2024-2025学年浙江省新阵地教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省新阵地教育联盟高三(上)第一次联考数学试

卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合a={x|-1W*<3},B={x|/—x—6<0},则ACB=()

A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-1,3]D.[-1,3)

2.已知平面向量a=(—道,一1),5=(一23,4),贝!Ja・6=()

A.2B.10C.-2^/3D.28

3.在(3-m)5的展开式中，含%2的项的系数为()

A.15B,-15C.270D.-270

4.在△28C中，内角4B,C的对边分别是a,b,c,已知a=l,b=避/=2，贝！|c=()

A.1或2B.1或避C.1D.2

5.函数y=cos%与y=的图象的交点个数是()

A.2B.3C.4D.6

6.若随机变量X〜N(12,9),则下列选项错误的是()

A.P(X>12)=0.5B,P(X<9)=P(X>15)C.E(3X-1)=35D,D(2X-1)=12

7.如图，在四棱锥P—ABC。中,底面48CD为菱形，PD,底面2BCD,。为对角线2C与的交点，若

71Ji

PD=2fZ-APD=-Z-BAD=则三棱锥P-OCD的外接球的体积为()

A学

B.嗜r

c岑I兀

AB

D,容n

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8.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方

台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有就个小球，第二层有

（a+1）（6+1）个小球，第三层有（a+2）（b+2）个小球.....依此类推，最底层有cd个小球，共有几层,现有一

个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168,则该垛积的第一层的小球个数为（）

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。

9.某地区5家超市销售额y（单位：万元）与广告支出久（单位：万元）有如下一组数据:

广告支出（万元）

销售额（万元）

下列说法正确的是（）

2

ld=i(,xi-x')

A.根据表中数据计算得到x与y之间的经验回归方程为y=+8.3,贝他=3.1

B.久与y之间的样本相关系数r=3.1

C.若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好

D.若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额一定是17.6万元

10.已知%、92分别是双曲线C：/一产=2的左右焦点，点。是圆4（x-2）2+（y—3）2号上的动点，下列

说法正确的是（）

A.三角形4%尸2的周长是12

B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为8,则双曲线E为"―y2=8

C.若|QFi|+|QF2l=8,则Q的位置不唯一

D.若P是双曲线左支上一动点，贝UIP&I+|PQ|的最小值是5+|企

11.已知增函数八久）的定义域为正整数集，/（久）的取值也为正整数，且满足/（〃＞））=2n+l,n6N*.下列

说法正确的是（）

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A./(I)=2B./(4)=6

C.f(2025)=2536D.对任意正整数n,都有/(2n)=3•2日一】

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z=(l-2i)(l+i),则|z|=

13.已知Sn是等差数列｛a“｝的前n项和，若Su=33,贝。3a5—(X1—他=.

14.甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1,2,3,4,5,6,7的卡片各1张，两人轮流从中不

放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若

甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是_____.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知数列｛册｝的首项的=—1，且满足册+1=/7.

11

(1)求证：数歹！J｛2-1｝为等比数列，并求出数列｛分的通项公式；

unun

⑵若方+；+机+•••+/<1。，求满足条件的最大整数加

Ct]u，2U.3Gin

16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-力BCD中，平面PAD1平面4BCD,底面是正方形，AB=2,PA=避.

(1)若PD=2,M是P2中点，证明：DM1PB；

(2)若PD=1,求平面P4D与平面PBC所成角的正切值.

17.(本小题15分)

平面内有一点尸2(1，0)和直线心久=2,动点PQ,y)满足：P到点尸2的距离与P到直线/的距离的比值是#点P

的运动轨迹是曲线E,曲线E上有4、B、C、。四个动点.

(1)求曲线E的方程；

(2)若2在x轴上方，2可+取=5,求直线AB的斜率；

(3)若C、。都在久轴上方，Fi(—1,0),直线C&〃DFi，求四边形的面积的最大值.

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18.(本小题17分)

已知函数/'(x)=^r—a(2x-l)-b,其中a,6是实数.

(1)若a=0,求f(x)的单调区间；

(2)若函数/(尤)不具有单调性，求实数a的取值范围；

(3)若/'(X)W0恒成立，求a+6的最小值.

19.(本小题17分)

正整数集2={爪+1即+2,m+3,…,ni+3n},其中meN,neN+.将集合4拆分成ri个三元子集，这几个

集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合4

是“三元可拆集”.

(1)若m=l,n=3,判断集合4是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；

(2)若机=0,n=6,证明：集合力不是“三元可拆集”；

(3)若n=16,是否存在小使得集合4是“三元可拆集”，若存在，请求出m的最大值并给出一种拆法；若

不存在，请说明理由.

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参考答案

l.D

2.2

3.X

4.2

5.C

6.D

7.B

8.B

9.AC

IQ.ACD

11.ABD

12,710

13.3

14至

,210

15.(1)证明：由册+L^^p得六

又1=—2,.••数歹U｛；—1｝是以一2为首项，，为公比的等比数列，

(XIunD

得4=-2X(扔T=-系，

17

则—=1——=-7-

八%"3n-lf

(2)解:由(1)知，

111222

占+石+…+鼠=九一(2+百+至+“•+布)

=九一2x=n-3+宗，

1-3§

iBZ?n=n-3+—,则/?„+1—勾=1一至>1-百>。0GN*),

•••｛%｝单调递增，

QQ

当几213时，n-3+^>10+^>10,不符合；

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QQ

当71=12时，n—3+亮=9+亮＜10,符合题意.

D±z,

故"的最大值为12.

16.(1)证明：PD=2D,M是P4中点，

•.•平面PA。_L平面ABC。，AB1AD,

..AB1平面P4D,

•••DMu平面PAD,/.AB1DM,

又•：PA与AB是平面P4B内的两条相交直线，

DM_L平面P4B,

•••DM1PB；

(2)解法一：(坐标法)过P作PH1AD于H,

•.•平面PAD1平面力BCD,PH_L平面力BCD,

以H为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

不妨取平面PAD的一个法向量为访=(0,1,0),

PB=(|,2,一岑)，玩=(一晶一争,

设平面PBC的一个法向量为五=(%,y,z),

n-PB=-x+2y—史z=0

22

则由nlPB,n1PC,有一方1.QJ3c，

n-PC=--x+2y--^—z=0

2,2

令z=4,解得％=0,y=避，

所以平面PBC的一个法向量为蔡=(0,避,4),

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贝Jcos<m,n>=———=—f===x—，

\m\•\n\回19

设平面PAD与平面PBC所成的角为仇

•••tand=噂，即平面PAD与平面PBC所成角的正切值是学;

解法二：(几何法)记平面PAD与平面P8C的交线为I,

平面PBC,ADu平面PAD,

AD//1,即直线20,BC,I两两平行,

又♦.•平面PAD1平面ABCD,

平面PAD与平面P8C所成角与二面角P-8C-4的平面角互余,

过P作PH1AD于H,

•.•平面PAD_L平面力BCD,•••PH_L平面4BCD,

过点H作H/1BC于/,连接P/,

NP/H是二面角P—BC—2的平面角，

平面24。与平面P8C所成角的正切值为二义万，

tanZ.PIH

又PH=史,=2,

2

.1_HI_4邪

“tan/P/HPH3'

即平面24。与平面PBC所成角的正切值是早.

17.1?：(1)由题意》0—1)2+7=氏一2|•宇,

两边平方得“2—2x+l+y2=/-普+4,整理得:+y2=1,

7

所以曲线E的方程为会+俨=1；

(2)因为4在久轴上方，且2指+旗=6,即取=-2取，

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如图可知直线力B的斜率是正数，

设UB：x=my+1,设a(xi,y。，8(>2,丫2)，

(x=my+1

联立(丘+丫2=1,消去先得(TH?+2)y2+2my-l=0,

所以月+以=急刍y/2=高'

由题意知丫2=-2yi，

代入月+及，y/2，消>2，可得刈=五篝7-2货=哀3，

所以而%=而』，解得6=5(舍去负值)，

所以直线的斜率是孚；

(3)延长C&，交椭圆于点G,

CF2//DF1,由对称性可知|G&I=IOF1I，aFiGF?和△CD%等底等高，所以=5△eg，

--1

四边形CF2F1D的面积s=sAGCF1=--|FIF2|,(.yc-yc)=yc-yc>

设Ze。：%=fciy+1,由(2)知比：+儿；=百万儿?儿;=不装，

2

所以yc—VG=所ye-VG)2=^yc+yG)-4ycyG=艇?，即s=萼孚，

ki+2k]+2

令河内=t,t21,所以1即+8=转=组.",

当且仅当t=1即的=0时，S取到最大值并，此时C、。分别在&、F1正上方.

18.解:⑴当a=0时，f(x)=M-b,

2—x

=

令广Q)=0,解得汽=2,

<0,解得久>2；令/'(%)>0,解得％<2.

・•・/(%)在(一8,2)单调递增，(2,+8)单调递减.

(2),.・函数/(%)的图象是连续的，且不具有单调性，

■■■/(口=M—2a在定义域内有正有负(有异号零点)，

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令g3=f'(x)=j-2a,

则“。)=衰在(—8,3)为负，(3,+8)为正，

广。)在(-8,3)单调递减,(3,+8)单调递增，

由存在=-\2a\,使得尸(久1)=2点即-2a=(2+|20)/叽2a>0,

11

只需1。)加n=f'(3)=--2a<0,即a>一声

•••ae(一*+8).

y__"1

(3)^<a(2x-l)+b对任意久都成立，

而当％=1时，h+a>0,

因此只要证明：6=-a能成立即可得出结论，即证：存在a,使得9@a(2x-2)恒成立,

令FQ)=^~a(2x-2),F(l)=0,故尸'(1)=0(必要性),

而〃(x)=[J—2a,Ef3-1-2a—0,解得a=*，

只需证：F(x)=妥—/(2%—2)W0恒成立，

F'(x)=爱—十，由(2)知，其在(—8,3)单调递减，(3,+8)单调递增，

・••F'Q)在(-8,1)为正,在(1,3)为负，在(3,+8)为负,

F(X)在(-8,1)单调递增,(1,+8)单调递减，

x=1时，函数F(x)取得极大值即最大值，

F(x)<F(1)=0,

因此6=-a能成立.

综上可得：b+a的最小值为0.

19.解:(1)是，A=｛2,3,4,…,10｝,

可拆成｛10,7,3｝、｛9,5,4｝、｛8,6,2｝或｛10,6,4｝、｛9,7,2｝、｛8,5,3｝；

(2)证明：对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，

则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；

又因为4=｛1,2,3,4,