2025版高考数学一轮复习练案41第七章立体几何第一讲空间几何体的结构及其三视图和直观图含解析新人教版

第七章立体几何第一讲空间几何体的结构及其三视图和直观图A组基础巩固一、单选题1．下列结论中正确的是(D)A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．两个面平行且相像，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线[解析]当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；如右图可知，B错误；若六棱锥的全部棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必需要大于底面边长，故C错误．选D.2．(2024·安徽毛坦厂中学月考)已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是(C)[解析]对A、B选项俯视图不符；对D选项正视图不符，故选C．3．(2024·四川阆中中学测试)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(B)4．(2024·烟台一模)若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]视察三视图，可得直观图如图所示．该三棱锥A－BCD的底面BCD是直角三角形，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，所以侧面ABC，侧面ABD是直角三角形；由CD⊥BC，CD⊥AB，BC∩AB＝B.知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，所以侧面ACD也是直角三角形，故选D.5．(2024·天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(B)[解析]由正视图、俯视图得原几何体的形态如图所示，则该几何体的侧视图为B.6．(2024·北京海淀一模)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为(C)A．eq\r(5) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．eq\r(13)[解析]由三视图知，四棱锥底面是直角梯形，EA⊥底面ABCD，EA＝AB＝BC＝2，最长棱是EC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，在Rt△EAC中，EC2＝EA2＋AC2，∴EC2＝EA2＋AB2＋BC2＝12，EC＝2eq\r(3).故选C．7．(2014·湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(D)A．①和② B．③和①C．④和③ D．④和②[解析]在空间直角坐标系中，构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则四面体ABCD即为满意条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选D.8．(2024·北京怀柔一模)如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(D)A．eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C．3 D．eq\f(3,2)[解析]依据三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥P－ABC，如图，可知AB＝3，BC＝1，AB⊥BC，点P到平面ABC的距离为h＝3S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·BC＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，所以VP－ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×3＝eq\f(3,2)，故选：D.二、多选题9．(2024·甘肃兰州联片办学期末改编)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(BD)[解析]正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为B、D.10.(2024·河北保定期末改编)用若干个体积为1的小正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的体积可能为(ABCD)A．5 B．7C．10 D．11[解析]由题意可知，几何体直观图可能是故选A、B、C、D.三、填空题11．已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为eq\f(\r(2),2).[解析]如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图．因为OE＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，则直观图A′B′C′D′的面积S′＝eq\f(1＋3,2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).12．(2024·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面绽开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是1cm.[解析]∵圆锥侧面绽开图是半圆，面积为2πcm2，设圆锥的母线长为acm，则eq\f(1,2)×a2π＝2π，∴a＝2cm，∴侧面绽开扇形的弧长为2πcm，设圆锥的底面半径OC＝rcm，则2πr＝2π，解得r＝1cm.故答案为：1cm.13.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P动身，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4eq\r(2)m，则圆锥底面圆的半径等于1m.[解析]把圆锥侧面沿过点P的母线绽开成如图所示的扇形，由题意OP＝4，PP′＝4eq\r(2)，则cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(2)2,2×4×4)＝0，且∠POP′是三角形的内角，所以∠POP′＝eq\f(π,2)，设底面圆的半径为r，则2πr＝eq\f(π,2)×4，所以r＝1.14．(2024·全国Ⅱ，文16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形态多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形态是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的全部顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有26个面，其棱长为eq\r(2)－1.[解析]半正多面风光 数从上至下依次为1,8,8,8,1，故共有1＋8＋8＋8＋1＝26个面．正方体被半正多面体顶点A，B，C所在平面截得的图形如图2.八边形ABCDEFGH为正八边形．设AB＝a，则1＝2×eq\f(\r(2),2)a＋a，解得a＝eq\r(2)－1.B组实力提升1．(2024·上海交大附中一模)某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉便利面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉便利面至少有(B)A．8桶 B．9桶C．10桶 D．11桶[解析]易得第一层有4桶，其次层最少有3桶，第三层最少有2桶，所以至少共有9个桶．故选B.2．(2024·山西太原模拟)如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不行能是(C)[解析]A、B、D选项对应的几何体分别为故选C．3．(2024·新课标Ⅱ卷，T7)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，左俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为(A)A．E B．FC．G D．H[解析]依据三视图，画出多面体立体图形，D1D4上的点在正视图中都对应点M，直线B3C4上的点在俯视图中对应的点为N，∴在正视图中对应M，在俯视图中对应N的点是D4，线段D3D4，上的全部点在侧视图中都对应E，∴点D4在侧视图中对应的点为E.故选：A.4．(2024·广东六校联考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A、E、C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(C)[解析]剩余几何体如图所示其侧视图为C．5．(2024·山西晋中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的某多面体的三视图，则该几何体各个表面的面积中，最小值为(A)A．2eq\r(2) B．eq