2024-2025学年上海市某中学高一数学上学期9月考试卷（附答案解析）

2024-2025学年上海市西中学高一数学上学期9月考试卷

一、填空题(本大题共有12小题，满分36分)

1.若集合{1，a}与集合{2,b}相等，贝!|a+b=.

2.设全集U=R,集合/={x|xV0,或x>2},则用区间表示)，结果是.

3.设x,"R,用列举法表示忖+以所有可能取值组成的集合，结果是.

无y

4.已知集合4={(x,,y)|2v+y=10},8={(x,y)|3x-y=5},则4nB=.

5.已知陈述句素数都是奇数，则。的否定形式为.

6.设x,yeR,已知则尸的一个充分必要条件是.

7.如图，己知。是全集，4SC是。的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为.

8.已知集合/=W=Jl-f,xwZ卜B=^y\y=x2+tx&A^,那么/U8=.

9.设集合/={d6,。,"工,/6},B={a,c},集合M满足=,则这样的集合M共有个

10.设集合/=(一s,0)u(l,+s),5={x|(2x+5)(x-a)＜0},若Nc3cZ={-2,-1},则实数a的取值范

围是.

11.设左eR,已知集合卜卜2-l)(x2-4)="恰有四个非零元素,且它们在数轴上等距排列，则g.

12.若两个正整数的正公因数只有1,则称这两个正整数互素，将与105互素的所有正整数组成集合

{%,02,%，且％＜。2＜。3＜…〈风＜…，贝!)％00=.

二、选择题(本大题共有4题，满分12分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将

代表正确选项的小方格涂黑.

13.设xeR,则“xWl”是“炉-3x+2w0”的()条件

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

14.抛物线>=依2与直线％=/,久=2,y=l,y=2围成的正方形有公共点，则实数。的取值范围是()

11IcI1Ic

A.—<a<\B.-<a<2C.-<a<\D.-<a<2

4224

15.若非空集合X={*+*x43"5},y={M，x,16},则使得X[(X2)成立的所有。的集合是

A.同0,,4,7}B.{a[3<tz<7}C.{小,7}D.0

16.定义集合运算/-8={小e/且xwB}；将NM=(8)U(8-/)称为集合A与集合B的对称差,

命题甲：/n(5AC)=(/n5)A(/nC)；命题乙：/U(2AC)=(/U5)A(/UC)则下列说法正确的是()

A.甲乙都是真命题B.只有甲是真命题

C.只有乙是真命题D.甲乙都不是真命题

三、解答题(本大题满分52分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写

出必要的步骤.

17.若集合A={x|丘2-8x+l6=0}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.

18.设aeR,已知集合/={x|-l<x<2},5=1x|x2-ax-2a1=oj.

(1)若/c3={l},求a的值;

(2)若NUB=N,求a的取值范围.

19.如图，在直角坐标系xOy中，过点尸(0,1)的直线与抛物线y=彳相交于点”(勺,力)，N(x2,y2),自

M,N引直线人>=-1的垂线，垂足分别为"i，N-

(1)用必分别表示线段,MF的长;

(2)证明：M、FLN\F.

20.设aeR,已知a：关于x的一元二次方程公2+2x+”=0有两个相异正根；?：对任意实数x,不

等式(a—l)x2—(A—l)x—1<0恒成立.

(1)若a为真命题，求实数。的取值范围；

(2)判断an-,是否成立？给出你的结论，并说明理由.

2

21.已知实数Xi/?,%多,%，满足X]+X2+尤3+X4+4=5.

(1)求证：x1,x2,x3,x4,x5中至少有一个实数不小于1;

⑵设为/2,%,4X5这五个实数两两不等，集合/=仇网2/3口4，%},若2/0且3=4,记G(2)是8中

所有元素之和，对所有的3,求G(2)的平均值.

1.3

【分析】根据集合相等求出。,6即可求解.

【详解】{1,a}={2,b},

则a=2,b—\,

所以a+b=3.

故答案为：3

2.(0,2]

【分析】根据集合补集的定义，即可得答案.

【详解】由于集合/=卜,40,或x>2},故其在实数集上的补集彳=(0,2],

故答案为：(0,2]

3.{2,0-2)

【分析】根据x,N的符号，分情况去绝对值即可.

【详解】根据x,歹的符号，分情况去绝对值：

x

ll+M_0

若%>0,y>0,N+1^1.2若x>0,y<0,----1-----U;

xyXy

v+2L2

若x<0,J>0,N+LL0若x<0,”0,

xyXy

g+斗所有可能取值组成的集合为{2,0,-2).

故答案为:{2,0,-2}.

4.{(3,4)}

【分析】由题意可得二元一次方程组求解计算即可求得所求的点集.

3

\2x+y=10\x=3

【详解】由题意得：，.<,解得：，，

[3x-y=5[y=4

ZcB={(3,4)}

故答案为：{(3,4)}

5.见解析

【分析】由题意，素数都是奇数是全称量词命题，其否定是存在量词命题，由此可写出答案.

【详解】陈述句素数都是奇数，是全称量词命题，

则a的否定形式为：存在一个素数不是奇数.

故答案为：存在一个素数不是奇数.

6.x<y

【分析】根据作差法可得x3<j?的等价条件，由充要条件的概念即可得解.

【详解】因为/<VOX'-V=@-m卜2+盯+了2)=(x->)]料;.<0

所以〃的一个充分必要条件是X<几

故答案为：x<y

7./ncn(•⑶

【分析】由韦恩图可知阴影部分表示集合A与集合C的公共部分但不在集合3的部分，用集合的交、并、

补关系表示出来即可.

【详解】由韦恩图可知阴影部分表示集合A与集合。的公共部分但不在集合B的部分，

所以可以表示为/ncn(dB).

故答案为：^ncn(^s),

8.{-1,0,1,2}

【分析】根据根式性质可得集合4巴进而可求解.

【详解】由1-八0得-u,^^={x|-l<x<l,xez}={-1,0,1),

故5={1,2},.•./口3={-1,0,1,2}.

4

故答案为：{-1,0,1,2}.

9.32

【分析】根据集合的交、并运算得出再由子集个数计算公式得解.

【详解】因为/={。，瓦c,d,ej,g},8={a,c},集合M满足NcAf=

所以则这样的集合M共有25=32个.

故答案为：32

10.（-1,2]

【分析】先得到-2仁2,-1e8,分。＜-g,a=-^和a＞三种情况，结合Zc8cZ={-2,-1},得到

a的取值范围.

【详解】因为NcBcZ={-2,-l},所以-2e8,-le3,

若a＜-g,止匕时8=-£|,不满足-2e3,-le3,

若。=—,此时8=0,不满足—2e8,—1e8,

2

若a＞-g,止匕时8=（-g，4,又/=（一8,0）”1,+8）,

要想满足4cBcZ={-2,-l},

则

故答案为：（-1,2]

7

11.-##1.75

4

【分析】设一=了，将原方程变为+4-左=0,结合题意以及根与系数的关系，列式求解，即得答

案.

【详解】设/=y，原方程变为/_5尸4-左=0,

设此方程有实根a,"（0＜。＜£）,

则原方程的四个实根为土石，士而，

由于它们在数轴上等距排列1-石=石-卜石）,

即£=9a①，又a+/=5,a£=4-左，

5

1Q77

由此求得a=—,B=—,k=—,满足A=25+4左一16=0〉0,k=—,

2244

7

故答案为：—

4

12.202

【分析】先求得前105个数中有多少个数与105互质，进而可求得第100个与105互质的数.

【详解】由题意知，105=3x5x7不可以是3,5,7的倍数,

所以在前105个正整数中与105互素的整数个数为:

105105105、105105105105.

105-(——+——+——)+-----+------+-------------------=48,

3573x53x75x73x5x7

故不超过105而与105互质的正整数有48个.

故在第二轮的105个数中仍然有48个与105互质的正整数.

在前105个数中前4个与105互质的数为1,2,4,8,

故按照从小到大排列后可知为。=2x105+8=218.

故答案为：218.

13.B

【分析】解出不等式的解，利用必要不充分的判定直接判断即可.

【详解】由公一3*+2#0,得xwl且xw2,

贝lj“尤/1"是''尤2-3x+2w0”的必要非充分条件.

故选：B

14.D

【分析】建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标

即可解答.

【详解】由下图可知：”(1,2),3(2,1),再根据抛物线的性质，⑷越大开口越小,

把A点代入＞得〃=2,把5点代入天二。/得。=；,

则。的范围介于两者之间，故"。d

6

故选：D.

15.B

【分析】将x^(xny)转化为x=y,再根据子集的定义，结合题设范围进行求解即可

【详解】由Xu(xny)可知X=又由XH0得14。+143”5416,解得34a<7,

故选B.

【点睛】本题考查根据子集的条件求解参数问题，将Xq(xny)转化为Xqy这一步至关重要，由于

题中明确了集合x非空，降低了难度，若没这一条件，则应讨论集合x为空集的情况

16.B

【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将/c(BAC)变形即可判断命题甲；对于乙，画出

/"3AC)和(/u3)A(/uC)的图示即可判断.

【详解】对于甲，An(B^C)=An(BuC-Br>C)=Ao(BuC)-Ar^(Br>C)

=(/c8)u(/cC)-(/c8)c(ZcC)=(/cB)A(/cC),故命题甲正确；

对于乙，如图所示：

所以，Nu(BAC)w(/uB)A(NuC),故命题乙不正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数

形结合判断.

17.实数k的值为0或1,当左=0时，/={2}；当上=1,A={4}

【分析】集合A={x|Ax?一舐+16=0}中只有一个元素，即方程依2-8x+16=0只有一个解，再讨论当

左=0时，当左30时方程的解的个数，再求集合A即可.

【详解】解：由集合A={x|Ax?一8x+16=0}中只有一个元素，

7

即方程区2一8%+16=0只有一个解,

①当左=0时，方程为—8x+16=0,解得了=2,即4={2}；

②当左，0时，方程H2一8x+16=0只有一个解，则△=(—8)2—4xl6x左=0,即左=1,

即方程为召一8工+16=0，解得x=4,即力={4},

综合①②可得：实数k的值为0或1,当左=0时，A={2};当左=1,4={4}.

【点睛】本题考查了方程的解的个数问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.

18.⑴〃=—1

【分析】(1)由4cB={l},分类讨论求解参数的值即可；

(2)解出集合3,由可知3=%,求解参数的取值范围即可.

【详解】(1)AryB={l},

**•1—a—2。2=0=>d——Q=—1,

2

当。=!时，x2-—x--==1,x=_工=不符合，舍去,

2222I2J

当。二一1时，Y+%_2=0=%=1,x=—2=4c5={l},符合题意，

则。=-1.

(2)x2—ax—2a1=x=2a=~a>

A\JB=A,

:・B=A,

19.(1)M/I=K+1,A/F=K+1；

(2)证明见解析

【分析】(1)利用两点间距离公式得到线段MF的长；

(2)设过尸(0,1)的直线方程为歹=点+1,联立直线与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由题意

8

知(x2,—1),计算出EM1-FN]=0,得到垂直关系.

22

【详解】(1)MMX=yt+l,MF=不£+(y-I?=,^(yt-l)+4yt=^(yt=yt+1.

(2)显然过点尸(0,1)的直线斜率存在，设过尸(0,1)的直线方程为了=丘+1,

-2

v=——,,fX+x,=4k

联立方程>4=>/-4h-4=0=12

,.I再迎=-4

y=kx+\L

A=16^2+16>0,

由题意知M(x“T),乂("1),

-1)-(X2,-1-1)=XJX2+4=-4+4=C.

故尸.

20.(1)(-1,0)

Q)an/3,理由见解析

【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况，得出不等式组，即可求出。的范围.

（2）根据不等式恒成立，讨论。=1和两种情况，进而求解即可判断.

【详解】（1）由题意知，办2+2x+a=0有两个相异正根X］，z