2025年高考数学专项复习训练：三角函数的图象与性质【九大题型】原卷版+解析版

专题4.4三角函数的图象与性质【九大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1三角函数图象的识别及应用】.................................................................3

【题型2三角函数的定义域、值域与最值】............................................................4

【题型3三角函数的奇偶性与对称性问题】............................................................4

【题型4三角函数的周期性问题】.....................................................................5

【题型5求三角函数的单调区间、比较大小】..........................................................5

【题型6根据三角函数的单调性求参数】..............................................................6

【题型7三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】............................................6

【题型8三角函数的零点问题】........................................................................7

【题型9三角函数的图象与性质的综合应用】..........................................................8

►考情分析

1、三角函数的图象与性质

考点要求真题统计考情分析

（1）能画出三角函数的图

象2023年新课标I卷：第15题，

⑵了解三角函数的周期5分三角函数的图象与性质是高考的热

性、奇偶性、最大（小）2023年天津卷：第6题，5分点内容，其中三角函数的周期性、对称

值2024年新课标I卷：第7题，性、奇偶性与单调性之间的关系则是高

（3）借助图象理解正弦函5分考考察的重心.从近几年的高考情况来

2024年新课标II卷：第9题，看，比较注重对三角函数的几大性质之

数、余弦函数在［0,2出上

6分间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、

的性质及正切函数在2024年全国甲卷（文数）：填空题的形式呈现，难度中等或偏下.

（一f上的性质第13题，5分

►知识梳理

【知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略】

1.三角函数的定义域的求解思路

求三角函数的定义域通常要解三角不等式（组），解三角不等式（组）常借助三角函数的图象.

2.求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型：

⑴形如y=asinx+6cosx+c的三角函数化为尸4sin（ox+p）+c的形式，再求值域（最值）；

（2）形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=/,化为关于/的二次函数求值域（最值）；

（3）形如y=asinxcosx+b（sinx士cosx）+c的三角函数，可先设尸sinx士cosx,化为关于/的二次函数求值域（最

值）.

【知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】

1.三角函数周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

(1)对于可化为外)=/sin(5+°)(或於)=/cos(s+p))形式的函数，如果求段)的对称轴，只需令

■7T

a)x+(p=y+ATI(A:GZ)(或令69%+夕=析(左€Z)),求x即可；如果求/(x)的对称中心的横坐标，只需令

、7T

0x+p=加(左CZ)(或令0x+°=,+E(任Z)),求x即可.

(2)对于可化为/(x)=/tan(0x+9)形式的函数，如果求/(x)的对称中心的横坐标，只需令a>x+<p=?~

(任Z)),求x即可.

3.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=/sin(ox+o)中代入x=0,

若尸0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.

■JT

若产/sin(ox+9)为奇函数，贝!I夕=析(左CZ)；若尸Zsin@x+p)为偶函数，则9=,+版(46Z).

【知识点3三角函数的单调性问题的解题策略】

1.三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成尸4sin(ox+p)形式，再求y=Nsin(ox+p)的单调区间，

只需把cox+<p看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把o化为正数.

2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数。的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数

的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选

择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.

【方法技巧与总结】

1.对称性与周期性

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是;个周期，相邻的对称中心与对

称轴之间的距离是;个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是g个周期.

2.与三角函数的奇偶性相关的结论

TT

⑴若尸4sin(s:+9)为偶函数，则(p=k7i+5(左CZ)；若为奇函数，则夕=左兀(任Z).

7T

(2)若〉=4COS(S+9)为偶函数，贝I9=E/EZ)；若为奇函数，则9=左乃+1(左EZ).

(3)若^=4@11(公什夕)为奇函数，贝!J9=左兀(左EZ).

►举一反三

【题型1三角函数图象的识别及应用】

【例1】（2024•全国•模拟预测）函数/0）=3"皿2力+2-，）在区间［-311,3可上的图象可能是（）

A.2B.3C.4D.6

【变式1-2］（2024・山东•一模）函数/（幻=邕焉小，贝如=/（%）的部分图象大致形状是（）

A.B.

斗斗

C.D.

【变式1-31(2023•河南郑州•一模)已知函数/(%)=於+e—久，g(%)=sim•,下图可能是下列哪个函数的图

像()

A./(%)+5(%)-2B./⑶―久久)+2

C.f(x),g(x)D.需

【题型2三角函数的定义域、值域与最值】

【例2】（2024•广东湛江•二模）函数f（x）=4sin（5x-3在[。,当上的值域为（）

A.[—2,2]B.[—2,4]C.[—2A/3^,4]D.[—2V^,2]

【变式2-1]（2024•河南郑州一模）已知函数f（x）=2sin（3xT（3>0）在陪]上的值域为[-1,2],贝必的

取值范围为（）

A-[Q]B.g,|]C,[|,i]D,[|,1]

【变式2-2]（2024•安徽安庆•二模）己知函数/⑴=2cos2（ox+sin2o）x-l（a>>0）的图象关于点值,0）对称，

且外幻在（0,9）上没有最小值，则3的值为（）

A.-B.C.-|D.-

【变式2-3]（2024•内蒙古包头•一模）已知函数/（X）=Xsin（«jx+（p｝（A>0,3>0,\<p\<的最大值为2,

其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为宏且/（久）的图象关于点（-2,0）对称，则/（%）在区间上的最

小值为（）

A.-V3B.-1C.-2D.0

【题型3三角函数的奇偶性与对称性问题】

【例3】（2024全国・模拟预测）已知函数/0）=3讷（3刀+5+1,则下列结论不正确的是（）

A./（久）的图象关于点解,1）对称

B.若/（x+t）是偶函数，贝ijt=^+^ez

C.久久）在区间[o图上的值域为国图

D./（X）的图象关于直线x=J寸称

【变式3-1]（2024•贵州黔南•二模）若函数f（x）=cos（x冶+/为偶函数，则⑴的值可以是（）

,5TTc4n——11

A.—oB.-5C.ITD.Tz

【变式3-2]（2024・甘肃陇南・一模）下列函数图象的对称轴方程为乂=5+々11上€2的是（）

A./(x)=sin(%—三)B./O)=cos(x+§)

C./(%)=sin(2%-，D./(x)=cos(2x+T"l

3

【变式3-3］（2024•广东佛山•二模）已知函数/（无）=5也（3%+软3>0）在6毛］有且仅有两个零点，且/偌

）=/O,则“久）图象的一条对称轴是（

A7冗nHEC13n15TT

A•久=五B.“fC.久=工D.%=—

【题型4三角函数的周期性问题】

【例4】（2024•天津•一模）下列函数中,

A./(%)=sin|x|B./(%)=|sin2x|

C./(%)=cos|%|D./(%)=|cos2x|

【变式4・1】（2023・湖南长沙•一模）已知函数/(%)=sin(3%(1<3<2),若存在％i,%26R，当

1%1—X2|=2n时，/(%1)=/(%2)=。，则函数/（%）的最小正周期为（）

.211

A.—B.TC.2冗D.4n

【变式4-2］（2024•安徽马鞍山•三模）记函数f（x）=sin（3x+J）（3>0）的最小正周期为T,若

</(%)<|/(^)|,则3=()

c10c

A-TB-T-ID-i

ab

105

【变式］（•内蒙古赤峰•三模）定义运算如果cd=ad—be,/(%)=

4-320232sin®%+w)

（3〉0,0<中<3），0满足等式V^sinp=cosg,函数/（%）在（0弓）单调递增，则3取最大值时，函数/（久）的最

小正周期为（）

Tl

A.3irB.nC.2D.2JI

【题型5求三角函数的单调区间、比较大小】

【例5】（2024•青海•模拟预测）下列区间中，函数/（x）=3sin（x+取单调递增的区间是（）

A.您)B-（分）

C0片)D.(11,271)

【变式5-1］（2023•陕西•模拟预测）已知函数/（x）=sin（2x+Q）在无=?处取得到最大值，则/（x）的一个单

调递增区间是（）

从（，冷）B.1令C.居詈）D,停会

【变式5-2]（2023•贵州•模拟预测）已知a=sinl,b=sin-,c=sin2,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【变式5-3]（2024•全国•模拟预测）已知函数/（%）=$也9一%）应（%）=（：05（%-。则使得/（g（%））和9（/（%））

都单调递增的一个区间是（）

【题型6根据三角函数的单调性求参数】

[例6]（2023•天津•二模）若函数f（x）=2sin（3x+g（3>0）在区间⑶上具有单调性，则3的最大值

是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式6-1]（2024•全国•模拟预测）已知函数万支）=411（3%+3（3>0）的周期为7,且满足T>2m若函

数f（x）在区间0不单调，则3的取值范围是（）

A-（|，1）B.g,l）

C（|,1）D,电1）

【变式6-2]（2024•浙江•模拟预测）已知函数f（x）=2sin（3x+0）（3>0,阳<]）,/（%）</（x）+f

得-x）=0,/⑴在&患）上单调，则3的最大值为（）.

A.3B.5C.6D.7

【变式6-3]（2023•浙江•模拟预测）定义min{a,6}={吃羽设函数f（x）=min{sin3x,cos3x}（3>0）,可

以使/⑶在（|笑）上单调递减的3的值为（）

A.[|,|]B.[2,3]C.[|,2]D.[3,4]

【题型7三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】

【例7】（2024•河南新乡•三模）已知函数/（%）=cos（tox+9）（0<o）<10,0<（p<n）图象的一个对称中心是

4,0）,点B（o,亨）在/（久）的图象上，下列说法错误的是（）

A./（x）=cos（2x+JB.直线x=等是/'（%）图象的一条对称轴

C.f（久）在导用上单调递减D.1+方是奇函数

【变式7-1］（2024•天津•模拟预测）已知/'（%）=sinQox+0）（&）>0,|勿<以为偶函数，g（x）=sin

（3X+9）,则下列结论错误的个数为（）

①

②若g（x）的最小正周期为3TT,则3=|；

③若gQ）在区间（。刀）上有且仅有3个最值点，则3的取值范围为尊引；

④若9。=孚，则3的最小值为2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式7-2］（2024•河北唐山•一模）已知函数/（%）=|sin3%|+COS3%®>0）的最小正周期为兀，则（）

A./㈤在［-睛］单调递增B.停,0）是/⑺的一个对称中心

C./Q）在的值域为［1,向D.尤='是/Q）的一条对称轴

1

【变式7-3］（2024•陕西西安•模拟预测）己知函数f（x）=cosx-黑，现给出下列四个结论：

①/（%）的图象关于点g,0）对称；

②函数九0）=|/（x）|的最小正周期为2n；

③函数g（x）=2f⑺+|〃X）|在（0（）上单调递减；

④对于函数g（x）=2/（%）+|/（x）|,v%e（o,^）,31^（%）I=g。+n）.

其中所有正确结论的序号为（）

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

【题型8三角函数的零点问题】

【例8】（2024•湖北武汉•模拟预测）若函数/（X）=3cos®x+d）（3<0,—方<卬<］）的最小正周期为m

在区间（一„）上单调递减，且在区间（05）上存在零点，则0的取值范围是（）

A-（兄）B.修冶］C.配）D.（。局

【变式8-1］（2024•全国•模拟预测）已知函数/（x）=sin（2兀3乂）（3>0）在区间（0,2）上单调，且在区间［0,18］

上有5个零点，则3的取值范围为()

【变式8-2](2024•全国•一模)已知函数f(x)=sin(3久+^(3>0)在区间品]上恰有3个零点，则3的取

值范围是()

A.[|即”4,引B.9山管用

C4当乂5另D.合,5]u得潦)

【变式8-3](2023•四川雅安•一模)已知函数/(%)=2cos(a%+0)(3>0且一5<8<]),设T为函数/(%)

的最小正周期，/6)=-1，若"%)在区间[0,1]有且只有三个零点，则3的取值范围是()

A.号用B.他，引)C.阴D.修,阴

【题型9三角函数的图象与性质的综合应用】

【例9】(2024•上海金山•二模)已知函数y=/(%),记/(%)=sin(3%+g),co>0,0<(p<n,%GR.

(1)若函数y=/(%)的最小正周期为n,当f。)=1时，求3和9的值；

(2)若3=1,0=也函数y=产(%)-有零点，求实数a的取值范围.

【变式9-1](2023•北京海淀•三模)已知函数中)=2sin(s+D+爪—同3>0).在下列条件①、条件②、

条件③这三个条件中，选择可以确定3和爪值的两个条件作为已知.

⑴求f⑵的值；

(2)若函数f(x)在区间[0川上是增函数，求实数a的最大值.

条件①：/(0)=2；条件②：/(%)最大值与最小值之和为0；条件③：/(X)最小正周期为n.

【变式9-2］(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=-2852汽+2$也%+3如t为常数.

(1)证明：/(%)的图象关于直线X=5对称.

(2)设/(久)在卜，苧)上有两个零点nn.

(i)求力的取值范围；

(ii)证明：m+n<Y-

【变式9-3］(23-24高一下•江苏盐城・开学考试)已知函数/(%)=2sin(2a%+勺+1.

(1)若f(%l)</(%)1%1-％2lmin=/求f(%)的对称中心；

(2)已知0<3<5,函数/(%)图象向右平移/个单位，得到函数9(%)的图象，％=三是g(%)的一个零点，若函数

9(%)在［孙九］(6刀ER且租<九)上恰好有10个零点，求九一瓶的最小值；

(3)已知函数九(%)=acos(2%-》—2a+3(a>0),在第(2)问条件下,若对任意%存在%2c［。我

使得=g(%2)成立，求实数a的取值范围.

►过关测试

一、单选题

1.(2024•福建泉州•一模)已知函数/(久)的周期为m且在区间(也以内单调递增，则/Q)可能是()

A./(%)=5也(无一勺B./(%)=cos(^x-1)

C./(x)=sin(2x-D./(x)=cos(2久一勺

2.(2024•江西九江•模拟预测)函数/(x)=(er—e，)cosx的部分图象大致是()

3.(2024•浙江绍兴•三模)已知函数/(%)=sin(x+<cp<0)的图象关于点信,0)对称若当久e[m,^]

时，的最小值是-1，则小的最大值是()

A.——6B——12Jr—12rU)，~6~

4.(2024•广东汕头•三模)已知4,B,C是直线y=7H与函数/(%)=2sin(a%+w)(6)>0,0<(P<Tt)的

图象的三个交点，如图所示.其中，点4(0,伪，B,。两点的横坐标分别为％1处，若久2rL则()

A.(p=^B.f(^)=-V2

C./(%)的图象关于mo)中心对称D./(乃在[0,刍上单调递减

5.(2024•黑龙江•模拟预测)已知函数f(%)=Zsin(3%+w)(4>0,3>0,冶V9<]),且％声=亨是函

数了=/(%)相邻的两个零点，v%eR/(%)<3,则下列结论错误的是()

A.A=3B.0)=2

c.0=YD-=’(“工)

6.(2024•天津滨海新•三模)已知函数/(x)=sin(2x-。关于该函数有下列四个说法：

⑴函数f(x)的图象关于点解,。)中心对称

(2)函数/(久)的图象关于直线欠=弋对称

(3)函数/(%)在区间(―n,n)内有4个零点

(4)函数/(为在区间[-,0]上单调递增

以上四个说法中，正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

7.(2024•青海海南・二模)已知函数/(x)=cos(3x—2,3>0,xeR,且/(a)=—=0.若|a—0|的最小

值为小则/(久)的单调递增区间为()

A.[―|+ktr,+fcTr],fcGZB.[―|+2/CTI,+2A：Tt],fcGZ

C.+kn,||+fcTij.fcGZD.[―+2/CTT,||+2/cTr],fcGZ

8.(2024・四川•模拟预测)已知函数/O)=sin(3x+q3>0)在区间(0噂)上只有1个零点，且当万€

(一手力时，单调递增，则3的取值范围是()

A.@,21B.@,1|C.Q,l]D.G，2]

二、多选题

9.(2024・吉林•二模)巴知函数/1(%)=。皿3%+0)(4>0,3>0,0<9<1)部分图象如图所示,则()

A.(P=2

B.函数/(%)在(工()上单调递减

C.方程/(%)=1的解集为｛%|%=kn-^,kez]

D.6=-擀是函数丫=/（%+。）是奇函数的充分不必要条件

10.（202+湖南长沙―三模）已知函数/（久）=7^也（3%+9,3>0，则下列说法正确的是（）

A./（x）的最大值为2

B.函数/'（%）的图象关于直线x+伙keZ）对称

C.不等式/（久）>|的解集为（等，殁产）（kGZ）

D.若f（x）在区间［冶⑶上单调递增，则3的取值范围是（0,（|

11.（2024・贵州贵阳•二模）函数/（%）=/tan（3%+9）（3>0,0<9<ii）的部分图象如图所示，则（）

B.在［oj上的值域为（―8,-旧］U［V3,+8）

C.函数y=|/Q）|的图象关于直线“争寸称

D.若函数'=，（初+4/。）在区间（—等5）上不单调，则实数2的取值范围是［—1,1］

三、填空题

12.（2024•河北衡水•三模）已知x=］是函数/（无）=5①（311支+9）（0<9<4的一条对称轴，/（x）在区间

>0）内恰好存在3个对称中心，贝亚的取值范围为.

13.（2024•陕西西安•模拟预测）若函数/（%）=23（3久+斗-1（3>0）在（0,71）上恰有两个零点，则3的取

值范围为.

14.（2024・重庆渝中•模拟预测）己知函数/'（久）=5也（2%+9）@>0）图象的一个对称中心为（20）,且/'（久）

在（0,少上单调递增，则R的最小值为.

四、解答题

15.（2024•浙江•模拟预测）已知函数/（%）=sin%-V^cos%.

⑴求fQ）的值，

（2）求函数y=f（x）•sin%的单调递增区间.

16.（2023•广东佛山一模）已知函数八尤）=5也（3%+9）在区间9詈）上单调，其中3为正整数，|如<?

且肉=-府）.

（1）求y=/（久）图象的一个对称中心；

⑵若虑）=容求，

17.（2024•广东佛山•一模）记T为函数/（%）=sin3x+w）的最小正周期，其中3>0,0<RVIT,且/（0）=

字，直线X=劫为曲线y=/⑺的对称轴.

（1）求处

（2）若/（X）在区间m，2m上的值域为［-1,势求f⑺的解析式.

18.（2024•全国•模拟预测）已知函数/'（%）=2sin（3X+0）（3>0,|初

⑴若/（%）的图象经过点4停,0）,B&,2）,且点B恰好是PX）的图象中距离点4最近的最高点，试求/（尤）的解

析式;

(2)若f(0)=-1,且/(x)在管,IT)上单调，在(0,引上恰有两个零点，求3的取值范围.

19.(2023•北京通州・三模)已知函数久久)=sin(s：+底)(3>0,阿<，再从条件①、条件②、条件③

这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使/(X)的解析式唯一确定.

(1)求/(X)的解析式:

(2)设函数以久)=f(x)+/(%+J，求9(x)在区间上的最大值.

条件①：/(%)为奇函数：

条件②：久久)图像上相邻两个对称中心间的距离为最

条件③：/(%)图像的一条对称轴为％=今

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

专题4.4三角函数的图象与性质【九大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1三角函数图象的识别及应用】.................................................................3

【题型2三角函数的定义域、值域与最值】............................................................5

【题型3三角函数的奇偶性与对称性问题】............................................................7

【题型4三角函数的周期性问题】.....................................................................9

【题型5求三角函数的单调区间、比较大小】.........................................................11

【题型6根据三角函数的单调性求参数】.............................................................13

【题型7三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】...........................................16

【题型8三角函数的零点问题】.......................................................................19

【题型9三角函数的图象与性质的综合应用】.........................................................21

►考情分析

1、三角函数的图象与性质

考点要求真题统计考情分析

（1）能画出三角函数的图

象2023年新课标I卷：第15题，

⑵了解三角函数的周期5分三角函数的图象与性质是高考的热

性、奇偶性、最大（小）2023年天津卷：第6题，5分点内容，其中三角函数的周期性、对称

值2024年新课标I卷：第7题，性、奇偶性与单调性之间的关系则是高

（3）借助图象理解正弦函5分考考察的重心.从近几年的高考情况来

2024年新课标II卷：第9题，看，比较注重对三角函数的几大性质之

数、余弦函数在［0,2出上

6分间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、

的性质及正切函数在2024年全国甲卷（文数）：填空题的形式呈现，难度中等或偏下.

（一f上的性质第13题，5分

►知识梳理

【知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略】

1.三角函数的定义域的求解思路

求三角函数的定义域通常要解三角不等式（组），解三角不等式（组）常借助三角函数的图象.

2.求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型：

⑴形如y=asinx+6cosx+c的三角函数化为尸4sin（ox+p）+c的形式，再求值域（最值）；

（2）形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=/,化为关于/的二次函数求值域（最值）；

（3）形如y=asinxcosx+b（sinx士cosx）+c的三角函数，可先设尸sinx士cosx,化为关于/的二次函数求值域（最

值）.

【知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】

1.三角函数周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

(1)对于可化为外)=/sin(5+°)(或於)=/cos(s+p))形式的函数，如果求段)的对称轴，只需令

■7T

a)x+(p=y+ATI(A:GZ)(或令69%+夕=析(左€Z)),求x即可；如果求/(x)的对称中心的横坐标，只需令

、7T

0x+p=加(左CZ)(或令0x+°=,+E(任Z)),求x即可.

(2)对于可化为/(x)=/tan(0x+9)形式的函数，如果求/(x)的对称中心的横坐标，只需令a>x+<p=?~

(任Z)),求x即可.

3.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=/sin(ox+o)中代入x=0,

若尸0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.

■JT

若产/sin(ox+9)为奇函数，贝!I夕=析(左CZ)；若尸Zsin@x+p)为偶函数，则9=,+版(46Z).

【知识点3三角函数的单调性问题的解题策略】

1.三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成尸4sin(ox+p)形式，再求y=Nsin(ox+p)的单调区间，

只需把cox+<p看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把o化为正数.

2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数。的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数

的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选

择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.

【方法技巧与总结】

1.对称性与周期性

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是;个周期，相邻的对称中心与对

称轴之间的距离是;个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是g个周期.

2.与三角函数的奇偶性相关的结论

TT

⑴若尸4sin(s:+9)为偶函数，则(p=k7i+5(左CZ)；若为奇函数，则夕=左兀(任Z).

7T

(2)若〉=4COS(S+9)为偶函数，贝I9=E/EZ)；若为奇函数，则9=左乃+1(左EZ).

(3)若^=4@11(公什夕)为奇函数，贝!J9=左兀(左EZ).

►举一反三

【题型1三角函数图象的识别及应用】

【例1】(2024•全国•模拟预测)函数/0)=3"皿2力+2-，)在区间[-311,3可上的图象可能是()

【解题思路】判断函数的奇偶性，再根据/(0)>0判断即可.

【解答过程】因为f(x)的定义域为R,且

/(-%)=cos(-x)-ln(2-x+2X)=cosx-ln(2-x+2X)=/(%),

所以久久)为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除A,C.

因为/'(())=ln2>0,故排除B.

故选：D.

【变式1-1](2024•江苏盐城•模拟预测)函数y=cosx与y=lg|x|的图象的交点个数是()

A.2B.3C.4D.6

【解题思路】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.

【解答过程】函数y=cosx与y=lg|x|都是偶函数，其中COS2TT=COS4TT=1,lg4it>IglO=1>lg2ir,

在同一坐标系中，作出函数y=cosx与y=lg|%]的图象，如下图，

如

尸1g团y=cosxI

]/7、、——।x^~\।

■4兀兀、2兀77tz4兀攵

由图可知，两函数的交点个数为6.

故选：D.

【变式1-2](2024•山东•一模)函数/(久)=度辞上，则y=/O)的部分图象大致形状是()

OxO/x

C.D.

【解题思路】根据函数奇偶性以及xe(o,9时函数值的正负，通过排除法得答案.

【解答过程】函数y=/(x)的定义域为R,

-xx

rf、(e-l)sin(-x)(e-l)sinxf

f(一切=-—=铲+1=f(x)，

即函数y=f(x)为偶函数，排除BD；

当xe(03)时，/(£)=三等上〉0,排除C.

故选：A.

【变式1-3](2023•河南郑州•一模)已知函数/(%)=/+0一为，g(%)=sin%,下图可能是下列哪个函数的图

B.f(x)-g(x)+2

c.f(%),gO)D,嘤

【解题思路】利用奇偶性和特殊点函数值的正负进行判断.

【解答过程】对于/(%)=1+e—:但定义域为R,满足/(—%)=er+e%=/(%),为偶函数.

同理可得：g(%)=sin%为奇函数.

t己九(%)=/(%)+g(%)-2,贝！=f(-%)+g(-%)_2=f{x}-g(x)-2

所以九(一%)Wh(%)且h(-%)H所以/(久)+9(%)-2为非奇非偶函数；

同理可证：/(X)—g(x)+2为非奇非偶函数；/(X)・g(x)和需为奇函数.

由图可知，图像对应函数为奇函数，且0<f(l)<l.

显然选项A,B对应的函数都不是奇函数，故排除；

对C:y-/(x)-g(x)=(ex+e-x)sinx,为奇函数.

当x=l时，(e+1)sinl>(e+1)sin^>(e+1)ex^>^>1,故错误;

对D,、=得=/箸，为奇函数一

sinl

当％=1时，♦药<1.故正确.

故选：D.

【题型2三角函数的定义域、值域与最值】

【例2】(2024•广东湛江•二模)函数f(x)=4sin(5x-》在[上的值域为()

A.[—2,2]B.[-2,4]C.[-2A/3^,4]D.[-2V3^,2]

【解题思路】先求得5x-W的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.

【解答过程】因为xe[o,=],所以5x—然[一,4所以sin(5x—?)€昌,1],

故/(久)=45也(5乂一0在[0*]上的值域为[一2,4].

故选：B.

【变式2-1](2024•河南郑州•一模)已知函数/(幻=25也(3尤—伙3>0)在[0,4上的值域为[—1,2],则3的

取值范围为()

A*，2]B.[i,|]C,[|,i]D,[|,1]

【解题思路】根据题意可得-法再利用值域可限定三枭-群n+也解得3的取值范围

明I1

[解答过程]由久e[o4及3>0可得e[一况3一1,

根据其值域为[—1,2],且2sin(—》=—1,

由正弦函数图象性质可得与《3—三TT+也

即可得:线4，解得於

故选：B.

【变式2-2](2024•安徽安庆•二模)已知函数=2cos2®+sin2s:-1®>0)的图象关于点g,0)对称,

且八支)在(0()上没有最小值，则3的值为()

A.-B.-C.-D.—

【解题思路】先化简解析式，根据对称性可得3=2k-1■，/CeZ,再结合最小值点即可求解.

【解答过程】/(x)=2COS2OJX+sin2tox—1=cos2o)x+sin2o>x=V2sin^2a)x+；)

因为f(x)的图象关于点值,0)对称，

所以fG)=缶皿惇+：)=。,

故子+3eZ,即3=2k—eZ,

当23X+A苫+2/CTT,即％=-芸+詈加62时，函数f(x)取得最小值，

因为f(x)在仅W)上没有最小值，

所以葛冶,即

由3=2k—JW?解得kW故k=l,得3=*

Zo1OZ

故选：B.

【变式2-3](2024•内蒙古包头•一模)已知函数/(%)=/sin(3%+9)(人>0,3>0,\(p\<勺的最大值为2,

其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为且/(%)的图象关于点(-2,0)对称，则/(x)在区间[o,4上的最

小值为()

A.~y/3B.-1C.-2D.0

【解题思路】利用题目条件求出/(%)的解析式，然后讨论/(久)在[。,才上的单调性即可.

【解答过程】由条件知4=2,2=*sin(-"3+@)=0,

从而4=3=2,sin(@—1)=0,

所以⑴一］=kn,kGZ,即0=GZ,

又因为|伊|<p故左=0,0=1

这说明/(x)=2sin(2x+(),该函数在[o*]上递增，在上递减.

又f(0)=1/弓)=-1，所以f(x)在区间[o,1上的最小值为一1.

故选：B.

【题型3三角函数的奇偶性与对称性问题】

【例3】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=3sin(3x+5+L则下列结论不正确的是()

A./(%)的图象关于点(署,1)对称

B.若久久+t)是偶函数，则t=^+/,kez

c.不)在区间[。局上的值域为国,|]

D./(X)的图象关于直线光=成寸称

【解题思路】代入验证法判断函数f(x)的图象的对称中心和对称轴，进而判断选项AD；求得f的值判断选

项B；求得f(x)在区间[0,汗上的值域判断选项C.

【解答过程】对于A：/g)=3sin(3x§+^)+1=1,

则f(x)的图象关于点(M，l)对称，故A正确.

对于B