江苏某中学2025届高三年级上册第一次调研考试数学试题（含答案）

江苏海门中学2025届高三上学期第一次调研考试

数学试题含答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.命题“VxeN,必〉。”的否定为（）

A.VxeN,x2<0B.eN,x2<0

C.HxeN,x2>0D.VxeN,x2<0

2.已知集合4={刈》|<2,%62},5={x|y=ln(3x-%2)},则An§=()

A.{x[0<x<2}B.[x\-2<x<3}C.{1}D.{0,1,2}

3.已知点P(3,—4)是角a终边上一点，则cos2a=()

772424

A.—B.-----C.—D.------

25252525

L+,x<l

4.已知函数/(x)=I,J在R上单调递减，则实数。的取值范围为()

A.a<0B.a〉—C.—<a<0D.0<<7<—

222

5.已知函数/（%）部分图象如图所示，则其解析式可能为（）

B./(x)=x2(ev+e-x)

C./(x)=x(er-e-x)D./(x)=%⑹+b)

6.过点（3,1）作曲线y=ln（x-1）的切线，则这样的切线共有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

7.锐角1、/?满足51!1，=以）5（。+，）5111。，若tana='，则cos（a+月）=（）

1叵

A.-D.---------D.

22V

8.若函数/(X)=51!120%-2\/^<：052<»》+6(<»〉0)在[0,'|')上只有一个零点，则O的取值范围为()

141714

A.B.1勺C.D.

3533'3)6'66'6)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.己知0<a<l—Z?<1,则()

A.0</?<1B.a>bC.a-b<lD.ab<—

4

10.已知X],X2,%3是函数/(x)=%3-〃2%+]的三个零点(。>0,项<々<%3),贝!J()

B.jq<0<x2

111

C.f'M=f'(^3)D.------1--------1-------

'f'Mf'Mf'M

11.若定义在R上的函数/(x)的图象关于点(2,2)成中心对称，且/(x+1)是偶函数，贝I()

A.7(x)图象关于x=0轴对称B./(x+2)-2为奇函数

20

C./(x+2)=/(x)D.£/(，)=42

i=0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若函数/(x)=2sm;v+"是奇函数,贝力2]=______.

cosx-2I2J

13."l<x<y”是“xlnx<ylny”的条件.(选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分

也不必要”)

14.班上共有45名学生，其中40人会打乒乓球，30人会骑自行车，25人会打羽毛球，则三个运动项目都会

的同学至少有人.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

]

15.(13分)已知，为锐角，sina=[6，tan/?=j.

(1)求tan2a的值;

(2)求。+2分的大小.

16.(15分)已知函数/(x)=e]—e^—2%+2.(e=2.71828…)

(1)判断函数y=/(%)-2的奇偶性并证明，据此说明/(九)图象的对称性;

(2)若任意工£(l,+oo),/(minx)+/(x)>4,求实数机的取值范围.

八।[兀图象的相邻对称轴距离为曰，且/用=-g

17.(15分)若函数/(%)=cos(3x+9)(o>Q,\(p\<-

(1)求/(%)的解析式;

(2)将/(x)的图象向右平移E个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得

到函数y=g(x)的图象.当xe(O,兀)时，求不等式g(2x)Vg|x+：J的解.

18.(17分)绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净

化剂含量为a,投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于

3a时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂.

(1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，说明理由；如果不能，最多可净化

多长时间？(精确到0.1小时)

(2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给

出两次投放的所有可能方案？(每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计)

(参考数据：lg3土0.477,0.96»0.53).

19.(17分)已知函数/(x)=21nx-ax2+1,a>0.

(1)若/(x)的最大值为0,求。的值；

(2)若存在左使得f(ri)-f(m)=f'(k)(n-m),则称％为/(x)在区间(加,〃)上的“巧点

(i)当。=0时，若1为/(x)在区间(利〃)上的“巧点””，证明：m+n>2；

(ii)求证：任意a>0,7(x)在区间(加,〃)上存在唯一“巧点”上

参考答案

1-8BCBDACBA9-11ACDABDBD

12.-113.充分必要14.5

15.(13分)

【解】(1)因为sina=,

I2；10

所以cosa=Jl-sin2a=迪

10

sin。1

所以tana=----二—，

cos。7

ll…-2tana2497

所以tanla=--------=—X-=--

1-tana74824

(2)因为tan£=1,所以tan2£=》吧?一=2乂2=3,

31—tan?尸384

13

所以tan(a+2£)=tana+tan2£=J=],

1-tan<7tan2/?]3

~28

因为tana=；<l,且

JT

所以0<a<—；

4

因为tan2〃=；<l,且

JT

所以0<2£<i，

jr

所以0<tz+2,<5，

5兀

（注意:学生控制范围0<&+2，<]，确保角度唯一性亦可）

JT

所以a+2夕=].

16.（15分）

【解】（1）函数>=/（%）—2是奇数，理由如下:

设g(x)=f(x)-2=e*_e-*-2x,函数g(x)的定义域为R,

因为X/xeR,都有一xeR,

(没有说明定义域对称性、至少要判断定义域，否则扣2分)

且g(-x)=e^x-e'+2x=—g(x),

所以g(x)是奇函数，其图像关于(0,0)中心对称；

因为/(x)=g(x)+2,

所以于(X)图像是由g(x)向上平移2个单位得到，

所以/(%)图像关于(0,2)中心对称.

(2)因为/(x)=g(x)+2,

所以f(mlnx)+f(x)>4可以化为g(mlnx)+g(x)>0,

所以g(mlnx)>-g(x)=g(-x),

因为g'(x)=e"er—2,

因为1〉0,所以+

所以g'(x)>0且不恒为0,即g(x)在R上单调递增,

所以mlnx>-%在(1,+co)上恒成立，

所以〃z〉——在(1,+co)上恒成立，

Inx

令h(x)=——，

Inx

所以〃(%)=匕黑，

Inx

所以丸(x)在(l,e)上递增，在(e,+co)递减，

所以丸(无)<h(e)=-e,

所以加>-e.

17.(15分)

jr

【解】(1)因为/(X)图像相邻对称轴距离为万,

271

所以T=兀，即=兀，

因为0>0,所以0=2,

所以/(x)=cos(2x+9)；

因为=所以cos[g+0[=,

TT

因为

二匚is兀兀5兀

所以---<------F69<-----，

636

所以2+°=0,即°=乌，

333

所以/(x)=cos^2%+.

(2)因为/(x)=cos12x+1)图像向右平移||个单位得到j=cosf2x-|j=sin2x

再将y=sin2x图像上各个点横坐标变为原来2倍得到y=sin%,

所以g(x)=sinx；

所以不等式为sin2x<sinfx+j,

JI71571

令%=%+一,贝卜£?

44T

不等式化为sin2,<sinr,

所以一cos2/<sin%,

所以Zsin?%-sin%-l<0,

所以—Vsin/«1,

2

结合函数y=sin/在1e[：，弓]上的图像得:<t穴,

所以0<x<——即为所求不等式的解.

12

18.（17分）

【解】（1）假设一次性投放9瓶，可持续净化x小时,

则9a-（1一10%厂之3。（尤20）

所以0.9**

3

两边取常用对数得，x-lg0.9>lg1,

所以xW-------«10.4,

l-21g3

因为10.4<12,

所以不能达到净化目的，最多可净化10.4小时.

(2)设第一次投放〃瓶，第二次投放9—〃瓶，〃eN*且“W9,

w(l-10%)623a①

依据题意得,

ntz(l-10%)12+(9-nMl-10%)6>3。②

3

由①得,

,9x0.96—3

由②得,〃<-«-7-.--1-,----

_0.96-0.912

(两组近似计算对一个给1分，只要保留小数点后一位数据一致即可)

所以5.7<H<7.1；

又因为〃eN*,所以，”可取6或7.

所以两次投放可能的投放方案为第一次投放6瓶，第二次投放3瓶;

或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶.

19.(17分)

22(l-ax2)

【解】(1)因为/'(x)=——2ax=△------

XX

当a=0时，/(%)在(0,+co)上递增，不符合;

当。>0时,/(x)在上递增，在上单调递减,

=21nJ

所以/(x)最大值为=0,

yja

所以-=1,即4=1,

yja

综上，a=l.

(2)(i)因为「(k)=Z-2ak=/(")—/(”'),ke(m,n),

kn-m

2

当Q=0时，/(x)=21nx+1,/'(%)=—,

因为左=1,m<l<n,

所以/(〃)_/⑴)=2,21n«-21nm-

-----------------=2,

n—mn-m

即二1；

Inn-Inm

要证加+〃>2,

、十n—m加+〃

即13rl证---------<------

Inn-Inm2

令一二t,因为所以/>1,

m

设g(t)=lnt-2

>0,

所以，⑺1一备

所以g⑺在(1,+00)上单调递增,

所以g⑺〉g⑴=0,

n—mm+n

即证<

Inn-Inm2

(ii)令(p(k)=于'也)—/(〃)-/(""s〉机〉o),

n-m

22

nn八、2__21nn—an-21nm+tzm2___Inn-lnm、

即(p(k)=----2ak-------------------------------------=-----20k-2x---------------Fa(zn