三次函数（学生版） -2025年高考数学压轴题

专题14三次函数

考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点，我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,

学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识，并在某些方面具备了把握规律的能力，由于三次函数的导数是二

次函数，我们可以利用二次函数深入研究三次函数的图象与性质，这使得三次函数成为高考数学的一个热点.

解题秘籍

(-)三次函数的单调性

由于三次函数/(x)的导数/(x)是二次函数,我们可以利用/■'(x)=0根的情况及根的分布来研究三次函数

的单调性，特别是含有参数的三次函数的单调性通常要借助二次方程根的分布求解.

【例1】(2024届青海省部分学校高三下学期联考)已知函数/(工)=；/+；心尤2一(%+1N.

⑴讨论的单调性；

⑵若/(x)有3个不同的零点，求机的取值范围.

2

［解析］(1)/'(x)=x+mx-(m+l)=(x-l)(x+w+l),

令/'(x)=0,解得％=1或%=-加一1,

①当-m-1>1,即加<一2时，

由/'(X)>°得或x>-m-1；由/'(x)<0得1<x<-m-1,

所以/(x)在(-0,1)和(-加T+动上单调递增；在(L-加-1)上单调递减；

②当一加一1=1,即加=一2时，

r(x)>o恒成立，所以/(%)在R上单调递增；

③当-m一1<1,即加〉—2时，

由/'(X)>°得x〉l或x<—机-1：由/'(X)<0得一加一1<x<l,

所以/(X)在(-8,-〃L1)和(L+8)上单调递增；在(-加T1)上单调递减;

综上，

当机＜-2时,/（x）在（-双1）和（-加-1,+“）上单调递增；在（1,-加-1）上单调递减；

当加=-2时J（元）在R上单调递增；

当机＞-2时,〃x）在（-双-加-1）和（1,+8）上单调递增；在（-机-1,1）上单调递减.

（2）因为〃龙）有3个零点，所以加片-2,

m217

当机＞一2时,极大值/（-w-l）=—+—（机+1）一7；极小值/（1）=一5加一］

63

(m

lu+i2(加+1)2>0

4

所以，解得加＞一］且小N-l,

1

——m—<0

[2t

12m2

当》＜-2时,极大值/（1）=-］加--；极小值-1）=—+—W+1)：

63

(m2

\6+3+1)~<0

所以，解得m<-4,

1

—m—->0

123

综上产的取值范围为（-8,-4八卜2-11口（-1,+功.

（二）过平面上一点P作三次函数图象的切线的条数

1.此类问题一般是先设出切点⑺）,写出曲线〃x）在X处的切线方程，把点尸坐标代入，整理出一

个关于/的三次方程，该方程实根个数就是切线条数.

2.以三次函数为/（x）=a/+区为例，研究■下三次函数的切线问题：若M（Xi,yi）是三次曲线

/（x）=ax'+区上的任一点，设过〃的切线与曲线y=f（x）相切于（x0,y0），则切线方程为

F一必）=/'（项））（》一/），因点〃上此切线上，故必一汽=/'（/）（项一/），又

332

y0-ax^+bx0,yl-ax/+bxx,所以axi+bxr-（ax0+bx0）=（3ax0+b）（xx-x0）,整理得：

2

（x0-%1）（2%0+匹）=0,解得=$或%=一蓑.综上所述，当点M是对称中心即$=0时，过点M作曲

线的切线切点是惟一的，且为M故只有一条切线；当点M不是对称中心即X］W0时，过点M作曲线的切线可

产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线.

由此可见，不仅切线与曲线的公共点可以多于一个，而且过曲线上点的切线也不一定惟一

【例2】(2024届福建省泉州市高中毕业班5月适应性练习)已知函数〃x)=*-2x2-2x+a(a>0).

⑴当。=1时,若直线y=-3x+6与曲线y=/(x)相切，求6；

⑵若直线V=-2x-2与曲线y=〃x)恰有两个公共点，求a.

【解析】(I)当°=1时,〃X)=X3-2X2-2X+1J'(X)=3X2-4X-2,

因为直线V=-3x+b与曲线y=〃x)相切，

设切点为(％,%),则切线斜率左=/'(工0)=3焉-4工(1-2,

1

3XQ-4XQ-2=-3%二1

4

可得<典=-3%+b，解得V为=_2或.%一药,

%=xo3-2/2―2%+1

b=l31

b=—

27

所以6=1或6=二.

27

(2)因为直线V=-2x-2与曲线了=/(元)恰有两个公共点,

以1^3不壬ctx^-2厂-2x+a=-2x-2,

即方程a,+1)-2(/-1)=0有两个不等实根,

因为尸-1是方程a(d+1)-2(/-1)=0的一个根;

当x力一1时，方程可化为ax~—+2)尤+。+2=0(*),

依题意，方程(*)有不等于-1的唯一根，

因为。。0,若。=0,则(*)即-2x+2=0,x=l,满足条件；

若空0,则由12(.一n解得：”十

△=(Q+2)—4Q(Q+2)=03

2

综上所述,。=0或。=(.

【例3】(2024届江苏省南通市高三上学期期初质量监测)已知函数/口)=加+加2+5(”>0)的极小值为

-2淇导函数/''(耳)的图象经过"(TO)*。,。)两点.

⑴求〃x)的解析式;

(2)若曲线y=/(x)恰有三条过点P(l,m)的切线，求实数加的取值范围.

【解析】(1)f'(x)=3ax2+2bx+c,

因为a>0,且尸(x)的图象经过囚T0),8(1,0)两点.

所以当xe(-8,-l)时J(x)>0J(x)单调递增;

当xe(-1,1)时J'(x)<0J(x)单调递减；

当xe(1,+⑹时,/'(X)>0J(x)单调递增.

所以「(X)在x=l处取得极小值，所以〃l)=a+6+c=-2,

又因为/'(-l)=0,/'(l)=。,所以3a-2b+c=0,3a+2b+c=0,

3a-2b+c=0

解方程组<3a+2b+c=°得。=1,6=0,。=—3,

a+b+c=-2

所以/(力=/-3工

(2)设切点为(%,%)),则为=x；-3%,

因为/(无)=3尤2-3,所以广为)=3X；-3,

所以切线方程为J，_(x”3x°)=(3x；-3)(x-%,

将尸(1,加)代入上式，得2x；-3x；+加+3=0.

因为曲线了=/(x)恰有三条过点尸(1,加)的切线，所以方程2/-3/+〃,+3=0有三个不同实数解.

记g(x)=2x3-3x2+加+3,则导函数g'(x)=6x，-6x=6x(x-l),

令g'(x)=0,得x=0或1.

列表：

X(-8,0)0(0』)1(1,+CO)

g'(x)+0-0+

g（x）7极大\极小7

所以g（x）的极大值为g（O）=切+3,g（x）的极小值为8⑴二加+2,

fg（0）＞0/、

所以，解得-3＜加＜-2.故切的取值范围是（-3,-2）.

（三）三次函数的极值

三次函数/（x）的极值点就是二次函数/'（X）的零点，所以与三次函数极值有关的问题常借助“三个二次”的

关系求解.

【例4】（2024届山东省实验中学高三二模）已知函数/（x）=（x-4）2（x-6）（a,6eR,q＜6）.

⑴当a=l,b=2时,求曲线T=/（x）在点（2,/（2））处的切线方程；

⑵设和血是/（X）的两个极值点,七是〃X）的一个零点，且当HX],X3工赴.是否存在实数匕,使得占户2，9户4按

某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求X,；若不存在，说明理由.

【解析】（1）当。=1,6=2时,〃X）=（X-1）2（X-2）,

则/'（力=2（》-1）（》-2）+（工-1）2=（》-1）（3》-5）,故八2）=1,

又/⑵=0,所以曲线＞=〃x）在点（2,0）处的切线方程为y=x-2；

（2）/（X）=2（x-a）（x-6）+（x-a）2=3（）一°）]3，,

由于a＜6,故二2”,

令r（x）＞0,解得或令，（“＜0,解得

可知＞=〃x）在3,@产]内单调递减，在（-双与丝,+"内单调递增，

所以/（x）的两个极值点为x=",x=，不妨设玉=a,x[=与约，

因为马力占广3片%,且退是/（x）的一个零点，故％=上

又因为丁-T、，

故匕=以0+三丝卜女此时见怨々匕丝,6依次成等差数列，

所以存在实数尤4满足题意，且匕=现¥

(四)三次函数的零点

1.若三次函数/(X)没有极值点，则/(X)有1个零点；

2.三次函数/(x)有2个极值点七,超,，则〃再)/泣)〉。时/(x)有1个零点；〃再)/泣)=。时

/(x)有2个零点；/(再)/(%2)<0时/(x)有3个零点.

【例5】(2023届江西省赣抚吉H"一校高三第一次联考)已知函数〃X)=X3-4加/-3加/+2,其中以20.

⑴若“X)的极小值为一16,求加；

⑵讨论〃x)的零点个数.

［解析】(1)由题得/'(%)=3x2-Smx-3m2=(x-3m)(3x+加)淇中加［0,当加=0时J'(x)20J(%)单调递增,

无极值；当加〉0时，令/(、)>0,解得或%>3加；令/。)<0,解得-g<x<3加，所以/⑴的单

调递减区间为1*3加),单调递增区间为所以当x=3加时,〃x)取得极小值

〃3加)=2-18加3,所以2_18加=一16，解得加=1.

(2)由⑴知当…时,/(x)的极小值为〃3时=278疗J(x)的极大值为(T=2+/3>O,

r产

//当2-18疗<0,即加>出时J(x)有三个零点，如图①曲线；当2-18加3=0,即

flV53

皿T时J(x)有两个零点,如图②曲线；当2-18加>0,即0<加考时J(x)有一个零点,如图③曲线；当

加=0时J(x)=/+2,易知/⑴有一个零点.综上，当时,/(x)有一个零点；当机=日时，

/(x)有两个零点；当.>日时J(x)有三个零点.

(五)三次函数图象的对称性

三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a丰0)的图象有六种，如图：

图⑷

对函数/(x)=ax3+bx2+CX+d(a丰0)进行求导：f'(x)=3ax2+2bx+c是二次函数，原函数的极值点与

单调性与导函数的正负有关，所以容易发现导函数中的参数。与A的符号起决定性作用.当a为正时，原函数

的图象应为上图中的(1)、(3)、(5)三种情况；而当a为负时，原函数的图象则为(2)、(4)、(6)三种情

况.当A〉。时，二次方程八%)=0有两相异实根乂,忆，且在汨,％的两边/'(X)的符号相反,故函数/(x)存

在两个极值点，图象为上图中的(3)、(4)两种；当△=()时，二次方程/'(x)=0有两相等实根，且在根的两

边/'(X)的符号相同，这时函数/(x)只存在驻点(但不是极值点),函数的图象为上图中Q)、Q)两种，当△<()

时；方程/'(x)=0无实根，/'(X)的值恒为正(或负)，函数的图象为上图中的(5)、(6)两种.

仔细观察图象，我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设

/(m-x)+f(m+x)=2〃，得

[a(jn-x)3+b(jn-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2〃整理得，

(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2mc+2d)=2”.据多项式恒等对应系数相等，可得m=-■2且

3a

n=am3-\-brn1+加。+乙从而三次函数是中心对称曲线，且由n=/(加)知其对称中心(加,/(加))仍然在曲

线上.而加=-2是否具有特殊的意义？对函数/(x)进行两次求导J〃(x)=6"+26再令等于0,得

3。

x=--，恰好是对称中心的横坐标，这可不是巧合，因为满足/"(机)=0的"正是函数拐点的横坐标，这一

3a

性质刚好与图象吻合.

【例6】对于三次函数"X)=+反2+CX+"(aW。),给出定义：设/'(X)是函数＞=fix)的导数，/"(X)是

/(X)的导数，若方程r'(x)=0有实数解%,则称点(%,/(%))为函数＞=/(x)的，拐点”.某同学经过探究发现:

任何一个三次函数都有“拐点，，；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若

1,1,5

/(x)=§x-5一+3%一方,请你根据这一发现.

(1)求函数/(x)的对称中心；

1232020

(2)计算/(——)+/(——)+/(—)+-•­+/(—).

2021202120212021

【解析】(1)'.1f'{x)=x2-x+3,f"{x}=2x-1,

令/"(x)=0,即2%-1=0,解得X=；,

•■•/(i)=ix(i)34x(l)2+3x1-il=b

由题中给出的结论，可知函数/(X)的对称中心为。,1).

(2)由⑴知函数/四=#-9+3”卷的对称中心为(”，

所以/(”)+〃；-无)=2,即〃x)+/(l-x)=2,

故/(—1^)+2020=2,/(^2)+/(2^0^19)=2…20201=2,

202120212021202120212021

1?320201

所以/(——)+/(——)+/(——)+-•­+/(——)=—x2x2020=2020.

20212021202120212

(六)三次函数与韦达定理的交汇

由于三次函数的导数是二次函数，而二次函数常与韦达定理交汇,故有时可以用定理交汇处理三次函数问题

a、b、c

【例7】设X],X2是函数/(x)=1X+]/—。2M。〉0)的两个极值点，且a|+口21=2

(1)求。的取值范围；

(2)求证：怪64V一3.

22

【解析】⑴/(x)=ax+bx-a,xx,x^f'(x)=0的两个实根，又a>0

XjX2=_a<0,Xj+X2=----,|Xj|+|X21=1X]—/|=~+4fi!

由|X1|+|/1=2得与+4a=4,即Z>2=4a2—4a3=4t72(l—a)

一a

b1>00<a<1

⑵设/=g(a)=4a2-4/,则g(a)=8a-12a2=4a(2-3a)

77

g(a)在(0,§)在单调递增，在(1,1)上单调递增

「/、1_/2、_16y4指

[g(a)]max=g(­)=—^-<—^―

[例8](2024年2月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习)对三次函数/")=加+&2+5+4。30,如果其存

_bcd_

在三个实根西,工2，三,则有匹+%2+退=--,XjX+XX+XXj=一,用工2%3=.称为三次方程根与系数关系.

a2233aa

(1)对三次函数/(力=办3+&2+5+4,设8(力=/(力,存在为€11,满足0=/(%)=8(/)/8，(%).证明：存

在百工%,使得/@)=。卜-王)(》-工0)2；

⑵称〃x)是卜%上的广义正弦函数当且仅当〃x)存在极值点国,/e(m,M)，使得

[〃西),〃X2)}={〃")，〃朋9}.在平面直角坐标系短了中,4(°,6)是第一象限上一点,设

/(x)=x(a-x)+—,g(x)=x(a-x1-46“已知g(x)在(0,。)上有两根x0<x3,

(i)证明：/(x)在(0,+8)上存在两个极值点的充要条件是03>276；

(ii)求点A组成的点集，满足/(x)是民,9]上的广义正弦函数.

【解析】⑴因为〃龙o)=O,所以不妨设〃x)=a(x-尤/0),

所以g(x)=/'(x)=，(工一工0)(%—再)+。('—Xo)(x—工2)+。(%—x1)('—工2),(〃。,

因为o=g(尤0)Wg'伉),所以g伉)=((％)=。(％-X])伉一x2)=0,(a*0),

所以不妨取了2=%满足题意，且此时必有工产后，

3,2，

否则若X=%,则有/(x)=fl(x-x0),g(x)=/(x)=3a(x-x0),g(A：)=6<7(x-x0),

而此时8'(%)=6。(%0-%)=0与已知0=850)心，旧)矛盾，

综上所述，存在/%,使得/'(x)=a(x-)(x-X。丫.

(2)(i)/(凡6)是第一象限上一点，所以a>0,6>0,

因为/(x)=x(fl_x)+2,所以/(x)=a-2x-=~2x+ax~b,(a>0,Z>>0),

XXX

32

设/z(x)=-2x+ax-b,则/z(0)=-Z)<0?

而x-—00时,〃(x)T+8,Xf+00时,〃(x)T-00,

所以〃(%)=一2%3+"2_b=0存在负根，

因为“X)在(0,+句上存在两个极值点，等价于方程r(x)=-2x：x~=0在(0,+8)上有两个根,

等价于方程人⑴=-2x3+#_6=0在(0,+8)上存在两个根，

注意到三次方程最多有3个根，所以方程"x)=-2d+办2-6=o有一个负根，两个不同的正根，

而h'(x)=-6x2+2ax，当0<x<：时,”(x)=-6x2+2ax>0,/z(x)单调递增，

当x>£时,/(x)=-6x2+lax<0,/z(x)单调递减，

所以当且仅当〃[*]=-芸+/-6=(-6>0,即当且仅当。3>27江

综上所述，命题(i)得证；

(ii)容易验证1>276时,g(x)=。也恰好有两个正根冲,七,

止匕时：由于对x>0来说，/''(x)=0等价于2x3-办2+6=0透(》)=0等价于工.一"2-46=0,

所以对x>0,如果g(x)=0,那么宁)+6=0,

这意味着玉=号,马=宁，

然后，对两个不相等的正数〃,VJ(")-〃V)=(M-V)a-(u+v)--,

所以/(")=/3)当且仅当"+V+—=心

uv

那么如果t=再或*2，就有。-2/=X。或X?,故/■'。)=gg-2。，

232

,z_xbbb-t(a-2t)2t-at+b

此时t+(6Z-2/)+---------=a-t+—-------=a+—————T=a+--------=a,

/(a-2。7(a-2。

所以/(/)=/(。一2/),这意味着/(%)=/(%),/(再)=/(%)，

最后,由于加(X)=i(x)=2x3_o?+6有一个极值点x=,

所以X”吃都不等于。(再,乙是不相等的正零点，同时该方程还有另一个负零点，但与只要是根就是二重的，所

以§不可能是根)，这就说明占3W%，

结合/(x)的单调性以及/(%)=/(丫2)J(xj=/(X3),必有/<X[<X?<X3,

所以此时〃X)一定是广义正弦函数，

综上所述，满足题意的4={(。力)I43>27b}.

典例展示

【例11(2024届福建省泉州市高三5月适应性练习)已知函数y(x)=G3-2x2-2x+a(aN0).

(1)当。=1时,若直线V=-3x+6与曲线y=/(x)相切，求6；

(2)若直线>=-2x-2与曲线y=/(x)恰有两个公共点，求a.

【解析】(1)当a=1时,/'(x)=—2x?-2x+1J'(x)=3x~-4x—2,

因为直线>=-3x+6与曲线y=/(x)相切，

设切点为(％,%),则切线斜率先=/'(Xo)=3x：-4xo-2,

1

-

%3

3XQ—4XQ—2=-3%二14

-

-一

可得<%=-3%+b，解得V%=_2或.Jo

27

%=-2/2-2x0+1b=l

31一

b:

27

所以6=1或6=布.

27

(2)因为直线>=-2》-2与曲线y=/(x)恰有两个公共点，

所以方程ax'-2x?-2尤+a=—2.x—2,

即方程a(Y+l12(/_1)=0有两个不等实根，

因为尸-1是方程。(/+1)-2,-1)=0的一个根；

当XW-1时，方程可化为/-(a+2)x+a+2=0(*),

依题意，方程(*)有不等于-1的唯一根，

因为。20,若。=0,则(*)即-2x+2=0,x=l,满足条件；

Q+Q+2+Q+2W02

若a>0,则由|,2/解得："=£,

△=(Q+2)—4Q(Q+2)=03

2

综上所述,。=0或a=].

【例2】(2024届福建省泉州第五中学高考热身测试)已知函数/(司=/-"+2,aeR.

(1)若x=-2是函数/(x)的极值点，求。的值，并求其单调区间;

⑵若函数/(x)在1,3上仅有2个零点，求。的取值范围.

【解析】(1)­(x)=3/-a2)=12-a=0,得°=12,

当Q=12时J'(x)=3x2-12=0,得工=一2或x=2,

x,r(x),/(x)的变化情况如下表所示，

X(-双-2)-2(-2,2)2(2,+8)

f(x)+0-0+

小)增区间极大值18减区间极小值-14增区间

所以函数/⑺的增区间是(-8,-2)和(2,+动,减区间是(-2,2)；

(2)令/(x)=%3一"+2=0,%£；,3,

2

得。=X+2=X?+-,^-g(x)=x+-,x&3

XXxr，

22

g,(x)=2x--=-=0,得x=l,

x2

如下表,

£

X1。，3)3

3加

g'(x)-0+

5529

g(x)减区间极小值增区间

~93T

因为函数〃X)在1,3上仅有2个零点，即了=。与y=g(x)有2个交点，如图:

即3<041.

[例3](2024届陕西省铜川市高三下学期模拟)已知函数"幻=2丁+3/-12x+m(机eR)的一个极值为

⑴求实数机的值；

"3-

⑵若函数〃(x)在区间k,-上的最大值为18,求实数上与加的值.

【解析】(1)由〃(x)=2%3+3,一12%+加(加£R),得Zz'(x)=6—+6x—12=6(x+2)(x—l),

令//(x)=0,得工=一2或x=l；令〃(x)<0,得-2vx〈l；令〃(x)>0,得%<-2或x>l.

所以函数〃(x)有两个极值〃(-2)和人⑴.

若〃(—2)=—2,得2x(—2)3+3x(—2)2—12x(—2)+加=—2,解得加=—22；

若"(1)=-2,得2xF+3xF-i2xl+机=-2,解得加=5.

综上,实数用的值为一22或5.

(2)由(1)得,“(力,力(力在区间,叫|的变化情况如下表所示:

3

X(-GO,-2)-2(-24)1

2

h'^x)+0—0+

9

//(%)/极大值加+20极小值加-7/m——

2

由表可知，

①当1"＜|时，函数在区间用上单调递增，所以最大值为〃［］=加

其值为或］不符合题意；

②当上=-2时，函数3)在(-2,1)上单调递减，在臼上单调递增，

因为〃(-2)=20+加，«||=入-：,〃(2)＞彳|),所以“工)在左,|上的最大值为可-2)=加+20淇值为_2

或25,不符合题意；

③当左＜-2时，函数〃(x)在(鼠-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，在上单调递增，

因为人(-2)=20+%彳|)=加-|血2)＞同,所以〃(力在,上的最大值为力(-2)=加+20淇值为_2

或25,不符合题意；

④当-2〈人＜1时,〃⑴在停,1)上单调递减，在［1,1)上单调递增，

若力(X)在区间椅上的最大值为彳3=加一(其值为。或-?，不符合题意，

「3-

又因为若加=-22,则〃(-2)=m+20=-2.那么，函数在区间k,-上的最大值只可能小于一2,不合题

,zsh=.

忌、,

「3-1

所以要使函数〃(X)在区间k,-上的最大值为18,必须使〃化)=2左'+3左2-12左+加=18,且〃2=5,

艮［J"(左)=2左3+3左2-12左+5=18.所以2后3+3斤2—12左一13=0,

所以2^+2/+^+左一13/一13=0.所以2F优+1)+上伍+1)-13化+1)=0,

所以(2r+左一13)伍+1)=0.所以2"+"13=0或后+1=0,

所以左=T±.或左+1=0.因为一2<:<1,所以左=T±.舍去.

44

综上,实数上的值为-1,"的值为5.

【例4】(2023届江苏省徐州市睢宁县高三下学期5月模拟)已知函数/(x)=-2x3+加eR,且g(x)=I/(%)I

在xe(0,2)上的极大值为1.

⑴求实数加的值；

(2)若b=f{a),c=f(b),a=/(c)，求a也c的值.

[解析](1)g(x)=x212x-/w|,0<x<2,

①加W0时，g(x)=2x3-mx2g'(x)=6x2-2mx>0,无极值.

②加24时,g(x)=-2x3+mx2g'(x)=2x(m-3x),

fTl

当I22,即加26时,g'(x)20,无极大值;

TV]m

当4«冽<6时,X<§时,gr(x)>0；§<X<2时,g'(x)<0,

...g(x)在X=g处取极大值，即g(9=1=1,.•・加=3,舍去.

-+加I?,0«1工——

(3)0<m<4时,g(x)=<

2x3-mx2,—<x<2

2

2x(加-3x),0Kx<—

・•・g'(x)=，-

2x(3x-m),-y<x<2

YYlvyimvv]

0<x<§时,g'(x)>0；§<X<5时,g'(x)<0；,<X<2时,g'(x)>0.

...g(x)在x=g处取极大值吗=1m=3符合题意.

3乙/

(2)由(1)可知,/(%)=-2丁+3%2/(1)二-6工2+6%=61(-1+1),

令/'(、)>0可得-l<x<0,令/'卜)<0可得%〉1或…,

如图所示.

①当〃<0时。=/(a)>0,

当时,。vc=/(6)W1,贝Ua=/(c)>。,矛盾；

当6〉；时,。=/3)<0,.・.。=/©>0,矛盾.

②当。=0时，符合题意.

③当0<a<」时,0<x<,时,/(x)<x0<b=/(«)<«<-,

222

则0<C=f(b)<6<；,0<a=/(c)<c<^,.-.a<c<b<a，矛盾.

©当时，符合题意.

⑤当：<a<l时,(<尤<1时,/(x)>xl>b=/(a)>«>1,

贝！J1〉。=/3)>6〉；,1>a=/(c)>c>ga>c>b>a，矛盾.

⑥当。=1时，符合题意.

⑦当1va4］时,。w6=/(a)v1,贝lj。Wc=/(6)<1a=7(c)V1,与Q>1矛盾.

33

®当Q>］时,6=/(。)<0,。=/3)>0,・・.。=/0・1,与。〉5矛盾.

综上,a=b=c=O,或。=6=c=；，或a=b=c=l.

【例5】(2023届重庆市第十一中学校高三上学期11月质量检测)已知函数/(x)=d-3/+G+3,/(X)在

X1处取极大值，在x?处取极小值.

⑴若”0,求函数〃x)的单调区间；

⑵在方程/(x)=/(占)的解中，较大的一个记为马,在方程〃x)=/(々)的解中，较小的一个记为X”证明：

上五为定值.

x3-x2

【解析】(1)当a=0时,/(x)=x3-3f+3,定义域为R,/'(X)=3X2-6X,

当/'(x)>0时,x>2或x<0；当/'(x)<0时,0〈尤<2；

即函数〃x)的单调增区间为(-吗0),(2,+动；单调减区间为(0,2).

(2)由广(x)=3x?-6x+a,

根据题意，得3x2-6x+a=O的两根为x”x?，且玉<%,

即A=36-12。>0，得a<3,

X]+%2=2,

所以占vlv%2,

因f(x)—f(再)，贝!J%，—3/+dx+3—%：—3x；+uXy+3,

2

可矢口—3x+ax=xf-+axx,

因为/(再)=0,即a=6%一3%；,

3222

即x-xf+3xf-3x+ax-axx=(x-xj^x+%(^-3)-2x^+3xJ=(x-x1)(x+2x1-3)=0,

可知&=3—2』,同理，由/(力=)(%)，

222

可知工3_石+3考-3x+ax-ax2=(x-x2)|^x+x(x2-3)-2xf+3x2^|=(x-x2)(x+2x2-3)=0；

得至！J%=3—2X2,

所以当二五=三汩2=匕邃=匕心)=一1.

X-j—%23—2再—%2]—X]]-X]

【例6】已知函数f(x)=|ax3+|te2+cx(a>0).

⑴若函数〃x)有三个零点分别为毛,4，尤3，且玉+々+X3=-3,XA=-9，求函数/(x)的单调区间；

⑵若广⑴=-%,3a>2c>26,证明：函数/(x)在区间(0,2)内一定有极值点；

(3)在(2)的条件下,若函数/(x)的两个极值点之间的距离不小于百，求白的取值范围.

a

【解析】(1)因为函数+cx=M；a%2+gbx+c)(a>0),

xx

又X1+%+%3=-3,\2二一9，贝!]二°,匹+%2=-3,xxx2=-9

因为是方程；&+；bx+c=0的两根，

bc

所以/'(x)=ax2+bx+c=a(x2+—x+—)=a(x2+2x-3)=a(x-l)(x+3).

aa

令/'(x)=0解得：x=l,x=-3当/'(x)>0时,x<—3或x>l,

当/'(x)<0时,-3<x<1,故/(x)的单调递减区间是(-3,1),

单调递增区间是(-叫-3),(1,+功.

(2)因为/'*)=/+bx+cJ'(l)=-；a,

所以a+b+c=-1a，即3a+26+2c=0.

又a>0,3a>2c>26,所以3a>0,26<0,即a>0.b<Q.

于是/")=<0,=c,/'(2)=4a+2b+c=4a-(3a+2c)+c=a-c.

①当c>0时，因为八0)=c>0J'(D=[a<0,而f'(x)在区间(0,1)内连续,

则/'(x)在区间(0,1)内至少有一个零点，设为“加，

则在xe(0,加),(x)>0,f(x)单调递增，

在X€(加,1)J(x)<0,/(%)单调递减,

故函数/(X)在区间(0,1)内有极大值点x=m；

②当C40时，因为/'(l)=-ga<0,八2)="c>0,

则/'(x)在区间(1,2)内至少有一零点.设为X=",

则在xe(l,»),r(x)<0,/(x)单调递减，

在xw(〃,2)/(x)>0J(x)单调递增,

故函数/(x)在区间(1,2)内有极小值点.

综上得函数/(x)在区间(0,2)内一定有极值点.

(3)设加，”是函数的两个极值点，

则加，〃也是导函数厂(x)=加+fex+c=0的两个零点，

由(2)得30+26+2。=0,贝!]加+〃=-2,„2〃=£=-。-2.

aa2a

222

所以|相一〃|=yj(m+n)-4mn=A/(-—))=./(—+2)+2

Va2a\a

由已知,J(2+2y+22JJ,

Va

则两边平方得(2+2)2+223,得出。+221,或2+2WT,

aaa

即—2-1，或—<—3，又2c=-3a-2b,3a〉2c>2b,

aa

3

所以3a>-3a-2b>2b，即-3a<b<--a.

因为a>0,所以-3-.综上分析,2的取值范围是1I,-"

a