浙教版七年级数学上册同步讲义：正多边形（学生版+解析）

第16课正多边形

号目标导航

学习目标

L了解正多边形的概念.

2.了解正多边形与圆的关系:任何一个正多边形都有一个外接圆.

3.了解正多边形的一般画法.

4.会用尺规作正六边形.

即’知识精讲

知识点01正多边形的相关概念

1.正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形；

2.正多边形的对称性：任何正〃边形都是轴对称图形，且对称轴有〃条对称轴.当〃为偶数时，正〃边形

是中心对称图形.

知识点01正多边形与圆

2.经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆的内接正多边形;

3.任何正多边形都有一个外接圆；

能力拓展

考点01正多边形的计算

【典例1】如图，正方形ABC。内接于。。，P为前上一点，连接。P,CP.

(1)NCPD=°；

(2)若。C=4,CP=2V2.求OP的长.

【即学即练1】如图，正六边形ABCDEF内接于O。，点M在窟上，则NC0E的度数为（）

题组A基础过关练

1.如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则的度数为（)

A.18°B.25°C.30°D.45°

2.如图，正五边形内接于圆,连接AC,BE交于点、F,则/CFE的度数为（）

C.135°D.144°

3.如图，。。是正方形A8CO的外接圆，若。。的半径为4,则正方形A8C。的边长为（）

A.4B.8C.272D.4A/2

4.下列关于正多边形的叙述，正确的是（）

A.正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形B.存在一个正多边形，它的外角和为720°

C.任何正多边形都有一个外接圆D.不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形

5.已知正六边形的边长为4,则这个正六边形外接圆的半径为（）

A.2B.273C.4«D.4

6.如图，。。经过正五边形的顶点A,。，点E在优弧AO上，则NE等于度.

A

E

7.圆内接正五边形中，每个外角的度数=—度.

8.如图，已知点。是正六边形A3CQEF的对称中心，G,H分别是AR3C上的点，且AG=3H.

(1)求的度数;

(2)求证：OG=OH.

题组B能力提升练

9.如图，在正六边形A3CDM中，点G是AE的中点，若A3=4,则CG的长为()

A.5B.6C.7D.8

10.如图，在拧开一个边长为〃的正六角形螺帽时,扳手张开的开口则这个正六边形的面积

C.150A/3^^2D.

11.如图，若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需一个正五

边形.

12.如图，AB为。。的内接正多边形的一边，已知N048=70°,则这个正多边形的内角和为

13.如图，正六边形ABCDEP的顶点8,C分别在正方形AMNP的边AM,MN上.若A8=4,则CN=

14.如图，在正六边形ABCQEP中，对角线AE与8尸相交于点8。与CE相交于点N.

（1）观察图形，写出图中与全等三角形；

（2）选择（1）中的一对全等三角形加以证明.

题组C培优拔尖练

15.如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24我则圆形螺帽的半径是（

B.2cmC.2VscmD.4cm

16.如图，正六边形ABC。所内接于。0,若。。的半径为6,则△ADE的周长为

17.若圆内接正六边形的两条对角线长为根，“(根＜〃)，则加：n—.

18.如图，在正五边形A8CDE中，点尸是C。的中点，点G在线段Ab上运动，连接EG,当△OEG

的周长最小时，则NEGO=()

A.36°B.60°C.72°D.108°

19.已知圆的半径为R,试求圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比.

20.如图，。。的周长等于8m正六边形A8CDEF内接于。。

(1)求圆心。到AF的距离；

(2)求正六边形ABCQEF的面积.

第16课正多边形

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学习目标

1.了解正多边形的概念.

2.了解正多边形与圆的关系:任何一个正多边形都有一个外接圆.

3.了解正多边形的一般画法.

4.会用尺规作正六边形.

魏献精讲

知识点01正多边形的相关概念

L正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形；

2.正多边形的对称性：任何正〃边形都是轴对称图形，且对称轴有〃条对称轴.当〃为偶

数时，正〃边形是中心对称图形.

知识点01正多边形与圆

2.经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆的

内接正多边形；

3.任何正多边形都有一个外接圆；

能力拓展

考点01正多边形的计算

【典例1】如图，正方形A8CD内接于oo,P为前上一点，连接。P,CP.

(1)/CPD=45°；

(2)若。C=4,CP=2A历，求。P的长.

【思路点拨】(1)连接根据正方形ABC。内接于O。，可得NCPD=/Z32C=45

(2)作CH_LZ)P于H,因为CP=2我，ZCPD=45°,可得CH=PH=2,因为。C=

4,所以£>H=4CD2_CH2,BPDP=PH+DH=2+2y/3-

【解析】解：(1)如图，连接2。，

:正方形ABC。内接于O。，尸为前上一点，

/.ZDBC=45°,

■:NCPD=NDBC,

；./CPD=45°.

故答案为：45；

(2)如图，作C”_L。尸于H,

,:CP=2®ZCPD=45°,

：.CH=PH=2,

；£>C=4,

；•DH=VCD2-CH2==2^3，

:.DP=PH+DH=2+2V3.

【点睛】本题考查圆周角定理，正方形的性质，勾股定理.解题的关键是掌握圆周角定

理.

【即学即练1】如图，正六边形ABCDEF内接于O。,点M在窟上，则NCME的度数为（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

【思路点拨】由正六边形的性质得出/COE=120°,由圆周角定理求出NCME=60°.

【解析】解：连接。C,OD,OE,

多边形ABCDEF是正六边形，

：.ZCOD^ZDOE^6Q°,

/.ZCOE=2ZCOD=120°,

AZCME=1ZCOE=60°,

2

故选：D.

【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周

角定理求出/COM=120°是解决问题的关键.

M分层提分

题组A基础过关练

1.如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则的度数为（）

A.18°B.25°C.30°D.45°

【思路点拨】根据多边形内角和公式求出正三角形、正六边形每个内角的度数，再求出

答案即可.

【解析】解：：正方形的每个内角的度数是90°,正六边形的每个内角的度数是=120

AZI=120°-90°=30°,

故选C.

【点睛】本题考查了正多边形和圆，多边形的内角和外角等知识点，能分别求出正三角

形、正六边形每个内角的度数是解此题的关键.

2.如图，正五边形内接于圆，连接AC,BE交于点F,则NCFE的度数为（）

A.108°B.120°C.135°D.144°

【思路点拨】根据五边形的内角公式求出NA8C,再由等腰三角形的性质、三角形的内

角和定理可得答案.

【解析】解：：五边形A2COE是正五边形，

AZABC=AX（5-2）X180°=108°,

5

"：BA=BC,

：.ZBAC=ZBCA=36°,

同理乙48尸=36°,

：.ZCFE=ZAFB=1800-ZABF-ZBAF=180°-36°-36°=108°,

故选：A.

【点睛】此题考查的是正多边形的内角和定理，掌握正多边形的内角和的计算公式、等

腰三角形的性质是解决此题的关键.

3.如图，是正方形ABCD的外接圆，若。。的半径为4,则正方形ABCD的边长为（）

A.4B.8C.272D.加

【思路点拨】连接BD由题意，△BCQ是等腰直角三角形，故可得出结论.

由题意，△BC。是等腰直角三角形，

ZCBD=45°,/BCD=90°,

：.BC=^-BD=4>^2.

2

故选：D.

【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造

出等腰直角三角形是解答此题的关键.

4.下列关于正多边形的叙述，正确的是（）

A.正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形B.存在一个正多边形，它的外角和为

720°

C.任何正多边形都有一个外接圆D.不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边

形

【思路点拨】根据轴对称图形和中心对称图形的定义可判断选项A,把一个图形绕某一

点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称

图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴

对称图形，这条直线叫做对称轴；

根据多边形的内角和公式可判断选项8,多边形内角和定理：Cn-2）-180°（“N3且

w为整数）；

根据正多边形与圆的关系可判断选项C；

根据多边形的内角与外角可判断选项D.

【解析】解：A.正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

艮任意多边形的外角和为360。，故本选项不合题意；

C.任何正多边形都有且只有一个外接圆，故本选项符合题意；

D.正三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故本选项不合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形，轴对称图形以及多边形内角与外角，熟记相关

定义是解答本题的关键.

5.已知正六边形的边长为4,则这个正六边形外接圆的半径为()

A.2B.273C.4«D.4

【思路点拨】如图，求出圆心角NAOB=60°,得到△O4B为等边三角形，即可解决问

题.

【解析】解：如图，为O。内接正六边形的一边；

则NAO2=36Cr.=60。,

6

•：OA=OB,

...△OA8为等边三角形，

：.AO=AB=4.

.•.这个正六边形外接圆的半径为4,

【点睛】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正

多边形和圆的性质来分析、判断、解答.

6.如图，。。经过正五边形。的顶点A,£),点E在优弧上，则/E等于54度.

【思路点拨】根据正五边形的内角和求得，ZAOD=108°,然后根据圆周角定理即可得

到结论.

【解析】解：：0。经过正五边形042。的顶点A,D,

：.ZA(?D=108°,

ZE=A2/AOD=54°

故答案为：54.

【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

7.圆内接正五边形中，每个外角的度数=72度.

【思路点拨】利用正五边形的外角和等于360度，除以边数即可求出答案.

【解析】解：360°4-5=72°.

故答案为：72.

【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°.

8.如图，已知点。是正六边形ABCDEP的对称中心，G,X分别是AF,上的点，且

AG=BH.

(1)求/物8的度数;

(2)求证：OG=OH.

【思路点拨】（1）根据多边形的内角和定理、正多边形的性质计算;

（2）证明△AOGg△80”，根据全等三角形的性质证明结论.

【解析】（1）解：•..六边形ABCDEF是正六边形，

；./FAB=（6-2）X180,=120。.

6

（2）证明：连接。4、OB,

'：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

'：ZFAB=ZCBA,

：.ZOAG=ZOBH,

在△AOG和△BO”中，

.♦.△AOG之△BOH(SAS)

：.OG=OH.

ED

【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的内角的计算公式、全等三角形的

判定定理和性质定理是解题的关键.

题组B能力提升练

9.如图，在正六边形ABCOEF中，点G是AE的中点，若AB=4,则CG的长为（）

【思路点拨】如图，连接AC,EC.证明△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质

求解.

【解析】解：如图，连接AC,EC.

•.,ABCDEF是正六边形,

ZVICE是等边三角形,

VAB=4,

：.AC=CE=AE=4-J3,

'：AG=GE=2-/3,

：.CG±AE,

•*-CG=VAC2-AG2=V(4V3)2-(2V3)2=6>

故选：B.

【点睛】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

10.如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口6=10加相加，则这个

正六边形的面积为（）

A.°B.C.150,\[3mnrD.75A/3WI/«2

3

【思路点拨】根据正六边形的性质，可得NABC=120。，AB=BC=a,根据等腰三角形

的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案.

【解析】解：如图：作2DLAC于。，

由正六边形，得

ZABC=120°,AB=BC=a,

NBCD=/BAC=30°.

由得CD=5y/"§mm.

得4=10,

这个正六边形的面积6X_1X1OX5«=15O我(mm2),

【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键,

又利用了正三角形的性质，余弦函数，

11.如图，若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还

需7个正五边形.

【思路点拨】先求出正五边形的内角的多少，求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角,

即可得出答案.

【解析】解：：多边形是正五边形,

...内角是工X(5-2)X1800=108°，

5

：.ZO=180°-(180°-108°)-(180°-108°)=36°,

36°度圆心角所对的弧长为圆周长的工，

10

即10个正五边形能围成这一个圆环，

所以要完成这一圆环还需7个正五边形

故答案为：7.

【点睛】本题考查了正多边形和圆，能求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角的度数

是解此题的关键.

12.如图，A2为。。的内接正多边形的一边，已知/。43=70°,则这个正多边形的内角

【思路点拨】由圆的性质易证△0A2是等腰三角形，所以NAOB的度数可求，再根据正

多边形的性质可求出其边数，最后利用多边形内角和定理计算即可.

【解析】解：

•：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=7Q°,

：.ZAOB=40°,

,：AB为。。的内接正多边形的一边，

...正多边形的边数=皿=9,

40

.•.这个正多边形的内角和=(9-2)X18O0=1260°,

故答案为：1260°.

【点睛】本题考查了正多边形和圆的有关知识、等腰三角形的判断和性质以及多边形内

角和定理的运用，熟记多边形内角和定理计算公式是解题的关键.

13.如图，正六边形ABCDEF的顶点3,C分别在正方形AMNP的边AM,MN上.若A2

=4,则CN=_6-W§_.

【思路点拨】在RtaBCM中，根据条件AB=BC=4,ZCBM=6Q°,ZM=90°,解直

角三角形即可解决问题；

【解析】解：在RtZkBCM中，'：AB=BC=4,ZCBM=60°,ZM=90°,

：.ZBCM=30°,

：.BM=^BC=2,CM=«BM=2百，

2

：.AM=4+2=6,

:四边形AMNP是正方形，

：.MN=MA=6,

:.CN=MN-CM=6-2A/3.

故答案为6-2«.

【点睛】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，正方形的性质，正六边形的性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

14.如图，在正六边形ABCDEE中，对角线AE与8F相交于点8。与CE相交于点N.

（1）观察图形，写出图中与全等三角形；

（2）选择（1）中的一对全等三角形加以证明.

【思路点拨】（1）先证明出△DEM同理得出△ABM经△FEM■也△CBN,

（2）选择证明，根据正六边形得出/DEN,AB=DE,ZBAM

=ZEDN,证明全等即可.

【解析】解：（1）与△48/全等的三角形有△£>£?/,AFEM沿ACBN；

（2）证明四△QEN,

证明：•.,六边形ABCDEP是正六边形，

C.AB^DE,NBAF=120°,

AZABM=30°,

ZBAM=9Q°,

同理/£>EN=30°,NEDN=90°,

ZABM=/DEN,ZBAM=ZEDN,

在△ABM和△DEN中，

，ZBAM=ZEDN

-AB=DE，

ZABM=ZDEN

:.AABM/ADEN(ASA).

【点睛】本题考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定，掌握正多边形的性质和全等

三角形的判定是解题的关键.

题组C培优拔尖练

15.如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24«CM2,则圆形螺帽的半径是()

B.2cmC.2\[3cmD.4cm

【思路点拨】根据圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，由面积公式可求出半

径.

【解析】解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△A08是正三角形,

设半径为即。4=02=ABrem,

OM=^^-r(cm),

2

•圆。的内接正六边形的面积为24a(cm2),

...△AOB的面积为24百+6=4a(cm2),

即工小。m=4愿,

2

22

解得r=4,

圆形螺帽的半径的4cm,

【点睛】本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键.

16.如图，正六边形ABCDEF内接于O。，若。。的半径为6,则的周长为

18+6V3_.

【思路点拨】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三角形是特殊的直角三角形,

然后根据半径求得斜边的长，从而求得另外两条直角边的长，进而求得周长.

【解析】解：连接0E,

多边形ABCDEF是正多边形，

=60。,

6

AZDAE=AZZ)OE=AX60O=30°,ZAED=90°,

22

的半径为6,

：.AD=2OD=12,

.,.DE——AD——X12,—6,AE—y/SDE—6A/3>

22

AA£)E的周长为6+12+6我=18+6如,

故答案为：18+6百.

【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解答的关键是确定三角形的三个角的度数，

然后确定其三边的长，难度不大.

17.若圆内接正六边形的两条对角线长为机，〃,则机：n=_-/g：2.

【思路点拨】根据正多边形的内角的计算公式求出/ABC和N8CO,根据等腰三角形的

性质和三角形内角和定理求出NBC4,求出NACD,根据正弦的定义解答.

【解析】解：ZABC=ZBCD==120°,

,:BA=BC,

：.ZBAC=ZBCA=30°,

，ZACD=ZBCD-ZBCA=90°,

VZADC=Ax120°=60°,

2

=sin60°=2/1-,

n2

AM：n—:2,

【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的内角的计算方法，正弦的定义是

解题的关键.

18.如图，在正五边形A8COE中，点F是C。的中点，点G在线段AF上运动，连接EG,

DG,当△OEG的周长最小时，则/EGZ)=()

【思路点拨】根据轴对称的性质，得出连接EC与AF交于G,此时的周长最小,

进而由正五边形的性质进行计算即可.

【解析】解：如图，连接EC交A尸于点G,此时△OEG的周长最小，

•1-五边形ABCDE是正五边形，

:.DE=D