拉格朗日中值定理在导数中的应用（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第16讲拉格朗日中值定理在导数中的应用

(高阶拓展、竞赛适用)

(2类核心考点精讲精练)

I值.考情探究•

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分

【备考策略】1能用导数解决函数基本问题

2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义

3能运用拉格朗日中值定理解题

【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目

往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解

题的好处，需学生灵活学习

知识点1拉格朗日(Lagrange)中值定理

知识点2拉格朗日中值定理的几何意义

核心知识点知识点3需要注意的地方(逆命题不成立)

知识点44.拉格朗日公式还有下面几种等价形式

拉格朗日中值定理

考点1拉格朗日中值定理的认知及简单应用

核心考点考点2拉格朗日中值定理在导数中的综合应用

知识讲解

1.拉格朗日(Lagrange)中值定理

若函数/(x)满足如下条件：

(1)/(x)在闭区间口，切上连续；

(2)/(%)在开区间(a,b)内可导.

则在(a,6)内至少存在一点。使得了

b-a

2.拉格朗日中值定理的几何意义

如图所示，在满足定理条件的曲线y=/(x)上至少存在一点P(。，/(,)，该曲线在该点处的切线平行于

曲线两端的连线.

3-需要注意的地方(逆命题不成立)

拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线，使割线斜率等于

切线斜率,如f(x)=d在X=。处的切线斜率为0,但f(x)不存在割线使割线斜率等于0

4.拉格朗日公式还有下面几种等价形式

f(b)-f(a)=f'^)(b-a)(a<^<b),

=((4+8(6_a))(6_°)(0<8<1)，

/(a+/z)-/(a)=/'(a+e/z)/z(0<6<1).

注：拉格朗日公式无论对于。<6还是a>b都成立，而。则是介于。与6之间的某一常数.显然，当0<。<1

时，a<a+O［b-a)<b.

考点一、拉格朗日中值定理的认知及简单应用

典例引领

1.(23-24高三上•陕西汉中•阶段练习)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果

函数>=/(x)在闭区间上连续，在开区间»内可导，那么在区间»内至少存在一点c,使得

/(6)-/(a)=/(c)仅-°)成立，其中c叫做在［a,目上"拉格朗日中值点"，根据这个定理，判断函数

“X)=5x3-3x在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为.

2.(2024高三上•全国•专题练习)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函

数/(X)在闭区间切上连续，在开区间(a,6)内可导，则在区间(。,b)内至少存在一个点/e(a,6),使得

/⑸-/⑷=/(%)(6-a),x=/称为函数y=/(X)在闭区间上的中值点，若关于函数/(无)=sinx在区

间［0,兀］上的‘中值点"的个数为加，函数g(x)=e*在区间［0,1］上的中值点”的个数为〃，则有加+〃=()(参

考数据:"3.14,^2.72.)

A.1B.2C.0D.n=3

2

3.(2024高三上•全国・专题练习)已知/。)=§/-282+3+4,g(x)=e、-e"+/(x),

⑴若/(x)在x=1+也处取得极值，试求c的值和/(%)的单调增区间：

(2)如图所示，若函数>=/(x)的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在ce(a,6),

使得/'(c)=/S)-〃外,利用这条性质证明：函数N=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.

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1.(23-24高二下•广东东莞•阶段练习)法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一

个定理，具体如下.如果函数>=/(x)满足如下条件.(1)在闭区间［。回上是连续的；(2)在开区间(。力)

上可导则在开区间6)上至少存在一点4,使得/㈤-/但卜/^/伍-。)成立，此定理即“拉格朗日中值

定理"，其中。被称为“拉格朗日中值”.则g(x)=/在区间［0川上的“拉格朗日中值"孑=.

2.(2024•河北衡水•三模)已知/(x)=e、-X.

⑴求/(x)的单调区间和最值；

(2)定理：若函数/⑴在(。,切上可导，在［a,句上连续，则存在Je(a,b),使得了'©=八?"⑷.该定理

称为"拉格朗日中值定理"，请利用该定理解决下面问题：

…4Te"e"(,、2门1)

右0<〃7<”,求证：------<lm+l)-----.

nm\nmJ

3.(2024•山西•三模)微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具,

其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下：

如果函数/*)在闭区间上连续，在开区间(%6)可导，导数为/(X),那么在开区间(。,方)内至少存在一

点。，使得/'©=〃?一〃")，其中。叫做在卜,”上的“拉格朗日中值点”.已知函数

b-a

/(x)=(“丁2lnx+Z72(x-4)eflV-yx3+卜.

⑴若“=_1,/,=0,求函数/(x)在［1,7］上的"拉格朗日中值点"飞；

(2)若。=-1*=1,求证:函数/(x)在区间(0,+8)图象上任意两点A,8连线的斜率不大于18-e-6；

(3)若。=1/=-1,\/匹,12，工3£[!，1]，且再<%2<%3，求证:'(")'(、1)>'(%3)'(%2),

14Jx2-x{x3-x2

考点二、拉格朗日中值定理在导数中的综合应用

典例引领

、12

1.设/(x)~~x-ax+(Q-l)lnx,

求证：当1<。<5时，对任意石,%2£(°，1)，%W%2，有—〉-1

玉-x2

2.设f(x)=(4Z+1)Inx+ax12+1,

当a<-l时，若对任意的x1,x2e(0,+GO),|/(X1)-/(X2)|>4\xx-x2\成立，求Q的取值范围

cinx

3.设f(x)=------,若对任意x>0,都有f(x)<axf求。的范围

2+cosx

1.(2024・天津・高考真题)设函数f(x)=xlnx.

⑴求〃x)图象上点。,〃功处的切线方程；

(2)若〃工)2。卜-4)在天€(0,+00)时恒成立，求。的值；

⑶若西,々40/,1\),证明[〃』)一/仁)归网一刃又1

2.(2024•山东济宁•一模)已知函数/(x)=ln尤-Ja/+g(aeR).

⑴讨论函数〃x)的单调性；

(2)若0<花<马，证明：对任意ae(O,+s),存在唯一的实数。e(占,马)，使得/④=勺上芈!成立;

⑶设见="，"eN*,数列｛%｝的前〃项和为S”.证明：5„>21n(n+l).

n

3.(高三上•辽宁抚顺•阶段练习)已知函数〃x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx.

⑴求函数的最大值；

(2)设0<a<b,证明0<g(a)+g(6)-2g[\^]<(6-a)ln2.

1%.好题冲关.

能力提升

1.(2022高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=(a+l)lnx+ax2+i.

⑴当〃=2时，求曲线>=/(x)在(1,7(1))处的切线方程；

(2)设〃0—2,证明：对任意占，x2e(0,+oo),|/(X1)-/(X2)|>4|X1-X2|.

2.(21-22高二下•广东深圳•期中)已知函数/(工)=1111+1^2一(〃+1)%(〃£R),

g(x)=/(x)-犷+g+l)x.

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)任取两个正数%,三，当再<龙2时，求证：g(xj-g(%2)<2(*").

3.(22-23高三下,重庆沙坪坝•阶段练习)已知函数〃x)=gx2-b+ln无

⑴讨论函数〃x)的单调性；

(2)若〃x)有两个极值点外,证明：

4.(23-24高三上•陕西西安•阶段练习)已知函数/(x)=21nx+办[aeR).

(1)试判断函数/(x)的单调性；

⑵已知函数g(x)=/(x)-2x,若g(x)有且只有两个极值点引,三，且再<工2，证明：

g(x1)-g(x2)<(2a-l)(x1-x2).

5.(2022・全国•模拟预测)已知函数/(x)=e[x2+l)(其中e为自然对数的底数).

⑴讨论函数了=〃切+(0-2.叫0€«.)的单调性；

⑵若玉>Xz>0,不等式eZ'-e?”>4/(再)-/仁)|恒成立，求实数N的取值范围.

6.(2023•山东淄博•二模)已知函数/'(x)=aln(x-a)-1x2+x,aeR.

⑴求函数〃x)的单调区间；

(2)若X],入2是函数g(x)=Hru-；x2+x的两个极值点，且占<尤2，求证：/(^1)-/(^2)<0.

7.(2024高三上•全国•专题练习)已知函数f(x)=a(x-lnx)+x2-2x,其中aeR.

⑴当a=-2e时，求“X)的极值；

(2)当a>0,否>%>0时，证明：</：2)_/[占；X2]x"

8.(23-24高三上•天津宁河•期末)已知函数/(x)=lnx+]x2,aeR

⑴当a=l时，求曲线V=〃x)在处的切线方程；

(2)求“X)的单调区间；

⑶设再,(0<项<x?)是函数g(x)=/(x)-ax的两个极值点，证明：g(x1)-g(x2)<|-lna.

9.(23-24高二上•陕西西安,期末)已知函数/(x)=(/+加x+77忖.

⑴若m=n=O,求/(x)的单调区间；

⑵若加=。+6,力=M，且/(x)有两个极值点，分别为不和无2(占<工2),求〃尤-一,(再)的最大值.

e2-e'

10.(2022高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=x2+-+alnx(x>0),的导函数是r(x).对任意两个不相

X

等的正数不、X2,证明：

⑴当代0时，ZW±ZW>/(i±2i);

(2)当时，"u)-/(三)|>|玉-三L

11.(21-22高二下,安徽合肥,期中)已知函数/(x)=x2+办+21nx(。为常数)

⑴讨论/(x)的单调性

Q

(2)若函数〃x)存在两个极值点再，x2(X1<x2),且求〃国)-〃々)的范围.

12.(22-23高二下•河南洛阳•期末)已知函数/(x)=g/-2G+lnx(°为常数).

⑴若函数〃x)是增函数，求a的取值范围；

(2)设函数/(x)的两个极值点分别为为，巧(±<X2),求/(西)-/(尤2)的范围.

13.(2023・湖南常德•一模)已知函数/(x)=lnx+—2a(aeR).

(1)讨论函数的单调性；

(2)若/(x)两个极值点为，x»且再e[e,e2],求〃占)-〃电)的取值范围.

14.(21-22高二下•天津•期中)已知函数〃x)=lnx+x2-ax(aeR)

(1)若4=1,求函数/(X)在点(1,/(D)处的切线方程；

⑵当。〉0时，讨论/(X)的单调性；

13

⑶设/(X)存在两个极值点项,九2且王<%2，若0<Xi<5求证：/(x1)-/(x2)>--ln2.

15.(2023•天津河西•模拟预测)己知函数/(x)=8nx+4/eR).

e

⑴若函数y=〃x)为增函数，求上的取值范围；

(2)已知0＜再＜%.

ee[x,1/

⑴证明：

(ii)若a=套=左，证明：|/(^)-/(^)|<1.

16.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(X)=(x-a)e-*-2x,g(x)=xe-"-e'T+ax。-/(x),且

⑴求。的值与/(x)的单调区间.

(2)如图，若函数V=/(x)的图像在［凡“连续，试猜想拉格朗日中值定理，即一定存在ce(a,b),使得

/'(c)=〃7,求加的表达式〔用含a,6J(a)J(6)的式子表示).

⑶利用这条性质证明：函数g(x)图像上任意两点的连线斜率不大于？-汉i.

4e

17.(2024•湖北襄阳•三模)柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容

为：设函数7W，g(x)满足：

①图象在［生"上是一条连续不断的曲线；

②在6)内可导;

③对g〈x)w0,贝1|至e(a,b),使得

g(b)-g(a)g'(，

特别的，取g(x)=x,则有：^e(a,b),使得〃"-/(。)=/,团,此情形称之为拉格朗日中值定理.

⑴设函数〃X)满足〃0)=0,其导函数尸(X)在(0,+8)上单调递增，证明：函数在(0,+8)上为

增函数.

⑵若Va,6e(O,e)且a＞b,不等式学一她+心仁一勺久恒成立，求实数加的取值范围.

ba\abJ

18.Q024•广东•二模)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数/(无)在闭区间［。,以

上的图象连续不断，在开区间伍㈤内的导数为了'(X),那么在区间(“㈤内存在点C,使得

-〃a)=/(c)仅-°)成立.设/(x)=e，+x-4,其中e为自然对数的底数，e«2.71828.易知，/(%)

⑴证明：当xe(r/+4)时，0</(x)<l；

9

(2)从图形上看，函数/(》)=砂+》-4的零点就是函数/(x)的图象与x轴交点的横坐标.直接求解

3

/(x)=e，+x-4的零点r是困难的，运用牛顿法，我们可以得到了(x)零点的近似解：先用二分法，可在(1,/

中选定一个%作为「的初始近似值，使得0</(x°)<g,然后在点(x°J(x。))处作曲线y=/(x)的切线，切

线与x轴的交点的横坐标为多，称占是厂的一次近似值；在点(再,〃网))处作曲线了=/(x)的切线，切线与x

轴的交点的横坐标为入2,称々是厂的二次近似值；重复以上过程，得厂的近似值序列/,而，%，

①当厂时，证明：xn>xn+l>r.

②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：｛%｝为递减数列，且V"eN,x”>r.请以此为前提条件，证

19.(23-24高二下•重庆•期中)柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理

内容为：设函数〃x),g(x)满足①图象在［。回上是一条连续不断的曲线；②在6)内可导；③对

/㈤一/信)

VxW(Q,6)g'(x)wO则士e(a,6),使得特别的，取g(x)=x则有:

g(b)-g(。)'

至使得〃»⑷,此情形称之为拉格朗日中值定理.

b-a

⑴设函数〃X)满足〃0)=0,其导函数/'(X)在(0,+8)上单调递增，判断函数y=在(0,+8)的单调性

并证明；

⑵若Wa,be(O,e)且。>6,不等式当■一必+加倍一M<o恒成立，求实数加的取值范围;

ba\abJ

e%2-e%1

(3)若0<西<%2<|"，求证：