中考数学《图形的相似》试题汇编（含解析）

图形的相似(29题)

一、单i4M

题目刀(2023•重庆•统考中考真题)如图，已知AABC〜△EDO,AC：EC=2:3,若AB的长度为6,则DE的

长度为()

A.4B.9C.12D.13.5

【答案】B

【分析】根据相似三角形的性质即可求出.

【详解】解：,:AABC〜/XEDC,

：.AC：EC=AB-.DE,

AC.EC=2:3,AB=6,

/.2:3=6:DE,

：.DE=9,

故选：8.

【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.

题目句(2023・四川遂宁•统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示

的平面直角坐标系中，格点△4BC、ADEF成位似关系，则位似中心的坐标为()

A.(-1,0)B.(0,0)C.(0,1)D.(1,0)

【答案】A

【分析】根据题意确定直线入。的解析式为：沙=必+1,由位似图形的性质得出入。所在直线与BE所在直

线立轴的交点坐标即为位似中心，即可求解.

【详解】解:由图得：4(1,2),。(3,4),

设直线的解析式为：?/=fcr+b,将点代入得：

用以解得IO

直线AD的解析式为：g=%+1,

•1・

AD所在直线与BE所在直线2轴的交点坐标即为位似中心，

.•.当沙=0时，2=—1,

位似中心的坐标为(-1,0),

故选：4

【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关

键.

题目区(2023・浙江嘉兴•统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(l,2),B(2,l),

C(3,2),现以原点。为位似中心，在第一象限内作与4ABC的位似比为2的位似图形△HBC',则顶点C

A.(2,4)B.(4,2)C.(6,4)D.(5,4)

【答案】。

【分析】直接根据位似图形的性质即可得.

【详解】解：•••△ABC的位似比为2的位似图形是44区。',且。(3,2),

.♦.0(2X3,2X2),即。(6,4),

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键.

题目目(2023.四川南充.统考中考真题)如图，数学活动课上,为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放

置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.

已知小菲的眼睛离地面高度为1.6馆,同时量得小菲与镜子的水平距离为2馆,镜子与旗杆的水平距离为

10m,则旗杆高度为()

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

【答案】B

【分析】根据镜面反射性质，可求出NACB=/ECD,再利用垂直求△ABC〜△EDC,最后根据三角形相

似的性质，即可求出答案.

【详解】解:如图所示，

•2•

由图可知，CD_LOE,CF^BD

・・・/ABC=/CD石=90°.

・・,根据镜面的反射性质，

・・・ZACF=AECF,

・•.90°-ZACF=90°一/ECF,

・・・4ACB=/ECD,

・•・4ABe〜岫DC,

.AB=BC

，9^E~~CD'

・・・小菲的眼睛离地面高度为1.6馆,同时量得小菲与镜子的水平距离为2皿镜子与旗杆的水平距离为

10m,

AB—1.6m,BC—2m,CD—10m.

.1.6=2

**D^-10，

DE—8m.

故选:B

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性

质.

;题目回(2023.安徽.统考中考真题)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EFL4B于点F,连接

DE并延长，交边BC于点“，交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则MG=()

A.2V3B.C.V5+1D.V10

【答案】B

【分析】根据平行线分线段成比例得出普=罟=2,根据4ADE〜ACME，得出第=器=2,则

L/JVLrJDCMh/JVL

CM=^AD=1•，进而可得1■，根据BC//AD,得出4GMB〜AGDA,根据相似三角形的性质得

出石G=3,进而在衣协反弘1中，勾股定理即可求解.

【详解】解：•・,四边形ABCD是正方形，4尸=2,=1,

・・・AD=6C=4B=4F+FG=2+1=3,AD//CB,AD±AB,CB±AB,

\-EF±AB.

：.AD//EF//BC

•3・

・・・=捻7=2,ZXAD石〜△CME,

EMFB

,AD=DE=2

"~CM~~EM~9

则=

：.MB=3-CM=^-f

•：BC//AD,

・・・/\GMBjGDA,

.BG=MB=*=\

**AG-DA-yy

/.BG=AB=3,

在Rt/\BGM中，MG=V,MB2+BG2=J（-|-）2+32=呼^,

故选:B.

【点睛】本题考查了正方形的性质,平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握

以上知识是解题的关键.

颠百回（2023•湖北黄冈・统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3,5C=4,以点B为圆心，适当长为半

径画弧，分别交BC,BD于点E,F,再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点P,作射线

BP,过点。作BP的垂线分别交BDAD于点M,N,则CN的长为（）

A.V10B.V1TC.2V3D.4

【答案】A

【分析】由作图可知BP平分ZCBD,设BP与CN交于点O,与CD交于点五，作RQ，BD于点Q,根据

角平分线的性质可知AQ=RC,进而证明RtABCR空,推出BC=BQ=4,设五Q=RC=/，

则DR=CE>—CR=3—工，解放△DQR求出QR=CR=曰.利用三角形面积法求出OC,再证△OCR

O

〜△DCN,根据相似三角形对应边成比例即可求出CN.

【详解】解:如图，设BP与CN交于点。，与CD交于点心作于点Q,

,/矩形ABCD中，AB=3,BC=4,

-4■

.•.CD=AB=3,

BD=y/BC2+CD2=5.

由作图过程可知,BP平分NCBD,

•.•四边形4BCD是矩形，

:.CDLBC,

又；RQ±BD,

RQ=RC,

在Rt/XBCR和Rt/XBQR中，

(RQ=RC

[BR=BR'

：.Rt^BCR空RtABQR(HL),

:.BC=BQ=4,

：.QD=BD-BQ=5-^=1,

设RQ=RC=6，则DR=CD—CR—3—x,

在RtdDQR中，由勾股定理得OH2=OQ2+RQ2,

即(3—6)2=12W,

解得C=J

o

CR~~~.

o

BR=VBC2+CR2=4^10.

o

•••SABCR=yCK-BC=^BR-OC,

•：ACOR=ACDN=90°,ZOCR=4DCN,

：.△OCR〜ADCN,

.OC_CR即i_1

DCCN3CN

解得CN=，IU.

故选：A.

【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定

理,相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP平

分/CBD,通过勾股定理解直角三角形求出CR.

;题目⑦（2023・四川内江•统考中考真题）如图，在△ABC中，点。、右为边AB的三等分点，点F、G在边BC

上，AC7/DG〃EF,点H为AF与。G的交点.若47=12,则的长为（）

ADEB

■5-

A.1B.yC.2D.3

【答案】。

【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,DH是

△AEF的中位线，易证△BEF〜△BAG,得黑=器，解得4,则DH=±EF=2.

ACAB2

【详解】解：,/D、E为边AB的三等分点，EF//DG//AC,

：.BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,

/.AB=3BE,DH是4AEF的中位线,

:.DHQEF,

•：EF//AC,

NBEF=NBAC,NBFE=ABCA,

.EFBE日“EFBE

..=,即=----,

ACAB123BE

解得：EF=4,

/.DH=^-EF制x4=2,

故选：C.

【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知

识;熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

目©（2023•湖北鄂州•统考中考真题）如图,在平面直角坐标系中，O为原点,。人=05=3相,点C为

平面内一动点,BC=1■，连接AC,点河是线段4。上的一点,且满足CM-.MA=1:2.当线段0M取最大

【分析】由题意可得点。在以点B为圆心，|■为半径的上，在立轴的负半轴上取点。（—好，0）,连

接BD,分别过C、M作CF±OA,ME.LOA,垂足为F、E,先证AOAM-ADAC,得=翌=

CDAD

善,从而当CD取得最大值时，。河取得最大值,结合图形可知当。,三点共线，且点B在线段。。上

O

时，CD取得最大值，然后分别证△BDO〜△CDF,ZVLEN〜A4尸C,利用相似三角形的性质即可求解.

,6,

【详解】解：•.•点。为平面内一动点，及7=等,

.•.点。在以点8为圆心，告为半径的OB上,

/.AD=OD+OA=—,

.OA_2

**AD-3-，

・・・CM:AM=1:2,

.OA=2=CM

••布―g―

•・・ZOAM=ADAC,

：./XOAM-^DAC,

.OM=OA=2

一CD一而一f

・•・当CD取得最大值时，。州取得最大值，结合图形可知当O,B,。三点共线，且点石在线段。。上时,

CD取得最大值，

・・・04=06=3花OD=^~,

：,BD=VOB2+OB2=^(3V5)2+(^^)2=墨

:・CD=BC+BD=9,

,.OM_2

•~CD~~3f

：.OM=6f

•・・。轴_1力轴，CF.LOA,

：.4DOB=4DFC=90°,

•・・/BDO=/CDF,

：.ABW-ACDF,

L15

.QB_=BD_即3瓜=T

，9~CF~~CD~CF~~^~9

解得CF=^",

同理可得，/\AEM〜/XAFC,

•7•

.ME_=■=2即ME=2

"~CF~AC18V5~-3

5

解得=丝⑤，

5

/.OE=JOM'Z—ME,z=,

：.当线段O河取最大值时,点M的坐标是（吟，卷⑤卜

故选：D

【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相

似三角形的判定及性质是解题的关键.

;题目回（2023・山东东营・统考中考真题）如图,正方形ABCD的边长为4,点石，F分别在边。上，且

BF=CE,AE平分ACAD,连接DF，分别交AE,AC于点G,M,P是线段AG上的一个动点，过点P

作PN±AC垂足为N,连接PM,有下列四个结论:①AE垂直平分DM^PM+PN的最小值为372；

③CF2=GE-AE；④S“m=6，.其中正确的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

【答案】。

【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明/D4E=/FDC,通过等量转化即可求证AG,ZW,

利用角平分线的性质和公共边即可证明AADG笃△4WGG4S4）,从而推出①的结论;利用①中的部分结

果可证明AADE〜4DGE推出DE?=GE-AE,通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和

勾股定理推出⑷W•和CW长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可

求出JW+PN的最小值，从而证明②不对.

【详解】解：•••4BCD为正方形，

/.BC=CD=AD,ZADE=ADCF=90°,

•；BF=CE,

:.DE=FC,

：.△ADE空/\DCF（SAS）.

：.NDAE=NFDC,

•//ADE=90°,

/ADG+/FDC=90°,

/./ADG+/nAE=90°,

/.ZAGZ?=ZAGM=90°.

•.•AE平分/CAD,

ADAG=AMAG.

•：AG^AG,

■8•

/\ADG空△WG(ASA).

/.DG=GM,

AAGD=AAGM=9Q°,

.♦.AE垂直平分DAI,

故①正确.

由①可知，2ADE=NDGE=90°,/DAE=AGDE,

：.4ADE~/\DGE,

.DE_AE

"~GE~1)E，

:.DE?=GE•AE,

由①可知DE=CF,

：.CF2^GE-AE.

故③正确.

1.•ABCD为正方形,且边长为4,

：.AB=BC=AD=4：,

：.在Rt^ABC中，力。=V2AB=4V2.

由①可知，ZXADG皂△4MG(AS4),

：.AM=AD=4：,

：.CM=AC-AA1=4V2-4.

由图可知，ADMC和△ADM■等高，设高为/z,

••S/VLDAf=S^ADC-SaMC，

.4义,_4义4(4血一4)•八

"2一2'

h=2V2,

S4AoM=。,AM-/i=Jx4X2V2=4A/2.

故④不正确.

由①可知,△4DG空△AWG(ASTl),

：.DG=GM,

/.M关于线段AG的对称点为。，过点。作ON」AC,交AC于N',交AE于尸,

PM+PN最小即为DN',如图所示，

由④可知△AZW的高无=2四即为图中的DN',

/.DN'=2V2.

故②不正确.

综上所述，正确的是①③.

故选：D

【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角

形全等，三角形面积法,解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运

用相关知识点.

题目叵］（2023.内蒙古赤峰.统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点

。与延长线上的点Q重合.DE交BC于点F,交4B延长线于点E.DQ交BC于点P,DM_LAB

于点M,AM=4,则下列结论，①。Q=EQ,②BQ=3,③8尸=兽，④BD〃FQ.正确的是（）

O

•9・

C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由折叠性质和平行线的性质可得NQDF=ACDF=/QEF,根据等角对等边即可判断①正确;根

据等腰三角形三线合一的性质求出MQ=4M=4,再求出BQ即可判断②正确；由△CDP〜ABQP得

需=罢=得，求出叱即可判断③正确;根据等片需即可判断④错误.

BPBQ3DEBE

【详解】由折叠性质可知：4CDF=4QDFCD=DQ=5,

•：CD//AB,

・•.ZCDF=ZQEF.

：./QDF=AQEF.

:.DQ=EQ=5.

故①正确；

・・•DQ=CD=AD=5,DM.LAB,

・・・MQ=4Vf=4.

・・・MB=AB-AM^5—4=1,

・•.BQ=MQ-MB=4-1=3.

故②正确；

-CD//AB,

：.△GDP〜ABQP.

.CP=CD=3

**BP-BQ-y*

•：CP+BP=BC=5,

：.BP=^BC=^~.

故③正确；

'：CDIIAB,

：./\CDF-/\BEF.

.DF_=CD=CD=5=立

一~EF~~BE~BQ+QE~3+5—甘

・EF8

,•市一=育

..QE=5

*BE8'

.EFQE

**DEBE,

・•・^EFQ与△EDB不相似.

・・・/EQFWAEBD.

・・・石。与FQ不平行.

故④错误；

故选：A.

•10•

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形

的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度,熟练掌握相关性质是解题的关键.

:题目叵(2023•黑龙江•统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点分别是上的动点，且AF

，OE,垂足为G,将△ABF沿AF翻折，得到AAMF,AM交DE于点P,对角线BD交AF于点H,连接

HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是:①AF=DE；②OE；③若CM_L,则四边形BHMF是

菱形;④当点E运动到的中点，tan/BHF=22；⑤()

BFC

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

【答案】B

【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答.

【详解】解：四边形ABCD是正方形，

/.ADAE=NABF=90°,DA=AB,

•：AF.LDE,

：.^BAF+AAED=9Q°,

•：^BAF+AAFB=90°,

：.NAED=NBFA,

：.△ABFW^AED(AAS),

：.=故①正确，

将ZXABF沿AFM,得至！J/\AMF,

：.BM±AF,

•：AF±DE,

.•.B/W7/DE,故②正确，

当时，ZCMF=90°,

,/ZAW=ZABF=90°,

/.ZAMF+ZCMF=180°,即4河,。在同一直线上，

/.WCF=45°,

/.AMFC=90°-ZMCF=45°,

通过翻折的性质可得AHBF=NHMF=45°,BF=MF,

：.NHMF=4MFC,NHBC=AMFC,

：.BC//MH,HB//MF,

：.四边形BHMF是平行四边形，

BF=MF,

二平行四边形BHMF是菱形，故③正确，

当点E运动到的中点，如图，

设正方形ABCD的边长为2a，则AE==a,

■11•

在RtLAED中，。石二^AD\AE2=V5a=AF,

•：AAHD=/FHB,/ADH=ZFBH=45°,

・・・AAHD〜△FHB,

.FH=BF=a=\

・・・AH=^-AF=^-a,

oo

•/AAGE=AABF=9Q°,

:.LAGFsAABF,

.AS=EG_/G_a=娓

：.EG=^-BF=^-a,AG=^-AB=^-a,

5555

/.DG=ED-EG=^-a,GH=AH-AG=^-a,

515

•・・/BHF=/DHA,

在RtADGH中，tanZBBF=tanZDHA==3,故④错误，

GrH

•・・/\AHD〜AFHB,

,BH_1

,•两一5，

BH—~^~BD—；X2A/^Q=,DH--^-BD=x2A/5Q=—^—d,

oooooo

・.•AF±EP,

根据翻折的性质可得EP=2EG=亨a,

5

.n„_2V54V2_8V102

5315

2oA/iGc-BDHET:o2---a--—a=—8V—m—a2,

5315

/.EP,DH=2AG-BH=9五,故⑤正确；

15

综上分析可知,正确的是①②③⑤.

故选；R

【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做

出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键.

二、填空题

:题目亘(2023.湖北鄂州.统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△4BG位似，原点。是位

似中心，且要■=3.若4(9,3),则4点的坐标是.

•12•

【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长.

【详解】解：设4(馆,八)

•••△ABC与△4BQ1位似，原点O是位似中心,且聋~=3.若4(9,3),

位似比为多

.9_33_3

，em1'n1

解得m=3,n=1,

・•・4(3,1)

故答案为：(3,1).

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键.

题目叵(2023•吉林长春•统考中考真题)如图,ZVIB。和是以点O为位似中心的位似图形,点A

在线段上.若04:44=1:2,则△ABC和△A8。'的周长之比为.

【答案】1:3

【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.

【详解】解：•••。4：44'=1:2,

OA：OA=1:3,

设△ABC周长为Zj,设△4m。'周长为12,

△ABC和△4EC是以点O为位似中心的位似图形，

.Q。4=1

72—04—3.

/.Zi：Z2—1:3.

△ABC和△4BV的周长之比为1:3.

故答案为：1:3.

【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质.

题目叵(2023.四川乐山.统考中考真题)如图,在平行四边形ZBCD中，E是线段上一点，连结水7、

•13•

DE交于点、F.若髭=导,则季里=

MHJ

【分析】四边形,您是平行四边形,则=可证明△E4-DCF,得到器=器

=笫，由嗡/进一步即可得到答案—

【详解】解：•.•四边形ABCD是平行四边形,

・・.AB=CD,AB//CD,

・・・/AEF=/CDF"AF=/DCF,

:・AEAF〜ADCF,

.DF=CD=AB

''^F~~AE~~AE'

..AE=2

*EB3'

.AB_5

••商_］，

.SMDF=DF=AB=5

S^AEFEFAE2

故答案为:

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△SAP〜ADCF是解题的

关键.

题目叵（2023・江西・统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈

直角的曲尺（即图中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点4,8

。在同一水平线上，/ABC和24QP均为直角，4?与相交于点。.测得40cm,BD=20cm,

AQ=12m,则树高PQ=m.

【分析】根据题意可得△人石。〜A4QP,然后相似三角形的性质，即可求解.

【详解】解：•.,乙4BC和24QP均为直角

：.BD//PQ,

••.△ABO〜△AQP,

•14•

.BD=AB

••西一近

AB—40cm,BD=20cm,AQ—12m,

.AQxBD12X20

•,PQ=AB=^^=R6犯

故答案为：6.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

［题目回（2023.四川成都.统考中考真题）如图，在/XABC中，。是边上一点，按以下步骤作图:①以点

A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB,AC于点M,N；②以点。为圆心，以⑷W长为半径作弧，交

DB于点河'；③以点为圆心，以MN长为半径作弧,在ABAC内部交前面的弧于点N'：④过点N）作射

线DN'交BC于点、E.若岫DE与四边形ACED的面积比为4:21,则黑的值为.

【答案】。

O

【分析】根据作图可得/砒石二乙4,然后得出。石〃AC,可证明〜4a进而根据相似三角形的

性质即可求解.

【详解】解:根据作图可得4BDE=乙4,

：.DE//AC,

:•岫DE〜ABAC,

・・・"DE与四边形ACED的面积比为4:21,

.SgDc_4_/BEy

,,S^BAC~~21+4

.BE_2

"BC

-BE=2

故答案为:系

o

【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

;题目■（2023.内蒙古.统考中考真题）如图，在中，AACB=90°,AC=3,BC=1,将A4BC绕点

人逆时针方向旋转90°,得到△AB7。'.连接BB',交AC于点O,则若■的值为

.15.

【答案】5

【分析】过点。作OF，AB于点F,利用勾股定理求得AB=4"根据旋转的性质可证△ABB、/XDFB

是等腰直角三角形，可得再由以的=»夙7*人。=异。八4&得40=，正加证明

△AFD〜△ACB,可得偿=,即AF=3DF,再由AF=，而一DF,求得。F=,从而求得AD

BCAC4

=­,CD=B，即可求解.

【详解】解:过点。作。FLAB于点F,

•.•乙4cB=9O°,4C=3,BC=1,

.•.AB=V32+12=A/10,

•/将ZVIBC绕点A逆时针方向旋转90°得到△AF。',

/.AB=AB=V10,/BAP=90°,

/./\ABB是等腰直角三角形,

ZABB,=45°,

又•.•DF_L4B,

/./FDB=45°,

△DFB是等腰直角三角形，

：.DF=BF,

"S&ADB=yXBCXAD=yXDFxAB,BPAD=VWDF,

•：乙C=NAFD=90°,2CAB=AFAD,

••.△AFD〜△4CB,

••普=器即”=3OF,

又；AF=VW-DF,

4

.•.4D=mx必^=盘,CD=3---=^,

4222

_5_

.AD—A—A

••京一了

2

故答案为：5.

【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练

掌握相关知识是解题的关键.

题目回（2023・河南•统考中考真题）矩形ABCD中，河为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=

AB=1.当以点。，A/,N为顶点的三角形是直角三角形时，4。的长为.

【答案】2或0+1

■16•

［分析】分两种情况:当4MND=90°时和当4NMD=90°时，分别进行讨论求解即可.

【详解】解：当4MND=90°时，

•.•四边形ABCD矩形，

乙4=90°,则7W〃AB,

由平行线分线段成比例可得：第二舞,

又为对角线BD的中点，

/.BM=MD,

.AN_BM

"NDMD，

即：ND=4V=1,

AD=AN+ND=2,

当2WD=90°时，

Af为对角线的中点，ZNMD=90°

MN为BD的垂直平分线，

：.BN=ND,

■：四边形ABCD矩形，AN=4B=1

ZA=90°，则BN=y/AB2+AN2=V2,

：.BN=ND=V2

AD=AN+ND=V2+1,

综上，4D的长为2或2+1,

故答案为：2或V2+1.

【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例,垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论

是解决问题的关键.

［题|叵）（2023•辽宁大连•统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=3,延长BC至E,使CE=2,连

接AE,CF平分ADCE交AE于F,连接DF,则DF的长为.

•17•

AD

【答案】

【分析】如图,过F作FM±BE于M,FN±CD于N,由CF平分/DCE,可知2FCM=匕FCN=45°,可

得四边形CWN是正方形，FM7/AB,设J™■=C7W=N斤=CN=a,则_ME=2-a,证明△E™■〜

△£2B,则与磐=等，即v="及，解得a=；，DN=CD-CN=言,由勾股定理得DF=

ABBE33+244

Y5西而，计算求解即可.

【详解】解:如图，过F作FAf，BE于河，FN,CD于N,则四边形GMFN是矩形，FM//AB,

•••CF平分NDCE,

：.ZFCM=2FCN=45°,

：.CM=FM,

：.四边形CMFN是正方形，

设FM=CM=NF=CN=a,则ME=2—a,

•：FM//AB,

：.^\EFM〜/XEAB,

.FM_=ME__a若，解得

"AB—BE'p即n3■Ia=*,

:.DN=CD—CN=2,

4

由勾股定理得DF=VDN2+NF2=玉普,

故答案为：苦口.

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理,相似三角形的判定与性质.解题的关键在于对知识

的熟练掌握与灵活运用.

1目㈤（2023•广东•统考中考真题）边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直

线上（如图），则图中阴影部分的面积为.

•18•

10

【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解:如图，

由题意可知AD=DC=\U,CG=CE=GF=6,/CEF=/EFG=90°,GH=4,

：.CH=W=AD,

•・・AD=4DCH=90°,4AJD=AHJC,

・・・△ADJ^^HCJ(AAS),

:.CJ—DJ=5,

A£7=1,

-GillCJ,

・・・AHG/~AFfC7,

.GI=GH=2

^~CJ~~CH~~59

.・.G/=2,

・・.Ff=4,

•••S梯形E〃F=}(EJ+FI)-EF=15；

故答案为：15.

【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

21J（2023•天津•统考中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧,作等腰三角形ADE,EA=

⑴A4OE的面积为；

（2）若F为跳;的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G,则AG的长为.

【答案】3；

【分析】（1）过点石作根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH的长，再利用勾股定理，求出

EH的长，即可得到AADE的面积；

⑵延长EH交AG于点、K,利用正方形和平行线的性质,证明△ABFW/^KEF{ASA），得到EK的长，进

而得到的长,再证明4AHK〜^ADG,得到缥=笔,进而求出G。的长，最后利用勾股定理,即

GDAD

•19•

可求出AG的长.

【详解】解：⑴过点E作

•/正方形ABCD的边长为3，

AD—3,

/\ADE是等腰三角形，E4=ED=&，9，人。，

13

・•.AH=DH=^AD=y,

22

在Rt^AHE中，EH=VAE-AH=J居丫一倍丫=2,

•,•S皿=*4D・EH=]X3X2=3,

故答案为：3；

⑵延长EH交4G于点K,

•・・正方形ABCD的边长为3,

・・.ABAD=NAD。=90°,AB=3,

・・.AB_LAD,CD_LAD,

•：EK.LAD,

・・・ABIIEKIICD,

：./ABF=/KEF,

・・・F为跳;的中点，

：.BF=EF,

(ZABF=ZKEF

在△_/1祥和△A”中，(BF=EF,

1/AFB=/KFE

：.AABF^AKEF(ASA),

・・.EK=AB=3,

由⑴可知,AH=-1-AD,EH=2,

:・KH=3

•：KH//CD,

・・・4AHKADG,

.KH=AH

"~GD~~AD'

:,GD=2,

在Rt^ADG中，AG=VAZ)2+G£>2=V32+22=V13,

故答案为：A/13.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键.

目:药（2023•四川泸州・统考中考真题）如图，是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线

AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，需的值是

-tO

•20•

【分析】作点F关于AC的对称点F',连接EF'交AC于点P,此时PE+PF取得最小值,过点F'作AD的

垂线段，交4。于点K,根据题意可知点户落在AO上，设正方形的边长为a,求得AK的边长，证明

△AEP〜AKF'P，可得岂匕=2,即可解答.

AP'

【详解】解:作点F关于的对称点尸,连接EF'交AC于点尸，过点尸作4D的垂线段，交于点K,

由题意得:此时F'落在AD上,且根据对称的性质，当P点与严重合时PE+PF取得最小值，

设正方形ABCD的边长为a,则AF'^AF^^-a,

•.•四边形ABCD是正方形，

AF'AK=45°,NPAE=45°,AC=V2a

F'K±AF',

：.NF'AK=AF'KA=45°,

：.AK=^a,

o

,:NF'PK=/EPA,

：.AE'KP〜AEAP,

.F'K_KP

"AEAP'1'

/.24P=-^AK-,

oy

/.CP=AC-AP=^V2a,

.AP'2

"cF-7,

当PE+PF取得最小值时，鉴的值是为之，

故答案为:-y.

【点睛】本题考查了四边形的最值问题,轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画

出辅助线是解题的关键.

•21•

;题目至1（2023・山西•统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，/BCD=90°,对角线AC,BD相交于点。

若4口=人。=5,6。=6,/4。6=2/6©0,则人。的长为

【分析】过点A作AH±BC于点H,延长AD,3。交于点E,根据等腰三角形性质得出BH=HC=^-BC

=3,根据勾股定理求出AH=^AC2-CH2=4,证明ACBD=/CEO,得出DB=OE,根据等腰三角形性

质得出CE=BC=6,证明。得出铐=第，求出=■，根据勾股定理求出DE=

AHnrj3

................-2质

^西市=J62+信）2=写L,根据CD//AH,得出第=器,即击W，求出结果即可•

【详解】解：过点A作AH■，B。于点H,延长AD,BC交于点E,如图所示：

则90°,

・・・AB=AC=5,BC=6,

：.BH=HC=^-BC=3,

・・.AH=y/AC2-CH2=4,

・・•AADB=ACBD+ACED,AADB=2ACBD,

・・・NCBD=/CED,

：.DB=DE,

・・・/BCD=90°,

：.DC_LBE,

:,CE=BC=6,

：,EH=CE+CH=9,

・・・DC_LBE,AH_LBC,

：.CD//AH,

：.^ECD-/\EHA,

.CD=CE

••AH一屈’

nnCD-6

即丁F

解得:CD=得，

o

DE=VCE2+CD2=^62+(1-)2=

•：CD〃AH,

.DE=CE

••布—而‘

•22•

解得：AD=/.

o

故答案为：平.

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，

相似三角形的判定与性质,平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理

及相似三角形的判定与性质.

三、解答题

【题目①（2023・湖南•统考中考真题）在①A4BC中，/BAC=90°,人。是斜边BC上的高.

（1）证明：4ABD〜△CR4；

（2）若AB=6,BC=10,求的长.

【答案】（1）见解析

⑵80=单

5

【分析】（1）根据三角形高的定义得出/ADB=90°,根据等角的余角相等，得出结合公共角

即可得证；

（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】（1）证明：-/ABAC=90°,AD是斜边8。上的高.

/.AADB=90°,ZB+ZC=90°

AB+ABAD^90°,

：.ABAD=AC

又：ZB=ZB

.•.△ABD〜△CR4,

⑵•.•△ABD〜△CR4

.AB_BD

"CB