河北省唐山某中学2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年河北省唐山二中高二(上)月考数学试卷(10月份)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.空间直角坐标系中，已知4(2,1,3),B(—2,3,1),点4关于比Oy平面对称的点为C,则8,。两点间的距离为

()

A.6B.2代C.275D.回

2.已知(-3,避)是直线I的一个方向向量，则直线［的倾斜角为()

A.TB.?C.等D.

3.如图，M是四面体。4BC的棱BC的中点，点N在线段0M上，点P在线段4N上，且o

MN=|o/V,AP=*4N,用向量力?，~0B,玩表示存，则存=()

A秒+那+初”fX

B.|O1+|OB+|OC"

C.^OA+^OB+^0C

口.初+那+/

4.设x,yER,向量2=(久,1,1),b=(l,y,l),C=(2,-4,2),Ma1c,b//c,则多+>=().

A.2^/2B.C.3D.4

5.若点(1,1)在圆久2+产一%-£1=0的外部，贝必的取值范围为()

A.(-11)B.(11)C.(—8,1)D.(1,+oo)

6.已知直线A：x+(2a—l)y+2a—3=0,I2：ax+3y+a2+4=0,则“a=—是"I，/%"的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知半径为3的圆C的圆心与点P(—2,1)关于直线尤—y+1=0对称，则圆C的标准方程为()

A.(%+I)2+(y—I)2=9B.(x—I)2+(y-l)2=81

C.x2+y2—9D.x2+(y+l)2=9

8.直线［的方向向量为拓=(1,1,0),且/过点4(1,1,1),则点P(2,2,—1)到直线/的距离为()

A.A/2B.A/3C.2D.3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

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9.给出下列命题，其中正确的命题是()

A.若直线2的方向向量为"=(1,0,3),平面a的法向量为£=(一2,0,|),则直线l〃a

B.若对空间中任意一点0,有加=第了+那+冠，贝"P、4、B、C四点共面

c.若｛3薪｝为空间的一个基底，贝Ui++c,c+2｝构成空间的另一个基底

D.\a\-\b\=|之+另|是就共线的充要条件

10.下列说法正确的是()

A.直线收％+y+1=。的倾斜角为120。

B.经过点P(2,l),且在x,y轴上截距互为相反数的直线方程为x-y-l=0

C.直线/：mx+y+2—爪=0恒过定点(1,—2)

D.直线，1：x+2ay+1=0,%：(a—l)x—y—4—0,若，i-LI2，则。=—1

11.如图，在正方体ABCD-AiBiCiOi中，。是上底面ABC。的中心，E,F分别

为AB,AO的中点，则下列结论正确的是()

A.4。1EF

B.直线"1。与平面/i/CiDi所成角的正切值为"

TT

C.平面EF为与平面BBC1C的夹角为I

D.异面直线41。与BiE所成角的余弦值为嚅

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.平面71的法向量是：=(一2,-2,1),点4(一1,3,0)在平面a内，则点P(—2,1,4)到平面a的距离.

13.己知圆C：(久一l)2+y2=i,以圆心C和P(3,2)为直径的圆的标准方程是.

14.直线1的方程为(4+2)x+(2-l)y-3Z=0(4GR),当原点。到直线珀勺距离最大时，4的值为一

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知428。顶点2(3,3),边4C上的高所在直线方程为x-y+6=0,边AB上的中线CM所在的直线方程

为5久一3y-14=0.

(1)求直线AC的方程；

(2)求顶点C的坐标与△ABC的面积.

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16.(本小题15分)

如图，四棱柱力BCD-&B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点4为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为

60°.

(1)求力的的长；

(2)求证：ACilBD；

(3)求BDi与2C夹角的余弦值.

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P—A8CD中，底面A8CD为菱形，ABAD=60°,△PCD为等边三角形，E为棱PC中点，平

面PDC1平面2BCD.

(I)证明：P4〃平面BDE；

(II)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值.

18.(本小题17分)

已知坐标原点在圆C：x2+y2-2mx+2^my+4机2—4=0的内部.

(1)求实数m的取值范围；

(2)若圆C关于直线1：kx-y-k=0对称，求k的取值范围.

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19.(本小题17分)

已知三棱台4BC-41B1C1如图所示，其中力C=2BC==等4止1=4,44=B$=QC.

(1)若直线/u平面ABB1公,且I1AB,求证：直线11平面4BC；

(2)若平面ABC与平面Ai/Ci之间的距离为3,求平面4声中与平面4停18所成角的余弦值.

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参考答案

l.A

2.D

3.X

4.C

5.4

6.C

7.0

8.C

9.BC

IQ.ACD

11.ABD

12.y

13.(x-2)2+(y—l)2=2

14.-5

15.解：(1)由于边AC上的高所在直线方程为x—y+6=0,

所以设直线47的方程为x+y+c=0,由于点力(3,3)满足直线4c的方程，故c=-6；

故直线2C的方程为x+y-6=0.

⑵由于点C既满足直线5x-3y-14=0的方程，又满足x+y-6=0的方程，

故伊;誓Y(T°,解需等，故C(4,2).

设由于点B满足直线％-y+6=0,

故a-b+6=0；

设A8的中点坐标为(贷A号)，满足5x-3y-14=0,

故5x审-3x审-14=0,整理得5a-36-22=0,

^^(50-36-220,解得糖=盥故5(20,26)；

故点B(20,26)到直线x+y—6=0的距离d=股贽辿=20啦，\AC\=&

故531=已&x20&=20.

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16.解：(1)设=五，AD=bfAAi=c,

、—»i,—〔>>—

由已知得，a-b=-,b-c=-,a-c=-f\a\=\b\=|c|=1,

,>—>—>—>

又AC】=a+b+c,

•••\AC\=J(Z+1+』)2="l+l+l+l+l+l=g

(2)证明：由题意结合空间向量的线性运算法则可得何=2+3+2,BD=b-a,

--->>—>—>—>"—>—>->>—>—>>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

AC1•BD=(a+b+c)•(b-a)=a-b+网'+c-b—\a\z-a-h—a-c=c-b—a-c=0,

所以布，说，

所以力Cl1BD；

(3)解：由题意结合空间向量的线性运算法则可得西=加+"-Z,AC^a+b,

所以8s西苑=f=略

即BDi与2C夹角的余弦值为坐.

17.解：(/)证明：连接2C交BD于F,连接EF,

■.•底面ZBCD为菱形，F是4C中点，又E为棱PC中点，

故FE7/P4,又EFu平面BOE,P2C平面8DE；

•••P4〃平面BDE；

(〃)取CD的中点。，连接。8,OP,

PCD为等边三角形，PO1CD,

•平面PDC_L平面48CD.平面PDCC平面ABC。=CD.

.­.OP1平面4BCD又底面4BCD为菱形，乙BAD=60°,OB1CD,

以。为坐标原点，。8,OC,OP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设CD=4,则B(2*,0,0),0(0-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2®E(0,l,避)，

则而=((0,3,包而=(2避,2,0),

设平面BDE的一个法向量为五=(x,y,z),

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2

E

则口•嚣二;臆令y=B则x=—1，z=-3,

•••平面BDE的一个法向量为£=(-1,73-3),

又方=(2眄0「2避)，

设直线PB与平面BDE所成角为0,

.I77DT、I1尸8,川48A/2€

•••sinOn=cos<PB,n>\=^=；—,=----M—

11\PB\•\n\JlM+3o+9xJ12+1213

直线PB与平面BDE所成角的正弦值为逆.

18.解：⑴•・・原点在圆C的内部，4m2-4<0,-1<m<1,m的范围为：（一1,1）.

（2）由圆C方程得。（血,一73m）,

•・・圆C关于直线/对称，・•・圆心C在直线/上，

即km+通m—k=0,・•.fc（m-1）=—巡TH,

当?n=1时，0=-避不成立.

当加*1时，k=―史％=丝二11土史=—p—JL,

m—1m—1m—1

11.J3__V3

—1<m<1,•••—2<m—1<0,-------V,<1

m-1-------2'm—12

避-£>-*,则k>-学,

m—122

即々的取值范围为（一*+8）.

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19.(1)证明：依题意，BC=2,B1C1==75.

如图所示，延长三条侧棱交于点。，

由4遇=B1B=CiC,可得D4=DB=DC,

且必，Bi，Ci分别为线段DB,DC的中点，

取4B的中点M,则DM1AB,

由笔器，可得装=小贝1MB=2&Bi=26

DCZADZ

XAC2+BC2^AB2,贝!]C41CB,所以4M=CM,

则△DAM^△DCM,故NDMA=乙DMC=90°,

即DM1MC,而48nMC=M,且AB,MCu