2024-2025学年新教材高中数学第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用教师用书教案新人教A版选择性必修第三册

PAGE8.2一元线性回来模型及其应用必备学问·素养奠基1.一元线性回来模型一元线性回来模型的完整表达式为QUOTE其中Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或说明变量;a,b为模型的未知参数,e是Y与bx+a之间的随机误差.具有相关关系的两个变量,其样本点散布在某一条直线y=bx+a的旁边,可以用一次函数y=bx+a来描述两个变量之间的关系吗?提示:不能.2.最小二乘法与阅历回来方程(1)最小二乘法=x+称为Y关于x的阅历回来方程,也称阅历回来函数或阅历回来公式,其图形称为阅历回来直线.这种求阅历回来方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做b,a的最小二乘估计.(2)阅历回来方程的系数计算公式阅历回来方程的计算公式的计算公式=

x+=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE(3)阅历回来方程的性质①阅历回来方程肯定过点__(QUOTE,QUOTE)__;

②一次函数=x+的单调性由的符号确定,函数递增的充要条件是

>0__;

③的实际意义:当x增大一个单位时,增大个单位.正相关、负相关与的符号有何关系?提示:Y与x正相关的充要条件是>0,Y与x负相关的充要条件是<0.3.残差(1)残差:对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过阅历回来方程得到的称为预料值,观测值减去预料值称为残差.(2)确定系数:R2=1-越接近1,表示回来的效果越好.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)阅历回来方程肯定过样本中的某一个点.()(2)选取一组数据中的部分点得到的阅历回来方程与由整组数据得到的阅历回来方程是同一个方程.()(3)在阅历回来模型中,R2越接近于1,表示说明变量和响应变量的线性相关性越强.()(4)在画两个变量的散点图时,响应变量在x轴上,说明变量在y轴上.()提示:(1)×.阅历回来方程肯定过点(QUOTE,QUOTE),可能过样本中的某个或某些点,也可能不过样本中的随意一个点.(2)×.选取一组数据中的部分点得到的阅历回来方程与由整组数据得到的阅历回来方程不肯定是同一个方程.(3)√.(4)×.在画两个变量的散点图时,说明变量在x轴上,响应变量在y轴上.2.若某地财政收入x与支出Y满意阅历回来方程=x++ei(单位:亿元)(i=1,2,…),其中=0.8,=2,|ei|<0.5,假如今年该地区财政收入10亿元,年支出预料不会超过()A.10亿元 B.9亿元C.10.5亿元 D.9.5亿元【解析】选C.=0.8×10+2+ei=10+ei,因为|ei|<0.5,所以9.5<<10.5.3.若施肥量x(kg)与水稻产量Y(kg)的阅历回来方程为=5x+250,当施肥量为80kg时,预料水稻产量约为________kg.

【解析】把x=80代入阅历回来方程可得其预料值=5×80+250=650(kg).答案:650关键实力·素养形成类型一求阅历回来方程【典例】某种产品的广告费用支出x与销售额Y(单位:百万元)之间有如下的对应数据:x/百万元24568Y/百万元3040605070(1)画出散点图;(2)求阅历回来方程;(3)试预料广告费用支出为10百万元时,销售额多大?【思维·引】(1)按表中的数据在平面直角坐标系中描点即得散点图;(2)由公式求出,,写出阅历回来方程;(3)利用阅历回来方程分析.【解析】(1)散点图如图所示:(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:i12345合计xi2456825yi3040605070250xiyi601603003005601380416253664145所以QUOTE=QUOTE=5,QUOTE=QUOTE=50,QUOTE=145,QUOTExiyi=1380.于是可得=QUOTE=QUOTE=6.5,=QUOTE-QUOTE=50-6.5×5=17.5.所以所求的阅历回来方程为=6.5x+17.5.(3)依据上面求得的阅历回来方程,当广告费用支出为10百万元时,=6.5×10+17.5=82.5(百万元),即广告费用支出为10百万元时,销售额大约为82.5百万元.【内化·悟】求阅历回来方程前应留意什么问题?提示:对于性质不明确的两组数据,要先作散点图,从图中看它们有无线性相关关系,有相关关系的求出的阅历回来方程才有实际意义.【类题·通】求阅历回来方程的步骤(1)画散点图:由样本点是否呈条状分布来推断两个量是否具有线性相关关系.(2)求回来系数:若存在线性相关关系,则求回来系数.(3)写方程:写出阅历回来方程,并利用阅历回来方程进行预料说明.【习练·破】某公司的生产部门调研发觉,该公司其次,三季度的月用电量Y与月份x线性相关,且数据统计如下:月份456789月用电量(千瓦时)61627554656但核对电费报表时发觉一组数据统计有误.(1)请指出哪组数据有误,并说明理由;(2)在解除有误数据后,求月用电量与月份之间的阅历回来方程=x+,并预料统计有误那个月份的用电量.(结果精确到0.1)【解析】(1)作散点图如图所示.因为用电量与月份之间线性相关,所以散点图的样本点分布在阅历回来直线旁边比较窄的带状区域内,而点(7,55)离其他点所在区域较远,故(7,55)这组数据有误.(2)解除(7,55)这一组有误数据后,计算得QUOTE=6.4,QUOTE=30.2.因为=QUOTE≈9.98,=QUOTE-QUOTE≈-33.67,所以阅历回来方程为=9.98x-33.67,当x=7时,≈36.2,即7月份的用电量大约为36.2千瓦时.类型二线性检验回来分析【典例】某运动员训练次数与训练成果之间的数据关系如表:次数(x)3033353739444650成果(Y)3034373942464851(1)作出散点图;(2)求出阅历回来方程;(3)作出残差图;(4)计算R2,并说明运动员的训练次数对成果的影响占百分之几.【思维·引】依据题意先作散点图再求阅历回来方程、残差及R2.【解析】(1)作出该运动员训练次数x与成果Y的散点图,如图所示.由散点图可知,它们之间具有相关关系.(2)QUOTE=39.25,QUOTE=40.875,QUOTE=12656,QUOTExiyi=13180,所以=QUOTE≈1.0415,=QUOTE-QUOTE=-0.003875,所以阅历回来方程为=1.0415x-0.003875.(3)残差分析:下面的表格列出了运动员训练次数和成果的原始数据以及相应的残差数据.xY3030-1.24113334-0.365635370.551437390.468439421.385444460.177946480.09495051-1.0711作残差图如图所示.由图可知,残差点比较匀称地分布在水平带状区域内,说明选择的模型比较合适.(4)计算R2≈0.9855,说明白该运动员的训练次数对成果的影响占98.55%.【类题·通】“R2、残差图”在回来分析中的作用(1)R2是用来刻画回来效果的,由R2=1-可知R2越大,意味着残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果就越好.(2)残差图也是用来刻画回来效果的,推断依据是:残差点比较匀称地分布在水平带状区域中,带状区域越窄,说明模型拟合精度越高,回来方程预报精度越高.【习练·破】为探讨质量x(单位:g)对弹簧长度Y(单位:cm)的影响,对不同质量的6个物体进行测量,数据如表所示:x51015202530Y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求阅历回来方程;(2)求出R2并说明回来模型拟合的程度;(3)进行残差分析.【解析】(1)散点图如图.QUOTE=QUOTE×(5+10+15+20+25+30)=17.5,QUOTE=QUOTE×(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8)≈9.487,计算得≈0.183,≈6.285.故所求阅历回来方程为=6.285+0.183x.(2)列出残差表为yi-i0.050.005-0.08-0.0450.040.025yi-QUOTE-2.237-1.367-0.5370.4131.4132.313所以QUOTE(yi-i)2≈0.01318,QUOTE(yi-QUOTE)2=14.6783.所以,R2=1-QUOTE≈0.9991,回来模型的拟合效果较好.(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大,须要确认在采集这个样本点的时候是否有人为的错误,假如有的话,须要订正,重新建立回来模型;由表中数据可以看出残差点比较匀称地落在狭窄的水平带状区域中,说明选用的线性回来模型的精度较高,由以上分析可知,弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系.类型三非线性阅历回来问题【典例】为了探讨某种细菌随时间x的改变繁殖个数Y的改变,收集数据如下:时间x/天123456繁殖个数Y612254995190(1)将天数做说明变量,繁殖个数做响应变量,作出这些数据的散点图;(2)描述说明变量与响应变量之间的关系.【思维·引】先由散点图确定相应的函数模型,再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解.【解析】(1)由表中数据作散点图如图所示.(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=c1QUOTE的图象的四周,其中c1和c2是待定系数.于是令Z=lnY,则=x+(=lnc1,=c2),因此变换后的样本点应当分布在直线=x+的四周,因此可以用阅历回来模型来拟合Z与x的关系,则变换后的样本数据如表:x123456Z1.792.483.223.894.555.25由表中数据得到阅历回来方程=0.69x+1.115.因此细菌繁殖个数关于时间的非线性阅历回来方程为=e0.69x+1.115.【内化·悟】将非线性相关问题转化为线性相关问题的依据是什么?提示:依据散点图确定.【类题·通】1.非线性阅历回来问题的解题步骤2.常见转化类型(1)反比例函数y=a+QUOTE可作变换t=QUOTE,得y=a+bt.(2)幂函数型y=axb(a>0)可作变换Y=lny,m=lna,t=lnx,则有Y=m+bt.(3)指数型函数y=kabx(a>0且a≠1,k>0)可作变换Y=lny,m=lnk,则有:Y=m+(blna)x.【习练·破】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费,需了解年宣扬费x(单位:千元)对年销售量Y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣扬费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.QUOTE(xi-QUOTE)2QUOTE(wi-QUOTE)2QUOTE(xi-QUOTE)(yi-QUOTE)QUOTE(wi-QUOTE)(yi-QUOTE)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=QUOTE,QUOTE=QUOTEwi.(1)依据散点图推断,y=a+bx与y=c+dQUOTE哪一个相宜作为年销售量Y关于年宣扬费x的回来方程类型?(给出推断即可,不必说明理由)(2)依据(1)的推断结果及表中数据,建立y关于x的回来方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.依据(2)的结果回答下列问题:①年宣扬费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?②年宣扬费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回来直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=QUOTE,=QUOTE-QUOTE.【解析】(1)由散点图可以推断,y=c+dQUOTE相宜作为年销售量Y关于年宣扬费x的回来方程类型.(2)令w=QUOTE,先建立Y关于w的阅历回来方程.由于=QUOTE=QUOTE=68,=QUOTE-QUOTE=563-68×6.8=100.6,所以Y关于w的阅历回来方程为=100.6+68w,因此Y关于x的阅历回来方程为=100.6+68QUOTE.(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量Y的预报值=100.6+68QUOTE=576.6,年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.②依据(2)的结果知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68QUOTE)-x=-x+13.6QUOTE+20.12.所以当QUOTE=QUOTE=6.8,即x=46.24时,取得最大值.故年宣扬费为46.24千元时,年利润的预报值最大.【加练·固】如表是某年美国旧轿车价格的调查资料.运用年数12345678910平均价格(美元)2651194314941087765538484290226204视察表中的数据,试问平均价格与运用年数间存在什么样的关系?【解析】设x表示轿车的运用年数,Y表示相应的平均价格,作出散点图.由散点图可以看出Y与x具有指数关系,令Z=lnY,变换得x12345678910Z7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318作出散点图:由图可知各点基本上处于始终线旁边,由表中数据可求出阅历回来方程:=8.166-0.298x.因为旧车的平均价格与运用年数具有指数关系,所以其非线性阅历回来方程为=e8.166-0.298x.课堂检测·素养达标1.关于回来分析,下列说法错误的是()A.回来分析是探讨两个具有相关关系的变量的方法B.散点图中,说明变量在x轴,响应变量在y轴C.回来模型中肯定存在随机误差D.散点图能明确反映变量间的关系【解析】选D.用散点图反映两个变量间的关系时,存在