2024-2025学年数学九年级上册北师大版期中检测卷

期中检测卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版

一、单选题

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.ax1+bx+c=QB.3x?—2元=3（无？一2）

32

C.X-2X-4=0D.（X-1）-1=0

2.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直D.对角线平分对角

3.关于X的一元二次方程炉-2》+772=0的一个根为-1,则”?的值为（）

A.-3B.-1C.1D.2

4.如图，正方形ABCD的边长为5,AG=CH=4,BG=DH=3,连结G”,则线段Ga的

A.72B.yC.2.72D.10-5A/2

5.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值

为175亿元，若设平均每月的增长率为x,根据题意可列方程（）

A.50（1+x）2=175B.50+50（1+%）2=175

C.50（l+x）+50（l+x）2=175D.50+50（l+x）+50（l+x）2=175

6.小明在参观故宫博物馆时，被太和殿窗标的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一

个含60。角的菱形A5CD（如图1所示）.若边的长度为。，则对线线AC的长度为（）

A

太和殿窗根

A.2aB.aC.y/3aD.—a

7.如图，VABC中，ZC=90°,AC=8,3c=6,线段DE的两个端点£>、E分别在边AC,BC

上滑动，S.DE=6,若点M、N分别是DEAB的中点，则MN的最小值为（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

8.对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法.以方程x（x+6）=72为例加

以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6,

宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x,面积是四个矩形的

面积与中间小正方形的面积之和，即4x72+6、据此易得了==6.小明用此方法解

关于x的方程x（3x-〃）=24,其中3x-”>x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4,

则〃的值为（）

B.4C.6D.8

二、填空题

9.已知优、〃是一元二次方程f-2尤-3=0的两根，则根+〃=

10.如图，VABC是一个含45。角的三角板，ZA=90°,BC=5五,将三角板绕着点C顺

时针旋转。（0°＜。＜180。）后，点A与点。对应，点B与点、E对应，当边DE与原三角板的

一边平行时，则点A与点E的距离为.

11.如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在

12.如图，在矩形ABCD中，BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线8。翻折，点C落在点C'

处，BC交AD于点E,则线段OE的长为.

13.如图，菱形ABCD的周长为8,/54。=120。，点E是4B的中点，点尸是对角线BD上

的一个动点，则VAPE周长的最小值是—.

14.为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实

验，实验数据如下：

在正方形内投掷的点数W1002003004006008009001000

落入小正方形区域的频数加915273450667685

落入小正方形区域的频率

m0.0900.0750.0900.0850.0830.08250.0840.085

n

试估计“点落入圆形区域内”的概率—（精确到0.01）.

15.如图正方形ABCD边长为2,E为CD边中点，尸为射线5E上一点（P不与B重合），若

△PDC为直角三角形，则成=.

16.如图，平面直角坐标系中，以第一个矩形OD4E的边AE为边向上作正方形①，以DF为

边向右作正方形②，得到第二个矩形0G3H,以此类推，得到第3个矩形、第4个矩形…若

这些矩形右上角的顶点A、3、C...,与原点。在同一直线上，则这条直线的函数解析式

为

C

__\B

E当Z②

ODGx

三、解答题

17.用适当的方法解方程:

⑴3（1）2=15

(2)%*2=10x-15

(3)2炉+5尤-3=0

(4)尤2—6元=7

18.有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字-1,0,1,2,将卡片的背面朝上,

洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张,

同样将卡片上的数字记录下来.

(1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率；

(2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；

若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜.这个游戏规则对小明、小亮公平吗？

请用画树状图或列表的方法说明理由.

19.关于x的一元二次方程d-2x-左=0有两个不相等的实数根.

⑴求上的取值范围；

⑵写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根.

20.如图，在菱形ABC。中，对角线AC,8。交于点0,过点A作AEL8C于点E,延长

到点/，使CF=BE,连接DT.

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)连接OE,若AD=10,EC=4,求OE的长度.

21.如图，在VABC中，点。、E分别是AB,AC的中点，BE=2DE,延长。E到点凡使

得EF=BE,连结CP.

⑴求证：四边形3CFE是菱形；

(2)若CE=5,ZBEF=nO°,求四边形BCFE的面积.

22.已知VABC中，AC^BC,ZACB=90°.

⑴如图1,若。为斜边AB上任意一点，求证：AD2+BD-=2CD2；

(2)在图1中，若AO=0,CD=j5,则8。的长是；

(3)若点。为直线AB上任意一点，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请

说明理由.

23.如图1,在正方形A8CD中，E是OC边上一动点(与C,。不重合)，连接AE,将AADE

沿AE所在的直线折叠得到△>1/右,延长班1交于点G,连接AG,作GHLAG,交AE

的延长线于点X,连接C”.

⑴求证：CH平分NDCM；

(2)如图2,过点X作印^〃台。交EG于点P；在点E运动过程中，四边形C”PG能否为菱形?

若能，请求出/ZME的度数；若不能，无需证明.

(3)连接CF,若45=1,请直接写出CF长度的最小值.

24.在等腰RtZXASC中，/8AC=90。,AB=AC=60,D是射线CB上的动点，过点A作

AF^AD(AF始终在AD上方),且AF=AD,连接M.

(1)如图1,当点。在线段BC上时，说明与DC的关系.

(2)如图2,若E为线段8。上的动点，且ZDAE=45。，^EF,DC=2.5,求即的长.

(3)若在点。的运动过程中，AF=4^3,直接写出的长度.

参考答案:

题号12345678

答案DBAADBAC

1.D

【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是

2的整式方程叫一元二次方程.根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：A、当a=0时，方程办2+法+0=()不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、方程3尤2-2尤=3(尤2—2)整理后得到％=3,是一元一次方程，故本选项不符合题意；

C、方程尤3一2尤-4=0是一元三次方程，故本选项不符合题意；

D、(XT)?-1=0符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意.

故选：D.

2.B

【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平

分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线

互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角.

利用矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐项判断即可.

【详解】解：A,矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，不符合题意；

B,矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，符合题意；

C,菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，不符合题意；

D,菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，不符合题意.

故选：B.

3.A

【分析】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解关于根的一元

一次方程即可.

【详解】解：；关于x的一元二次方程一一2工+相=0的一个根为-1,

(-1)2-2x(-1)+〃?=0,

则1+2+根=0,

解得，m=—3.

故选：A.

4.A

【分析】延长5G交CH于点E,根据正方形的性质证明△ABG四△CDHg/CE,可得

GE=BE—BG=2、HE=CH—CE=2、ZHEG=90。,由勾股定理可得G"的长.

【详解】解：如图，延长5G交C”于点

・・,正方形ABCD的边长为5,AG=4,3G=3,

AG2+BG2=AB2.

：.ZAGB=90。,

在和△CDH中,

AB=CD

<AG=CH

BG=DH

：.△ABG^ACDH(SSS),

・•・N1=Z5,Z2=Z6,ZAGB=ZCHD=90°,

Nl+N2=90°,Z5+Z6=90°,

又N2+N3=90°,N4+N5=90°,

ZX=N3=N5,N2=N4=N6,

在A4BG和中，

Z1=Z3

<AB=BC

Z2=Z4

△ABG%BCE(ASA),

：.BE=AG=4,CE=BG=3,/BEC=ZAGB=90°,

GE=BE—BG=4—3=1,

同理可得〃E=1,

在Rt^G"E中,GH=yjGE2+EH2=A/12+12=72-

故选A.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综

合运用，通过证三角形全等得出4GHE为等腰直角三角形是解题的关键.

5.D

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方

程是解题的关键.

增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，本题可先用尤表示出二月份的

产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程.

【详解】解：二月份的产值为：50(1+%),

三月份的产值为：50(1+%)(1+%)=50(1+x)2,

故第一季度总产值为：50+50(l+x)+50(l+x)2=175.

故选：D.

6.B

【分析】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，根据菱形的性质得到AB=3C=a,

由/3=60。推出是VABC等边三角形，即可得出答案，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

【详解】解：\•四边形ABC。是菱形，AB=a,

AB=BC=a,

又：4=60。，

是等边三角形，

AC=AB-a,

故选：B.

7.A

【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，根据勾股定理得到

AB=10,根据直角三角形斜边中线的性质求得CN=；AB=5,CM=^DE=3,当C、M、N

在同一直线上时，"N取最小值，即可求得的最小值为2,根据两点之间线段最短得到

C、M、N在同一直线上时跖V取最小值是解题的关键.

【详解】解：如图，连接CM、CN,

VZC=90°,AC=8,BC=6,

AB=^AC2+BC2=V82+62=10，

：Z）E=6,点M、N分别是DE、AB的中点，

CN=—AB=5,CM=—DE=3,

22

当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值,

...肱V的最小值为5-3=2.

故选：A.

8.C

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是

解题关键.参照已知方法，将四个长为3x-〃，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，求

出大正方形的边长为10,得到〃=4xT0,再根据小正方形的边长为10-2x,小正方形的边

长的面积是4,求出x=4,即可得到“的值.

【详解】解：由题意可知，将四个长为3X72,宽为龙的长方形纸片拼成一个大正方形，则

大正方形的边长是3x-〃+x,面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，

•••x（3x-〃）=24,小正方形的面积为4,

大正方形的面积为4x24+4=100,

...大正方形的边长为10,

3x—n+x=4x—n=10,

n=—10,

「小正方形的边长为3%-几-%,即10-2x,

3x-n>x,

即10—2x>0,

故（10-2疗=4,

10-2x—±2,

V10-2x>0,

••JC—4f

冏=4x4—10=6,

故选：c.

9.2

【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，直接得出结果即可.熟练掌握根

与系数的关系，是解题的关键.

【详解】解：•••明〃是一元二次方程炉-2彳-3=0的两根，

m+n=2；

故答案为：2.

10.5&-5或5

【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质及矩形的判定与性质等，解题关键是能够根

据题意画出图形，再利用相关性质解题.据题意画出图形，分将三角板绕着点C顺时针旋

转45。及90。两种情况讨论，进行求解即可.

【详解】解：•••△ABC中，NA=90。，BC=5垃,4=45。

AB=AC=5,

由旋转性质可得：AB=DE=CD=5,BC=CE=5近,,

如图所示，

将三角板绕着点C顺时针旋转45。后，DE//BC,

此时==-5;

如图所示，

E

将三角板绕着点C顺时针旋转90。后，DE//AC,

,;DE〃AC,DE=AC,

，四边形ACDE是平行四边形，

QZCZ)E=90o,

，四边形ACDE是矩形，

AE=CD=5,

故答案为：5&-5或5.

H.3

7

【分析】本题考查了概率的定义，图案共有7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形

有3个，根据概率公式即可求解.

【详解】解：由题意得，图案共有7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有3个,

假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是1.

3

故答案为：-

12.3.75

【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，平行线的性质；解题的关键是根据翻

折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答.首先根据题意得

到=然后根据勾股定理得到关于线段?IB、AE、防的方程，解方程即可解决问题.

【详解】解：二•四边形AB8为矩形，

AAD//BC,AD=BC=6,AB=CD=3,ZABC=ZC=ZCDA=ZA=90°,

：.NEDB=/DBC,

设ED=x,则AE=6-x,

根据折叠可知：ZEBD=ZDBC,

NEDB=NEBD,

EB=ED=x,

由勾股定理得：BE2=AB2+AE2>

即x2=32+（6-x）2,

解得：x=3.75,

,ED=3.15.

故答案为：3.75.

13.A/3+I

【分析】因为菱形ABC。的周长为8,则钻=2,连接EC,与BD交于点尸，连接AC,止匕

PA+PE=CP+EP=CE.因为四边形ABC。是菱形，Z&4D=120°,推出VABC为

等边三角形，所以AC=AB=2,因为E是AB中点，则CE1AB,AE=1,所以

CE=qAC?-AE。=722-12=上则AP+EP=CE=JL即可求得NAPE周长的最小值•

【详解】解：,••菱形A3。的周长为8,

;.AB=2,点A与点C关于80对称，

连接EC,与BD交于点尸，连接AC,如图，

则CPuM,

此时E4+PE=CP+£P=CE,值最小.

•••四边形ABCD是菱形,ZBAD=120°,

ZCAB=-ZBAD=60°,

2

■.■AB=BC,

.”ABC为等边三角形，

AC=AB=2,

,.tE是48中点，

J.CE1AB,AE=-AB=i,

2

:.CE=VAC2-AE2=722-12=6，

AP+EP=CE=6

:.AAPE周长的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=y[3+\.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判

定与性质，勾股定理，难度适中，确定点P的位置是解题的关键.

14.0.08

【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，

或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率.

大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根

据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事

件的概率.

【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“点落入圆形区域内”的频率逐渐稳定到

0.08附近,

所以估计“点落入圆形区域内”的概率为0。8,

故答案为：0.08.

15.6-1或6+1或2逐

【分析】分三种情况：①如图1,当/DPC=90。时，尸在正方形的内部，先根据直角三角

形斜边中线的性质得EP的长，利用勾股定理得BE的长，从而可解答；②如图2,当

/DPC=90。时，尸在正方形的外部，同理可解答；③如图3,当/CDP=90。时，证明

ABCE=APDE(ASA),可得PE=BE=下,从而可解答.

【详解】解：分三种情况:

①如图1,当“PC=90。时，P在正方形的内部,

•.•E是CD的中点,且CD=2,

图1

:.PE=-CD=1,

2

•••四边形ABCD是正方形,

BC=2,/BCD=90°,

\BE=y/22+l2=-j5<

BP=#-k

②如图2,当/DPC=90。时，P在正方形的外部,

图2

同理可得82=6+1；

图3

:.ABCE冬APDE(ASA),

:.PE=BE=4，

：.BP=2,yf5,

综上，BP的长是石-1或指+1或2石；

故答案为：或6+1或2方.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定

理等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决问题，并正确画图，不要丢解.

1AA/5-1

16.y=-----x

2

【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一元二次方程的应用，解题时注意:

求正比例函数，只要一对％,y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数

y=kx+b,则需要两组工,丁的值.设=AD=b,则B(2a+b,a+b),代入函

数解析式为y=kx{k>0)化简计算，即可得到k的值.

【详解】解：如图，

C

,这些矩形右上角的顶点A、B、C...,与原点。在

HF-

E

同一直线上，

可设这条直线的函数解析式为V=kx*>0),

设or>=a,AD=b,贝尸=8G=o+〃，OG=2a+b,

：.A(a,b),B(2a++b),

代入>=爪(左w0)可得：

[Q+Z?=左(2〃+b)②，

把①代入②，可得：a+ak=k(2a+ak),

化简可得—1=0,

解得女二避二1或左二至二1(舍去)，

22

「•这条直线的函数解析式为y二年^.

故答案为：y=--x.

2

17.⑴%=1+百，w=l-6；

(2)玉=5+,x2=5—V10；

(3)芯=-3,x2=—；

(4)玉=7,x2=-I

【分析】本题考查了解一元二次方程；

(1)两边同时除以3得(x-l『=5,然后根据直接开平方法解一元二次方程;

(2)先移项，然后配方得(X-5)2=10,再根据直接开平方法解一元二次方程;

(3)先计算判别式，再根据求根公式，即可求解;

(4)根据因式分解法得(x-7)(x+l)=0,进而即可求解.

【详解】(1)解：：3(元-以=15,

(1)2=5,

%—1=土亚，

Xj=1+y/5,=1—>/5；

(2)解：'/x2=10.x—15,

•*—10》=一15,

.'•x2-10x+25=25-15,

(X-5)2=10,

AX-5=±A/10,

•=5+J10,羽=5-,\/10；

(3)解：方程中a=2,b—5,c——3

VA=25+24=49>0,

-5±V49-5±7

..X——

2x24

,-.Xi=-3,x2=1；

(4)解：x2-6x=7,

方程变形得：f-6x-7=o,

分解因式得：(x-7)(x+l)=0,

解得：玉=7,x2=-l.

18.⑴；；

(2)不公平，理由见详解

【分析】本题考查了概率及利用列表法求概率判断游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算

每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平.掌握概率的求法是解题关键，即

如果在一次试验中，有”种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中相

种结果，那么事件A发生的概率是P(A)='.

n

(1)列举出所有可能数，再利用概率公式即可求出概率；

(2)利用列表法列举所有可能的结果，再利用概率公式求出两人的获胜概率即可得出答案.

【详解】(1)解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有

2种，

第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是!；

2

(2)解：列表如下：

-1012

-110-1-2

00000

1-1012

2-2024

由表可知，共有16种等可能结果，其中结果为负数的有4种结果，结果为正数的有5种结

果，

所以小亮获胜的概率=4+16=9,小明获胜的概率=5+16=占

416

・••此游戏不公平.

19.(1)左〉一1

(2)k=0,%=0,x2=2

【分析】本题主要考查根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程

ax2+bx+c-0(QHO)的根与系数的关系.

(1)先根据方程有两个不相等的实数根得出△=(-2>-4(-4)=4左+4>0,解之可得；

(2)在以上所求上的范围内取一值，如％=0,再解方程即可得.

【详解】(1)解：•••关于x的一元二次方程尤2—2x-左=0有两个不相等的实数根,

...A=(-2)2-4(-k)=4左+4>0,

解得：k>—\.

(2)解:取％=0,此时方程为x?—2x=0,

解得：%=。,x2=2,

20.⑴见详解

⑵2百

【分析】(1)根据菱形的性质得到AD〃3c且AD=3C,等量代换得到BC=EF,推出四

边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

(2)由菱形的性质得AD=AB=3C=10,由勾股定理求出AE=8,AC=4^5,再由直角

三角形斜边上的中线性质即可得出答案.

【详解】(1)证明：•四边形ABCD是菱形，

.:AD〃BC且AD=BC,

-,-BE=CF,

:.BC=EF,

:.AD=EF,

■：AD\\EF,

，四边形AEFD是平行四边形，

AE1BC,

：.ZAEF=90°,

四边形A£FD是矩形；

(2)解：•.・四边形ABCD是菱形，AD=10,

：.AD=AB=BC=1O,

■.■EC=4,

..BE=10—4=6,

在Rt^ABE中，AE=^AB1-BE1=V102-62=8>

在RtATlEC中，AC=y/AE2+EC2=782+42=445-

V四边形ABC。是菱形，

/.OA=OC,

.-.OE=-AC=2y/5.

2

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线

性质等知识；正确的识别图形是解题的关键.

21.⑴见解析

0、25g

2

【分析】⑴根据三角形中位线性质，得DE\\BC,BC=2DE,根据BE=2DE，得到BC=BE,

结合EF=BE,推出四边形3CFE是平行四边形，推出平行四边形BCfE是菱形；

(2)根据菱形性质得到3。=。尸=3£=跖，ZBEC=60°,得到是等边三角形，根

据正三角形面积公式得到SmFE=2SBCE=筌且.

菱形上ADCC2

【详解】(1)证明：：。、E分别是AB、AC的中点，

DE是VABC的中位线，

DE\\BC,BC=2DE,

又：BE=2DE,

：.BC=BE,

"：EF=BE,

：.EF=BC,EF//BC,

四边形BCFE是平行四边形，

又：EF=BE,

平行四边形3CFE是菱形；

(2)解：由(1)知，四边形3CFE是菱形，

BC=CF=BE=EF,

,：NBEF=120°,

：.NBEC=ZFEC=-ZBEF=60°,

2

...AEBC是等边三角形,

•S-2S炉25百

【点睛】本题主要考查了菱形综合.熟练掌握三角形中位线性质，平行四边形判定和性质，

菱形判定和性质，等边三角形判定和性质，等边三角形面积公式，是解决问题的关键.

22.(1)见解析

(2)272

(3)(1)中的结论成立，证明见解析

【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线，勾股定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关

键.

(1)设点E是48的中点，连接CE,证明==由勾股定理得

AD2+BD2^(AE-DE)2+(BE+DE?,整理可得AD?+8加=2CD2-,

(2)把后，CO代入(1)中结论即可求解；

(3)设点E是48的中点，连接CE,可证设点E是的中点，连接CE,由勾股定理得

AD2+BD2=(DE-AEy+(BE+DE)2,整理可得AD2+BD2=2CD2.

【详解】(1)证明：设点E是AB的中点，连接CE,

AABC,ZACB=90°4c=BC,

CE±ABAE=BE=CE,

：.AD2+BD2=(AE-DE^+(BE+DE^

=AE2-2AEDE+DE2+BE2+2BEDE+DE2

=CE2-2CE-DE+DE2+CE2+2CE-DE+DE2

=2(CE2+DE2)

=2CD2,

即=2CZ)2；

⑵解：把AQ=0,CD=有代入AD?+BD?=2CD?,得

(A/2)2+B£>2=2X(V5)2,

解得=20.

故答案为：20;

（3）（1）中的结论成立.

证明：设点E是48的中点，连接CE,

AABC,NACB=90°,AC=BC,

：.CE±ABAE=BE=CE,

：.AD2+BD2(DE-AE)2+(BE+DE)"

=DE2-2AEDE+AE2+BE2+2BEDE+DE2

=DE1-2AE-DE+CE2+CE2+2AE-DE+DE2

=2(CE2+DE2)

=2CD2,

即AD2+BD2=2CD2.

23.⑴见解析

(2)能,22.5°

⑶Ql

【分析】（1）在48上截取⑷V=CG,连接NG,根据正方形的性质可证得A&VG是等腰直

角三角形，有/4A，G=135。，由折叠的性质得/XADE丝ZWE,则AF=AB,可证明

RtAABG^RtAAFG,有4L4G=NE4G和NAGB=NAGE即/GAH=45°,则AAG"为等

腰直角三角形，进一步证明ARVG/AGC”,有NGCH=ZANG=135°,求得/DCH,结合

/HCN=/DC"即可；

（2）当EG〃//C时，/PGC=NHCM=45。,则四边形CHPG为平行四边形，

ZHGC=ZGHP,由（1）得/胡G=NftlG和ZAG3=ZAGR,则有=即

可证明四边形CHPG为菱形，有』PHG=-ZPHC,则ZEHP=22.5°，即可得ZDAE=ZEHP；

2

(3)根据题意得AC=JAB?+欣?2=0，当A、F、c三点共线时，CF最短，贝UCF长度的

最小值AC-AF.

【详解】(1)证明：在4B上截取AN=CG,连接NG,如图1所示：

图1

..•四边形ABCD是正方形，

:.ND=NB=NBCD=NDCM=90。,AB=BC=AD,

：.ZNAG+ZAGB^90°,

•/AN=CG,

：.BN=BG,

A&VG是等腰直角三角形，

/BNG=45。，

：.ZANG=135°,

由折叠的性质得：AADE^AAFE,

：.ZD=ZAFE=ZAFG=90°,AD=AF,ZDAE^ZFAE,

，AF=AB,

在Rt^ABG和RtAAFG中，

JAG=AG

\AB=AF'

RtAABG^RtAAFG（HL）,

ZBAG^ZFAG,ZAGB-ZAGF,

：.ZGAF+NEAF=-x90°=45°,

2

即ZGAH=45°,

,：GH1AG,

・・・△AG”为等腰直角三角形，

・・・AG=GH,

9：GH±AG,

：.NAG"=90。，

・・・ZAGB+/CGH=9。。,

：.ZNAG=ZCGH,

在AAA/G和△GCH中，

AN=GC

<ZNAC=ZCGH

AG=GH

：.△4VG%GCH（SAS）,

・•・NGCH=ZANG=135。,

：.ZDCH=135°-90°=45°f

：.