高三数学一轮复习圆锥曲线

...wd......wd......wd...椭圆考试要求1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，A级要求；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质，B级要求．知识梳理1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．用符号表示为PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)．(2)第二定义：平面内到定点F和定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是一个常数e(0<e<1)的点的轨迹叫作椭圆．2．椭圆的标准方程及简单的几何性质椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)，离心率e等于椭圆上任意一点M到焦点F的距离与M到F对应的准线的距离的比．椭圆越扁，离心率e越大；椭圆越圆，离心率越小.条件2a>2c，a2＝b2＋c2，a>0，b>0，c>0标准方程及图形eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b对称性曲线关于原点、x轴、y轴对称顶点长轴顶点(±a,0)短轴顶点(0，±b)长轴顶点(0，±a)短轴顶点(±b,0)焦点(±c,0)(0，±c)长、短轴的长度长轴长2a，短轴长2b焦距F1F2＝2c(c2＝a2－b2)准线方程x＝±eq\f(a2,c)y＝±eq\f(a2,c)离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆诊断自测1．判断正误(在括号内打“√〞或“×〞)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(5)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距一样．()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于F1F2时，其轨迹才是椭圆，而常数等于F1F2时，其轨迹为线段F1F2，常数小于F1F2时，不存在这样的图形．(2)因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，所以e越大，则eq\f(b,a)越小，椭圆就越扁．答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．(2015·广东卷改编)椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝________.解析依题意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.答案33．椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．假设△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为________．解析由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a，所以4a＝4eq\r(3)，故a＝eq\r(3)，又由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，则C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.答案eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝14．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝eq\f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(b,2)，))解得B，C两点坐标为Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)，\f(b,2)))，又F(c,0)，则eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)a,2)－c，\f(b,2)))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)－c，\f(b,2)))，又由∠BFC＝90°，可得eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，代入坐标可得：c2－eq\f(3,4)a2＋eq\f(b2,4)＝0，①又因为b2＝a2－c2.代入①式可化简为eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，则椭圆离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(2,3))＝eq\f(\r(6),3).答案eq\f(\r(6),3)5．点P是椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，得x＝±eq\f(\r(15),2)，又x＞0，所以x＝eq\f(\r(15),2)，∴P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1))考点一椭圆的定义及其应用【例1】(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是________．(2)F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3eq\r(3)，则b＝________.解析(1)连接QA.由得QA＝QP.所以QO＋QA＝QO＋QP＝OP＝r.又因为点A在圆内，所以，OA＜OP，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．(2)由题意得PF1＋PF2＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1PF2cos60°＝F1Feq\o\al(2,2)，所以(PF1＋PF2)2－3PF1PF2＝4c2，所以3PF1PF2＝4a2－4c2＝4b2，所以PF1PF2＝eq\f(4,3)b2，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1PF2sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)b2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)b2＝3eq\r(3)，所以b＝3.答案(1)椭圆(2)3规律方法(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(2)椭圆的定义式必须满足2a＞F1F2.【训练1】(1)椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，假设PF1－PF2＝2，则△PF1F2的面积是________．(2)(2017·保定一模)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．解析(1)由椭圆的方程可知a＝2，c＝eq\r(2)，且PF1＋PF2＝2a＝4，又PF1－PF2＝2，所以PF1＝3，PF2＝1.又F1F2＝2c＝2eq\r(2)，所以有PFeq\o\al(2,1)＝PFeq\o\al(2,2)＋F1Feq\o\al(2,2)，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F为直角，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)F1F2PF2＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2).(2)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有PC1＝r＋1，PC2＝9－r.所以PC1＋PC2＝10＞C1C2，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.答案(1)eq\r(2)(2)eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1考点二椭圆的标准方程【例2】(1)椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，则椭圆方程为________．(2)过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有一样焦点的椭圆标准方程为________．解析(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).∴椭圆标准方程为eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.(2)法一椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.法二设所求椭圆方程为eq\f(y2,25－k)＋eq\f(x2,9－k)＝1(k<9)，将点(eq\r(3)，－eq\r(5))的坐标代入可得eq\f(－\r(5)2,25－k)＋eq\f(\r(3)2,9－k)＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.答案(1)eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1(2)eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1规律方法求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建设关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可．【训练2】(1)(2017·常州监测)椭圆的中心在原点，离心率e＝eq\f(1,2)，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆标准方程为________．(2)椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．解析(1)依题意，可设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)法一假设椭圆的焦点在x轴上，设方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(9,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.假设焦点在y轴上，设方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(0,a2)＋\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝3.))所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.综上所述，椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.法二设椭圆的方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(m)＝3×2\r(n)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(n)＝3×2\r(m)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝81.))∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.答案(1)eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(2)eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1考点三椭圆的几何性质【例3】(1)(2016·全国Ⅲ卷改编)O为坐标原点，F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.假设直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．(2)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，假设以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于eq\f(\r(3),2)(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．解析(1)设M(－c，m)，则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(am,a－c)))，OE的中点为D，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(am,2a－c)))，又B，D，M三点共线，所以eq\f(m,2a－c)＝eq\f(m,a＋c)，所以a＝3c，所以e＝eq\f(1,3).(2)因为PT＝eq\r(PF\o\al(2,2)－b－c2)(b＞c)，而PF2的最小值为a－c，所以PT的最小值为eq\r(a－c2－b－c2).依题意，有eq\r(a－c2－b－c2)≥eq\f(\r(3),2)(a－c)，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①又b＞c，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以2e2＜1.②联立①②，得eq\f(3,5)≤e＜eq\f(\r(2),2).答案(1)eq\f(1,3)(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(\r(2),2)))规律方法(1)求椭圆离心率的方法①直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进展分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．【训练3】(2017·盐城模拟)椭圆：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，假设BF2＋AF2的最大值为5，则b的值是________．解析由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，AF2＋BF2＋AB＝4a＝8，所以AB＝8－(AF2＋BF2)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则eq\f(2b2,a)＝3.所以b2＝3，即b＝eq\r(3).答案eq\r(3)考点四直线与椭圆的位置关系【例4】(2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，假设PC＝2AB，求直线AB的方程．解(1)由题意，得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)且c＋eq\f(a2,c)＝3，解得a＝eq\r(2)，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，AB＝eq\r(2)，又CP＝3，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1,2＝eq\f(2k2±\r(21＋k2),1＋2k2)，C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k2,1＋2k2)，\f(－k,1＋2k2)))，且AB＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2x2－x12)＝eq\f(2\r(2)1＋k2,1＋2k2).假设k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而k≠0，故直线PC的方程为y＋eq\f(k,1＋2k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2k2,1＋2k2)))，则P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(5k2＋2,k1＋2k2)))，从而PC＝eq\f(23k2＋1\r(1＋k2),|k|1＋2k2).因为PC＝2AB，所以eq\f(23k2＋1\r(1＋k2),|k|1＋2k2)＝eq\f(4\r(2)1＋k2,1＋2k2)，解得k＝±1.此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.【例5】(2017·南通调研)如以以下列图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(2,0)，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2e，\f(1,2)))在椭圆上(e为椭圆的离心率)．(1)求椭圆的标准方程；(2)假设点B，C(C在第一象限)都在椭圆上，满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，且eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，求实数λ的值．解(1)由条件，a＝2，e＝eq\f(c,2)，代入椭圆方程，得eq\f(c2,4)＋eq\f(1,4b2)＝1.∵b2＋c2＝4，∴b2＝1，c2＝3.∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y＝kx，代入椭圆方程eq\f(x2,4)＋y2＝1，即x2＋4y2＝4，得(1＋4k2)x2＝4，∴xC＝eq\f(2,\r(1＋4k2)).则Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(1＋4k2))，\f(2k,\r(1＋4k2)))).又直线AB方程为y＝k(x－2)，代入椭圆方程x2＋4y2＝4，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0.∵xA＝2，∴xB＝eq\f(24k2－1,1＋4k2)，则Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24k2－1,1＋4k2)，\f(－4k,1＋4k2))).∵eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∴eq\f(24k2－1,1＋4k2)·eq\f(2,\r(1＋4k2))＋eq\f(－4k,1＋4k2)·eq\f(2k,\r(1＋4k2))＝0.∴k2＝eq\f(1,2)，∵C在第一象限，∴k＞0，k＝eq\f(\r(2),2).∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(1＋4k2))，\f(2k,\r(1＋4k2))))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(24k2－1,1＋4k2)，0－\f(－4k,1＋4k2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1＋4k2)，\f(4k,1＋4k2)))，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，得λ＝eq\r(k2＋\f(1,4)).∵k＝eq\f(\r(2),2)，∴λ＝eq\f(\r(3),2).规律方法与椭圆有关的综合问题，往往与其他知识相结合，解决这类问题的常规思路是联立直线方程与椭圆方程，解方程组求出直线与椭圆的交点坐标，然后根据所给的向量条件再建设方程，解决相关问题．涉及弦中点问题用“点差法〞解决往往更简单．【训练4】(2017·南京、盐城模拟)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(\r(2),2)，一条准线方程为x＝2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q.(1)求椭圆的标准方程；(2)假设直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．(1)解因为eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(a2,c)＝2，所以a＝eq\r(2)，c＝1，所以b＝eq\r(a2－c2)＝1.故椭圆的标准方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)证明法一设P点坐标为(x1，y1)，则Q点坐标为(x1，－y1)．因为kAP＝eq\f(y1－1,x1－0)＝eq\f(y1－1,x1)，所以直线AP的方程为y＝eq\f(y1－1,x1)x＋1.令y＝0，解得m＝－eq\f(x1,y1－1).因为kAQ＝eq\f(－y1－1,x1－0)＝－eq\f(y1＋1,x1)，所以直线AQ的方程为y＝－eq\f(y1＋1,x1)x＋1.令y＝0，解得n＝eq\f(x1,y1＋1).所以mn＝eq\f(－x1,y1－1)·eq\f(x1,y1＋1)＝eq\f(x\o\al(2,1),1－y\o\al(2,1)).又因为(x1，y1)在椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1上，所以eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，即1－yeq\o\al(2,1)＝eq\f(x\o\al(2,1),2)，所以eq\f(x\o\al(2,1),1－y\o\al(2,1))＝2，即mn＝2，所以mn为常数，且常数为2.法二设直线AP的斜率为k(k≠0)，则AP的方程为y＝kx＋1，令y＝0得m＝－eq\f(1,k).联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去y得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，解得xA＝0，xP＝－eq\f(4k,1＋2k2)，所以yP＝k·xP＋1＝eq\f(1－2k2,1＋2k2)，则Q点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4k,1＋2k2)，－\f(1－2k2,1＋2k2)))，所以kAQ＝eq\f(－\f(1－2k2,1＋2k2)－1,－\f(4k,1＋2k2))＝eq\f(1,2k)，故直线AQ的方程为y＝eq\f(1,2k)x＋1.令y＝0得n＝－2k，所以mn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))·(－2k)＝2.所以mn为常数，常数为2.[思想方法]1．椭圆的定义提醒了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F1F2，防止了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量〞的方法(待定系数法)．先“定位〞，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量〞，就是根据条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．假设不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．[易错防范]1．判断两种标准方程的方法为对比标准形式中x2与y2的分母大小．2．在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进展根的取舍，否则将产生增根．3．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.根基稳固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距为2，则m的值等于________．解析当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；当0<m<4时，4－m＝1，∴m＝3.答案32．(2017·苏州调研)中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,2)，则C的方程是________．解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝13．假设椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是________．解析由椭圆定义知PF1＋PF2＝10，又PF1＝6，∴PF2＝4.答案44．(2017·扬州期末)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．解析在Rt△PF2F1中，令PF2＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以PF1＝2，F1F2＝eq\r(3).故e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(F1F2,PF1＋PF2)＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)5．(2016·全国Ⅰ卷改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1,4)，则该椭圆的离心率为________．解析如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝eq\f(1,4)×2b＝eq\f(1,2)b.在Rt△OFB中，OF×OB＝BF×OD，即cb＝a·eq\f(1,2)b，即a＝2c，故椭圆离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)6．(2016·南京师大附中模拟)椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为eq\f(\r(3),2)，则eq\f(b,a)的值为________．解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则axeq\o\al(2,1)＋byeq\o\al(2,1)＝1，axeq\o\al(2,2)＋byeq\o\al(2,2)＝1，即axeq\o\al(2,1)－axeq\o\al(2,2)＝－(byeq\o\al(2,1)－byeq\o\al(2,2))，eq\f(by\o\al(2,1)－by\o\al(2,2),ax\o\al(2,1)－ax\o\al(2,2))＝－1，eq\f(by1－y2y1＋y2,ax1－x2x1＋x2)＝－1，∴eq\f(b,a)×(－1)×eq\f(\r(3),2)＝－1，∴eq\f(b,a)＝eq\f(2\r(3),3).答案eq\f(2\r(3),3)7．(2017·昆明质检)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________．解析记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有PF1＋PF2＝2a＝10.则m＝PF1·PF2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PF1＋PF2,2)))2＝25，当且仅当PF1＝PF2＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3,0)或(3,0)．答案(－3,0)或(3,0)8．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析设P(x，y)，则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①将y2＝b2－eq\f(b2,a2)x2代入①式解得x2＝eq\f(2c2－b2a2,c2)＝eq\f(3c2－a2a2,c2)，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))二、解答题9．设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)假设直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)假设直线MN在y轴上的截距为2，且MN＝5F1N，求a，b.解(1)根据c＝eq\r(a2－b2)及题设知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)或eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的离心率为eq\f(1,2).(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由MN＝5F1N，得DF1＝2F1N.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c.,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②将①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9a2－4a,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).10．(2017·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为eq\f(2\r(5),5).(1)求椭圆C的标准方程．(2)将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．解(1)由题意知，直线l的方程为y＝2(x－a)，即2x－y－2a＝0，所以右焦点F到直线l的距离为eq\f(|2c－2a|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，所以a－c＝1.又椭圆C的右准线方程为x＝4，即eq\f(a2,c)＝4，所以c＝eq\f(a2,4)，将此代入上式解得a＝2，c＝1，所以b2＝3，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)法一由(1)知B(0，eq\r(3))，F(1,0)．所以直线BF的标准方程为y＝－eq\r(3)(x－1)，联立方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝－\f(3\r(3),5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝\r(3)))(舍)．即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))，所以直线l的斜率k＝eq\f(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),5))),2－\f(8,5))＝eq\f(3\r(3),2).法二由(1)知B(0，eq\r(3))，F(1,0)，所以直线BF的方程为y＝－eq\r(3)(x－1)，由题意知A(2,0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，联立方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－1，,y＝kx－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2k＋\r(3),k＋\r(3))，,y＝\f(－\r(3)k,k＋\r(3))，))代入椭圆解得k＝eq\f(3\r(3),2)或k＝－eq\f(\r(3),2)，又由题意知，y＝eq\f(－\r(3)k,k＋\r(3))<0得k>0或k<－eq\r(3)，所以k＝eq\f(3\r(3),2).能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2016·苏州调研)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，假设F关于直线eq\r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________．解析设F(－c,0)关于直线eq\r(3)x＋y＝0的对称点A(m，n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,m＋c)·－\r(3)＝－1，,\r(3)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－c,2)))＋\f(n,2)＝0，))∴m＝eq\f(c,2)，n＝eq\f(\r(3),2)c，代入椭圆方程可得eq\f(\f(c2,4),a2)＋eq\f(\f(3,4)c2,b2)＝1，并把b2＝a2－c2代入，化简可得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2eq\r(3)，又0＜e＜1，∴e＝eq\r(3)－1.答案eq\r(3)－112．(2017·盐城中学模拟)直线l：y＝kx＋2过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，假设L≥eq\f(4\r(5),5)，则椭圆离心率e的取值范围是________．解析依题意，知b＝2，kc＝2.设圆心到直线l的距离为d，则L＝2eq\r(4－d2)≥eq\f(4\r(5),5)，解得d2≤eq\f(16,5).又因为d＝eq\f(2,\r(1＋k2))，所以eq\f(1,1＋k2)≤eq\f(4,5)，解得k2≥eq\f(1,4).于是e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(c2,b2＋c2)＝eq\f(1,1＋k2)，所以0＜e2≤eq\f(4,5)，解得0＜e≤eq\f(2\r(5),5).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5)))13．椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，假设∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________．解析设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则eq\o(F1P,\s\up6(→))＝(x＋eq\r(3)，y)，eq\o(F2P,\s\up6(→))＝(x－eq\r(3)，y)．∵∠F1PF2为钝角，∴eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2P,\s\up6(→))<0，即x2－3＋y2<0，①∵y2＝1－eq\f(x2,4)，代入①得x2－3＋1－eq\f(x2,4)<0，即eq\f(3,4)x2<2，∴x2<eq\f(8,3).解得－eq\f(2\r(6),3)<x<eq\f(2\r(6),3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))14．(2017·南京模拟)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝eq\r(2)b.过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)假设直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；(3)假设线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．解(1)由条件得eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，且c2＝2b2，所以a2＝3b2，解得b2＝eq\f(4,3)，a2＝4.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(3y2,4)＝1.(2)设l1的方程为y＋1＝k(x＋1)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋k－1，,x2＋3y2＝4，))消去y得(1＋3k2)x2＋6k(k－1)x＋3(k－1)2－4＝0.因为P为(－1，－1)，解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3k2＋6k＋1,1＋3k2)，\f(3k2＋2k－1,1＋3k2))).当k≠0时，用－eq\f(1,k)代替k，得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2－6k－3,k2＋3)，\f(－k2－2k＋3,k2＋3)))，将k＝－1代入，得M(－2,0)，N(1,1)．因为P(－1，－1)，所以PM＝eq\r(2)，PN＝2eq\r(2)，所以△PMN的面积为eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)＝2.(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋3y\o\al(2,1)＝4，,x\o\al(2,2)＋3y\o\al(2,2)＝4，))两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋3(y1＋y2)(y1－y2)＝0，因为线段MN的中点在x轴上，所以y1＋y2＝0，从而可得(x1＋x2)(x1－x2)＝0.假设x1＋x2＝0，则N(－x1，－y1)．因为PM⊥PN，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝0，得xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝2.又因为xeq\o\al(2,1)＋3yeq\o\al(2,1)＝4，所以解得x1＝±1，所以M(－1,1)，N(1，－1)或M(1，－1)，N(－1,1)．所以直线MN的方程为y＝－x.假设x1－x2＝0，则N(x1，－y1)，因为PM⊥PN，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝0，得yeq\o\al(2,1)＝(x1＋1)2＋1.又因为xeq\o\al(2,1)＋3yeq\o\al(2,1)＝4，所以解得x1＝－eq\f(1,2)或－1，经检验：x1＝－eq\f(1,2)满足条件，x1＝－1不满足条件．综上，直线MN的方程为x＋y＝0或x＝－eq\f(1,2).第6讲双曲线考试要求双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，A级要求．知识梳理1．双曲线的定义(1)第一定义：平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数2a(小于两定点之间的距离2c)的动点的轨迹叫作双曲线．(2)双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2|＝2a，其中2a<F1F2＝2c.(3)当MF1－MF2＝2a时，曲线仅表示靠近焦点F2的双曲线的一支；当MF1－MF2＝－2a时，曲线仅表示靠近焦点F1的双曲线的一支；当2a＝F1F2时，轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在．(4)第二定义：平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的动点轨迹叫作双曲线2．双曲线的标准方程及简单的几何性质图形标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)几何性质范围|x|≥a|y|≥a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称实、虚轴长实轴A1A2＝2a，虚轴B1B2＝2b离心率e＝eq\f(c,a)(也等于双曲线上任意一点到一个焦点F与到这个焦点对应的准线的距离之比)准线方程x＝±eq\f(a2,c)y＝±eq\f(a2,c)渐近线方程y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x3．(1)等轴双曲线：实轴和虚轴长度相等的双曲线叫作等轴双曲线，也叫等边双曲线．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝eq\r(2)⇔两条渐近线垂直(位置关系)⇔实轴长＝虚轴长．(3)双曲线的离心率e与eq\f(b,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\r(e2－1)))都是刻画双曲线开口的大小的量．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√〞或“×〞)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)双曲线方程eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).()解析(1)因为|MF1－MF2|＝8＝F1F2，表示的轨迹为两条射线．(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线．答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2016·全国Ⅰ卷改编)方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．解析∵方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3.答案(－1,3)3．(2017·南京调研)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为________．解析由题意得双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x＝2x，所以eq\f(b,a)＝2，则双曲线的离心率为e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5).答案eq\r(5)4．(2017·南通调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点P(1,1)，其一条渐近线方程为y＝eq\r(2)x，则该双曲线的方程为________．解析由于双曲线过点P(1,1)，则有eq\f(1,a2)－eq\f(1,b2)＝1，又双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则有eq\f(b,a)＝eq\r(2)，与eq\f(1,a2)－eq\f(1,b2)＝1联立解得a2＝eq\f(1,2)，b2＝1，故所求的双曲线的方程为2x2－y2＝1.答案2x2－y2＝15．(选修1－1P41习题6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析设双曲线的方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1.答案eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1考点一双曲线的定义及其应用【例1】(1)(2017·盐城中学模拟)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，假设△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)F是双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6eq\r(6))，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析(1)如以以下列图，因为AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a，BF1＝AF2＋BF2，所以AF2＝2a，AF1＝4a.所以BF1＝2eq\r(2)a，所以BF2＝2eq\r(2)a－2a.因为F1Feq\o\al(2,2)＝BFeq\o\al(2,1)＋BFeq\o\al(2,2)，所以(2c)2＝(2eq\r(2)a)2＋(2eq\r(2)a－2a)2，所以e2＝5－2eq\r(2).(2)设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,6\r(6))＝1.与x2－eq\f(y2,8)＝1联立，解得P点坐标为(－2,2eq\r(6))，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12eq\r(6).答案(1)5－2eq\r(2)、(2)12eq\r(6)规律方法“焦点三角形〞中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形〞中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．(2)技巧：经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建设它与PF1、PF2的联系．提醒利用双曲线的定义解决问题，要注意三点①距离之差的绝对值．②2a＜F1F2.③焦点所在坐标轴的位置．【训练1】(1)如果双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是________．(2)(2017·扬州模拟)点P为双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，假设S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为________．解析(1)由双曲线方程，得a＝2，c＝4.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义PF1－PF2＝±2a，∴PF1＝PF2±2a＝8±4，∴PF1＝12或PF1＝4.(2)设内切圆的半径为R，a＝4，b＝3，c＝5，因为S△PMF1＝S△PMF2＋8，所以eq\f(1,2)(PF1－PF2)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以S△MF1F2＝eq\f(1,2)·2c·R＝10.答案(1)4或12(2)10考点二双曲线的标准方程及性质(多维探究)命题角度一与双曲线有关的范围问题【例2－1】(1)(2017·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)在平面直角坐标系xOy中，方程eq\f(x2,4－m)－eq\f(y2,2＋m)＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________．(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，假设eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是________．解析(1)由题意可得(4－m)(2＋m)>0，解得－2<m<4.(2)因为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，eq\f(x\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3＜0，即3yeq\o\al(2,0)－1＜0，解得－eq\f(\r(3),3)＜y0＜eq\f(\r(3),3).答案(1)(－2,4)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))命题角度二与双曲线的离心率、渐近线相关的问题【例2－2】(1)(2016·全国Ⅱ卷改编)F1，F2是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，则E的离心率为________.(2)(2017·盐城模拟)以双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为________．解析(1)设F1(－c,0)，将x＝－c代入双曲线方程，得eq\f(c2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，所以eq\f(y2,b2)＝eq\f(c2,a2)－1＝eq\f(b2,a2)，所以y＝±eq\f(b2,a).因为sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，所以tan∠MF2F1＝eq\f(MF1,F1F2)＝eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(b2,2ac)＝eq\f(c2－a2,2ac)＝eq\f(c,2a)－eq\f(a,2c)＝eq\f(e,2)－eq\f(1,2e)＝eq\f(\r(2),4)，所以e2－eq\f(\r(2),2)e－1＝0，所以e＝eq\r(2).(2)由题意可得右焦点(c,0)到渐近线y＝eq\f(b,a)x的距离为a，则b＝a，该双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(2).答案(1)eq\r(2)(2)eq\r(2)规律方法与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)假设条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解．(2)假设条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．【训练2】(1)(2017·苏北四市调研)设双曲线C的中心为点O，假设有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使A1B1＝A2B2，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．(2)(2017·南京模拟)双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为________．解析(1)因为有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，所以直线A1B1和A2B2关于x轴对称，并且直线A1B1和A2B2与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．可得eq\f(b,a)＞tan30°，即eq\f(b2,a2)＞eq\f(1,3)，eq\f(c2－a2,a2)＞eq\f(1,3)，所以e＞eq\f(2\r(3),3).同样的，当eq\f(b,a)≤tan60°，即eq\f(b2,a2)≤3时，eq\f(c2－a2,a2)≤3，即4a2≥c2，∴e2≤4，∵e＞1，所以1＜e≤2.所以双曲线的离心率的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2)).(2)由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则eq\o(PA1,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝eq\f(1,8)，所以当x＝1时，eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))取得最小值－2.答案(1)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))(2)－2考点三双曲线的综合问题【例3】(1)(2017·扬州质检)F是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的一个公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．假设eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，则C2的离心率是________．(2)(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．假设点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．解析(1)设另一个公共焦点为F2，AF＝m，AF2＝n，由椭圆的定义可得m＋n＝2a1＝4，根据对称性知AF2∥BF，且AF2＝BF，由eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0可知AF⊥BF，所以AF⊥AF2，则有m2＋n2＝(2c1)2＝12，与m＋n＝4联立，解得m＝2－eq\r(2)，n＝2＋eq\r(2)(或m＝2＋eq\r(2)，n＝2－eq\r(2))．根据双曲线的定义可得2a2＝|m－n|＝2eq\r(2)，即a2＝eq\r(2)，而c2＝c1＝eq\r(3)，故双曲线的离心率为e＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(\r(6),2).(2)设P(x，y)(x≥1)，因为直线x－y＋1＝0平行于渐近线x－y＝0，所以c的最大值为直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).答案(1)eq\f(\r(6),2)(2)eq\f(\r(2),2)规律方法解决与双曲线有关综合问题的方法(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解．(2)解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍．【训练3】(2016·天津卷改编)双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为________．解析由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,2)x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y＝\f(b,2)x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,\r(4＋b2))，,y＝\f(2b,\r(4＋b2))))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－4,\r(4＋b2))，,y＝\f(－2b,\r(4＋b2))，))即第一象限的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(4＋b2))，\f(2b,\r(4＋b2)))).由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长分别为eq\f(8,\r(4＋b2))，eq\f(4b,\r(4＋b2))，故eq\f(8×4b,4＋b2)＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1[思想方法]1．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．2．双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1〞为“0〞就得到两渐近线方程，即方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0就是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程．[易错防范]1．双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要无视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆．2．求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错．3．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±eq\f(b,a)x，eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±eq\f(a,b)x.4．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.根基稳固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,7)－eq\f(y2,3)＝1的焦距是________．解析由，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2eq\r(10).答案2eq\r(10)2．(2017·南京模拟)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2eq\r(3)，则双曲线的渐近线方程为________．解析因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，所以a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x.答案y＝±eq\f(\r(2),2)x3．(2015·广东卷改编)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为________．解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.答案eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝14．(2017·苏北四市联考)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为________．解析∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c,0)到y＝eq\f(b,a)x的距离为2，即eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴eq\f(bc,c)＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(5)，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5).答案eq\f(3\r(5),5)5．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为M，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足MA⊥MB，则该双曲线的离心率是________．解析由题意可得AF＝MF，且AF＝eq\f(b2,a)，MF＝a＋c，则eq\f(b2,a)＝a＋c，即b2＝a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0(e>1)，解得e＝2.答案26．(2017·南京师大附中模拟)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________．解析双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则eq\f(2a,\r(a2＋b2))＝eq\f(2a,c)>1,2a>c，故该双曲线的离心率满足1<e＝eq\f(c,a)<2，即双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．答案(1,2)7．(2017·泰州模拟)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径