辽宁联盟2024年高二年级下册6月联考数学试题+答案（一）

辽宁省名校联盟2024年高二6月份联合考试

》、、九

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

L答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无

效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有-项是

符合题目要求的.

1.设集合A=卜€刈#3},3=H2y3卜则Ac3=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{-1,0,1）

2.已知根<〃<0,则下列不等式成立的是（）

nm2

A.—>—B.mn<n

mn

11八

C.—<—D.根>2〃

nm

3.已知a=log93,6=，c=l，贝1（）

A..a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

4.甲辰龙年新年伊始，“尔滨”成为旅游城市中的“顶流”，仅元旦假期，哈尔滨接待游客突破300万人次，

实现旅游收入59亿元，冰雪大世界更是游客们必去打卡点之一.小于、小智等5个“南方小土豆”决定在冰雪

大世界的雪花摩天轮、超级大滑梯、急速雪圈、雪地旋转4个项目中选择1个项目优先游玩体验.若每个项目

至少有1个“小土豆”去优先体验，每个“小土豆”都会选择1个项目优先体验，且小于、小智都单独1人去某

1个项目，则不同的优先游玩体验方法有（）

A.36种B.72种C.84种D.96种

5.已知数列{%}满足。用=6〃+1（〃EN*）,则%+。6=（）

A.18B.19C.20D.21

31

6.如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为一，向右移动的概率为一,

44

若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则尸（X=l）=（）

-4-3-2-IO123456x

4513513545

A.-----B.-----C.-----D.-----

256512256512

7.已知直线y=ax+6与曲线y=lnx相切于点（Xo/nxo）,若不6,3],则帅的最小值为（）

12

A.-lB.OC.—D.—

ee

8.已知定义在R上的函数〃x）满足+x）=0,/（l-x）=/（l+x）,当xe[0,l]时，

=l—（x—吁，函数/z（x）=/（x）+/（x+l）,则下列结论错误的是（）

+/⑴+/-+/（3）+/

B./z（x）的图像关于直线x=|对称

C./7（X）的最大值为5

D/（x）的图像与直线y=2%有8个交点

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.两个变量的线性相关性越强，则相关系数r越大

B.若随机变量7满足77=2&+1,则。（〃）=4。傍）

C.若随机变量X服从正态分布N（3,b2）,且P（X<4）=0.7,则P（3<X<4）=0.2

D.已知一系列样本点（七,%）（，=1,2,3,…欢次eN*）的一个经验回归方程为y^x+a,若样本点（加,3）

与（2,〃）的残差相等,则3加+〃=9

10.已知数列｛“｝满足4=2,bn~bnbn+i=1,记数列也｝的前W项积为S“，前〃项和为&则（）

A也025=TQ=—1

11.已知函数/（%）=OX—In%的零点是玉,%2，且再<%2，函数M%）=x—的零点是%3，X4，且

%3<%4，当％4<%时，贝I」（）

A.ln+Inx2>2B.玉一七〉1

C.In-x3=Inx2-x4D.存在〃，使得为一%4=e-l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若的展开式中必项的二项式系数是6,则展开式中所有项的系数和为.

62

13.已知。>b>0,-----1------=1,则2。一6的最小值为.

a-\-ba—b

14.已知函数"x）=e"数列｛%｝满足%+i=”4+1),函数g(x)=〃x)+i的极值点为七,且

e"°=^~['则〃%+%)=

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产

电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的频率

分布直方图和2x2列联表：

06.

08

606

04

0.02

O'5101520时间/小时

调试前

产品合格不合格合计

调试前a16

调试后b12

合计

（1）求列联表中a,b的值；

（2）补充2x2列联表，能否有95%的把握认为参数调试与产品质量有关;

P(B|A)

(3)常用L（HA）=表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现

P(B\A)

从调试前、后的产品中任取一件，A表示“选到的产品是不合格品”，3表示“选到的产品是调试后的产品”,

请利用样本数据，估计|A）的值.

附：/=_______Mad-bc)-_________

(〃+Z?)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

0.100.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

16.(15分)

已知数列｛4｝的前〃项积为北,«!=--，44+1<0且圜=」一.

⑴求｛4｝的通项公式；

（2）若存在机，使得（4—加）（。〃+1-加）<0恒成立，求机的取值范围.

17.（15分）

不透明的袋子中装有3个黑球、2个红球、2个白球（除颜色外完全相同），现从中任意取出3个球，再放

入1个红球和2个黑球.

（D求取球、放球结束后袋子里红球的个数为2的概率；

（2）记取球、放球结束后袋子里黑球的个数为随机变量X,求X的分布列以及数学期望.

18.（17分）

已知数列｛%,｝满足％=2,an+l=a；-a“+l（〃eN）

⑴证明：数列｛4｝是递增数列；

（2）设数列的前"项和为S“，证明：（l-5„）（«,i+1-l）=l.

19.（17分）

平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置，基本不等式

学2/益〉0/〉0）就是最简单的平均值不等式.一般地，假设％,生，…，4为〃个非负实数，它们

的算术平均值记为a,=（+4+…+%=工£%（注：ya/=a1+tz1+---+a„）,几何平均值记为

nn,=1,=i

1

Gn=（a^2……亦（注：在卬=…也〃），算术平均值与几何平均值之间有如下的

关系：%+-+•••+/之〃吗…%,即42G",当且仅当％=%=3=a“时等号成立，上述不等

n

式称为平均值不等式，或简称为均值不等式.

8

(1)已知x〉y〉0,求％+的最小值;

y(x-y)

(2)已知正项数列{4},前w项和为S,.

(i)当Sn=l时，求证：fl。-力行;

z=li=l

(ii)求证：立(1+4)笃"

Z=1z=0',

参考答案及解析

一、选择题

1.A【解析】由题意可知集合A={0,1,2,3},集合6=k|Wlog23},所以Ac8={0,1}.故选A项.

22

2.C【解析】对于A项，W—"1,因为机<“<0,所以加〃〉0,机2>"，即2〈竺，A项

mnmnmn

错误；对于B项，例如，-2<-l<0,而(―2)x(-1)>(-1)2,B项错误；对于C项，由加<〃<0,得

|1m—n1|

-----=——<0,所以一<一,C项正确；对于D项，例如，-2<-1<0,但-2=-2,D项错误.故

nm--mnnm

选C项.

3D【解析】因为a=loggS==[g]<[g]=；,c=”〉e°=1,所以c>a>0.故选D项.

4.B【解析】小于与小智单独选择1个项目有A：种方法，剩余3个“小土豆”有C；A：种方法，根据分步

乘法计数原理得共有A：C；A；=72种方法.故选B项.

5.B【解析】由a.+i+a,=672+1,可得4+2+4+1=6"+7,且%+生=7,两式相减可得

4+2—4=6，即数列{&}的偶数项是以6为公差的等差数列，则4=。2+19-]*6=出+12,所以

。1+。6=%+%+12=7+12=19.故选B项.

6.D【解析】由题意得元=1表示5次移动中有3次向右，2次向左，所以

。(*=1)=/冉=某故选D项.

11

7.B【解析】因为y=lnx,所以y'=一,所以。=一，又切点(七,止%)在直线_y=ax+6上，所以

xxo

lnx0=axo+b=xox-+b=l+b,解得6=ln%c—l,所以ab=―-——.令

飞为

g(x)=唐」,xe[e,e3],则g，(x)=21nx,当e<%<e2时，g'(x)>0,当e2cx<e3时,

XJC

g'(x)<0,所以g(x)在(ed)上单调递增，在卜2])上

9

单调递减，g(e)=0,g(e3)=—,所以gQKn=g(e)=。，故a。的最小值为0.故选B项.

8.D【解析】对于A项，由题易知/(X)是定义域为R且以4为一个周期的奇函数，所以

/(4)=〃o)=o,ngmg-4m+«T=o,同理,

f(l)f(3)=0,f|+/

+0,故A项正确.对于C项，因为/(X)是以4为一个周期的函数，所以

/(%+1)也是以4为一个周期的函数,当工£[0,1]时,/(x)=l-(x-l)2,/(l-x)=/(l+x),所以当

XE[0,2]时，/(%)=—丁+2%,所以当2,0]时，—XE[0,2],所以

/(-x)=-/(%)=-(-x)2-2x,得到当2,0]时，/(x)=x2+2%,当％42,4]时,

X-4G[-2,0],/(X-4)=/(x)=(x-4)2+2(x-4),得到当工42,4]时，/(x)=x2-6x+8,则当

%£时，x+1G[-1,0],/z(x)=/(x)+/(x+l)=x2+2x+(x+l)2+2(x+l)=2x2+6x+3,当

xe[-1,0]时，x+1G[0,1],/z(x)=/(x)+/(x+1)=x2+2x+|^-(x+l)2+2(%+l)]=2%+l,当

工£[0,l]时，x+1G[l,2],/z(x)=/(x)+/(x+1)=-x2+2x-(x+l)2+2(x+l)=-2x2+2x+l,则

当XE[1,2]时，x+1G[2,3],/z(x)=/(x)+/(x+l)=-x2+2x+(x+l)2-6(x+l)+8=—2%+3,所

2/+6%+3,%£[-2,-1),

2X+1,XG[-1,0),

以当2,2]时,/z(x)=易知"(元)也是以4为一个周期的周期函数，作出

-2x2+2X+1,XG[0,1),

-2X+3,XG[1,2],

力⑺的图像，如图，可知在X=g处取得最大值，所以丸(X)max=五[)=|，故C项正确.对于B项，由

图像知对称轴为x=」+2左，左eZ,易知当左=1时，x=-,故B项正确.对于D项，作出直线y=

226

17117313251253

的图像，因为当无二,时，一x,<2,当％=12时，一xl2>?,当元=一时，-x—>2,当

2622622622

x=---时，一x|-----j=------〉—，当xe[—10,—9]时，//(x)=2x~+38x+179,和丁=—x联立得

26I2J1226

A<0,所以〃（x）的图像与直线y=共有9个交点，故D项错误.故选D项.

二、多选题

9.BCD【解析】对于A项，两个变量的线性相关性越强，卜|越大，A项错误；对于B项，由方差的性质

可得。（"）=22。（）=4。传），B项正确；对于C项，若随机变量X服从正态分布N（3,4）,且

尸(XW4)=0.7,则尸(X>4)=1—尸(XW4)=0.3,则尸(3<X<4)=0.5—P(X>4)=0.2,C项正

确；对于D项，经验回归方程9=3x+2,若样本点（血,3）与（2,〃）的残差相等，则

3-（3加+4）=〃-（6+6）,可得3加+〃=9,D项正确.故选BCD项.

10.AD【解析】已知数列也｝满足乙=2也—助用=1,则

d=1一：=：也=1一7=T&=1一：=2=4，所以数列也｝是以3为一个周期的周期数列.对于A

"1，"2"3

项，"2025=63=T，A项正确；对于B项，T6n+i-T6n=b6n+l=b1=2,B项错误；对于C项，任意相邻

三项均在一个周期内，则2.22Td=2xgx（—l）=-l,C项错误；对于D项,

20025

《。25=苧X[2+3—1]=笞,5皿5号,D项正确.

2X—X(-1)=—1，所以与025s2025

2

故选AD项.

11.ABC【解析】“X）的零点转化为直线与g（x）=1/图像的交点，%（%）的零点转化为直线

与H（x）=W图像的交点，因为H（X）的定义域为R,

e

xx

TT.Zxe-e-x1-x

H⑸=2=h，令得X<1,令”'(x)<。，得X>1，所以"(x)在(一双1)上

(eI

单调递增，在（1,+e）上单调递减，且"（0）=0,当xe（—e,0）时，H（x）<0,当xe（O,+”）时,

〃(x)>O.g(x)的定义域为(O,+”),g'(x)=工竺，令g'(x)>0,得0<x<e,令g'(x)<0,得

x>e,所以g(x)在(O,e)上单调递增,在(e,+e)上单调递减,且g⑴=0,当xe(0,l)时，

/、/、/\Xnxlux,lnx

g(x)<0,当xw(l,+a)时，因(1)>0.易知0<%3<1<%4<%<©<%2，且—=—d=---=----9，

e】X]%2

易知再—乙<e—1,故D项错误.

因为凶=喑，所以"(％)=2=器="(1时)，因为1叫<1址=1,"(%)在(—叫1)上单调递

%]ec3c1

增，所以退=1叫，即X］=e*,所以占一%=产一马〉1,故B项正确.同理4=1吨，即々=14,又

±=Jin卫=%—%，即1皿2-1%=%4一%3，故C项正确.1皿2+1%=%+%3，由条件知

3

%e3x1

a%=1nxi,

,将两式分别相加、相减得。(芯+%2)=1叫+li«2，a(%-％)=1叫-1吨，即

ax2=lnx2,~

A+i

liUj+lwc2=——+々)=山土•土——,设立=«0</<1),即证明(，+1)1皿〉?对于任意

玉一%2X［再_］%2t—1

冗2

fe(0,1)恒成立，整理得1皿—当?<0在te(0』)时恒成立，令4(/)=ln/-2；1，,/e(0，D，则

—/1了=公:所以在(°』)上单调递增‘=即

1nxi+lra2>2,故A项正确.故选ABC项.

三、填空题

12.—【解析】(x-工］的展开式中炉项的二项式系

1612J

数为C：,所以C；=〃，；l)=6,解得"=4,所以—=［x—g］，令％=1，得展开式中所有项

的系数和为1工］=±,

UJ16

227272一

13.12【解析】令％=----,y=------,则〃+=—,且X>0,y>0,所以

a+ba-bxy

1111

a=—+—,b=-----.又3x+y=l,所以

xyxy

2a-Z?=2f-+-Vf---K-+-=f-+-^(3x+y)=3+^+—+3>6+2U--=12,当且仅

(xy)y)xyy)xyy

当x=L,y=—,即a=8,。=4时等号成立.

62

“、(l-x)ex+l

14：【解析】由且卜卜涓不，得8(%)=七贝ijg⑺=二----1令

ex+l

/i(x)=(l-x)e¥+l,贝|]〃(力=一疣)所以〃(x)在(—叫0)上单调递增，在(0,+”)上单调递减，又当

》<1时，7?(九)>0,硝)>0,人(2)<0,所以存在唯一的％w(1,2),使得人(尤0)=。，所以g(无)存在唯

6*。+1

一的极值点不，即方程(l-5)e与+1=0有唯一解七,即e'。—有唯一解七.因为｛凡｝满足

4+1="4+1)，所以4+i=f(4+l)=e%+1所以a3=e"2+L即In/n/+l，又所

a+]«由“3+]e%+]

以e"=T—=1------，因为e*。=------有唯一解玉,所以111〃3=%0，所以〃2=ln。3T=%o-1，得

lna3lna3x。

%=ln%—l=ln(%—1)—1,又(1—%)於。+1=0,即(%—l)e%=l,左右两边取对数得

ln(%o—1)+%。=0,所以〃]+%=ln(%o_1)+%0-[-]=-2,故/(弓+g)=二.

e

四、解答题

15.解：(1)由调试前的频率分布直方图，

可得不合格的概率为(0.02+0.06)x5=0.4,

因为不合格品的数量为16,

所以调试前抽取的样本数量为40,

因为合格的概率为1-0.4=0.6,

所以合格品的数量为40x0.6=24,

故a=24.

由调试后的频率分布直方图，可得不合格的概率为

(0.01+0.03)x5=0.2,

因为不合格品的数量为12,

所以调试后抽取的样本数量为60,

因为合格的概率为1-0.2=0.8,

所以合格品的数量为60x0.8=48,

故6=48.

（2）补充2x2列联表：

产品合格不合格合计

调试前241640

调试后481260

合计7228100

100x(24x12—48x16)2

«4.762>3,841,

72x28x40x60

所以有95%的把握认为参数调试与产品质量有关.

z,、P（B\A）

（3）根据表格中的数据，可得L（必A）=pj闻

P（AB）

P（A）_P（AB）_12_3

尸（A耳）一尸（A耳）一16一4，

16.解：⑴因为园=」一,当磋2时，归』=,，

n+1n

所以再=|4|=念（〃>2）,

1^-11〃+1

又因为=所以N*）,

n

〃为奇数且

n+1

所以=<

占（伪偶数且〃eN*）,

所以4=(—1)"'一("eN*).

(2)(%,—m)(a“+i-根)<0恒成立，

若〃为奇数，a=-----<0,且4+2-4<0,

n〃+1

所以SJmax=%=-1；

YI

若〃为偶数，a=-->0,且。"+2-4〉0,

nn+1

2

所以（。，，）皿

12

所以——<m<一,

23

故加的取值范围为

17.解：（1）设事件A为“取球、放球结束后袋子里红球的个数为2”,

l2

则P⑷号CC=，4

（2）由题意可知，X的可能取值为2,3,4,5,

则尸"=2）不],

2l

p(X=3)=%rc^=U1?

1/C；35

P"=5）=卷