高考数学复习专项训练：三角函数的图象与性质综合（2知识点6重难点7方法技巧4易错易混）

专题06三角函数的图象与性质综合

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・耀精向绐

-（五融画国、余弦函数蝙商）

型01求三角西St甑义域

K定义域与值域）辘02求三角醛的值域（量值）

—（。知识点一三角函数的图象与性质）型03梯比角函数的0或求参数

翅04求三角整的单调区间

型05根一角函数的隼调性求参数

Y应也正切函蝌图象与演

耀06三角函数的奇星性'可题

单调区间）型07三角函数的对称性诃题

避08三角函数的周期性诃题

三角函数的图象Y通中心与旃湖）,凝09三角函螃点诃题

与性质综合

y-Aa&x+.西有关篇念十〜费翅01由三角蹑的图象砺解归

L相位、初相凝02判贮角函统壁一

翘03求辞故前面的翻试

O黜只函数y=Asin(o.v+<p)型04图象变崛后的重合喷

用五点法画了一As的纯+♦）

型05由壁蛔瓶箍性质

j-型06三角函数的应用

三角函数的图象变换

先平移再伸缩

口承盘点・置；屋讣与

知识点1三角函数的图象与性质

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

（1）在正弦函数尸sinx,尤引0,2用的图象中，五个关键点是：（0,0）,（与1），（兀，0）,售-1）,（2兀，0）.

（2）在余弦函数y=cosx,XG[0,27T]的图象中，五个关键点是：（0,1）,（J,0）,（兀，-1）,作，0）,（2无，1）.

2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中左GZ）

函数y=sinxy=cosxy=tanx

yyi

_ir1_7TJ._7T7T

图象另"1

卜|中左兀+会j

定义域RR

值域[-1,1][-1,1]R

周期性2兀2兀兀

奇偶性奇函数偶函数奇函数

71.71（左兀-与kTl+^)

递增区间2A7T2，2kmi-2[2左兀——兀，2左兀]

24兀+多2%兀+苧

递减区间[2左兀,2%兀+兀]无

（析+会0）

对称中心（析，0）3。）

对称轴方程%=^7l+2x~~ku无

知识点2函数y=Asin（（ox+（p）

1、y=Asin®x+（p）的有关概念

y=Asin(s+9)振幅周期频率相位初相

F2兀「1CO

(A>0,SO)AT=~t----CDx+(p

co7T271(p

2、用五点法10y=Asin(①x+e)(A>0,(o>0)

3兀

a)x~\~(p0712兀

2~2

Tt_(p兀一.3TI_(p2兀—(p

X

CD2cocoCO2cococo

y=Asin@x+9)0A0-A0

3、三角函数的图象变换

由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin（s+9）（A>0,口>0）的图象的两种方法

法一__法二

_______________________步_______________________

画出y=sin%的图象---骤|E|出y=sin%的图象

|_U

?今旨或平移13个单位横坐标变为原来的上倍

帚士/mV。）3

|得到片sin（%+w）的图象卜——骤——（得到y=sin3%的图象|

2

向左（Q）或平移价单位

横坐标变为原来的心倍>0

向右（@<0）

步

|得到尸in（y+卬）的图象k---多—»|得到广sin（sj+<p）的图象|

3

纵坐标变为原来的A倍纵坐标变为原来的A倍

|得到产4sin（3%+<p）的图象卜---骤---得到y=4sin（3%+<p）的图象|

4

X重点突破・春分•必检

重难点01利用三角函数的单调性求参数

1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解；

2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列

不等式（组）求解；

3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过;周期列不等式（组）求解。

【典例1】（2324高三下•江西宜春•模拟预测）已知函数/（尤）=cos（ox-胃3>0）在区间全兀上单调递减，

则。的取值范围是.

「171

【答案】

26

TT77T2冗

【解析】因为/（X）在区间-.K上单调递减，所以耳27t-1=$,

则TN：47r,即9臼IT249豆,所以0<@V3；,

3CD32

,JI兀

因为,力>0,所以OX——e

_3J6

「、1c3LL…。兀71I7171

因为0<@笠，所以-D*-2/

236I63_

-7T

因为“尤）在区间§,兀上单调递减，

—-->0

aA-1717

所以，解得:VoW：,所以。的取值范围为-，7

71,26126.

【典例2】(2324高三下•黑龙江双鸭山•模拟预测)已知函数/(%)=-sins0>0)在区间［5,兀J上单

调递减，则。的取值范围是.

【答案】(。怖

■A73xr^.、r,，兀|RLCDTL7t7L7L

【解析】当xe|二,兀|时，------<a>x-—<am--,

<3)3444

兀71

又、=-sinx的单调递减区间为2k7i--,2k7i+-(ZeZ),

。兀兀兀

22化兀

34------?------------------33

所以也必,解得6左一二左+；/£Z),

①71——兀<,027/CJI+,—兀44

I42

333

且2k+—N6k—(%£Z),解得左W—,又切>0,

448

所以左=0,所以0的取值范围为［。标.

重难点02与函数零点或方程的根有关的参数问题

因为/(x)=4s讥(3X+0)的最小正周期是7=温，所以3=票，也就是说只要确定了周期T,就可以确定3

的取值.对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度,

一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值.

【典例1]（2324高三下•河北沧州•月考）已知函数〉=$出2]8-胃-;（。＞0）在区间（0,胃上有且仅有3个

零点，则实数。的取值范围是（）

A.（2,4）B.[9]C.f|,4D.（2,4]

【答案】C

兀1/八、一r/口1C711

【解析】由'=$命cox-I~69〉。)可得y=--cosl2cox--+—

4

.1[_兀)1八c兀)1c兀，兀c77r

令*--COSLCDX---H-0COSLCDX------——=>Z.COX------—i—F2左兀，左£Z

2[3)4(3)233

所以x=W这或》=如，丘Z,

3a）co

713兀4兀6兀7兀

故函数的正零点从小到大排列为:

3G'3G'3G'3G'3G

要使在区间上有且仅有3个零点，需要满足工且案目，解得故选：C

【典例2】（2324高三下•湖北.二模）已知函数/（x）=sin（0,x+°）（。＞0,烟＜]）的最小正周期为T,

=若〃尤）在[0川内恰有10个零点则0的取值范围是.

【答案】[9私10兀）

【解析】函数/（x）=sin（ox+e）（。＞0,悯＜5）的周期为7="，

2CD

712兀

因为所以§+0+[+/=兀，解得夕=。，

2—万

所以/（%）=sinox,因为xe[0,l],所以0W°xW（y,

要使〃x）在[0』内恰有10个零点，则9兀4O＜10兀.

所以。的取值范围是[9无,10无）.

重难点03利用三角函数的对称性（奇偶性）求参数

（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为3相邻的对称轴和对称中心之间的

“水平间隔”为:，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究3的取值。

（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点）,

也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定3的取值.

【典例11（2324高三下.黑龙江.三模）已知函数〃x）=cos（0x-：［（0>0）在区间［0,2兀］内恰有3条对称轴，

则。的取值范围是（）

A-h'7'1T51］「5句外c<5131D-「h9'T13j、

【答案】D

"11JIrJI

【解析】因为0WXW2TT,所以一:Wgx-丁W2期:一:，

444

又函数"X）=COS/X-3（。>0）在区间［0,2兀|恰有3条对称轴，

兀913

所以2兀42期i—<3兀，解得一工切<—,故选：D.

488

【典例2】（2324高三上•福建漳州•月考）已知函数/（%）=coss-百sins（co>O）,若/（%）在区间［。,2句

上有且仅有3个零点和2条对称轴，则3的取值范围是（）

1319)41912公

B.C.D.

12912j371212'3)

【答案】D

(1V3、

【解析】函数/(x)=cosGx-A/JsinGx=2—cosajx---sincox=2coslI,

(22)

人TCTCTC

因为xl[0,2/r],所以+,2,7ICD+—

由于函数f（x）在区间［0,2万］上有且仅有3个零点和2条对称轴,

根据函数的图像:

134、

oe正故选：D-

重难点04与图象平移有关的参数范围问题

1、平移后与原图象重合

思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；

思路2：平移前的函数=平移后的函数g(x).

2、平移后与新图象重合：平移后的函数/。)=新的函数g(x).

3、平移后的函数与原图象关于y轴对称：平移后的函数为偶函数；

4、平移后的函数与原函数关于x轴对称：平移前的函数〃x)=平移后的函数g(x)；

5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。

【典例1】(2324高三下•内蒙古赤峰•开学考试)将函数/(x)=sin,x-T(0>O)的图象向左平移:个单位

长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在上单调递增，则。的最大值为()

313

A.-B.gC.-D.1

524

【答案】C

【解析】由题意8(同=/卜+：［=$亩(8+：0-：］(0>0),

令5显然/关于x单调递增，且%-=兀。-：，

若g(x)在］上单调递增，则'(9)=无。—：41，解得

3

即。的最大值为=.故选：C.

4

【典例2】(2324高三上.江苏镇江.月考)将函数/(x)=cos2X的图象向右平移g个单位长度后，再将使得

O

图象上所有点的横坐标缩短为原来的g(。>1)得到函数g(x)的图象，若在区间［O,p)内有5个零点，则

。的取值范围是

2935

【答案】

12'12

【解析】将函数/(x)=cos2x的图象向右平移g个单位长度,

O

再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，(G>1),得到函数g(%)=

COS1CDX--的图象.

Ct)l3

工£［0,兀）时，269X-jG--,2^71--

33

产cos尤在y轴右方的零点为./孝巧子卷,野

因为函数g(x)的图象在区间［0㈤内有5个零点,

重难点05根据三角函数的最值求参数

若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进

而求解.

【典例1】(2324高三下•浙江•三模)若函数/(x)=sin(0x)+cosx的最大值为2,则常数。的取值可以

为()

A.1B.—C.-D.一

234

【答案】D

【解析】因为函数》=。0$*的最大值为1,y=sin(ox)的最大值为1,

由题意可知，y=cosx取得最大值1时，,=5出(如)也取得最大值1,

7T

即当％=2尿,左£Z时，co-2kn=—+2左，,k,k!eZ,

2

ik'

得G=----1—,k,k'GZ,左w0,

4kk

当k=1,太=。时，。==，其他值不满足等式.故选：D

【典例2】(2324高三下•山东济宁•三模)已知函数/(%)=(百sinx+cosx)cosx-L若/(%)在区间［-；,加］上

24

的值域为［-乎,1］,则实数加的取值范围是（）

717兀

A.B.哈百D.

626912

【答案】D

21v3.c1c•//->兀、

【解析】依题意，函数/（x）=6sinxcosx+cosx——=——sin2x+—cos2x=sin(2x+—)，

2226

当xe［一时，2x+—e,2m+y］,显然sin（—二）=sin"^=—^^.sin工=1,

46363322

且正弦函数y=sinx在弓，手］上单调递减，由了（无）在区间［-：,汨上的值域为［-乎」,

71.714兀左刀7T,7兀

Z得R彳42加+工4工-,解Z得n工4机（二，

263612

7777r

所以实数机的取值范围是.故选：D

612

法技巧・逆境学霸

一、三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数图象来求解.

【注意】解三角不等式时要注意周期，且左ez不可以忽略.

【典例1】（2324高三上•全国•专题练习）函数y=J2sinx-括的定义域为（）

2K71+~,2kliH——GZ

E++g(左EZ)

【答案】B

［解析］由2sinx-^320得sinx2，

2

7T2

解得］+2faiWxW17i+2E(ZEZ).故选:B.

【典例2】（2324高三上•河南新乡•月考）函数/X%）二lg（sin%）+J2cos%-1+tan2%的定义域为...（用区

间表示结果）

【答案】12防i,2E+；2左兀+：,2左兀+三（％EZ）

4

【解析】要使函数/(x)=lg(sinx)+J2cosx—l+tan2%有意义,

2E<x<2k7i+7i

sinx>0

TTTT

只需<2cosx-l>0,所以<2fai~—<x<Ikn+—,keZ,

tan2x有意义

_,71

2xwE+一

2

2kn<x<2far+兀

jrjr

即《2kn—<x<2k兀+—,左wZ,

33

kit7i

XW---F—

24

JIJi

所以2fai<%<2far+—或2foi+—<2far+—,左wZ,

443

所以函数“X）的定义域为[2E,2E+：卜（2E+：,2far+g（keZ）.

二、三角函数值域或最值的3种求法

1、直接法：形如y=〃sinx+左或y=〃cosx+女的三角函数，直接利用sin%,cos%的值域求出；

2、化一法：形如y=〃sinx+Z?cosx+左的三角函数，化为y=Asin（Gx+9）+Z的形式，确定①x+夕的范围，

根据正弦函数单调性写出函数的值域（最值）；

3、换元法：

（1）形如y=〃sin2%+/?sinx+Z的三角函数，可先设sinx=£，化为关于1的二次函数求值域（最值）；

（2）形如〉=公山加05%+。（5吊壮85尤）+。的三角函数，可先设£=sinx土cos%,化为关于1的二次函数求值

域（最值）

【典例1】（2324高三下•广东湛江二模）函数〃x）=4sin（5xq]在0,|上的值域为（）

A.[-2,2]B.[-2,4]C.[-2A/3,4]D.[-262]

【答案】B

【解析】因为xe0,—,所以5x—工€,所以sin（5x—--J,

_5J6|_66」I6JL2_

故/（x）=4sin15xq]在0,1上的值域为[-2,4].故选：B.

【典例2】(2223高三上•山东朔州•开学考)已知函数/(x)=cos2x+8cosx,则的最小值为.

【答案】-7

【解析】因为一IWcosxKl,则l<cosx+243,

所以，/(x)=2cos2x+8cosx-l=2(cosx+2)2-9,

故当cos尤=一1时，函数/(%)取得最小值，即/(力.=2x(—1+2)2-9=一7.

【典例3】(2223高三上•广东深圳・月考)已知函数〃x)=sin%+cosx+2sinxcosx+2,则/(%)的最大值为

().

A.3+V2B.3-72C.2+72D.2-虚

【答案】A

【角军析】/(x)=sinx+cosA：+2sinj;cosx+2=sinx+cosx+(sinx+cosx)2-l+2,

令1=sinx+cosx=^sinx+cosx=A/2sine|^-A/2,A/2J,

即〃x)=g(o=/+t+i=[+£]+|)

由乱-£旬，贝|g⑺1mx=g(@=2+0+l=3+VL故选：A.

【典例4】(2324高三下.湘豫联考.三模)当0Wx<］时，sm"+"°s"3的最大值是()

2cosx

A.2B.回C.0D.2回

【答案】D

【解析】原式=浊空卫生色=2sinx+6cosx=2而sin(x+e),

cosx

jr兀

其中锐角0由tanp=3确定，由0Wx<5，^Q<(p<x+(p<-+(p<Tt,

所以［2ji5sin(x+@］1mx=2函.故选：D

三、求三角函数单调区间的2种方法

1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角"(或。，利用基本三角函数的单

调性列不等式求解；

2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间

求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域.

【典例1】（2324高三上•湖南衡阳•期末）下列函数的最小正周期为兀，且在（0,1）上单调递减的是（）

A.y=cos（1-2x）B.y=sin2x

C.y=tan（l-x）D.y=-sin

【答案】C

27r

【解析】由题意，A项，在〉=8$（1-2*）中，j=cos（2x-l）,0=2,最小正周期为7=3=无，

jr11

当单调递增时，2far-7t<2x-l<2kn（keZ）,解得：far-^+-<x<+eZ）

...在0，；上不单调递减，A错误；

2兀

B项，在,=5皿2%中，（0=2,最小正周期为了=万二兀，

当单调递增时，2E一1三2%<2也+]（%£2）,解得：<x<k7i+^kGZ）

IT

.••在。，二上不单调递减，B错误；

L4」

C项，在y=tan。—X）中，y=—tan（x—1）,周期7=7=无，

函数在far-g<尤一1<也+系左€2）即hr-]+l<x<E+g+l（左eZ）上单调递减，

.•.函数在（0,1）上单调递减，C正确；

17=女=4

D项，在卜-s呜中，"一=5"一「包，故D错误.故选：C.

【典例2】（2324高三下.全国.模拟预测）函数〃x）=-3cos（2x+年的单调递增区间为（）

.71兀7T

A.ku,kruH—，化£ZB.k7t+—,kR+—，左£Z

3663

j兀757r.

C.ku------,ku---，女£ZD.kll---，攵71H-----,A：GZ

12121212

【答案】D

［解析］(尤+聿兀

/(x)=-3cos2,令2kn<2x+—<2kji+兀,女£Z,

6

/.K7it---兀--<X<KH1-\---3-兀-,K7GZrr,

1212

冗57r

故函数/(%)的单调递增区间为kn-—,k7i+—，丘Z.故选：D.

【典例3】(2324高三下•天津・高考模拟)函数/("=21211(8+。)[。＜外工2,。＜。＜?的图象经过点

兀

A和点8,则八％)的单调递增区间是()

而一,包+^)左兀—'E+£)(左£)

A.(kcZ)B.Z

kuTIkitTIkuitkuTl

C.?+(左GZ)D.(^G