2025高考数学专项复习：十大方法玩转指对幂比较大小（解析版）

2025高考数学专项复习十大方法玩转指对

届比较大小（解析版）

“十大方法，就转指购零比较大小

目录

一、重难点题型方法

方法一:单调性法

方法二:“媒介值”法

方法三:作差法

方法四：作商法

方法五:构造函数法

方法六:乘方法

方法七:对数法

方法八:零点法

方法九:特殊值法

方法十:放缩法

二、针对性巩固练习

重难点题型方法

方法一:单调性法

【典例分析】

例1.（2023•全国•高三专题练习）设。=30-9,b=9°5,c=（1■尸，则（）.

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

例2.（2022秋•四川广安•高一统考期末）a=0.2",b=0.2°4,c=bgo2（M,则（）

A.Q>6>CB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b

【方法技巧总结】

1.指、对、型大小比较的常用方法：

①底数相同，指数不同时，如ax'和滔，利用指数函数y=蜡的单调性；

②指数相同，底数不同，如W和唠利用嘉函数V=xa单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如log^j和log°g利用指数函数logaT单调性比较大小；

2.除了指对易函数，其他函数（比如三角函数,对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。

【变式训练】

1.（2023春•天津和平•高三天津市第二南开中学校考开学考试）设a=log042,b=—^―,c=0.3°-4,

log20.3

则Q,b,C的大小关系为().

A.aVbVcB.6<a<cC.a<c<bD.c<6<a

2.（2023机云南是明♦高一统考期末）设a=6=211,c=log23,则a,b,c的大小关系为（）

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.a>b>c

方法二:“媒介数”法

【典例分析】

科1.（2022秋•江西景德铁•高一景程铁一中校考期末）已知a=3°，3,b=log26,c=log0"2,则三数大小关

系为（）

A.aVbVcB.bVcVaC.c<6<aD.cVaVb

钠2.（2023・河北・高三学业考试）若。=10850.2,6=0.25,°=5%则&,6,。三者的大小关系为（）

A.b>c>aB.6>a>cC.c>a>6D.c>b>a

【方法技巧总结】

1.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助

“媒介数”进行大小关系的判定.

【变式训练】

1.（2023秋•江苏无锡•高一统考期末）已知@=10821.41,匕=2°/1,。=1!12,贝!）（）

A.a<c<bB.c<a<bC.b<a<cD.a<b<c

2.（2023秋•云南是雄•高一统考期末）已知a=log22,b=log56,c=sin2，贝lja,b,c的大小关系为

3

（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

方法三;作差法

【典例分析】

ML（2023•全国♦模拟预测）设a=log62,b=logi23,c=log405，则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<6D.a<c<b

M2.（2023•全国•方三专题练习）已知a=log32,b=log43,c=log4V3,JJIO（）

A.b>a>cB.c>b>aC.a>b>cD.b>c>a

【方法技巧总结】

1.通过做差与0的比较来判断两数的大小。

【变式训练】

1.（2023秋•四川绵阳•高一期末）已知a=log32,b=log43,c=sin1•，比较a,b,c的大小为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

2.（2021春•陕西西安•商二西安中学校考•期中）设a==。―=n―2,则a,b,c的大小顺序

是（）

A.a>6>cB.c>a>6C.a>c>bD.b>c>a

方法四:作商法

【典例分析】

（2022•全国•高三专题练习）已知a=0.8一°只，b=log53,c=log85,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<&<aD.a<c<b

M2.（2020秋•福建漳州•高一校考期中）已知Q=0.4°3,b=0.3°3,c=0.3°4,则（）

A.a>c>6B.a>6>cC.c>a>dD.&>c>a

【方法技巧总结】

1.通过做商与1的比较来判断两数的大小。

【变式训练】

1.（2023•全国•南三专题练习）已知log4m=-^-,log12n=（0.90=0.8,则正数m,n,p的大小关系为

（）

A.p>m>nB.m>n>pC.m>p>nD.p>n>m

2.（2023•全国•南三专题练习）已知巾5=4,八8=9,0.印=0.8,则正数如九4的大小关系为（）

A.p>m>nB.m>n>pC.m>p>nD.p>n>m

方法五:构造函数

【典例分析】

*）1.（2022•河南•马店第一高级中学校联考模拟覆测）已知log2a=g（aW2）,log3b=g（bW3）,log4C=

■一#4）,则（）

A.aVbVcB.cVaVbC.c<6<aD.aVcVb

M2.（2023•全•国•南三专题练习）设a=J7,b=21n（sin^L+cosUc=~1_ln兽，则a,b,c的大小

51）\10010U/550

关系正确的是（）

A.a<&<cB.a<c<&C.6<c<aD.6<a<c

【方法技巧总结】

1.同形构造:根据结构构造统一函数,通过导数判断单调性,再根据单调性来比较数的大小o

2.不同形构造:可以两两做差构造新函数，也是通过导数判断单调性，再根据单调性来比较数的大小。

【变式训练】

1.（2023•全国•高三专题练习）设a=20221n2020,b=20211n2021,c=20201n2022，则下列选项正确的

是（）

A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c

2.（2023秋•浙江绍兴•高三期末）已知a=sin0.1,6=lnl.l,c=e01—1.005，则a,b,c的大小关系为

（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

方法六:乘方法

【典例分析】

Ml.（2023春•江西上悦•高一校联考阶段练习）已知a=log35,b=log57,c=4^lJ（）

o

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

【方法技巧总结】

1.对于次嘉不同且无法估算大小的两个数，可以通过同时乘合适的次方,使得得到的两个数的次嘉为

整数，便可算出结果比较大小，即原来两数的大小。

【变式训练】

1.（2023款•陕西渭南•高一统考期末）已知a=log53,b=logi38,c=eV,则下列判断正确的是（）

A.aVbVcB.aVcVbC.cVaVbD.bVcVa

方法七:对数法

【典例分析】

10n

桃1.（2022•全国•高三专题练习）已知a=IO,b=9,c=11、则abc的大小关系为（）

A.cVaVbB.bVaVcC.aVbVcD.cVbVa

【方法技巧总结】

1.当两个数都是指数形式,可同时取对数来变为对数形式,再结合构造函数等来比较大小

【变式训练】

1.（2022秋•贵州安顺•高三统考期末）已知a=2O222023,b=2O232022,c=log20222023,则a,b,c的大小关

系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

方法八:零点法

【典例分析】

±

（）七九㈤=（）T

Ml.（2023秋•山东滨州•高一期末）已知函数了（0-\og2x,gx=J—/在区

间（0,+8）内的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大小关系为（）

A.Q>b>cB.b>c>aC.c>a>feD.b>a>c

【方法技巧总结】

1.当比较的几个数都是两个函数的零点时，可数形结合，通过图象交点来比较大小。

【变式训练】

1.（2023状•湖北武汉•商一武汉外国语学校（武汉实驻外国语学校）校考期末）已知函数f（x）=e'+/,

g（x）=lnx+x,h（x）=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c

方法九:特殊值法

【典例分析】

M1.（2023春•辽宁大连•商一阶段练习）已知a€（1,5），记L=logsinMy—logcosaSina,z—log/ana,则

x,y,z的大小关系正确的是（）

A.x<y<zB.y<Zx<ZzC.z<Zx<ZyD.x<z<y

【方法技巧总结】

1.当比较的几个数都含参数时,可尝试把参数取一个具体的实数,通过估算来比较大小。

【变式训练】

1.（2022秋•江苏常州•高一校考期末）若a>6>y>l且”<r,设Q=log〃,b=lOg^,C=lOgz/S,则

（）

A.aVbVcB.6<a<cC.6<c<aD.cVaVb

方法十:放缩法

【典例分析】

ML（2023•全国•高三专题练习）若a=log43,b=log54,c=2一°吗则a,b,c的大小关系为（）

A.cVbVaB.aVcVbC.bVaVcD.aVbVc

M2.（2023春•广东广州•高二广东华侨中学校考阶段练习）已知a=sin］，6=（1）°承，c=《log279,则

（）

A.aVcVbB.aVbVcC.bVaVcD.cVaVb

【方法技巧总结】

1.放缩法：

①利用平方法等寻找接近已知数的数进行放缩;

②利用基本不等式进行放缩；

③利用泰勒公式进行放缩。常用的泰勒公式如下：

e*>力+1（力W0）;ln/Vc—l（cWl）；Inc>―；sinx<x<tanreO

X-IA-/

【变式训练】

1.（2023春・四川内江・高三威迹中学校校考阶段练习）设&=0.2°",6=10834,o=10845,则（）

A.aVbVcB.bVaVcC.cVaVbD.aVcVb

2.（2023・全国・高三专题练习）已知。=1111.1,6=111算“=*,则下列判断正确的是（）

A.aVbVcB.b<a<cC.cVbVaD.bVcVa

针对性巩固练习

练习一:单调性法

1.（2021・陕西成用・统考二模）已知。=4叱6=2-吗0=1110.5则如仇。的大小关系为（）

A.b>a>cB.a>c>bC.c>a>bD.a>6>c

ill

2.（2022秋•安徽马段山•高一安微霍马铁山市第二十二中学校考期中）已知a=5号，b=25°,c=4.5号,

则a,b,c的大小关系是（）

A.c<a<bB.c<&<aC.a<c<bD.a<b<c

练习二:“媒介数”法

-1

3.（2023•陕西成阳•校考模拟预测）设a=log53,&=e,c=logi69-log278，则a,b,c的大小关系为

（）

A.cVaVbB.&<a<cC.c<6<aD.bVcVa

15

4.（2023春•玄庆九龙城•方一重庆市方才中学校考阶段练习）已知a=（y）,,fe=log43,c=sir?1,则a,

b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.6<c<aC.c<a<bD.a<c<b

练习三:作差法

5.（2023•全国•南三专题练习）已知a=31og83,b=—■^-logi16,c=log43，则a,b,c的大小关系为

23

（）

A.a>6>cB.c>a>bC.6>c>aD.b>a>c

6.（2023秋•安徽芜湖•高一统考期末）已知实数a=log23,b=log34,那么实数a,b,c的大小关

系是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.6>c>aD.c>6>a

练习四:作商法

7.（2021秋・江苏•高一专题练习）设名、9、2为正实数,且（打=（/=0则（）

A.2力V3gV4zB.4zV2/V3gC.3y<2x=4：zD.4z=2/V3g

岂—1Q

8.（2022秋•河北石家庄•高三开学考试）若实数M，九，p满足恒=4e，,几=51,0=■，则（）

e

A.p<m<nB.p<Zn<mC.m<p<nD.n<p<m

练习五:构造函数

9.（2022春•北京牌二北京铁路•二中校考期中）设a=&,b=月，c=e（e72.718…），则a,b,c的

m2m3

大小关系为（）

A.cVbVaB.aVbVcC.6<c<aD.cVaVb

10.（2023•全国•商三专题练习）设a=1.02,b=e0,025,c=0.9+2sin0.06,则a,b,c大小关系是（）

A.cVbVaB.aVbVcC.bVcVaD.cVaVb

练习六:乘方法

11.（2023•全国•高三专题练习）已知a=log56,b=log35,c=log23,d=,，则a、b、c>d的大小关系是

（）

A.b<a<d<cB.a<b<c<dC.b<a<c<dD.a<b<d<c

练习七:对数法

12.（2023•全国•高三专题练习）已知&=81°,6=99,。=1（）8,则（：1,6,。的大小关系为（）

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

练习八:零点法

13.（2023•全国•高三专题练习）已知三个函数/㈤=2^+x-l,gQ）=e"--1,%（0=log2（ic-l）+a:-l

的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

练习九:特殊值法

14.（2022・内蒙古呼伦贝尔・统考二《）已知1<&<6<6（6为自然对数的底数）,则（）

ababab

A.a>baB.ba>evC.a>e~D.a6<e~

练习十:放缩法

15.（2023秋•广东佛山・方一统考期末）已知a=log2，^，b=log32,c=21og52,JJliJ（）

A.aVbVcB.b<a<cC.cVaVbD.bVcVa

16.（2022・全国・高三专题练习）设a=击，6=1111.01,0=6°初—1,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

目录

一、®«点题型方法

方法一:单调性法

方法二:“媒介值”法

方法三:作差法

方法四：作商法

方法五:构造函数法

方法六:乘方法

方法七:对数法

方法八:零点法

方法九:特殊值法

方法十:放缩法

二、针对性巩固练习

重难点题型方法

方法一:单调性法

【典例分析】

ML（2023•全国•高三专题练习）设。=30-9,b=90-5,c=/尸，则（）.

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

【答案】。

【分析】将三个指数赛化成同底指数赛,利用指数函数的单调性即可得解.

[#M10a=30-8,b=9°-5=（32）°-5=3^0=（y）2=（3*1）2=32=30-5,

又函数夕=3"在A上单调递增，1>0.8>0.5,

所以31>308>30'5

所以b>a>c,

故选：C

科2.（2022秋・四川广安・高一统考期末）&=0.2°-3,6=0.2°-4,°=1080.20.1，则（）

A.a>6>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b

【答案】。

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小即可.

【详解】根据函数y=0.2/在R上单调递减得1=0.2°>a=0.2°-3>0.2°-4=6>0,

根据函数y=logo,2^在（0,+8）上单调递减得c=log0,20.1>log0,20.2=1,

故c>a>b.

故选：D.

【方法技巧总结】

1.指、对、嘉大小比较的常用方法：

①底数相同，指数不同时，如嫡和清，利用指数函数y=淄的单调性；

②指数相同，底数不同，如式和唠利用嘉函数y="单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如log°g和log滔2利用指数函数log逆单调性比较大小；

2.除了指对幕函数，其他函数（比如三角函数,对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。

【变式训练】

1.（2023春•天津和平•南三天洋市第二南开中学校考开学考试）设a=log。,？，b=正册3,c=O.30-4,

则a,b,c的大小关系为（）.

A.aVbVcB.6<a<cC.aVcVbD.cVbVa

【答案】A

［分析］根据换底公式可得a=—^―,由对数函数的性质可得a<bV0,从而可比较大小.

log20.4

【详解】a=log。/=--7T7）

log20.4

因为沙=log2rc在（0,+oo）上单调递增，所以log20.3<log20.4<log2l=0,

所以］］Q<°，即a<b<0・

log20.4log20.3

又0.3°/>0,所以QVbVc.

故选：4

2.（2023机云南晃明通一统考期末）设a=翁，b=2°,c=log23，则a,b,c的大小关系为（）

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.a>b>c

【答案】力

［分析］根据指数对数函数单调性计算a=2,b>2,cV2,得至U答案.

rl

［详解】a==2,b=2>2,c=log23<log24=2,故匕>。>口

故选：A

旗二产媒介数”法

【典例分析】

411.（20224b江西景德续•方一景嬉慎一中校考1期末）已知a=3°,3,b=log26,c=log。"？,则三数大小关

系为（）

A.a<fe<cB.6<c<aC.c<&<aD.c<a<b

【答案】。

【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，结合“媒介数”比较作答.

1

【详解】因为0V3°3V32V2,即0VaV2,而b=log26>log24=2,c=log0_32<log0,3l=0,

所以cVQVb.

故选：D

”2.（2023・河北鹏三学业考试）若&=10850.2,6=0.25,°=5%则&,b,c三者的大小关系为（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】。

【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，并借助“媒介数”比较大小作答.

5

【详解】a=log50.2<log5l=0,0<fe=0.2<0.2°=1,C=5—>5°=1,

所以Q,b,c三者的大小关系为c>b>Q.

故选：D

【方法技巧总结】

1.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助

“媒介数”进行大小关系的判定.

【变式训练】

1.（2023秋・江苏无锡・高一统考期末）已知（1=10821.41力=20-41,0=1112,则（）

A.aVcVbB.cVaVbC.bVaVcD.aVbVc

【答案】力

【分析】找中间量J和1进行比较,根据指数函数、对数函数的单调性可得到答案.

【详解】因为6<4,所以，^〈2,则-y=InVe<ln2<Ine=1

0,41

又0=log2l<log21.41<log2V2=y,2>2°=1,

所以

所以aVcVb.

故选：A

2.（2023秋•云南是雄•高一统考期末）已知a=log22,b=log56,c=sin2，则Q,b,c的大小关系为

3

（）

A.a>6>cB.b>a>cC.b>c>QD.c>b>a

【答案】。

［分析】根据利用对数函数的性质和正弦函数的性质求解.

【详解】解:因为a=log22<0,6=log56>1,c=sin2E（0,1）,

3

所以b>c>a.

故选：C

方法三:作差法

【典例分析】

记1.（2023・全国・模拟预测）设。=1。862,b=logi23,c=log4（）5,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

【答案】。

[分析】取到数计算得1=1+臂,-=1+臂，作差法比较]，上的大小，即可得到b,c大小，利

blg3clg5bc

,9

用中间值三即可比较Q,C大小.

【详解】：；=log312=1+log34=1+鲁=1+—=logs40=1+log58=1+兽=1+

blg3lg3clg5

31g2

lg5'

,]]=21g231g2_21g2xlg5—31g2xlg3_Ig2(21g5—31g3)_Ig2(lg25—lg27)

bclg3lg5lg3xlg5lg3xlg5lg3xlg5

—V――，又b>0,c>0,.\b>c.

bc

1_____3.rO

2

=1+log58<1+log5V125=1+log55=—,/.£>—;

c25

2

*.*—=log26=1+log23>1+log2V8=1+log22=--,：,a

a25

QVC.

；・QVcVb.

故选：D.

M2.(2023•全国•高三专题练习)已知a=log32,b=log43,c=log4〃^^U()

A.6>Q>CB.c>b>aC.Q>b>cD.b>c>a

【答案】4

［分析］由赛函数、对数函数性质的性质得2蓼V3,V21g2<lg3，然后可判断a-b的正负，再利用

对数的运算法则、换底公式可判断包与1的大小，从而得出结论.

C

3.

【详解】因为23V32,所以2^<22<3.

lg2lg3(V21g2+lg3)(V21g2-lg3)

log2-log3=-

3421g2Xlg3

因为V21g2—lg3=lg23Tg3V0,所以log32—log43V0,即QVb.

22

—==产"=4(log32),因为log32>log3V3=1■，所以4(log32)>1,即a>c.综上，b

clog4V31log232

>Q>C.

故选：A.

【方法技巧总结】

1.通过做差与0的比较来判断两数的大小。

【变式训练】

1.（2023秋•四川绵阳•高一期末）已知Q=log32,b=log43,c=sim^,比较a,b,c的大小为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】。

ln2ln3ln2-ln4-(ln3)2

【分析】易得c=Q,>>又a—b二

ln3ln4In3,ln4

比较ln2-ln4—（ln3）2与0的大小即可.

【详解】c=si吟/,因函数,=log3x,y=log也在(0,+8)上单调递增,

则a=log32>log3V3=y,b=log43>log42=y.

ln2ln3ln2-ln4-(ln3)2

a—b，因ln2,ln4>0,则

ln3ln4ln3•ln4

ln2+ln4>2Vln2-ln4=>ln2-ln4<-^-(ln8)2<-^(ln9)2=(ln3)2.

故aVb,综上有6>a>c.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因十V。，匕V1，难以找到中间量，故结合

换底公式做差，后再利用基本不等式比较Q,b大小.

2.（2021春•陕西西安•高二西安中学校考期中）设a=Jb=。—倔c=4—2,则a,b,c的大小顺序

是()

A.a>b>cB.c>Q>bC.a>c>bD.b>c>Q

【答案】。

［分析】将b,c化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较;利用作差比较a,c大小关系即可.

［详解］b=V7—V5=/广,c=V6—2=—,

V7+V5V6+2

2

vV7+V5>V6+2,,—

-V7+V5V6+2'

&<c.

又a-c=%一娓=

贝"a>c>b.

故选：C.

方法四:作商法

【典例分析】

Ml.（2022•全国•高三专题练习）已知a=0.8一°',b=log53,c=10885,则（）

A.QVbVcB.b<c<aC.c<6<aD.a<c<6

【答案】B

【分析】应用作商法,由对数的运算性质、基本不等式可得?二埠空<吟臀可知b、c的

大小，再结合指对数的性质可知Q、C的大小.

blog3皿警<仙3+1闷2=互守<

【详解】5

222

clog85ln541n5ln5

Vc<l<a=0.8_°4,

,综上，bVcVa.

故选：B

钠2.（2020秋•格建漳州•高一校考期中）已知&=0.4°-3,6=0.3°，3,。=0.3°4,则（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】根据指数函数0=0.3”的单调性，可以判断b,c的大小；根据作商法可得小>1，可得答案.

0

【详解卜・・。=0.3'是减函数，

・・・0.3°3>0.3°/,即b>c>0,

lQ_/。­41°.3_/4\0.3日口、入

而了=3）=（奉>1，即a>6,

a>&>c,

故选：B

【方法技巧总结】

1.通过做商与1的比较来判断两数的大小。

【变式训练】

1.（2023•全国•商三专题练习）已知log47n=-^-,log12n="o.9°=0.8,则正数m,n,p的大小关系为

（）

A.p>m>nB.m>n>pC.m>p>nD.p>n>m

【分析】根据对数式与指数式之间的互化，以及作商法比较大小，即可比较772,72的大小，由对数函数的

单调性以及中间值法即可比较三者的大小.

QJ__9_1±

【详解】由10gm=布，得馆=42°=2i°V2,由log.九=7，得九=12、

999

m=4^=4系=/4/4\^=（更］'=

5555

n121J?击*512>^3X4^3'

因此，即2>772>72；

由0・9P=0.8J^p=logo.90.8>logo.90.81=2,于是p>nz>?i,

所以正数m,n,p的大小关系为

故选:4

2.（2023•全国•商三专题练习）已知/=4,九8=%0.90=0.8,则正数M，九，p的大小关系为（）

A.p>m>nB.m>n>pC.m>p>nD.p>n>m

【答案】A

【分析】由已知求出m,n,p,再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答.

1211

【详解】由小三4,得7n=4，=25<V2,由6=9,得？?,=98=34,

因此，——

n

由0・9。=0.8,得p=logo.gO.8>logo.9O.8l=2,于是得p>m>n,

所以正数n,p的大小关系为

故选:A

方法五:构造函数

【典例分析】

ML（2022•河南•马店第一高级中学校联考模拟预测）已知log2a=S（aW2）,log3b=《（b¥3）,log&c=

/o

》中4）,则（）

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

【答案】。

【分析】先对等式变形得到等=等，*=*，唔=竽构造加）=等，求导得到其单调

性，结合野=野，a#2,c#4,得到a=4,c=2,由9>8推出苧>野，结合函数单调性求出

2VbVe,从而比较出大小.

■、学乐万.91a一Inaa一Inaln2封Tn7ln6ln3Inc_ln4

【评解】由lo&a=qn忘=万=>丁=〒，同理丁亍，丁一丁

令…野…丁

当,〉e时,/(,)=?<。，当°<‘<e时,/'(')=丁>。,

可得函数/（①）的递减区间为（e,+8）,递增区间为（0,e）,而2<e<3<4,

又由野^=*2,a¥2,c#4,可得a=4,c=2,

9>832hi3>31n2今噂〉野，

又由eV3,bW3及/（1）的单调性，可知2VbVe,

故cVbVa.

故选：C.

【点睛】关键点点睛:构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通

过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，变形得到也=萼，乎=

a2b

*，手=野，从而构造了⑺=等，达到比较大小的目的・

M2.（2023•全国•高三专题练习）设。=占，b=21n（sin£7r+c（吟暴），c=~f~ln整，则a,b,c的大小

5U、1U0100/550

关系正确的是（）

A.aVbVcB.aVcVbC.6<c<aD.bVaVc

【答案】。

【分析】由于a=Ine'三lne002,b=lnfsin-i-+cos-^-）2,c=In（兽丫，所以只要比较c=e002,y=

\1U0100/、5U7

fsin-^r+cos彳焉y=1+sin-^-=1+sinO.02/=（整/的大小即可，然后分别构造函数/（①）=

\lUO100）50\5U/

—（1+sine）（力>0）,g[x）—（1+。”一㊀①,判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可

2

【详解】因为(1=12=1116。叱5=in^sin_l--I-cos_l_^,c=ln(3)5,

所以只要比较c=e吗夕=fsin—+cos—^-)'=1+sin上=1+sin0.02,z=(整『=(1+0.02)1-2

的大小即可，

令/Q)=e“一(1+sin/)(力>0),则f(x)=ex—cosx>0,所以/(i)在(0,+8)上递增，

所以j⑸>/(。)，所以ex>1+sin/,

所以e°°2>1+sin0.02,即力>g>1,

令g(i)=(1+x)12—ex,则g(x)=1.2(1+x)°'2—ex,g\x)—0.24(1+x)~°'8—ex

因为g\x)在(O.+oo)上为减函数，且g"(0)=0.24—l<0,

所以当力>0时，g\x)<0,

所以g'(i)在(O.+oo)上为减函数，

因为g'(0)=1.2—1>0,或0.2)=1.2x1.2°-2-e°-2=1.2L2-e0-2,

要比较1.尹2与e0-2的大小,只要比较lnL2L2=1.21nl.2与lne°-2=0.2的大小，

令h[x)=(1+rc)ln(l+x)—x(x>0),则令力)=ln(l+x)+1—1=ln(l+x)>0,

所以无(力)在上递增，所以九(/)>h(0)=0,

所以当26(0,+oo)时，(1+x)ln(l+力)>%,所以1.21nl.2>0.2,

所以I?》〉e°2,所以g，92)=L2X1.2°,2—e°2=1.2L2—e°・2>0,

所以当力G(0,0.2)时，g(x)>0,

所以gQ)在(0,0.2)上递增,

所以gQ)>g(0)=0,所以(1+x)12>ex,

所以(1+0.02严>e°叱所以z>%所以

所以c>a>b,

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，

然后合理构造函数,通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算

能力，属于难题

【方法技巧总结】

1.同形构造:根据结构构造统一函数，通过导数判断单调性，再根据单调性来比较数的大小。

2.不同形构造:可以两两做差构造新函数，也是通过导数判断单调性，再根据单调性来比较数的大小。

【变式训练】

1.(2023•全国•南三专题练习)设a=20221n2020,b=20211112021,c=20201n2022,则下列选项正确的

是()

A.a>c>6B.c>&>aC.b>a>cD.a>fe>c

【答案】。

【分析】构造函数/(劣)=鱼与，根据其单调性判断Q,c大小关系；再构造％(力)=c—ln(N+l),根据其

X

单调性即可判断Q,b,b,c的大小关系.

(详解】令/(力)=旦殳，则F㈤=1—严-，令f'Q)=0,解得劣=e,

xx2

故当宓>e时，单调递减，故/(2020)>/(2022),即端喏>喘系，

则a=20221n2020>c=20201n2022.

令九(/)=x—ln(rr+1),则—1-------——y-

X1X1

故当力>0时，h[x}单调递增，—1<rr<0时，h{x)单调递减，

则h(x)>h(0)=0,即In(re+1)

b-a=20211n2021-20221n2020=20211n2021-20211n2020-ln2020

=20211n(l+—J—)-ln2020W2021X—-ln2020V0,故bVa;

c-b=20201n2022-20211n2021=20211n2022-ln2022-20211n2021

=20211n(l+2斤)-ln2022<2021X—J——ln2022V0,故cVb;

综上所述：c<b<a.

故选:D.

【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，且利用函数单调性比较大小，其中解决问题的关键是构

函数/(2)=鱼与，h(x)—ln(rc+l)从而用作差法比较大小.

X

2.(2023秋•浙江络兴•高三期末)已知a=sinO.1,6=lnl.l,c=e01—1.005，则a,b,c的大小关系为

()

A.a>6>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

【答案】。

【分析】构造/（力）=sinx—ln（x+1）,利用导数求其单调性可判断Q,b的大小，构造g（力）=ex―

—1—利用导数求其单调性可得到e01—1.005>0.1,再构造人（力）—X—sinx可得到0.1>sinO.l,

即可得到答案

【详解】设/（6）=sinx—ln（x+1）,xE（。噂）

则/O）=cosx----TV，

令—f（x},m（x）=—sinx+--；.e，

因为g=sin%在（。优）上单调递增，¥=14在（°管）上单调递减，则加（力）在（。管）上单调

递减，

由加（0）=1>0,加倍）=~7+-一二yV0,所以3Xoe（0,肾，加（3）=0,

'6，2借+1『'6，

所以当cG（0,g）,n/（力）>0,所以在（0,g）上单调递增，

当力G}0管）,加（力）V0,所以皿力）在（小专）上单调递减,

又？71（0）=0,小（专）=卓一?—>0,

'6/2f+1

6

从而7n（力）>0即/⑺>0在（。4）上恒成立，

故/㈤在(0若)上单调递增，

所以/(力)>/(0)=0,即sin/>ln(c+1)=>sin0.1>lnl.l,

构建g(6)=e°_■|■62—i—①，则/(力)=ex—x—1,

令9(力)=ex—x—1,则，(力)=e"