转，当ÐB=90°时，点D到门框的距离3DK48cm，则OC的长为 cm．【答案】【答案】188【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）键．过AAEBCEAE、CEAC，作CFAKFE为C的对应点，设OC13x，分别表示出CF、OF、OEAF，用勾股定理即可求解．【详解】解：过A作AEBCE为垂足，sinB5，3AE 5，AB 3AE 5，18 3AE65，BE AB2AE218265212，CEBCBE241212，ACCE2AE212265218．故答案：18．AC，作CFAKFE为C的对应点，CF∥DK，∴OCF∽ODK，OCCF，OD DKOCCF，52 48OC13，CF 12设OC13x，则CF12x，OFOC2CF213x212x25x，1AE18cmOEOC13x，AFOFOEAE5x13x181818x，又又AC AB2BC218224230，CF2AF2AC2，12x21818x2302整理得：13x218x160，x8x2（舍去，1132OC1388cm．138．三、解答题8计算：8

π3.14

0 22

4sin45．【答案】【答案】3案．【详解】8π3.14 4sin450 12 2＝221422＝3．运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．abc且abc27，求a、b、c的值【答案】a6【答案】a6b9c12．【知识点】比例的性质abck，则a2kb3kc4kkk的值即可2 3 4解答．abck，2 3 4∴a2k，b3k，c4k．∵∵abc27，27，∴a6，b9，c12．量用所设的未知数表示出来，实现消元．21．已知l1∥l2∥l3AM3BM2BC4DF15DM,ED,EF．DM5,ED25,EF2033【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出AMAC DF ME MB , DMDMAM是解决问题的关键．由平行线分线段成比例定理得出AMAC DF ME MB , DMDMAM，即可得出结论．【详解】解：l1∥l2∥l3，AMDM,DMAM，AC DF ME MBBC4,DF15，3324 15 ME 2DM,DM3，5,ME103DEDMME25,EFDFDE20．3DM5,ED25,EF20．333某中学开展综合与实践活动，小宇所在的小组负责测量该校附近的山坡的护坡石坝坝顶AB之间的距离AB5AC1米处(CD1米）DE0.78米，小组其他同学测得石坝与地面的倾斜角ABF67．请你根据以上信息，求出石坝坝顶AB之间的距离(AB)（sin670.92，cos670.39tan672.36)【答案】【答案】4.2米【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点AAGFC于GAGAB．【详解】解：如图，过点AAGFC于G，DEAG，DECD，AG ACDE0.78CD1AC5米，0.781，AG 5AG3.9，在Rt△ABGABG67，sinABGAG，ABABAGsinABG 0.923.94.2（米，答：石坝坝顶AB4.2米．ABCDADBCEF分别是𝐴𝐷BC的中点，𝐵𝐷EF交于点GO为𝐵𝐷OFDC．OE的值；AB

→

–––→

–––→ → →【答案】(1)OE1AB 2(2)b，1→1 →→2 8ba【分析】本题主要考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、平面向量；（1）由三角形中位线定理易得OF为BCD的中位线，进而可得OE为【答案】(1)OE1AB 2(2)b，1→1 →→2 8ba【分析】本题主要考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、平面向量；（1）由三角形中位线定理易得OF为BCD的中位线，进而可得OE为ABDOE1；AB 2（2）FO1––→–––→2CDb,OE BA1→222aFEFOOE1→2 ab→，证DEG∽BFGEGDE1EG1FE，以此即可得到答案．FG BF 34（1）解：OF∥𝐶𝐷FBC的中点，OF为BCD的中位线，点O为𝐵𝐷的中点，又E为𝐴𝐷的中点，OE为ABD的中位线，OE∥𝐴𝐵OE1ABOE12AB 2（2）解：––→BAa DCb→，FO CDb,OE BA a，1––→1→2222FEFOOE ab–––→1→→2 ，AD∥BC，EGDE1EG1FG，FG BF 3EG1EF，43EG FE ba–––→→1 →48 ，故答案为： ，b1→1 →2 8 ba→．如图，过VABCCABADF、EDDMFCABM．若SAEFS四边形MDEF23AEED的值；【答案】(1)1023(2)见解析【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质．（1）DM【答案】(1)1023(2)见解析【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质．（1）DMFC，证明AEF∽ADM，得到AE2ADAEF，由SAEFS四边形MDEF23，得到SSADMSAEFSADM25，进而得到AE2 SADAEFAE25，求出AEAE10AD AEED 5，即可求解；（2）由（1）知AEF∽ADM，得到AEDE AFMFAFAEAFDMFC，证明DE MFCF BF BC 2（1）解：DMFC，AEF∽ADM，BDM∽BCFDMBMBD1BF2BM2MF，即可证明结论．AE2 SADAEF，SADMSAEFS四边形MDEF23，S△AEF:SADM2:5，AE2 SADAEFSADM2，5AEA