高考数学专项复习：解三角形 50题（带答案解析）

2023解三角形热点50题训练

1.(2023•漳州模拟)如图，平面四边形ABCD内接于圆O,内角对角线AC的长为7,圆。的半

径为述.

3

(1)若BC=5,AD=CD,求四边形ABCD的面积；

(2)求AABC周长的最大值.

2.(2023•贵州模拟)已知锐角AABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,M^+—=—+1.

sinBsinAab

(1)求角C的大小；

(2)若a+b=2,求c的取值范围.

3.(2023•江宁区一模)在凸四边形ABCD中，ZBAD=90°,ZBCD=120°,AD=3,AB=4.

(1)若ZABC=45。，求CD；

(2)若N3CD的角平分线交对角线于点E,求3C+CE+CD的最大值.

4.(2023•大庆模拟)已知在AA5c中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,面积为S,且____.

在①2S=«A3・AC,②2cos2.+0=l+cos2A,③c=6asinC-ccosA这三个条件中任选一个，补充在

2

上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题.

(1)求A；

(2)若6+。=退，点。是3c边的中点，求线段AD长的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

5.（2023•泉州模拟）在梯形ABCD中，AD//BC,ADYCD,BC=3,ACsinZBCA=y/3ABcosZABC.

(1)若AABC的面积为3石，求AC；

(2)若CD=也,求tan/B4c.

6.(2023•吉林模拟)已知AABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,且AcosC+ccos3=6.

(1)求边a；

(2)若AABC是锐角三角形，且_____,求AABC的面积S的取值范围.

要求：从①A=匹，②》+c=10从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择

4

多个条件分别解答，按第一个解答计分.

7.(2023•山东模拟)在AASC中，AB=2AC,D是边BC上一点,ACAD=2ABAD.

(1)若NBAC=包,求处的值；

4CD

(2)若AC=1,求AD的取值范围.

8.(2023•五华区校级模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB±AC,ADLCD,ZABC=ZADB=3Q°,

AC=2.

Cl)求cosZACD；

(2)求BD的长.

三.解三角形(共42小题)

9.(2023•江苏模拟)在A4BC中，角A,3,C所对的边分别为a,b,c,l+sin2A=(3tanB+2)cos2A.

(1)若。=当"求tan3的值；

4

(2)若A=3,c=2,求AABC的面积.

10.(2023•涟源市模拟)已知a,b,c分别为锐角AABC三个内角A,B,C的对边，且前=(a,26-c),

n=(cosA,cosC),且用//为.(1)求角A的大小；

(2)求2的取值范围.

C

11.(2023•湖南模拟)已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且比=cosC+百sinC.

a

(1)求A的大小；

(2)若AABC为锐角三角形，求小的取值范围.

b

12.(2023•红山区模拟)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c+6=2acosB.

(1)求角A；

(2)若角A的平分线与3C交于点M,BM=4S，CM=25，求线段AM的长.

13.(2023•全国一模)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.从下面①②③中选取两个作

为条件，证明另外一个成立.

@a2—c2=be；®b+bcosA=y/3asinB；③sinA=6sinC.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

14.(2023•桃城区校级模拟)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=—，D是边BC

6

匚钻上口sinZBAZ)sinZCAD3

上的一点，且--------+---------=——BC.

bc2a

(1)证明：AD=-a；

3

(2)若CD=2BD,求cosNADC.

15.(2023•渝中区校级模拟)在AA5c中，N4,ZB,NC的对边分别为a,b,c,已知3sinC+4cosc=5.

(1)求证：tanC=—；

4

(2)若4+》2=1,求边c的最小值.

16.(2023•南宁模拟)在\ABC中，角A、B、。的对边分别为a、b、c,已知

(b-c)(sinB+sinC)=a(sinA-sinC),

(1)求5；

(2)若AABC为锐角三角形，b=也,求标+^的取值范围.

17.(2023•南通二模)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知巴*0=吧0.

a—cosCsinC

(1)若bwc,证明：a2=b+c；

7

(2)若B=2C,证明：2c>b>—.

3

18.(2023•广东模拟)己知AA5c中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且6=«,A=-,

4

(2-atan8=^.

(1)求M；

(2)若AABD与AABC在同一个平面内，且=工，求CD的最大值.

4

19.(2023•邢台模拟)如图，在平面四边形A3c。中，AC±AD,AC=AD=1,AB=3.

(1)若。3=8,求AA5c的面积；

(2)若=求3D.

D

B

20.(2023•张家界模拟)记AABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

asin(B+C)=/?(sinB—sinC)+csinC.

(1)求A；

(2)若a=2后,求AABC的面积的最大值.

21.(2022秋•安顺期末)从①6cosc+(2a+c)cosB=0；@sin2A-sin2B+sin2C+sinAsinC-0；③

cosB+cos—=0,这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

2

在AABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若选.

(1)求角3的大小；

(2)若点。在4c边上，满足AC=4AD,且AB=4,BD=3,求3C边的长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

22.(2022秋•杭州期末)设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若

(2a-c)sinA+(2c-a)sinC=2bsin3.

(1)求B；

(2)当AABC为锐角三角形，6=2时，求AABC的周长的取值范围.

23.(2023•湖北模拟)在AABC中，记角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bsin(A+£)=a+c,

且c=2,点。在线段3c上.

(1)若ZA£>C=—,求43的长；

4

(2)若丽=2配,AA8C的面积为3g,求理包2的值.

sinZCAD

24.(2023•沙坪坝区校级模拟)在AABC中，a,b,c分别是AABC的内角A,B,C所对的边，且

b_a-c

sinA+sinCsinB-sinC

（1）求角A的大小；

（2）记AABC的面积为S,^BM=-MC,求网工的最小值.

2S

25.（2023•盐亭县校级模拟）在AABC中，AC=屈，。为NABC的角平分线上一点，且与3分别位于边AC

的两侧，若NADC=150。，AD=2.

（1）求AZMC的面积；

26.（2023•湖北模拟）记AA5C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知助cosC=2a+c.

（1）求3；

（2）设6=9,若点M是边AC上一点，2痂=流，且=求ABMC的面积.

27.（2023•南平模拟）某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即AABC区域）,

地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角/AC2=生，/CR4为锐角，假设墙C4,CB的可利用长度（单

4

位：米）足够长.

（1）在AABC中，若3c边上的高等于求sinNCAB；

4

（2）当然的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值.

28.(2023•桃城区校级模拟)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

a(cosB+cosC)+(b+c)cos(B+C)=0.

(1)求A；

(2)若O为线段5C延长线上的一点，且BD=3CD,求sinNACD.

29.(2023春•海珠区月考)在①cos3+2cosAsin(C+.)=0,®bsinB-{-csinC=asinA—bsinC?③向量

m=(2b+c,a),n=(cosA,cosC),这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

在AABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且____

(1)求角A的大小;

(2)。是线段BC上的点，B.AD=BD=2,CD=3,求AAB3的面积.

30.(2023•汕头一模)如图，在AABC中，。是3C边上的一点，a=ZBAD,(3=ADAC.

BDAB•sina

(1)证明:

DCAC-sinf3

(2)若。为靠近3的三等分点，AB=2币,AC=2,尸=90。，N54c为钝角，求心②—

31.(2023•邵阳一模)如图，P为AA5C内的一点，NSL4P记为c,ZABP记为万,且a,£在AA5P中

的对边分别记为机，n,(2m+M)sin/3=-J3ncos,a,，e(0,().

(1)求NAPB；

(2)若AB=2拒,BP=2,PCf,记NAPC=，，求线段AP的长和AABC面积的最大值.

32.(2023•广州二模)在AASC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c,且Z?sin'+」=々sin8.

2

(1)求角A的大小;

(2)若角A的平分线交3c于。且AD=2,求a的最小值.

33.(2023•忻州模拟)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cos2A+cos(B+C)=0.

(1)求角A的大小;

(2)若比=3而，且AA5c的面积是6若，求AD的最小值.

34.(2023•叶县模拟)如图，尸为半圆(AB为直径)上一动点，OAYOB,04=03=2,记N54尸=夕.

(1)当6=15。时，求O尸的长；

(2)当面积最大时，求6.

p

o

35.（2023•福州模拟）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知"-"=202.

（1）求@空的值:

tanA

（2）求C的最大值.

36.（2023•湖北模拟）在AA5c中，AB=9,点。在边3c上，AD=7.

7

（1）若cos3:一,求BD的值，

3

2

（2）若cosZBAC=——,且点。是边5。的中点，求AC的值.

3

37.（2023•浙江模拟）如图，在AABC中，D为边BC上一点、,DC=3,AD=5,AC=7,ZDAC=ZABC.

（1）求NA。。的大小;

（2）求AABC的面积.

38.（2023•河曲县校级开学）已知cosa=2cos（a-9）.

/r、为sinacosa附/七

（1）求------l的值;

1+CQSa

（2）在AABC中，A,5为锐角，且sinA=sinc,cosB=,求。的值.

10

39.（2023•黑龙江一模）在AABC中，内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,已知2csinB=（2a-c）tanC,

角。的内角平分线与边AB交于点石,

（1）求角5的大小;

⑵记ABCE,AACE的面积分别为加，52,在①。=21=g,②5凶如=孚，。=近，A＞。这两个条件

中任选一个作为己知，求且q的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

邑

40.(2023•湖南模拟)在AABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足从(sii?B—3cos?8)=-a(a+6),

且sinC=sin2Z?.

(1)求角3的大小；

(2)若AABC的面积为2石，求AC边上的中线长.

41.(2023•新安县校级开学)设AASC的内角A,3,C所对的边分别为a,6,c,且空电4=.

cosCcosAcosC

(1)求角A的大小；

(2)若朝0=正，3c边上的中线=g,求AA6C的面积.

sinC3

42.(2023•玉溪模拟)在AABC中，角A,B,C的对边长依次是o,b,c,b=2^3,

sin2A+sin2C+sinAsinC=sin2B.

(1)求角3的大小；

(2)当AABC面积最大时，求NS4C的平分线的长.

43.(2022秋•金华期末)在AABC,角A,B,C所对应的边是a,b,c,满足£=2cos2A+l,且3w2A.

a

(I)求证：3A=C；

(H)若C为钝角，。为边AC上的点，满足丝=4COS2A-1,求处的取值范围.

CDCD

44.(2022秋•道里区校级期末)在AABC中，a,b,c分别为角A,B,。的对边，且

gcsinA+61——-——b-c=0.

2b

(1)求角A的大小；

(2)若一^+」一二/一，且a=&,求AABC的面积.

tanBtanCtanA

45.(2023•合肥模拟)已知AABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且/+2c?-2/=。.

(1)若tanC=L求A的大小；

3

(2)当A-C取得最大值时，试判断AABC的形状.

46.(2023•顺庆区校级模拟)在①6(a-bcosC)=csinB,®2a-c=2bcosC,③(a—6)(a+b)=(a—c)c这

三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.

在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足,b=2

(1)若a+c=4,求AABC的面积；

(2)求AABC周长/的取值范围.

47.(2022秋•深圳期末)如图，有一个小矩形公园ABCD,其中AB=20〃z,AD=10m,现过点C修建一

条笔直的围墙(不计宽度)与AB和AD的延长线分别交于点E,F,现将小矩形公园扩建为三角形公园AEF.

(1)当隹多长时，才能使扩建后的公园AA跖的面积最小？并求出的最小面积.

(2)当扩建后的公园AAEF的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地(图中阴影部分)，周

围是等宽的公园健步道，如图所示.若要保证绿地面积不小于总面积的3,求健步道宽度的最大值.(小数

4

点后保留三位小数)

参考数据：母1.732,逐b2.236,3.873.

2tan8

参考公式:tan26=

1—tariff

48.(2022秋•长沙期末)如图，AABC中，角A,B,。的对边分别为。，b,c,(b+c+a\b+c-a)=3bc.

(1)求A的大小;

(2)若AABC内点。满足NR4B=NMC=NPG4=NR4C,求NBPC的大小.

ciin「卜__

49.(2023•红河州一模)在①----------d--------=1,②℃05。51114=(2匕-0)5111。8524这两个条件中任选

sinA+sinBa+c

一个，补充到下面横线上，并解答.

记AABC的内角A,B,c的对边分别为a,b,c,且

(1)求Z4；

(2)若|CB-CA|=4,cosB+cosC=l,求AABC的面积.

(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.)

50.(2022秋•恩施州期末)请在这三个条件：①sinZABC=1；②AB=5；®AB=AC,中任选一个条件

补充在下面的横线上，并加以解答.

如图，锐角AABC中，sinZBAC=—,,BC=6,。在边BC上，且8£>=2£>C,点E在边AC上,

25

且BE_LAC,3E交AD于点厂.

(1)求AC的长；

(2)求cosNZMC及AF的长.

2023解三角形热点分类训练

参考答案与试题解析

一.正弦定理（共2小题）

1.⑵23•漳州模拟）如图，平面四边形ABCD内接于圆O,内角对角线AC的长为7,圆。的半

径为述.

3

（1）若BC=5,AD=CD,求四边形ABCD的面积；

（2）求AABC周长的最大值.

【分析】（1）在AAOC中利用余弦定理求得ZAOC=3，从而证得AACD为等边三角形，求得其面积，再

3

在AABC中利用余弦定理求得AB=3,从而利用三角形面积公式求得AABC的面积，由此得解;

（2）利用余弦定理得到（a+c）2=49+ac,从而利用基本不等式推得o+c,,^,由此得解.

3

【解答】解：（1）如图所示，连结。4,OC,

7h

在AAOC中，OA=OC=—,AC=7,

3

4949

一十一-49

所以cos/AOC=33

49

20Aoe2x2

T

因为OvNAOCv万，所以NAOC=上，则NAZ)C=&,

33

因为AD=CD,所以AACD为等边三角形，

诉“<_1•万一1/oA/3_49A/3

,8111=49

所以SAACO=]ACy24)

因为NABC+NADC=〃，

所以='，

3

2%

在AABC中，AC2=BC2+AB2-2BC-ABcos—,BP49=25+AB2+5AB,

3

又因为AB>0,

所以AB=3,

所以SAABc=；A8^BC-sinZA3C=；x3x5x¥=^^■，

=

所以^ABCDS^ABC+SSACD=16A/3.

(2)设BC=a,AB=c,

)7r/$2_4。1

22

则在AABC中，ZABC=一，AC=7,则----------=——，BPa+c+ac=49f

32ac2

故(a+c)2=49+QC,

因为a>0,c>0,所以％,（3）2,当且仅当。=c时，等号成立,

所以（a+c）2=49+ac,,49+（g£）2,当且仅当a=c时，等号成立，

所以』（a+c）2,,49,则（a+c）2,,令竺，

43

因为a+c>0,故a+c,,竽，当且仅当“=c时，等号成立，

所以a+c+AC,,此5+7,即AABC周长的最大值为此叵+7.

33

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式及基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题.

2.（2023•贵州模拟）已知锐角AABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且理4+吧0=口+1.

sinBsinAab

（1）求角C的大小；

（2）若a+b=2,求c的取值范围.

【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再用余弦定理可求出角C；

（2）由（1）已知角C,可借助正弦定理化边为角，再利用辅助角公式及正弦三角函数的性质可解.

【解答】解：（1）由已知及正弦定理，得@+?=C+i,

baab

即a1+b2-c2=ab,

_a2+/—c2ab1

cosC=----------=----=—.

lablab2

又：Ce(0,-),

2

•'•c=l

(2)由(1)及正弦定理得上-cb

.Asin(g-A)

2

*：a+b=2，

2%

csin(^--A)

csinA

=2,

22

73i

27r

sinA+sin^-A)lsinA+cosAsin(A+£)

22

0<A<-

2>'Ae*与，A+

2»71o2o33

0<B=------A<—

32

♦/4兀、/J3I1

••sin(A+—)e(―-,1］，

o2

1

G

•/4兀、

sm(A+—)

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角函数的图象和性质，属于

中档题.

二.三角形中的几何计算(共6小题)

3.(2023•江宁区一模)在凸四边形ABCD中，ABAD=90°,ZBCD=120°,AD=3,AB=4.

(1)若NABC=45。，求CD；

(2)若/BCD的角平分线交对角线8D于点E,求3C+CE+CD的最大值.

【分析】(1)先求出sinNC8D=1,再利用正弦定理求解即可;

10

(2)由余弦定理得f+丁+孙=25,利用基本不等式得到0<x+%竽，利用三角形的面积公式求出

=再得到8C+CE+CO=2(x+y)-二，然后利用函数的单调性求解即可.

x+yx+y

【解答】解：如图,

(1)\-ZBAD=90°,AD=3,AB=4,:.BD=5,

在AABD中，sinZABZ)=—=cosZABZ)=—=-,

BD5BD5

・・・ZABC=45°,sinZCBD=sin(45°-ZABD)=与(cos/ABD-sinZABD)=^x1=^,

BD

在ABCD中，由正弦定理得，———

sinZCBDsinl20°

应2指

CD=5x-----x-尸=

1063

(2)设3C=x,CD=y,

222

在ABCD中，由余弦定理得=x+/-2xyx(-1)=x+y+xy=25,

二.(％+丁产一孙二25,xy=(x+y~)2-25,

,•,孙“。丁，;.(x+y)2-25,,(二，)，.•.0＜尤+为"^，

443

•••CE为ABCD的角平分线，NDCE=NBCE=60°,

Lx。速4y.CE速=L.y速,

,CE=上

222222x+y

，3C+CE+C2=上+尤+y=O+y)2+孙=25+0)2一25=2(x+y)一二

x+yx+yx+yx+y

25

z=2(x+y)---------在(0，

x+y

・・.当x+尸既时,

3

BC+CE+CD=2(x+y)--空-取得最大值为空叵.

x+y6

【点评】本题考查AABC的面积公式，正弦定理，余弦定理的运用，考查基本不等式的运用，函数的单调

性，属于中档题.

4.（2023•大庆模拟）已知在AABC中，角A,B,C的对边分别是4，b,c,面积为S,且_____.

B+C

在①25=石项•而，②2cos2=1+cos2A,③c=A/^osinC-ccosA这三个条件中任选一个，补充在

2

上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题.

(1)求A；

⑵若"c=6，点。是BC边的中点，求线段AD长的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【分析】(1)若选①，由题意利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式

可求tanA=g,结合Ae(0,乃)，即可求解A的值；

若选②，利用二倍角公式，三角形内角和定理，诱导公式化简己知等式可得2cos2A+cosA-1=0,结合

Ae(0,7T),可得COSA=L,即可求解A的值；

2

若选③，利用正弦定理，两角差的正弦公式化简已知等式sin(A-?)=g,可求得)，进而即

可求解A的值.

(2)由题意可得项=。(通+A©,两边平方，利用平面向量数量积的运算可求4而2=(6-*)?+，，根

据0＜。＜代，利用二次函数的性质即可求解AD的范围.

【解答】解：(1)若选①，因为2s=6市•工，

所以2x」6csinA=g6ccosA,可得tanA=,

2cosA

又因为A£(0,»),

所以A=e.

3

若选②，因为2cos2B+C=l+cos2A,

2

所以2cos2———=2sin2—=1-cosA=2cos2A，整理可得2cos之A+cosA-l=0,

22

解得cosA二」或—1,

2

又因为Aw(0,i),可得cosAw(—1,1),

所以cosA=—,

2

所以A—.

3

若选③，因为c=JGasinC—ccosA,

所以由正弦定理可得sinC=退sinAsinC—sinCeosA,

又因为C为三角形内角，sinCwO,

所以1=\/^1114一(：0$4=2$111(4—&),可得sin(A)=工，

662

又因为Ae(0,万)，A--e(--,—),

666

所以4一生=匹，可得4=%.

663

(2)因为6+C=J5,所以0<6V百,

因为。是3C的中点，所以通=：（通+/）,

平方得4须2=(AB+AC)2=AB+AC+2ABAC,

所以4而2=c2+/+26ccosq=c2+〃+6c=3+c）2_Z7c=3—6（3-3=62-扬+3=（6-岑）？+（,

因为0<6<\/3，所以6=时，4AD=—,可得|AD|=-,

244

所以,4而2<3,可得,4。〈走，

442

故线段45长的取值范田为弓，号）.

【点评】本题考查了三角形的面积公式、平面向量数量积的运算、正弦定理、三角函数恒等变换以及二次

函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

5.(2023•泉州模拟)在梯形ABCD中，AD//BC,AD^CD,BC=3,ACsinABCA=-J3ABcosZABC.

（1）若AABC的面积为30，求AC；

（2）若CD=»,求tanZBAC.

【分析】（1）在直角三角形中可得sin/3C4=sin/C4D=匹，cosZA5C=g"，代入整理可得DC=,

ACAB

由三角形的面积公式可求得CD的值，进而应用勾股定理可求得AC的值；

（2）由。C=68"及勾股定理可解得AC、钻的值，在AABC中运用余弦定理解得cos/BAC,由同角

三角函数的平方关系及商式关系可求得tan/54c的值.

【解答】解：（1）过点A作交BC于点拉，如图所示，

：ADIIBC,AD.LCD

,r）C

..ZBCA=NCAD,贝UsinNBC4=sinNC4Z>=——，

AC

因为cosZABC=—,ACsinZBCA=73ABcosZABC,

AB

所以ACx区=玉，即£>C=6BM,

ACAB

又因为治亚=3百，BC=3,

所以CE>=百，所以BM=2,所以CW=3C—BM=3—2=1,

所以在RtAAMC中，AC=^AM-+MC2=yJCD2+MC2=7（2^）2+l2=713.

（2）由（1）知，DC=y[3BM,又因为DC=J5,

所以矶f=l,所以CM=2,所以AC=J7,

所以A3=y/AM2+BM2=7CD2+BM2=2,

AB。+3-BC?4+7-9_y/l

在AABC中,cosABAC=

2AB-AC2x2xV7-14

所以sinABAC=cos2ABAC=玉旦,

14

sinABAC

所以tanABAC

cosABAC

【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查正余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属

于中档题.

6.(2023•吉林模拟)已知AABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,且》cosC+ccosB=6.

(1)求边a；

(2)若AABC是锐角三角形，且_____,求AABC的面积S的取值范围.

要求：从①A=%,②b+c=10从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择

4

多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【分析】(1)解法一，利用余弦定理将角化边；解法二，利用正弦定理将边化角；

L广1

（2）若选择①，利用正弦定理得到6=6应sinB,c=6挺sinC,则5AAec=上历$也A,将其转化为关于3的

三角函数，结合AABC是锐角三角形，求出5范围，再结合正弦函数的性质求出AABC的面积的取值范围；

若选择②，依题意可得c=10-匕，由AABC为锐角三角形利用余弦定理求出6的取值范围，利用余弦定理表

示出cosC,即可得到sinC,将5MBe转化为关于匕的函数，结合二次函数的性质计算可得.

【解答】解：(1)解法一：因为6cosc+ccosB=6,

由余弦定理，得儿八士^+。4上巨二々=。=6；

2ab2ac

解法二：因为bcosC+ccosB=6，

由正弦定理，M27?(sinBcosC+sinCcosB)=6,

/.2Rsin(B+C)=6,

.-.2^sinA=6,即。=6.

(2)选择①：因为，一=上=，=4-=6夜,

sinAsin8sinCsin£

4

所以〃=6y/2sinB,c=6^/2sinC,

所以=^bcsinA=l8y/2sinBsinC=1sinBsin(B+

=18点sincosB+sinB)

=18sinBcosB+18sin2B

=9sin2B+9-9cos2B

=9^sin(2B--)+9,

4

因为AABC是锐角三角形,

所以;，又C咛一B,所咤＜2音,

2

所以（＜23-所以曰＜如（28-?）」

所以9<972sin(2B--)„9后，

4

所以18VS^BC”9点+9,即AABC的面积S的取值范围是（18，9忘+9].选择②，因为b+c=10,则c=10—沙,

2bc

^22_12

因为是AASC是锐角三角形，所以cosB=",一》＞o,

2ac

b2+c2-a2=b2+(10-bp-36>0

2222解得竺〈理,

即4a+c-b=36+(10—6)2-b>0,<6

a2+b2-c2=36+b2-(10-b)2>0,}

a2+b2-c25b-16

因为cosC=

2ab3b

所以sinC=口^E=4，S2)(8-6),

3b

2

所以^AARC=—^bsinC=3b'"⑦____2—4^/—Z7+10Z?-16

^<b<^

23b55

设g(x)=一炉+10x—16=—(x—5)2+9(^-<x<^-),

由二次函数的性质可得当x=5时，g(x)取最大值为g(5)=9,

、匕16pt/、144v3416

当兀=不时，g(x)=—,X|y-5|=|y-5H

所以g(x)e(晟，9],即一/+106-16e(詈，9],所以J-/+10匕一16e(葭,3],

4R4*

所以不〈鼠12，即AABC的面积S的取值范围是(不，⑵.

【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题.

7.(2023•山东模拟)在AABC中，AB=2AC,。是边3C上一点，ACAD^2ABAD.

(1)若4BAC=红，求处的值；

4CD

(2)若AC=1,求AD的取值范围.

【分析】(1)首先求出NSW、Z.CAD,再在AABD、AACD、AABC中分别利用正弦定理计算可得;

(2)设44D=&,则NC4D=2a,ZBAC=3a,由面积公式表示出名题c、5枷》、SMCD,即可得到

/Iczv1q

sin3a=AZ)(sina+sinacosa),从而得到AD=---------,令l+cosa=,,则AD=4t-]-------8,设

1+cosat

/⑺=4+3-8利用导数说明函数的单调性，即可求出了⑺的值域，即可得解.

【解答】(1)解：由ZBAC=——，Z.CAD=2ZBAD,

4

可得NBAZ)=%,ZCAD=-

42

ADsinZBAD

在AABZ）中，由正弦定理得3。=

sin3

在AACD中，由正弦定理得CD=””。⑦

sinC

在AABC中，由正弦定理得色£=空，

sinBAC

.冗

匚匚2BDsinZBAD叱=%四=g2=应

所以——二--------

CDsinZCADsinB.乃AC2

sin—

2

(2)由AC=1,得AB=2.

设Z^4D=a,则NG4D=2a,ZBAC=3a,

所以，

S..KC=-AB-ACsinABAC=sin3«,S.AIS/KXDnLJ=-AB-ADsinABAD=ADsincr

S战CD=(ACADsinNC4£>=ADsinacosa,

则sin3a=AD(sina+sinacosa),

故4^_sin3a_sinacos2a+cosasin2a_4cos2a\

sina+sinacosasina+sinacosa1+cosa

3

设