2024-2025学年度九年级数学上册第2章旋转重难点讲解

第23章旋转——重难点

内容范围：23.1-23.2

©

O重难点知识剖析

直点’

知识点一：旋转的性质

1.旋转的性质

(1)对应点的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心形成的角等于旋转

角；

(2)对应角的性质：对应角相等；

(3)对应边的性质：对应边相等；

(4)图形的性质：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；

2.平移、轴对称、旋转的比较

平移轴对称旋转

相同点都是(合同变换)，即变换前后的图形全等.

不定把一个图形沿某一方向把一个图形沿着某一条直把一个图形绕着某一定点

同义移动一定距离的图形变线折叠的图形变换.转动一个角度的图形变

点换.换.

K-d

W

图..............--A'

形

B,

0

要平移

对称轴

素平移

对应点到旋转中心的距离

连接各组对应点的线段任意一对对应点所连线段相等；对应点与旋转中心

平行（或共线）且相等.被对称轴平分.所连线段的夹角都等于旋

转角.

性

*对应点到旋转中心的距

质

离相等；对应点与旋转中

任意一对对应点所连线段心所连线段的夹角等于旋

对应线段平行且相等.

被对称轴垂直平分.转角，即：对应点与旋转

中心连线所成的角彼此相

等.

3.旋转对称图形

（1）旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360。）后能与原图

形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形.

（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等.

4.旋转作图

（1）旋转作图的基本步骤：确定关键点—作关键点的对应点一连接对应点即可；

（2）作关键点对应点的步通：一连二旋三相等；

口:典例精讲

试卷第2页，共12页

例1

1.如图，将VABC绕点A顺时针旋转120。得到△AB'C',若点C,B,C共线，则NACB

的度数为（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

例2

2.如图，把VABC以点A为中心逆时针旋转得到VADE,点3,C的对应点分别是点O,E,

且点E在BC的延长线上，连接80,则下列结论一定正确的是（）

A.NCAE=/BEDB.AB=BD

C.ZACE^ZADED."CE是等边三角形

Q变式训练

变式1

3.图①中的花瓣图案绕着旋转中心，连续旋转4次，每次旋转角可以得到图②中的花

变式2

4.在等边VABC中，。是边AC上一点，连接3D,将△■BCD绕点B逆时针旋转60。，得到

△BAE,连接ED,若8c=5,BD=4,则以下四个结论中：①VR9E是等边三角形；②

AE//BC-,③VA£>E的周长是9；@ZADE=ZBDC.其中错误的序号是（）

A.①B.②C.③D.@

知识点二：中心对称的性质

1.中心对称的性质

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分.

（2）关于中心对称的两个图形是全等的.

2.轴对称与中心对称比较

比较项

轴对称中心对称

目

]

4_.....A'

图形q---

C

?

对应边相等平行且相等

对应角相等相等

对应点的连2去被对称轴垂直平对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心

对应点

分平分

3.中心对称作图

（1）中心对称作图的步骤：确定关键点—作关键点的对称点一连接关键点;

（2）作关键点的对称点的方法：一连二延三相等；

4.图案设计

试卷第4页，共12页

由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案.

典例精讲

例1

5.如图，VABC与△ABiG关于点。成中心对称，下列说法:

@ZBAC=ZB1AC1；②AC=AC；③。4=。4；④VABC与4A由G的面积相等，其中正

C.3个D.4个

例2

6.如图，VABC和3所关于点。成中心对称.

⑴找出它们的对称中心。；

⑵若AB=7,AC=5,BC=6,求ADEF的周长.

G）变式训练

变式1

7.如图，直线。、b垂直相交于点。，曲线C关于点。成中心对称，点A的对称点是点A,

AB，。于点B,ADL6于点D.若03=4,OD=3,则阴影部分的面积之和为

8.已知抛物线乙：丫=-2/+/+£?的顶点坐标为(-2,4),与x轴交于A、8两点(点A在点

2左侧)，抛物线〃与抛物线L关于原点。中心对称，且抛物线L过抛物线2/的顶点.

(1)求抛物线乙的函数表达式；

(2)若抛物线〃与无轴的交点分别为A'、3,(其中A与4对应，B与9对应)，E是y轴上一

点，在抛物线〃上是否存在一点P,使得以点8、A'、E、尸为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

知识点三：旋转与坐标

1.关于原点对称的点的坐标

特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；P(x,y)今P(-x,-y)

2.旋转图形的坐标

(1)旋转90。的坐标特征：点尸36)的对应点尸(〃[,〃)，则有同=时,网=|m|,正负号由具

体位置确定；

(2)旋转30。，45°,60。的坐标特征，需要结合30。直角三角形的性质和45。的直角三角形

的性质确定；

3.函数图象关于原点对称的图象的特征

函数名称原解析式关于原点对称的图象的解析式

一次函数y=kx-\-b—y=k(—x)+by=kx-b

二次函数y=ax1+bx+c-y=〃(一x)2+b(-x)+c即y=-ax2+bx-c

二6：典例精讲

例1

试卷第6页，共12页

9.如图，正方形。4、OC的两边。4、OC分别在x轴.V轴上，点。（3,2）在边力B上，以

C为中心，把△（7£啰旋转90。，则旋转后点。的对应点）的坐标是（）

A.(1,6)B.(-1,0)C.(1,6)或(TO)D.(6,1)或(一1,0)

例2

10.如图所示，VASC三个顶点坐标分别为4（-1,0）、*-2,-2）、C（4-1）请在所给的正

方形网格中按要求画图和解答下列问题：

（1）以A点为旋转中心，将VA5c绕点A顺时针旋转90。得△A耳G，画出△A^G.

（2）画出VABC关于坐标原点。成中心对称的△A与G.

⑶若4482G可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为

o变式训练

变式1

11.若点A（3,。）与6他-2）关于原点对称，则点〃（。力）所在的象限是（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

变式2

12.如图，等边三角形3s的边长为2VL边。4在无轴正半轴上，现将等边三角形（MB绕

点。逆时针旋转，每次旋转60。，则第2021次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（）

B.（0,-1）C.（也，-1）D.（0,-2）

知识点四：旋转与几何

1.常见的旋转模型

试卷第8页，共12页

例1

13.如图，在VABC中，ZR4c=60。，。为边AC上的一点，当时，连接8。，将

线段BO绕点3按逆时针方向旋转60。，得到线段3E,连接AE,DE.若AD=6,贝LABE

的面积的最大值为（）

A.73B.五C.更D.拽

24

例2

14.阅读与思考

下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.

构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形

中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明

晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应

用，

例：如图1,已知尸为等边三角形ABC内一点，ZAPB=H3°,ZAPC=123°.

求以AP,BP,CP为边的三角形中各个内角的度数.

解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以小，BP,CP为边的三角

形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为AP,BP,CP的三角形来解决问题.

解：将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQ8,则AAQB%APC.

BQ=CP,AQ=AP,Z[=ZCAP.

由旋转可知NQ”=60。，是等边三角形.【依据】

•.QP=AP,Z3=Z4=60°.

△QBP就是以AP,BP,CP为边的三角形.

1,1ZAPB=113°,Z5=ZAPB-Z4=53°.

ZAQB=ZAPC=123°.:.N6=ZAQB-N3=63°.

ZQBP=180°-Z5-Z6=64°.

.,.以AP,BP,CP为边的三角形中，三个内角的度数分别为64。，63°,53°.

构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出

来，使问题变简单.

任务：

(1)上面小论文中的“依据”是.

⑵如图2,已知点尸是等边三角形ABC的边上的一点，若NAPC=102。，则在以线段转，

BP,CP为边的三角形中，最小内角的度数为

PC

图2

(3)如图3,在四边形ABC。中，ZADC=30°,ZABC=60。，AB=3C.求证：BD2=AD2+CD2.

试卷第10页，共12页

D

A

BC

图3

G）变式训练

变式i

15.如图，有两个全等的矩形ABCZ）和矩形AB'C'D重合摆放，将矩形A'B'C'D'绕点C逆时

针旋转，延长AD交AO于点E,线段AE的中点为点尸，AB的长为2,8C的长为4,当

CR取最小时，AF的长为（）

变式2

将三角形纸片A3C进行以下操作：①折叠三角形纸片A5C,使点C与点A重合，得到折

痕DE,然后展开铺平；②将ADEC绕点D顺时针方向旋转得到点E,C的对应点

分别是点RG,直线GF与边AC交于点〃（点M不与点A重合），与边AB交于点N.

【数学思考】

(1)折痕DE的长为;

(2)在ADEC绕点。旋转的过程中，试判断与ME的数量关系，并证明你的结论;

【数学探究】；

(3)如图②，在A£)EC绕点。旋转的过程中，当直线G厂经过点8时，求AM的长；

【问题延伸工

(4)在ADEC绕点。旋转的过程中，连接AF,则"的取值范围是.

试卷第12页，共12页

参考答案：

1.C

【分析】此题主要考查了旋转的性质，三角形的内角和定理.利用旋转的性质和三角形内角

和定理即可求解.

【详解】解：,•・将VABC绕点A顺时针旋转120。得到△AB'C,且点C,B,C'共线，

\AC=ACft,ZCAC'=120°,

ZACB=ZAC'C=1(180°-120°)=30°.

故选：C.

2.A

【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角的运用是解题的关

键.根据旋转的性质和三角形外角的定义和性质，逐项分析判断即可.

【详解】解：由旋转的性质可得，AC=AE,ZACB=ZAED,ZABC^ZADE.

ZACB=ZAED,

：.ZCAE+ZAEB=ZAEB+ZBED,

AZCAE=ZBED,故选项A正确，符合题意；

无法证明钻=BD,故选项B不正确，不符合题意；

,/ZABC=ZADE,

又ZACE=ZABC+ZBAC=ZADE+ZBAC,

：.ZACE^ZADE,故选项C不正确，不符合题意；

AC=AE,

：.ZACE=ZAEC,

：."虑是等腰三角形，但无法证明“匿是等边三角形，

故选项D不正确，不符合题意.

故选：A

3.B

【分析】本题考查了旋转和正多边形外角，结合正多边形的外角是求旋转角的关键.

根据旋转后的图形可知，旋转后的图形内部是一个正五边形，所以旋转角应为正五边形外角

的正整数倍，然后判断选项即可.

【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形，

答案第1页，共15页

1="?平，（0<〃W5）〃为正整数；

a可以为72。，

故选：B

4.D

【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线

段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质.

先由△BCD绕点B逆时针旋转60。，得到1得到=ZDBE=60°,则可判断

VBDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得朋=BC,ZABC=ZC=ABAC=60°,再

根据旋转的性质得到NBA£=/5CD=60。，所以=NABC=60。，则根据平行线的判

定方法即可得到AE〃BC；根据等边三角形的性质得/5DE=60。，而ZBDC>60。，则可判

断ZADEwNBDC；由AB/汨是等边三角形得到/汨=砒>=4,再利用△BCD绕点3逆时针

旋转60。，得到△R4E,则AE=CD,所以的周长=AC+3D.

【详解】解：•••△BCD绕点3逆时针旋转60。，得到

:.BD=BE,ZD3E=60。，

.•△BOE是等边三角形，所以①正确；

•.•AABC为等边三角形，

:.BA=BC,ZABC=NC=NBAC=60。，

绕点8逆时针旋转60。，得到AAM,

ZBAE=ZBCD=60°,

:.ZBAE=ZABC,

：.AE//BC,所以②正确；

:.ZBDE=Gd0,

ZBDC=ZBAC+ZABD>60°,

:.ZADE^ZBDC,所以④错误；

•.•△5DE是等边三角形，

：.DE=BD=4,

而△BCD绕点3逆时针旋转60。，得到A54E,

AE=CD,

...△A£D的周长=AE+AD+OE=CD+AZ）+QE=AC+4=5+4=9,所以③正确.

答案第2页，共15页

故选：D.

5.D

【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离

相等”即可判断.

【详解】解：,•,VA5C与44与G关于点。成中心对称，

NABC丝△AAG,

/BAC=,AC=AG，VABC与△AB1G的面积相等，

故①②④正确；

对称点到对称中心的距离相等，

OA=OR,

故③正确；

综上可知，正确的有4个，

故选D.

6.(1)见解析

⑵18

【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键.

(1)连接AD、CF,其交点就是对称中心。；

(2)根据V43c和△£)£尸关于点0成中心对称，得出AS=Z)E=7,AC=DF=5,

BC=EF=6,再由三角形周长公式计算即可.

(2)解：：VABC和通砂关于点。成中心对称,

:.AB=DE=1,AC=DF=5,BC=EF=6,

：.ADEF的周长=产+£F=7+5+6=18,

答：△口£户的周长为18.

答案第3页，共15页

7.12

【分析】此题考查了中心对称的性质、矩形的判定和性质等知识，过点4作AF于点F,

过点A作于点E,证明四边形AL（,是矩形，则H产=8=3,同理可知，四边形

ABOE是矩形，则AE=OB=4,由曲线C关于点。成中心对称，点A的对称点是点A,则

AE=AD=OB=4,AB=AF=3,图形①与图形②面积相等，即可得到答案.

【详解】解：如图，过点A作于点E过点A作AEJ_6于点£,

；AD_LZ?于点D

ZAFO=AFOD=ZADO=90°,

四边形ADO尸是矩形，

A尸=8=3,

同理可知，四边形ABOE是矩形，

AE=OB=4,

1•,曲线C关于点。成中心对称，点A的对称点是点A,

AAE=A'D=OB=4,AB=AF=3,图形①与图形②面积相等,

/.阴影部分的面积之和=长方形ABOE的面积=3x4=12.

故答案为：12.

8.(l)y=-2x2-8x-4；

⑵存在，(-4,68)或(4,4)或(2/20-160)

【分析】（1）由题意得抛物线工的顶点式为：y=-2（x+2）2+4,将点C'（0,4）代入求出。

的值即可；

（2）根据关于原点。对称的点的横纵坐标均互为相反数可得抛物线〃的顶点坐标为（2,T）,

与y轴交于点（0,-4）,抛物线//的函数表达式为：J；=2（%-2）2-4=2%2-8%+4；求出点A

答案第4页，共15页

的坐标是卜2-忘,0),点B的坐标是卜2+0,0),点A的坐标是(2+&,0),点8的坐标

是(2-血,0),得出34=2+立一卜2+0)=4,设以0,〃2)可〃,〃2-8〃+4),分两种情况:

①B4'为平行四边形的边时，②BA为平行四边形的对角线时，分别求解即可得到答案.

【详解】(1)解：•••已知抛物线£：，=-2/+法+。的顶点坐标为(-2,4),

抛物线L的顶点式为：y=—2(x+2y+4,

抛物线L：y=-2/-8x-4；

(2)解：抛物线L与y轴交于点(0,-4),

..•关于原点。对称的点的横纵坐标均互为相反数，

•••抛物线L'的顶点坐标为(2,-4),

；•设抛物线27的顶点式为：y=a(x-2)2-4,

将点C'(O,4)代入得4。-4=4,

解得：a-2,

：.抛物线L'的函数表达式为：y=2(X-2)2-4=-8x+4；

:抛物线L：y=-2x?-8x-2,当y=0时，-2--8x-4=0,

解得由=-2+,>/2%2=—2—A/2,

•••点A的坐标是卜2-夜,0),点B的坐标是卜2+72,0),

•••点A-的坐标是(2+及,0),点8的坐标是(2-72,0),

/.84=2+&-卜2+&)=4,

设E(0,m)尸(“,2“2_8〃+4),

①BA1为平行四边形的边时，BA，=EP=4,BA'//EP,

；.〃=4或T,

...点P的坐标为(Y,68)或(4,4)；

②BA为平行四边形的对角线时，

2+-Jl.+卜2+A/2)=0+〃，

答案第5页，共15页

••n=2^2，

点P的坐标为(2a,20-16夜).

综上，点尸的坐标为(-4,68)或(4,4)或(275;20-160).

【点睛】此题是二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的平移、二次函数

的顶点式、关于原点对称的点的特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的平移、

二次函数的顶点式是解题的关键.

9.C

【分析】本题考查了正方形性质，坐标与图形变换——旋转，求直角坐标系中点的坐标，做

题时分两种情况，顺时针和逆时针旋转，作出相应图形进行计算即可.作出图形分类讨论是

解答本题的关键.

【详解】解：△CD3顺时针旋转90。时，如下图：

・•.正方形的边长为3,

:.AD=2,BD—3—2—1,

■：四边形ABCD是正方形，

.-.ZB=ZAOC=90°,

由旋转性质可得：OD'=BD=BC=OC=1,ZB=NCOD=90。,

在x轴上，

"'(TO)；

△CD8逆时针旋转90。时，如下图：

答案第6页，共15页

由旋转性质可得：B'C=BC=3,B'iy=BD=l,/BCB'=90°,NB=NCB'U=90。,

.18'在y轴上，B'D'//x^,

；.0B'=3+3=6,

综上，)的坐标为。,6)或(-1,0)

故选：C.

10.(1)见解析

(2)见解析

⑶(。，-1)

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转和中心对称：

（1）分别作出点夙C绕点A顺时针旋转90。得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可;

（2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；

（3）作线段用鸟的垂直平分线，与线段垂直平分线的交点即为旋转中心，从而得出答

案.

【详解】（1）解：如图所示，△AAG即为所求；

（2）解:如图所示，△4与6即为所求；

（3）解：如图所示，B\B-A4的线段垂直平分线交于（O，T），

旋转中心的坐标即为（0,-1）。

答案第7页，共15页

【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点以及各点所在象限的性质，根据“点

A（3,a）与夕（6,-2）关于原点对称”，求出服6的值，即可确定点M的坐标，进而得到结论.解

决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互

为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的

点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

【详解】解：：点4（3,。）与方伍,-2）关于原点对称，

a=2,b=—3j

：.M（2,-3）

.♦.点”（2,-3）在第四象限，

故选：D.

12.C

【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转、规律型-点的坐标，过点8和点。分别作3CLQ4

于点C,8，9于点。，根据VAOB是等边三角形，可得点G的坐标，等边三角形AO2

绕点O逆时针旋转，每次旋转60。，旋转6次为一个循环，分别求出等边三角形中心G旋转

后的坐标，进而可得第2021次旋转结束后，等边三角形中心的坐标，理解等边三角形和直

角三角形的性质，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解题关键.

【详解】解：如图，过点B和点。分别作3CLQ4于点C,于点。，

答案第8页，共15页

•••VA03是等边三角形，

OD平分ZBOA,

，ZDCM=30°,

又：OC=-OA=A/3,

2

ACG=1,OG=2,

•••等边三角形（MB绕点。逆时针旋转，每次旋转60。，

旋转6次为一个循环，

:等边三角形中心G坐标为（Q1）,

第1次旋转后到y轴正半轴上，坐标为（。，2）,

第2次旋转后到第二象限，坐标为卜君，1）,

第3次旋转后到第三象限，坐标为卜君，-1）,

第4次旋转后到y轴负半轴上，坐标为（0,-2）,

第5次旋转后到第四象限，坐标为（、/i-l）,

第6次旋转后回到第一象限，坐标为（61）,

,?2021+6=336.......5,

...第2021次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（、屈-1）,

故选：C.

13.D

【分析】在AC上截取AF=AB,连接3户，过8作砌±必交班延长线于氏由旋转性

质和等边三角形的判定与性质证明AABF是等边三角形得到AB=BF,

AAFB=ZABF=60°=AEBD,进而证明AASE也AFBO（SAS）得到NBAE=120。，则有

答案第9页，共15页

ZABH=30°,设AS=2x,利用直角三角形的性质得到则出/=向仁为了=岛，进而

得到S.ABE=-石］尤-1：+苧，然后利用二次函数的性质求解即可.

【详解】解：在AC上截取AF=AB,连接即，过3作胡_L初交E4延长线于“，则

4=90°,

由旋转性质得/EBD=60°,BE=BD,

VZBAC=60°,AF=AB,

△AB尸是等边三角形，

：・AB=BF,ZAFB=ZABF=60°=ZEBDf

：.ZABE=ZFBD,

：.AABE%FBD（SAS）,

：.ZBAE=ZBFD=1800-ZAFB=120°f

：.ZABH=ZBAE-ZH=30°f

在R3AHB中，设AB=2无，则A"=gA3=x,=^AB2-AH2=-fix»

*.*AD=6,AF=AB=lx,AD>AB,

AE=DF=6—2x,0<x<3,

1/-y/3<0,

.•.当尤=:时，S最大，最大值为她，

24

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质，旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角的判

定与性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质和二

答案第10页，共15页

次函数的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形，利用二次函数性质求解几何最值问题是

解答的关键.

14.(1)有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形

⑵18

(3)证明见解析

【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理：

(1)依据是有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形；

(2)将△ACP绕点A顺时针旋转60。到^AQB的位置,连接PQ,则^AQB^APC,可得△AP。

是等边三角形，则△QBP就是以"，BP,CP为边的三角形.根据全等三角形的性质及三

角形内角和定理分别求得三个内角的度数，即可得到答案；

(3)连接AC,将△BCD绕点C顺时针旋转60。到"虑的位置，连接DE,先证明VABC

是等边三角形，由旋转的性质可得△OCE为等边三角形，进而可得

ZADE=ZADC+ZCDE=900,利用勾股定理即可得证.

【详解】(1)解：依据是有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，

故答案为：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形；

(2)解：如图，将绕点A顺时针旋转60。到AAQ3的位置，连接PQ,贝IJAAQBRAPC,

AQ=AP,Z1=ZCAP,

由旋转的性质可知NQAP=60°,

•••△4尸。是等边三角形,

：.QP=AP,Z3=Z4=60°,

•••AQBP就是以AP,BP,CP为边的三角形,

vZAPC=102°,

...N5=180°-ZAPC-Z4=180o-102°-60o=18°,

ZAQB=ZAPC^102°,

答案第11页，共15页

...N6=ZAPC-Z3=102°-60°=42°，

ZQBP=180°-Z5-Z6=120°,

・・・/5<N6<NQBP,

「•最小内角的度数为18。，

故答案为：18；

(3)证明：如图，连接AC,将△5CD绕点。顺时针旋转60。到△ACE的位置，连接DE,

/><X\•/ZABC=60°,AB=BC,

'"E

VA3C是等边三角形，

BC=AB=AC,

由旋转可知/场=应>,CE=CD,ZDCE=6O°,

△DCE为等边三角形，

DE=DC,/CDE=60°,

..ZADE=ZADC+ZCDE=90°,

在RtA/LDE中，由勾股定理得AB?=41)2+£>岳，

BD-=AD'+DC2.

15.B

【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质

等知识，确定CP何时取最小值是解题关键.连接CT,由“垂线段最短”的性质可知当

CFA.AE,即点尸与点以重合时，CP取最小值，此时连接CE,易得

EF