2024-2025学年新教材高中数学第3章不等式3.2.1基本不等式的证明课后素养落实含解析苏教版必修第一册

课后素养落实(十)基本不等式的证明(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列不等式中正确的是()A．a＋eq\f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4abC.eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)D[a<0，则a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)，故C错；由基本不等式可知D项正确．]2．(多选题)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是()A．ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 B．ab≤eq\f(a2＋b2,2)C．eq\f(1,ab)≥eq\f(2,a2＋b2) D．eq\f(1,ab)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋b)))2ABC[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由eq\f(a2＋b2,2)≥ab得，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，∴eq\f(1,ab)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋b)))2.]3．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是()A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2D[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误；对于D，∵ab>0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．]4．若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A．eq\f(1,2) B．a2＋b2C．2ab D．aB[a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,2).a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<eq\f(1,2).∴a2＋b2最大．]5．当x＞0时，f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值为()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．4B[∵x＞0，∴f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2)＝1，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号．故选B.]二、填空题6．已知a>b>c，则eq\r(a－bb－c)与eq\f(a－c,2)的大小关系是________．eq\r(a－bb－c)≤eq\f(a－c,2)[∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴eq\r(a－bb－c)≤eq\f(a－b＋b－c,2)＝eq\f(a－c,2).]7．某工厂第一年的产量为A，其次年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值eq\f(a＋b,2)的大小关系为________．x≤eq\f(a＋b,2)[用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．∴1＋x＝eq\r(1＋a1＋b)≤eq\f(1＋a＋1＋b,2)＝1＋eq\f(a＋b,2)，∴x≤eq\f(a＋b,2).当且仅当a＝b时等号成立．]8．已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________，最小值为________．3624[f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))(x>0，a>0)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即x＝eq\f(\r(a),2)时等号成立，此时f(x)取得最小值4eq\r(a)，由已知x＝3时，f(x)min＝4eq\r(a)，∴eq\f(\r(a),2)＝3，即a＝36，f(x)min＝24.]三、解答题9．已知a>b>c，求(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))的最小值．[解](a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝(a－b＋b－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝1＋1＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c).∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴2＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)≥2＋2eq\r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))＝4，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号，∴(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))的最小值为4.10．已知a，b，c为正数，求证：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(c＋a－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)≥3.[证明]左边＝eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)－1＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,b)－1＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))－3.∵a，b，c为正数，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．从而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))－3≥3，即eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(c＋a－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)≥3.1．(多选题)下列函数中，最小值是2eq\r(2)的有()A．y＝x＋eq\f(2,x) B．y＝eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x))C．y＝x2＋eq\f(2,x2＋4)＋4 D．y＝ex＋2e－xBD[A.x<0时，y<0，无最小值．B．y＝eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x))≥2eq\r(2)，当且仅当x＝2时取等号，正确．C．y＝x2＋eq\f(2,x2＋4)＋4≥2eq\r(x2＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2＋4))))＝2eq\r(2)，当且仅当x2＋4＝eq\f(2,x2＋4)时，等号成立，明显不行能取到，故选项C不正确；D．y＝ex＋2e－x≥2eq\r(ex·2e－x)＝2eq\r(2)，当且仅当x＝lneq\r(2)时取等号，正确．]2．已知a>b>1且b＝eq\r(a)，则a＋eq\f(1,b2－1)的最小值为()A．3 B．4C．5 D．6A[因为a>b>1且b＝eq\r(a)，所以a＋eq\f(1,b2－1)＝a＋eq\f(1,a－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(a－1·\f(1,a－1))＋1＝3.当且仅当a－1＝eq\f(1,a－1)即a＝2时等号成立．此时最小值为3.]3．若实数a，b满意eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为________．2eq\r(2)[因为eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，所以a>0，b>0，由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2eq\r(\f(2,ab))，所以ab≥2eq\r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2eq\r(2).]4．已知a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，则ab的最小值是________，a＋b的最小值是________．eq\f(8,9)1＋eq\f(2\r(2),3)[①因为a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，所以3ab＝a＋2b≥2eq\r(2ab)，所以eq\r(ab)≥eq\f(2\r(2),3)或eq\r(ab)≤0(舍)，所以ab≥eq\f(8,9)，所以ab的最小值为eq\f(8,9)；②由a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，可得eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(2,a)))＝1，所以a＋b＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(2,a)))(a＋b)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(a,b)＋\f(2b,a)))≥eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(\f(a,b)·\f(2b,a))))＝1＋eq\f(2\r(2),3)，当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(2b,a)，即a＝eq\f(2＋\r(2),3)，b＝eq\f(\r(2)＋1,3)，所以a＋b的最小值为1＋eq\f(2\r(2),3).]若0<x<eq\