2025年高考数学总复习：任意角和弧度制及任意角的三角函数

™三角函数与解三角形

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

考试要求：1.了解任意角的概念和弧度制.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

-------------必备知识落实“四基”-------------

自查自测

知识点一角的概念的推广

1.判断下列说法的正误，正确的画“，错误的画“X”.

(1)小于90°的角是锐角.()

X提不：一30°角不是锐角.

(2)第四象限的角一定是负角.()

X提不：280°角是第四象限角，但它不是负角.

(3)60。角与600。角是终边相同的角.()

X提示：600°—60°=540°不是360°的倍数.

(4)将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°.()

V提示：分针转一周为60分钟，转过的角度为一360。，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢

10分钟转过的角为360°X-=60°.

6

2.(教材改编题)已知0°《a<360°,且a与600°角终边相同，则a=,它是第

象限角.

240°三解析：因为600°=360°+240°,所以240°角与600°角终边相同，且0°W240°<360°,

故a=240°,它是第三象限角.

核心回扣

1.角的定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

2.分类：

I正角Hrd一限角|

匕轴线角I

3.终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合5=冽£=生

+左360°,―或弱8=a+2E,左GZ}.

自查自测

知识点二弧度制

1.判断下列说法的正误，正确的画“，错误的画“X”.

(1)一个角的度数对应唯一一个弧度数.(V)

(2)1弧度的角大于1度的角.(J)

(3)角a弧度数的大小与所取圆的半径大小有关.(X)

(4)把72。化成弧度为京X)

2.下列与牛的终边相同的角的表达式中正确的是()

A.2加+45-伏GZ)B.k360°+?/GZ)

C.上360°—315°(左ez)D.析+今(左GZ)

C解析：终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，故应为：+2E或左3600+

45°/GZ),因此C选项符合.

3.半径为2,圆心角为£的扇形的面积是

g解析：由已知得S扇=：Xgx2?=*

3263

核心回扣

1.定义：长度等于生j还的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.

2.a的弧度数公式：同=/弧长用/表示，半径用r表示).

3.角度与弧度的换算：

(1)1，小

(2)1rad=(罩尸57.30。.

4.弧长公式：弧长l=\a\r.

5.扇形面积公式：(尸.

注意点：

(1)把弧度作为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写，但把度C)作为单位表示角时，

度C)就一定不能省略.

(2)角度制与弧度制可利用180。=兀阳1进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，

不可混用.

自查自测

知识点三任意角的三角函数

1.已知角a的终边过点尸(一1,2),贝|sina=()

A.4.逋

55

C.—也D.—茹

55

B解析：因为|。尸|=］（一1『+2°=右（0为坐标原点）,所以sina=|=当

2.（教材改编题）若sina<0,且tana>0,则a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

C解析：由sina<0知a的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tana>0知a

的终边在第一或第三象限，故a是第三象限角.故选C.

3.在平面直角坐标系中，角a与角夕的始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x

轴对称.若sina=g,贝Usin《=.

一；解析：设角a的终边与单位圆相交于点P（x,y）,则角/的终边与单位圆相交于点。。，

—y）.由题意知,=5m1=提所以sin£="y=_g.

核心回扣

1.定义：任意角a的终边与单位圆交于点尸（x,》），则歹=51110,x=cosa,：=tana（xWO）.

2.定义的推广：P（x,歹）是角a的终边上异于顶点的任意一点，设点P到原点O的距离为r,

贝！Jsincc=~jcosa=二，tana=J（xWO）.

rrx

3.三角函数值在各个象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.

sinncosntanat

4.若角a,P的终边关于无轴对称，贝!Isina=-sin£,cosa=cos夕；若角a,6的终边关于

y轴对称，则sina=sinp,coscosp.

【常用结论】

1.象限角

象

{a|2女arvav2Z7r+§,%EZ}第一象限角卜-限T第三象限角）{a|2%TT+TTVaV2KTT+乎.」ez}

角

的

集U第四象限角）|a|2kk+苧vav2&TT+2iT#ez）

第二象限角合

2.轴线角

■{终边落在y轴上的角q+hr,后ez}

{a|a=hr,keZ}（终边落在x轴上的角

•（终边落在坐标轴上的角）［a［a=".A：ez}

应用1若。是第二象限角，则一1是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

C解析：因为a是第二象限角，可得：+2防t＜a＜兀+2E,4GZ,所以一兀一2E＜—a＜—g—

2kn,左GZ,此时一a位于第三象限.

应用2在平面直角坐标系中，如果角a与角£的终边互相垂直，那么角a与角/的关系式

为（）

A.4=a+90。B.夕=a±90。

C.£=a+90°+左360°aez）D./=a±90°+左360°（左ez）

D解析：因为角a与角P的终边互相垂直，所以「=a±90°+左SGO。（左GZ）.

-------------核心考点提升“四能”------------

考点一象限角及终边相同的角

1.与240°角终边相同的角的集合是（）

A.{a[a=E+g,左ez}B.{a卜=2E+g,左ez}

C.^a|a=foc+y,无ez}D.^a|a=2A7t+y,左ez}

D解析：因为240°=午，所以与240°角终边相同的角的集合是{m=2航+,，任Z,

2.（多选题）下列说法正确的是（）

A.时钟经过两个小时，时针转过的角是60°

B.钝角大于锐角

C.三角形的内角必是第一或第二象限角

D.若a是第二象限角，贝吟是第一或第三象限角

BD解析：对于A,时钟经过两个小时，时针转过的角是一60°,故错误.对于B,钝角一

定大于锐角，显然正确.对于C,若三角形的内角为90°,则是终边在y轴正半轴上的角，

故错误.对于D,因为角a的终边在第二象限，所以2E+fVa＜2E+7t,左GZ,所以ku

+（＜|＜E+：,左ez,当k=2n,时，2〃兀+；＜户2"兀+彳，«ez,得萍第一象限角；

当左=2〃+1,时，（2〃+1）兀+：＜]＜（2〃+1）兀+1"62,得]是第三象限角，故正确.

3.若角a的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y=一底上，则角a

的取值集合是（）

A.{a|a=2fac—左ez}B.^«|a=2foc+y,左ez}

C.{闻01=左兀一三，任z}D.{a|a=加一；，任z}

D解析：因为直线＞=—，曳的倾斜角是tana=—石，所以终边落在直线y=—gx上

的角a的取值集合为｛a,=E—左ez｝或｛a|a=®:+三，任z｝.故选D.

4.若a=45°+ai80°供GZ）,则a的终边在（）

A.第二或第三象限B.第一或第三象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限

B解析：当上为奇数时，记左=2"+l（〃GZ）,则a=225°+"-360°（"GZ）,此时a为第三象

限角；当先为偶数时，记k=2n（nWZ）,则a=45°+"-360°（"GZ）,此时a为第一象限角.故

a的终边在第一■或第三象限.

A反思感悟

1.判断象限角的方法

作出已知角并根据象限角的定义判断该角是第几象限角或将已知角化为质3600+

a（0°Wa<360°,左GZ）的形式，由角a终边所在的象限判断已知角是第几象限角.

2.确定总，泌GN*）的终边位置的方法

（方法一）先写出后a或菅的范围，然后根据左的可能取值确定左a或2的终边所在的位置.

（方法二）数形结合求软勺终边位置：将各象限角平均分成左等份，从x轴正半轴开始，逆时针

循环写出1,2,3,4,k,a为第几象限角，则相应标号区域即

为色的终边所在的位置.

k

3.求终边在某直线上的角的方法

在平面直角坐标系中画出该直线，按逆时针方向写出［0,2兀）内的角，再由终边相同角的表

示方法写出满足条件的角的集合并化简.

提醒：确定角的终边位置时易忽视角的终边与坐标轴重合的情况.

考点二扇形的弧长、面积公式

【例1】（1）（2024・日照模拟）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长

的近似计算公式：殳=弦+好，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆

弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指圆弧所在圆的直径.如图，已知扇形的

面积为多扇形中圆弧所在圆。的半径为2,利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（)

A.V5+2

r4g+1

,-2-D.20+1

C解析：设扇形的圆心角为Q,

由扇形面积公式可知：X22Xa=与，所以a4.

如图，取打的中点C,连接OC,交48于点。，5Hoe_L/8.

O

易知NO4D=:则。。=2sinU=l,

66

所以CD=2—1=1,AD=2cosAB=2AD=2y/3,

6

所以扇形弧长的近似值为，界=弦+^^=45+"2=歧口.

径2OA2

(2)一扇形的圆心角为％半径为R,弧长为/.已知［=aR=10cm,求扇形的面积.

解：由已知得7?=10cm,

所以S扇衫=/•尺2=gX；*1()2=§(加2).

［变式1］若本例(2)条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.

角星：l—aR=^X10=^(cm),

S元=S扇”一5二南杉=抽一料sinx^X10-ixio2X^=^y^(cm2).

［变式2］若本例(2)已知条件改为“扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角a为多少弧度时,

这个扇形的面积最大？

解：由已知得/+2R=20,则/=20—2尺(0<R<10),

所以S扇取=：东=；(20—2尺)尺=10尺一尺2=一(氏-5)2+25,

所以当7?=5cm时，S扇衫取得最大值，最大值为25cm2,此时/=10cm,a—2rad.

A反思感悟

应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解

决，有时也利用基本不等式及导数求最值.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

多维训练

-----------------------------------■

1.已知扇形的弧长是4cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是()

A.1B.2

C.4D.1或4

C解析：因为扇形的弧长为4cm,面积为2cm2,设扇形所在圆的半径为〃所以扇形的面

积为:X4Xr=2,解得厂=1,则扇形的圆心角的弧度数为；=4.故选C.

2.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深

吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸(单位：cm)如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为()

1600cnrB.3200cnr

3350cnrD.4800cnr

D解析：易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到.

设大、小扇形所在圆的半径分别为n,r2,相同的圆心角为a则6=国=近，得n=2已

尸1井2

又因为修一尸2=40,所以门=80,尸2=40,

该扇形玉雕壁画面积S=gxi60Xn-gx80Xr2=：><160X80—：X80><40=4800(cm2).

3.已知扇形/。8的周长为8.

(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长NA

解：(1)设扇形N02的半径为r,弧长为/,圆心角为a.

2厂+/=8,(-a=

由题意可得1解得,一3’或(r]

-lr-3,I1=2(7=6,

所以。='=；或a=-=6.

r3r

(2)因为2r+/=8,所以S扇形=衿依运乂啜=Jxg)=4,

当且仅当2厂=/,即a=；=2时，扇形面积取得最大值4,

所以，=2,所以弦长/2=2sinlX2=4sin1.

三角函数的定义及应用

考向1三角函数的定义

【例2】(1)已知角a的终边经过点尸(-2,4),则sina-cosa的值为(

A解析：因为角a的终边经过点P(—2,4),

所以sina=,4==交,cosa—,2=———,贝Isina—cosa=拽.

555

(2)已知角a的终边经过点尸(一8〃z,-6sin30°),且cosa=—%则加的值为()

c-\D-T

C解析：由题意得点尸(一8加，-3),|OP|=V6W+9,

所以cosa=-^====—7,解得加=：.

V647M2+952

［变式］本例(1)中条件改为“终边落在直线岳+y=0上”，求sina,cosa,tana的值.

解：直线后+y=0,即>=一后，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点2(-h

V3),则|。。|=J(—iy+(V3)=2,所以sina=gcosa——^,tana=—V3.

在第四象限取直线上的点G(l,-V3),贝力。G|=Jr+(-6y=2,

1

=

所以sina=——,coscc-ftana=­V3-

>反思感悟

三角函数的定义主要应用于两方面

利用三角函数的定义，已知角a终边上一点P的坐标，可以求出角a的三角函数值；已知

角a的三甬函数值，也可以求出点P的坐标.

考向2判断三角函数值的符号-……一

【例3】(1)若sinacosa>0,cosatana<0,则a的终边落在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

C解析：由sinacosa>0,得a的终边落在第一或第三象限，由cosatana=cosa•业，=sin

cosa

a<0,得a的终边落在第三或第四象限.综上所述，a的终边落在第三象限.故选C.

(2)(2024•东营模拟)若。为第二象限角，则下列结论一定成立的是()

nn

A.sin->0B.cos->0

22

C.tan->0D.sin-cos-<0

222

C解析：因为。为第二象限角，所以升2E<夕<兀+2版，止Z,

则:kU,所以g为第一或第三象限角，则tang>0.

A反思感悟

利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上

的情况.

多维训练

…--------------------------------------------------■

1.(多选题)在平面直角坐标系中，角a的顶点在原点。，以x轴的非负半轴为始边，终边

经过点尸(1,m)(m<0),则下列各式的值恒大于0的是()

Asina「.

A.-----B.cosa—sma

tana

C.sinacosaD.sina+cosa

AB解析：由题意知sina<0,cosa>0,tana<0,则空上>0,故A正确；cosa-sina>0,故

tana

B正确；sinacosot<0,故C错误；sina+cosa的符号不确定，故D错误.故选AB.

2.已知a是第二象限角，P（x,右）为其终边上一点，且cosa=W，则x等于（

A.V3B.±V3

C.—V2D.-V3

D解析：由三角函数的定义得cos0：=^^=亨，解得x=土6.又点尸（x,6）在第二象限

课时质量评价（二十一）

。考点巩固

1.把一1125°化成a+2E（0Wav2mA;£Z）的形式是（）

A.『6兀B.——6兀

4

C.D.y—8兀

4

D解析：一1125。=—1440。+315。=—8兀+5

2.已知角6的终边经过点（2a+l,a—2）,且cos则实数。的值是（）

A.B-n

C.—2或《D.1

B解析：由题设可知2“+1=:且2a+l>o,即a>T，

J（2a+iy+（a-2）2

4，+44+19

所以:,则1l/+20a―4—0,解得a=―2或1=开又1>-所以4=百

5a2+525

3.点尸从（1,0）出发，沿单位圆逆时针方向运动与弧长到达0点，则点0的坐标为（）

v

A.(-P与B.

r

C.(-PD.

2TE_1.InV3

A解析：由三角函数的定义可知点。的坐标（x,y）满足x=cos-y=sin—=—

32z32

所以点0的坐标为（一;，等.

4.（2024・惠州模拟）如果点尸（2sin仇sin0-cos。）位于第四象限，那么角。所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

B解析：因为点P（2sin。，sinOcos位于第四象限,

“(2sin0>0,「fsin6>0,“”“一

所以［即)所以角。所在的象限为弟二象限.

(sin9cos。<0,(cos0<0,

5.(多选题)已知扇形的周长是6cm,面积是(2。加2),则下列说法中正确的有()

A.扇形的半径为2cm

B.扇形的半径为1cm

C.圆心角的弧度数是1

D.圆心角的弧度数是2

ABC解析：设扇形的半径为rcm,圆心角的弧度数为Q,

2r+(zr=6,(7=2,

则由题意得1解得?一1，或

-ar2=2(a=4

29(Q=1,

所以圆心角的弧度数是4或1,扇形的半径是1cm或2cm.

6.已知角a的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角a终边上的一点P到原点的

距离为近.若a=g,则点P的坐标为

(1,1)解析：设点尸的坐标为(x,y),

故点尸的坐标为(1,1).

7.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是.

V2解析：设圆的半径为匕则圆内接正方形的对角线长为2厂，所以正方形边长为近厂，所

以该圆弧的圆心角的弧度数是变=应.

r

8.设角a的终边为射线OP,射线OP与OP关于y轴对称，射线。尸2与。丹关于直线y

=一x对称，则以射线。尸2为终边的角的集合是.

/b=^360°+90°+a,左GZ}解析：依题意，以射线。尸i为终边的角>=如360°+180°—

a,eGZ,从而以射线0尸2为终边的角夕=一(鱼•360°+180°—a)+后360°—90°=的一E>360°

o

+90+a=^360°+90°+a(^i,k2,左GZ).

9.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇

骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.如图，当折扇所在扇形的圆心角

为昌时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长AB与弧长AB之比

为.

”解析：设扇形的弧长为/,半径为r,如图，取48的中点。，连接

4DB

由题意知圆心角a为则/8。。=全

所以弦长N2=24D=2rsin三=回.

又弧长勿=驾，，所以弦长AB与弧长年之比为蓼=型.

3—r2兀

10.已知二二=一」一,且lg（cosa）有意义.

|sina|sina

（1）试判断角a所在的象限；

（2）若角a的终边上一点M0,加），且QM=1（。为坐标原点），求加的值及sina的值.

解：⑴由=一'~，得

J|sina\isinasinaQ,

由1g（cosa）有意义，可知cosoc>0,所以角a在第四象限.

（2）因为QM=1，所以（|1+加2=1,解得加=±*

_4

又角a为第四象限角，故加<0,从而加=一3sina=-^—=—^=

5\OM\15

。高考培优

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

11.（数学与文化）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如

下两个问题：

［三三］今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？

［三四］又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？

翻译为：［三三］现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？

［三四］又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？

则下列说法正确的是（）

A.问题［三三］中扇形的面积为240平方步

B.问题［三四］中扇形的面积为詈平方步

C.问题［三三］中扇形的面积为60平方步

D.问题［三四］中扇形的面积为等平方步

B解析：依题意，问题［三三］中扇形的面积为;>=gx30><¥=120（平方步），问题［三四］中

扇形的面积为，=:><99><?=等（平方步）.

12.已知角a的顶点在坐标原点，始边与无轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为

（sin手，cos（）,则角a的最小正角为（）

C.辿D.巴

44

D解析：角a的终边上一点M的坐标为（sin今，cos胃即M俘，一4）,故点M在第

_包

四象限，且tana=£=—1,则角a的最小正角为半

T

13.（数学与文化）（2024・常州模拟）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽

在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的

直角三角