三角形中的双角平分线模型-2023年中考数学几何模型重点突破训练

专题06三角形中的双角平分线模型

内容导航：模型分析T典例分析T

【模型1】双角平分线模型

如图，已知在A48C中，BO,C0分别是N4BC,NZC8的平分线，根据角平分线的性质和三角形内角和

定理，可得/。=90°+!22。

2

【模型2】一内角一外角平分线模型

如图，已知在\ABC中，BP,CP分别是NABC,ZACD的平分线，/.ZPBC=-ZABC，

2

ZPCA=-ZACD,

2

ZPCB=ZACB+-ZACD，ZACD=ZA+ZABC

2

ZPCB=ZACB+^(NZ+NABC)；

ZPCB=ZACB+-ZA+-NABC

22

•••NP=180°-(ZP5C+NPCB)

ZP=180°-(|ZABC+ZACB+^ZA+^NABC)；

ZP=180°-(ZABC+ZACB+^ZA)；

.­.ZP=180°-(180°-Z^+1z^)；

:.AP=-AA

2

【模型3】双外角平分线模型

如图，已知在A48c中，BP,CP分别是NC8E,N8CR的平分线,

根据外角定理，ZPBC=-ZCBE,ZPCB=-ZBCF,又NCBE=NA+NACB,

22

ZBCF=ZA+ZABC,

ZP=180°-(ZP5C+NPCB)；

NP=180°-(|ZCBE+1NBCF)=180°-1(ZCBE+ZBCF)；

ZP=180°-^(ZA+ZACB+ZA+ZABC)；

ZP=180°-1(2ZA+ZACB+ZABC)；

ZP=180°-1(2ZA+180°-ZA)；

ZP=180°--Z^-90°；

【例1】如图，在AABC中，/ABC和NACB的角平分线交于点O,延长BO与NACB的外角平分线交于

点D,若NBOC=130。，则ND=

A

D

E

【答案】40°

【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论.

【解析】解：：NABC和NACB的角平分线交于点O,

.*.ZACO=yZACB,

VCD平分/ACE,

：.ZACD=yZACE,

VZACB+ZACE=180°,

ZOCD=ZACO+ZACD=y(ZACB+ZACE)=?x180。=90。,

VZBOC=130°,

ZD=ZBOCZOCD=130°90°=40°,

故答案为：40°.

【例2】如图，已知△ABC,O是AABC内的一点，连接OB、OC,将NABO、/ACO分别记为/I、Z2,

则N1、/2、NA、NO四个角之间的数量关系是（）

A.Zl+Z0=ZA+Z2B.Z1+Z2+ZA+ZO=180°

C.Z1+Z2+ZA+ZO=360°D.Z1+Z2+ZA=ZO

【答案】D

【分析】连接AO并延长,交BC于点D,由三角形外角的性质可知,ZCOD=ACAD+A2,

再把两式相加即可得出结论.

【解析】解：连接/O并延长，交BC于点、D,

NBOD是A4OB的外角，ACOD是△/OC的外角，

AZBOD=ZBAD+Z1®,NCOD=/C4D+/2②,

①+②得，ZBOC=(ZBAD+ZCAD)+Z1+Z2,BPZBOC=ZBAC+Z1+Z2.

故选：D.

【例3】(1)问题发现:

如图1,在A/3C中，44=40。，N/2C和4cB的平分线交于P,则NBPC的度数是

(2)类比探究：

如图2,在A/3C中，N/BC的平分线和4c8的外角N/CE的角平分线交于P,则/8PC与N4的关系是

,并说明理由.

(3)类比延伸：

如图3,在“3C中，N/2C外角/E8C的角平分线和N/CB的外角/8CE的角平分线交于尸，请直接写出

NBPC与ZA的关系是.

【答案】(1)110°；(2)NBPC=LNA；(3)ZBPC=90°--ZA

22

【分析】(1)根据三角形内角和定理求出/ABC+NACB,根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即

可；

(2)根据三角形外角的性质得到/ACE=/ABC+NA、ZPCE=ZPBC+ZBPC,根据角平分线的定义解答;

(3)根据(1)的结论然后用角分线的定义，计算即可.

【解析】解:(1)-.•ZA=40°,

AABC+ZACB=i80°-40,

NABC和ZACB的平分线交于P,

NPBC=-ZABC,ZPCB=-ACB,

22

：.ZBPC=180°-1(NABC+ACB)=90°+20°

故答案为110°

(2)ZBPC=-ZA,

2

证明：：乙4。£是A48C的外角，

/尸CE是APBC的外角，

ZACE=ZABC+ZA

ZPCE=ZPBC+ZBPC,

,:BP平分/4BC,C尸平分NNCE,

ZPBC=-ZABCZPCE=-ZACE,

22

-ZACE=-ZABC+ZBPC,

22

ZBPC=-ZABC--ZACE=-(ZABC-乙

222'

ZBPC=-ZA,

2

故答案为：NBPC二NA；

2

(3)由(1)得，ZBPC=90°--ZA,

2

故答案为：ZBPC=90°--ZA.

2

一、单选题

1.如图，在△48C中，/48C和NNC3的外角平分线交于点O,设则/8OC=()

A

A90J冽B900'TC180。-2冽D180O'T

【答案】B

【分析】根据三角形的内角和，可得N/8C+/4C8,根据角的和差，可得/D5C+/BCE,根据角平分线的

定义，可得/O8C+NOC3,根据三角形的内角和，可得答案.

【解析】解：如图：

由三角形内角和定理，得/4BC+NNC3=180。乙4=180。加，

由角的和差，得NDBC+/BCE=360。(NABC+NACB)=180°+m,

由NZ8C和N/C8的外角平分线交于点。，得

NOBC+NOCB=(./DBC+NBCE)=90。+/加，

由三角形的内角和，得

Z0=180°(NOBC+NOCB)=90°ym.

故选：B.

2.如图：PC、PB是N4CB、N4BC的角平分线，乙1=40°,ZBPC=()

C

AR

A.ZBPC=10B.ZBPC=14Q

C.ZBPC=UO°D.ZBPC=40°

【答案】c

【分析】首先根据三角形内角和定理求出/N8C+/ZC8的度数，再根据角平分线的性质可得

ZPCB=-ZACB,ZPBC=-ZABC,进而可求NP3C+/PCB的度数，再次在AC3P中利用三角形内角和即

22

可求解.

【解析】解：・.・//=40。，

ZABC+ZACB=180°-40°=140°,

又­■-BP平分NABC,CP平分ZACB,

NPCB=-ZACB,ZPBC=-ZABC,

22

ZPBC+NPCB=1(ZABC+N/C3)=114cp=7CP,

ZBPC=180°-(ZPBC+NPCB)=110°.

故选：C.

3.如图，ZX/BC中，Z£=18°,BE平济NABC,CE平分/4CD,则/N等于()

A.36°B.30°C.20°D.18°

【答案】A

【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得NECD=NE+NEBC；

由角平分线的性质，得NECD=g(/A+/ABC),/EBC=gNABC,利用等量代换，即可求得N/与NE

的关系，即可得到结论.

【解析】解:VAACD=AA+AABC,

：.AECD=^CZA+ZABC).

又ZECD=ZE+ZEBC,

：.ZE+ZEBC=^CZA+ZABC).

,；BE平分NABC,

・•・NEBC=wNABC,

：.1ZABC+ZE=^-（ZA+ZABC\

：.Z£=yZ^=18°,

・・・ZA=36°.

故选N.

4.如图，A/3C中，NN8C与乙4c3的平分线交于点尸，过点尸作。E〃BC交4B于点D,交/C于点E,

那么下列结论：

①ABDF和ACEF都是等腰三角形

®DE=BD+CE；

@BF>CF；

④若44=80°,则ZBFC=130°.

其中正确的有（）个

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解.

【解析】解：①「BF是/ABC的角平分线，CF是NACB的角平分线，

ZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,

：DE〃BC,

.,.ZCBF=ZBFD,ZBCF=ZEFC（两直线平行，内错角相等），

；.NABF=/BFD,ZACF=ZEFC,

；.DB=DF,EF=EC,

.,.△BDF^ACEF都是等腰三角形，

①选项正确，符合题意；

②：DE=DF+FE,

，DB=DF,EF=EC,

；.DE=DB+CE,

②选项正确，符合题意；

③根据题意不能得出BF>CF,

...④选项不正确，不符合题意；

④：若/A=80。，

ZABC+ZACB=180°ZA=180°80°=100°,

ZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,

ZCBF+ZBCF=yxl00°=50°,

ZBFC=180°ZCBFZBCF=180°50°=l30°,

④选项正确，符合题意；

故①②④正确.

故选C

5.如图，ZABD,N/CD的角平分线交于点尸，若44=48。，ZD=10°,则/尸的度数（）

A.19°B.20°C.22°D.25°

【答案】A

【分析】法一：延长PC交3。于E,设AC、PB交于F,根据三角形的内角和定理得到N4+//8/+N/E8

=ZP+ZPCF+/尸/C=180°推出/尸+ZPCF=N/+凡根据三角形的外角性质得到/尸+ZPBE=

ZPED,推出根据网、PC是角平分线得到ZABF=ZPBE,

推出2/尸=/4一/。，代入即可求出/尸.

法二：延长。C,与4B交于点E.设/C与8尸相交于。，贝可得/尸+g//CD=//

+}N4血代入计算即可.

【解析】解：法一：延长尸C交3。于E,设NC、PB交于F,

A

P

B

D

ZA+ZABF+ZAFB=ZP+ZPCF+ZPFC=180°,

ZAFB=ZPFC,

：.ZP+/PCF=ZA+ZABF,

ZP+NPBE=APED,NPED=ZPCD-ZD,

：.ZP+NPBE=ZPCD-ZD,

：.2ZP+ZPCF+/PBE=ZA-ZD+ZABF+ZPCD,

.:PB、PC是角平分线

ZPCF=ZPCD,ZABF=ZPBE,

：.2ZP=ZA-ZD

：N/=48°,ZD=10°,

:.ZP=19°.

法二：延长。C,与AB交于点、E.

A

"：NACD是AACE的外角，ZA=48°,

ZACD=//+/AEC=48°+ZAEC.

ZAEC是ABDE的外角，

NAEC=ZABD+/D=ZABD+10°,

Zy4C£>=48°+ZAEC=4S°+ZABD+10°,

整理得//CD-ZABD=58°.

设4C与AP相交于。，则/NO2=/POC,

ZP+yNACD=N/+gAABD,

即/尸=48°-*(ZACD-ZABD)=19°.

故选4

二、填空题

6.如图，在AABC中，AA=3,/4BC和N/CD的平分线交于点4，得乙4-和/&CD的平分线

交于点4,得幺；…；"。|屹。和19co的平分线交于点4必，贝!]/4。2。=_.(用。表示)

【答案】[r

【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证NAi=g/A,由于NA『｝/A,

/Az=；/Ai=^/A,…，以此类推可知/A2020即可求得.

【解析】：AiB平分/ABC,AC平分/ACD,

.*.ZAiBC=yZABC,ZAiCA=yZACD,

/AiCD=NAi+NAjBC,

即yZACD=ZAi+yZABC,

,/ZA+ZABC=ZACD,

.".ZA=ZACDZABC,

.,.ZAi=|ZA,

以此类推

ZA2=yZAi=yNA="NA,

ZA3=1/A2=；X：/A=JNA,

所以NAn=，7NN,

故答案为：

7.如图，在△48C中，NA=70。，如果N/8C与N/C3的平分线交于点。，那么N8OC=度.

【答案】125

【分析】先利用三角形内角和定理求出443C+N4cB的度数，进而可求/D3C+/0CB的度数，最后再利

用三角形内角和定理即可求出答案.

【解析】•.•4=70。,

ZABC+ZACB=1800-ZA=110°.

：BD平分45C,CD平分N/C3,

NDBC+NDCB=1(ZABC+ZACB)=55<,

ZBDC=180°-(ZDSC+NDCB)=125°.

故答案为：125.

8.如图在AABC中，BO,CO分别平分/ABC,ZACB,交于O,CE为外角/ACD的平分线，交BO的

延长线于点E,记N5/C=N1,NBEC=N2,则以下结论①/1=2N2,®ZBOC=3Z2,(3)ZBOC=90°+Z1,

@Z5OC=90°+Z2,正确的是.(把所有正确的结论的序号写在横线上)

B

D

【答案】①④

【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到Nl=2/2,ZBOC=90°+yZl,ZBOC

90°+Z2,再分析判断.

【解析】：CE为外角NACD的平分线，BE平分/ABC,

ZDCE=|ZACD,ZDBE=yZABC,

又ZDCE是ABCE的外角，

Z2=ZDCE-ZDBE=y(NACD-/ABC)=yZl,

故①正确；

VBO,CO分别平分NABC,ZACB,

ABC

AZOBC=Y-NOCB=：/ACB,

AZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180°-y(ZABC+ZACB)

=180°-；(180°-Zl)

=90°+yZl,

故②、③错误；

：OC平分/ACB,CE平分NACD,

ZACO=yZACB,ZACE=|ZACD,

.,.ZOCE=y(ZACB+ZACD)=1xl80°=90°,

ZBOC是△COE的外角,

：.ZBOC=ZOCE+Z2=90°+Z2,故④正确；

故答案为：①④.

9.如图，的角平分线08、OC相交于点O,44=40。，贝！］N30C=

【答案】110°.

【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出/OBC+NOCB的度数，再根据三角形的内

角和定理即可求出NBOC的度数.

【解析】解：：OB、OC分别是NABC和/ACB的角平分线，

ZOBC+ZOCB=1ZABC+^ZACB=^(/ABC+ZACB)

VZA=40°,

.,.ZOBC+ZOCB=1(180°-40°)=70°,

.,.ZBOC=180°(ZOBC+ZOCB)

=180°70°

=110°.

故答案是110.

10.如图，已知NB/C=60。，是角平分线且/。=10,作/。的垂直平分线交ZC于点/，作£>E_L/C,

则&DEF周长为.

【答案】5+5百

【分析】知道NB/C=60。和4D是角平分线，就可以求出NCU£=30。，4D的垂直平分线交ZC于点尸可以

得到4尸=£0,在直角三角形中30。所对的边等于斜边的一半，再求出得到

C^DEF=DE+EF+AF=AE+DE.

【解析】解：；4D的垂直平分线交NC于点尸，

DF=AF(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)

CXOEF—DE+EF+AF=AE+DE

VABAC=60°,40是角平分线

：.ZDAE=30°

,?AD=10

:.DE=5,AE=5y/3

••CADEF=5+5s/3

11.如图，在△/BC中，ZA=60°,BD、CD分别平分N45C、NACB,M、N、。分别在。8、DC、8c的

延长线上，BE、CE分别平分/A/BC、ZBCN,BF、C/分别平分/E3C、ZECQ,贝！|/尸=.

【答案】15。

【分析】先由8。、C7)分别平分//8C、//C3得至ljNO8C=gN/8C,ZDCB=^-ZACB,在△/BC中根

据三角形内角和定理得NOBC+/DC3=g(N4BC+NACB)=y(180。//)=60°,则根据平角定理得到

/MBC+/NCB=300。；再由5£、CE分别平分NAffiC、/BCN得/5+/6=g/AfflC,Zl=yZNCB,两式

相力口得至lJ/5+/6+Nl=}CZNCB+ZNCB)=150°,在△2CE中，根据三角形内角和定理可计算出NE=30。；

再由AF、CF分别平分NE8C、NECQ得到N5=N6,Z2=Z3+Z4,根据三角形外角性质得到

Z3+Z4=Z5+ZF,N2+N3+N4=/5+/6+NE,利用等量代换得到N2=/5+/R2Z2=2Z5+Z£,再进

行等量代换可得到/尸ZE.

【解析】解：如图:

,:BD、C。分别平分NN3C、NACB,ZA=60°,

：.ZDBC=^NABC,ZDCB=^-ZACB,

AZDBC+ZDCB=^(/ABC+/ACB)=1(180°NN)=yx(180°60°)=60°,

ZAfflC+Z2VCB=360°60o=300°,

,:BE、CE分别平分NAfflC、ZBCN,

：.Z5+Z6=yZMBC,NNCB,

.\Z5+Z6+Z1=1(/NCB+/NCB)=150°,

AZ£=180°(Z5+Z6+Z1)=180°150°=30°,

•:BF、CF分别平分NE2C、ZECQ,

：.Z5=Z6,Z2=Z3+Z4,

,/Z3+Z4=Z5+ZF,N2+/3+/4=N5+/6+/E,

即N2=/5+NP,2Z2=2Z5+ZE,

：.2ZF=ZE,

：.ZF=yZ£=yx30°=15°.

故答案为：15。.

三、解答题

12.(1)如图所示，在A4BC中，5。,。0分别是乙43。和乙403的平分线，证明：ZBOC=90°+-ZA.

2

(1)

(2)如图所示，的外角平分线AD和相交于点。，证明：ZBDC=90°--ZA.

2

BC

D

(2)

(3)如图所示，A/3C的内角平分线8。和外角平分线CD相交于点。，证明：ND，NA.

2

(3)

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析

【解析】(1)设乙4B0=NOBC=x,NACO=NBCO=y.

由的内角和为180。，得N/+2x+2y=180。.①

由A50C的内角和为180。，得N3OC+x+y=180。.②

由②得x+y=180°-4OC.③

把③代入①，得N/+2(180°-ZBOC)=180。，

即2ZBOC=180°+N。,

即ZBOC=90°+-ZA

2

(2),:BD、CD为/\4BC两外角N4BC、N/C8的平分线,

/.NBCD=；(ZA+N4BC)、ZDBC=^(ZA+ZACB),

由三角形内角和定理得，NBDC=180°-NBCD-ZDBC,

=180。]//+(NA+/ABC+NACB)],

=180°|(N/+180。)，

=90°yZ^；

(3)如图:

；为△NBC的角平分线，交4C与点E,CD为△48C外角//CE的平分线，两角平分线交于点。

.\Z1=Z2,Z5=1(ZA+2Z1),Z3=Z4,

在△N8E中，Z^=18O°Z1Z3

.".Zl+Z3=180°Z^@

在△CDE中，Z£)=180°Z4Z5=180°Z31(N/+2N1),

即2"=360。2/3乙42/1=360。2(Z1+Z3)/A②,

把①代入②得

13.如图，在△43C中，/ABC、//C8的平分线相交于点。

①若N48C=40。，ZACB=5Q°,则4BOC的度数为；

②若ZA=76°,则/8OC的度数为；

③你能找出//与NBOC之间的数量关系吗？说明理由

【答案】①135。；②128。；③/BOC=90o+g/A,理由见解析

【分析】①利用三角形的内角和定理和角平分线的定义进行求解；

②利用三角形的内角和定理求出(NABC+/ACB)的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理

进行求解；

③利用三角形的内角和定理求出(NABC+NACB)的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进

行求解.

【解析】解：①：/人：6©=40。，ZACB=50°,ZABC,NZC8的平分线相交于点0,

ZOBC=yZABC=20°,Z0CB=yZACB=25°,

又ZB0C+ZOBC+ZOCB=180°,

.*.ZBOC=180°y(/ABC+/ACB)=135°,

故答案为：135。；

②：在△NBC中，ZA=16°,

：.ZABC+ZACB=104°,

二由①知，ZBOC=180°|(ZABC+ZACB)=128°,

故答案为：128。

③理由如下：

ZS0C=180°y(N4BC+NACB)=180°|(180°//)=90°+'//.

14.如图，在△48C中，/48C和/4C3的平分线相交于点尸.

(1)若//5C+N/C5=130。，求NBPC的度数.

(2)当//为多少度时，/BPC=3/A?

【答案】（1）115°；（2）44=36°

【分析】（1）根据角平分线的定义，求得"BC,NPCB,再根据三角形内角和定理即可求得尸C；

（2）根据（1）的方法求得尸C,再结合条件/BPC=3/4解方程即可求得N4

【解析】（1）：尸3平分N/3C,尸C平分4C3,

NPBC=-NABC,NPCB^-ZACB,

22

ZABC+ZACB=l30°,

ZPBC+ZPCB=^（ZABC+ZACB）=63D,

ZBPC=180°-(ZPSC+NPCB)=180°-65°=115°,

(2)•:PB平分NABC,PC平分乙4CB,

NPBC=-ZABC,NPCB=-ZACB,

22

NPBC+ZPCB=；(ZABC+ZACB),

■：ZABC+N4CB=180°-

ZPBC+ZPCB=90°—ZA,

2

BBPC=180°-(DP5C+BPCB)

=180。-(90。-；/⑷

=90°+-ZA

2

■■■NBPC=3/A

3ZA=90°+-ZA,

2

N4=36°.

15.数学思想运用：

①②③

⑴如图①所示，的外角平分线交于G,若/，=80。，贝！J/8GC=°,请你猜测N3GC和//的数

量关系：•

(2)如图②所示，若△/2C的内角平分线交于点/,若//=50。，则N2/C=。,请你猜测/2/C和//的

数量关系：.

(3)己知，如图③，△/BC中，乙4CE的平分线与/HCE的平分线交于。点，请你猜测/。和NN的数量

关系：•

若Nx=-(r,求ND的度数(写出求解过程).

【答案】⑴50ZBGC=90°-^ZA

(2)115ZBIC=90°+^ZA

(3)N£>=；NNC£,35°

【分析】(1)根据三角形内角和等于180。，可知乙48C+N/CB=180P-N/=100P,继而求出

NCBE+ZBCF=260°由角平分线的定义得出N2==NCBE,N3=：NBCF，再由三角形内角和定理即可求解;

(2)根据三角形内角和等于180。，可得乙46C+4cB=180。-乙4=130。，根据角平分线的意义可得

N6=-4BC,N8=-4CB,再由三角形内角和定理即可求解；

(3)先由角平分线的定义可得/D8C=；//3C,/Z)CE=；4CE,再根据三角形外角的性质得

NACE=NABC+NA,NDCE=NDBC+ND,利用角的和差即可求解；将44=70°代入数量关系即可求解.

+ZABC

［解析］(］)+ZACB=180°,=80°

ZABC+//C8=180。一//=100°

ZABC+ZCBE=180°,NACB+NBCF=180°

ZCBE+ZBCF=180°+l80°-(180°-ZA)=180°+ZA=260°

•••BG,CG分别平分NCBE,ZBCF

Z2=-ZCBE,Z3=-ZBCF

22

Z2+Z3=g(ZCBE+ZBCF)=1(180°+ZA)=130°

­/Z2+Z3+ZJBGC=180°

ZBGC=180°-(Z2+Z3)=180°-；(180°+N/)=90°-1z^=50°

故答案为：50,ZBGC=90°--ZA

2

⑵vZyi+ZABC+ZACB=\80°,=50°

ZABC+ZACB=180°-Z^=130c

QBI,CI分别平分

Z6=-ZABC,Z8=-ZACB

22

Z6+Z8=1(ZABC+N/C2)=g(180°-ZA)=90°-1N4

•・•N6+/8+/3/C=180。

ABIC=180°-（N6+N8）=180°-g（180°-//）=90°+；N/=115°

故答案为：115,ZBIC=90°+-ZA

2

（3）-.BD,CD分别平分N4BC,N/CE

ZDBC=-ZABC,ZDCE=-ZACE

22

•••AACE=ZABC+N/,ZDCE=ZDBC+ZD

-ZACE=-ZABC+-ZA

222

:.ZD=-ZA

2

•••N4=70°

ZD=35°

故答案为：=

16.A/3C中，ZA=50°.

（1）如图①，若点P是N/BC与N/CB平分线的交点，求N尸的度数；

（2）如图②，若点尸是/CAD与48CE平分线的交点，求/尸的度数；

（3）如图③，若点P是NN8C与//CF平分线的交点，求/尸的度数；

（4）若4=尸.请直接写出图①，②，③中NP的度数，（用含尸的代数式表示）

【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分别为：①/尸=180°-；（180。-4）=90。+；/；②/尸=90°-〈夕；

222

③NP=”='

【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出NPBC+NPCBq（ZABC+ZACB）=65°,根据

三角形的内角和定理得出NP的度数;

(2)由三角形内角和定理和邻补角关系得出NCBD+NBCE=360oi30o=230。，由角平分线得出

ZPBC+ZPCB=y(ZCBD+ZBCE)=115°,再由三角形内角和定理即可求出结果；

(3)由三角形的外角性质和角平分线的定义证出NP=g/A,即可得出结果；

(4)由(1)(2)(3),容易得出结果.

【解析［解：(1);乙4=50。，

ZABC+Zz4cB=180°-50°=130°,

・・•点尸是NABC与NACB平分线的交点，

ZPBC=-NABC,ZPCB=-ZACB,

22

NPBC+NPCB=|x(ZABC+N/C3)=；x130°=65°,

NP=180°-(ZPSC+ZPCB)=115°；

(2)vZ^5C+Z^C5=180°-50°=130°,

NCBD+NBCE=360°-130°=230°,

•・•点P是ZCBD与NBCE平分线的交点，

ZPBC+ZPCB=1(ZCBD+Z5C£)=115°,

ZP=180°-115o=65°；

(3)•••点尸是N/8C与44CF平分线的交点，

ZPBC=-4ABe,NPCF=-ZACF,

22

•••NPCF=NP+ZPBC,AACF=AA+NABC,

2(ZP+ZPBC)=ZA+ZABC,

:.ZP=-ZA=25°；

2

(4)若4=，，在(1)中，/尸=180。-；(180。一月)=90。+；£；

在(2)中，同理得：ZP=90°-1^；

在(3)中，同理得：==；夕.

17.【问题背景】

(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明/A+/B=NC+/D；

【简单应用】

(2)如图2,AP、CP分别平分/BAD.ZBCD,若NABC=46。，ZADC=26°,求NP的度数；

【问题探究】

(3)如图3,直线AP平分/BAD的外角/FAD,CP平分/BCD的外角NBCE,若NABC=36。，ZADC=16°,

请猜想/P的度数，并说明理由.

【拓展延伸】

(4)①在图4中，若设/C=a,ZB=p,ZCAP=|ZCAB,ZCDP=|zCDB,试问/P与NC、NB之间

的数量关系为：(用a、B表示/P)；

②在图5中，AP平分/BAD,CP平分/BCD的外角NBCE,猜想NP与/B、ND的关系，直接写出结

论.

【答案】(1)见解析；(2)36°；(3)26°,理由见解析；(4)@ZP=^^®ZP=180°+^+Z£>

【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明；

(2)直接利用(1)中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；

(3)由AP平分NBAD的外角/FAD,CP平分/BCD的外角/BCE,推出N1=N2,Z3=Z4,推出

ZPAD=180°-Z2,ZPCD=180°-Z3,由NP+(180°-Zl)=ZD+(180°-Z3),ZP+Z1=ZB+Z4,

推出2/P=NB+ND,即可解决问题.

(4)①同法利用(1)种的结论列出方程即可解决问题.

②同法利用(1)种的结论列出方程即可解决问题.

【解析】(1)在4AEB中，ZA+ZB+ZAEB=180°.

在4CED中，ZC+ZD+ZCED=180°.

VZAEB=ZCED,

・・・NA+NB=NC+ND；

(2)由(1)得：Z1+ZB=Z3+ZP,N4+ND=N2+NP,

AZ1+ZB+Z4+ZD=Z3+ZP+Z2+ZP.

VZ1=Z2,Z3=Z4,

・•・2ZP=ZB+ZD=460+26°=72°,

・・・NP=36。.

(3)ZP=26°,理由是：如图3：

VAP平分/BAD的外角NFAD,CP平分NBCD的外角NBCE,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

・・・NPAD=180。-Z2,ZPCD=180°-Z3.

VZPAB=Z1,ZP+ZPAB=ZB+Z4,

AZP+Z1=ZB+Z4.

VZP+(180°-Z2)=ND+(180°-Z3),

A2ZP=ZB+ZD,

.,.ZP=y(ZB+ZD)=1x(36°+16°)=26°.

(4)①设NCAP=m,ZCDP=n,则NCAB=3m,,NCDB=3n,

・・・NPAB=2m,ZPDB=2n.

*/NC+NCAP=NP+NPDC,ZP+ZPAB=ZB+ZPDB,

VZC=a,ZB=p,

/.a+m=NP+n,NP+2m=0+2n,

.*.a-ZP=n—m,ZP-P=2n—2m=2(n—m),

A2a+P=3ZP

.・・/p=w.

3

故答案为：/p==2.

②设NBAP=x,NPCE=y,则NPAO=x,ZPCB=y.

ZPAO+ZP=ZPCD+ZD,ZB+ZBAO=ZOCD+ZD,

.,.x+ZP=180°-y+ZD,ZB+2x=180°-2y+ZD,

,180°+ZS+ZD

ZP=---------------------.

2

山林占上，180°+Z8+ZD

故答案为：ZP=-------------------

2

18.如图①，在AABC中，/ABC与/ACB的平分线相交于点P.

图①图②图③

（1）如果NA=80。,求NBPC的度数；

（2）如图②，作AABC外角/MBC、/NCB的平分线交于点Q,试探索/Q、NA之间的数量关系.

（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E,ZvBQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出

ZA的度数.

【答案】（1）130°；（2）/。=90°-；44；（3）60°或120。或45°或135°

【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出/ABC+/ACB,进而求出/BPC即可

解决问题；

（2）根据三角形的外角性质分别表示出NMBC与NBCN,再根据角平分线的性质可求得NCBQ+NBCQ,

最后根据三角形内角