2024-2025学年河南省郑州市某校九年级（上）开学数学试卷+答案解析

2024-2025学年河南省郑州市郑中国际学校九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列说法中正确的是（）

A.有一组邻边相等的四边形是菱形

B,有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形

D.对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形

2.在口48。中，对角线3。相交于点。，若乙48。=90°，则下列结论错误的是（）

A.AC=BDB.OA=OBC.ACLBDD.AB=CD

3.若（m—3〃恤一”_%_5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）

A.1B.3C.-1D.土遮

4.小明在估算方程/—32-5=0的解时，列出的部分对应值如下表：

・・・

X-3-2-1456

x2-3x-5135-1.・・-1513

则可判断方程/-3/-5=0的解的取值范围是（）

A.—3<c<-2或4<X<5B.—2<c<-1或5<，<6

C.-3<a?<一2或5<re<6D.-2<a;<—1或4<a?<5

5.若加是一元二次方程/—5/-2=0的一个实数根，则2019—m2+56的值是（）

A.2016B.2017C.2018D.2019

6.若方程9/+信+2）2+4=0的左边可以写成一个完全平方式，则人的值为（）

A.—10或14B.-14C.10D.10或一14

7.若三角形的两边长分别是2和5,第三边的长是方程72+12=0的一个根，则这个三角形的周长是

（）

A.10B.11C.10或11D.10或12

8.如图，一根木棍（43）,斜靠在与地面（OM）垂直的墙（OM）上，当木棍/端.N

沿墙下滑，且3端沿地面向右滑行时，的中点尸到点。的距离（）■.；-

A,变大I\

B.变小I\

第1页，共18页

C.先变小后变大

D.不变

9.如图，四边形/3C。是菱形，4。=12,BD=16,AHLBC于H,则A____________n

上

4〃等于（）

24

A.——

5

48BHC

B-T

C.4

D.5

10.如图，正方形/5C0的对角线4C,相交于BE平分/ABO交AC于E,D_r

CFLBE于F，交BD于G,则下列结论：①OE=OG；②CE=CB；

③4ABEm&BCG；④C/平分/BCE.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.如图，在矩形48CD中，点E,尸分别是4D,8C上一点，BE=DF,只需添加一个条件即可证明四

边形EBFD为菱形,这个条件可以是（写出一个即可）.

k4_____E______z___D

pC

12.关于x的一元二次方程（a-1）/+32-22=0有实数根，则。的取值范围是______.

第2页，共18页

13.若是一个直角三角形两条直角边的长a,b,满足(&2+解)@2+解+1)=12,则这个直角三角形的斜边

长为.

14.《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，橘橹灰飞烟灭，

然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物.而立之年督东吴，早

逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x,则可列方

程为.

15.如图，有一个长方形纸片N8CD,AB=6cm,BC=10cm,点E为CD上一

点，将纸片沿/E折叠，的对应边恰好经过点。，则线段的长为

cm.

16.如图，O为坐标原点，四边形O4BC为矩形，4(10,0),0(0,4),点。是。/的中点，点尸在上运

动，当△OOP是以OD为腰的等腰三角形时，则尸点的坐标为.

三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题16分)

(1)以配方法解方程：2/+4/—2=0.

(2)以公式法解方程：-3)=3+0：.

(3)3-3)2=27—6.

⑷:/+3=6立.

18.(本小题9分)

已知关于x的一元二次方程/-(m+1)®+2m-3=0(m为常数).

(1)若方程的一个根为1，求加的值及方程的另一个根；

(2)求证：不论％为何值时，方程总有两个不相等的实数根.

第3页，共18页

19.（本小题9分）

已知关于x的一元二次方程/一2/+m-1=0有两个实数根.设p是方程的一个实数根，且满足

伊—2p+3）（m+4）=7,求加的值.

20.（本小题8分）

下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程.

已知：四边形/BCD是平行四边形.

求作：菱形4BEF（点£在3C上，点尸在4D上）.

作法：①以/为圆心，43长为半径作弧，交4D于点尸；

②以3为圆心，43长为半径作弧，交8C于点E；

③连接EF.

所以四边形尸为所求的菱形.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

⑵完成下面的证明.

证明：•.•//=AB,BE=AB,

在口/BCD中，AD//BC,

即AF//BE.

二四边形访为平行四边形.（）（填推理的依据）

■：AF^AB,

二四边形N3跖为菱形.（）（填推理的依据）

21.（本小题10分）

如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段再砌三面墙，围成一个矩形花园48。。（围墙最长可

利用256），现在已备足可以砌40加长的墙的材料.

（1）当长度是多少时，矩形花园的面积为150nl2；

（2）能否围成矩形花园面积为22062,为什么？

第4页，共18页

22.(本小题10分)

如图，菱形48CD的对角线NC,AD相交于点。，E是AD的中点,点RG在43上，EF_LAB，OG//EF.

(1)求证：四边形。所G是矩形；

⑵若4D=10，EF=4,求和3G的长.

D

一

B

23.(本小题10分)

如图，平行四边形AB8中，AB=6cm,BC=10cm,ZB=60%G是CD的中点，E是边4D上的动

点，EG的延长线与3c的延长线交于点凡连接C£,DF.

(1)求证：四边形C女出是平行四边形；

(2)以下两问二选一进行求解.

①当AE=_____cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE=_____c%时，四边形CEDF是菱形.

AED

第5页，共18页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A,有一组邻边相等的四边形不是菱形，故选项/不合题意；

2、有一个角是直角的四边形不是矩形，故选项3不合题意；

C、有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形不是正方形，故选项C不合题意；

对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形，故选项。符合题意；

故选：D.

利用正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定依次判断可求解.

本题考查了正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定等知识，灵活运用这些判定是解

题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：•.•在口48CD中，/48。=90°，

_•°是矩形，

:,AC=BD,OA=OB,AB=CD,无法得到

故选：C.

根据矩形的判定与性质即可一一判断.

本题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质、熟练掌握矩形的判定与性质是解决问题的关键.

3.【答案】C

1779—1I—2

【解析】解：由题意可知：I12c，

m—3网

解得：m=—1,

故选：C.

根据一元二次方程的定义即可求出答案.

本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型.

4.【答案】B

【解析】解：根据表格可知，/—32—5=0时，对应的x的值在—2~—1与4〜5之间.

故选：B.

观察表格可知，/—3x—5的值在-2〜—1之间由正到负，在4〜5之间由负到正，故可判断

第6页，共18页

/—3a;—5=0时，对应的%的值在—2〜—1与4〜5之间.

本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系.关键是观察表格，确定函数值由正到负和由负

到正时，对应的自变量取值范围.

5.【答案】B

【解析】解：：篇是一元二次方程/—5必—2=0的一个实数根，

m2—5m—2=0，

m2—5m=2,

2019-m2+5m=2019-(m2-5m)=2019-2=2017,

故选：B.

22

根据一元二次方程解的定义得到_57n=2，再由2019—m+5巾=2019—(m—5m,利用整体代入

法求解即可.

本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟练掌握一元二次方程定义是关键.

6.【答案】D

【解析】解：9rc2+(k+2)c+4是一个完全平方式，

(卜+2)x=±2x2-3x=±12/,

.•.1+2=12或k+2=—12,

：,k=10或一14；

故选：D.

根据完全平方式的特点，进行求解即可.

本题考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是关键.

7.【答案】B

【解析】解：—72+12=0，

/.(2-3)(2-4)=0,

解得：xi—3,x2=4,

•.•三角形的两边长分别是2和5,

当立=3时，3+2=5,不能组成三角形；

当十=4时，2+4〉5,能组成三角形.

,这个三角形的第三边长是4,

.•.这个三角形的周长为：4+2+5=11,

故选：B.

第7页，共18页

首先利用因式分解法求得一元二次方程/—72+12=0的两个根，又由三角形的两边长分别是2和5,利

用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可.

此题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识.此题难度不大，解题的关键是注意准确

应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用.

8.【答案】D

【解析】解：连接0P.

在中，：/从0口二狗。，AP=PB,

：.OP=

•「AB的长是定值，

OP是定值，

故选：D.

根据直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；

本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边中线等于斜边一半.

9.【答案】B

【解析】解：•.,四边形43CD是菱形，AC—12,BD=16,

CO==6,BO=|BD=8,AOLBO,

：,BC=^62+82=10>

S菱形ABCD=-AC-BD=-x16x12=96,

---S菱形ABCD=BCxAH,

：,BCxAH^96,

,9648

AHTT=—=—

105

故选：B.

根据菱形的性质得出3。、C。的长，在RtAB。。中求出BC,利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等

于BCxAH,即可得出/”的长度.

本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线

互相垂直且平分.

10.【答案】D

第8页，共18页

【解析】证明：•,•正方形/BCD的对角线NC、8。相交于点O,

:.OBWC，BO=CO,

:"EOB=/COG=90°.

•.•CF1BE于点尸,

NCFE=ACFB=90°.

：.AEBO+ABEO=90°,NBEC+NECF=90°,

：,AEBO=AECF.

(4EBO=LGCO

在△BEO和△CGO中，＜AEOB=AGOC,

[OB=OC

：.^BEO^^CGO{AAS),

:.OE=OG，故①正确；

ZABO=ZBCO=45%BE平分NABO交AC于E,

/E3O=；x45°=22.5°,

•:/EOF=NEBO=22.5°，

：,ZBOF=45°-22.5°=22.5°.

AECF=ABCF,

：,CF平分NBCE,故④正确；

■:CFLBE,

.-.CE=CB，故②正确；

;NABE=NBCG=225,

■：4BEO沿4CGO,

:.BE=CG，

:AB=BC,

：.AABEmdBCG(SAS),故③正确.

故选：D.

根据正方形的性质，可得OBLO。，30=CO,根据直角三角形的性质，可得NEBO+NBEO=90°,

ZBEC+ZECF=90°，再根据与角的关系，可得NEBO=NECF,根据全等三角形的判定与性质

OE=OG，故①正确；根据角平分线的定义得到NEBO=；x45°=22.5°,得至UNECF=NBCF,求

得CF平分/BCE,故④正确；根据等腰三角形的性质得到CE=CB,故②正确；根据全等三角形的判

第9页，共18页

定两点得到AABE2△BOG(SAS),故③正确.

本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全

等三角形的判定和性质是解题的关键.

11.【答案】BE=BF

【解析】解：这个条件可以是=

理由：•.•四边形48CD是矩形，

.•24=/。=90°，AB=CD，

,:BE=DF,

：,RtAABE竺RtACDF(HL),

:.AE=CF,

:.DE=BF，

：BE=DF,

.•.四边形EBFD是平行四边形，

-：BE=BF,

,四边形EBED是菱形，

故答案为：BE=BF.

先证明四边形EBFD是平行四边形，再由菱形的判定定理可得出答案.

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键.

12.【答案】a2—：且

8

【解析】解：•.•关于X的一元二次方程(a—l)/+3z—2=0有实数根，

a—1#0,△=9+4X2(Q—1))0,

/.Q》一己且。壬1,

o

故答案为：&》一:且(1#1.

O

由方程是一元二次方程得出a-1^0,再由方程有实数根得出△20,即可得出结论.

此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，利用根的判别式建立不等式是解本题的关键.

13.【答案】y/3

【解析】解：b是一个直角三角形两条直角边的长

设斜边为c,

(a2+b2)(a2+窿+1)=12,根据勾股定理得：。2(。2+1)-12=0

第10页，共18页

即d—3)d+4)=0,

•1,c2+4邦，

.“2—3=0，

解得c=e或c=—舍去)•

则直角三角形的斜边长为通.

故答案为：

根据勾股定理c2=a2+M代入方程求解即可.

本题考查的是换元法解一元二次方程，利用勾股定理求直角三角形的斜边，需同学们灵活掌握.

14.【答案】102+3+3)=3+3)2

【解析】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x,则可列方程为Hte+@+3)=(2+3)2,

故答案为：10a;+(①+3)=(①+3)2.

设周瑜去世时年龄的十位数字是x,根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知10x十位数字+个位数字

=个位数字的平方，据此列出方程可得答案.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

15.【答案】当

O

【解析】解：•.•将纸片沿/£折叠，的对应边笈。，恰好经过点。，

：,AB^AB'^6cm>BC=B'C'=IQcm，CE=C'E，

：,B'D=y/AD2-B'A2=V100-36=8(cm)，

：.CD=B'C-B'D=2(cm),

DE2=C'D2+C'E2,

,。£2=4+(6—

/.DE=曰cm,

o

故答案为：孚.

o

由折叠的性质可得48=48'=6cm，BC=B'C'=10cm，CE=C'E,由勾股定理可求的长，由

勾股定理可求解.

本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键.

16.【答案】(3,4)或(2,4)或(8,4)

第H页，共18页

【解析】【分析】

此题考查了矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的性质、勾股定

理等知识，熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解决问题的关键.

分两种情况：①当OP=O0=5时，由勾股定理求出CP=3,②当

。。=。。=5时，过D作。于点由勾股定理求出PW=3,

分别得出尸点的坐标即可.

【解答】

解：•.•四边形O4BC为矩形,4(10,0),0(0,4).

/.BC=OA=10,OC=AB=4，

•.•点。是Q4的中点，

OD=AD=5，

①当。尸=。。=5时,

在RtAOFC中，CP=/0产—=,52—42=3，

则尸的坐标是(3,4).

②当。。=。「=5时，过。作。Mrec于点"，

在RtAPDM中，PM=yJPD--DM2=>/52-42=3，

当尸在M的左边时，CP=5-3=2,则尸的坐标是(2,4)；

当尸在M的右侧时，CP=5+3=8,则尸的坐标是(8,4).

综上所述，尸的坐标为：(3,4)或(2,4)或(8,4).

故答案为：(3,4)或(2,4)或(8,4).

17.【答案】解：(1)2/+4,—2=0,

x2+2x-1>

川+2c+1=1+1,

(C+1)2=2，

则立+1=±A/2，

所以=—1+\/2,X2=—1—V2.

⑵2①(2—3)=3+c,

2x2-62—3—/=0,

第12页，共18页

2x2-7啰-3=0，

△=(-7)2-4x2x(-3)=73〉0,

则

4

斫n7+V737-\/73

(3)3—3)2=21—6,

(力-3)2-2Q-3)=0,

(2-3乂2-5)=0,

则2一3=0或t—5=0,

所以的=3,次=5.

(4)：/+3=62，

x1-24x+12=0>

22-24c+144=-12+144，

(c—12)2=132,

则z-12=±2\/33-

所以3=12+2X/33,X2=12-2y33.

【解析】(1)用配方法对所给方程进行求解即可.

(2)用公式法对所给方程进行求解即可.

(3)用因式分解法对所给方程进行求解即可.

(4)用配方法对所给方程进行求解即可.

本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-公式法及解一元二次方程-配方法，熟知因

式分解法、配方法及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键.

18.【答案】解：(1)把工=1代入方程可得1一(M+1)+26—3=0,

解得m=3，

当m=3时，原方程为d—4劣+3=0，

解得Xf+x2=4,

即方程的另一根为3；

第13页，共18页

(2)a=1,b=_(m+1),c=2m—3,

△=62—4ac=[—(m+I)]2—4x1x(2m-3)=(m—3)2+4>0,

二.不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根.

【解析】(1)把2=-1代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根；

⑵计算△,△〉()可得证.

本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键.

19.【答案】解：根据题意得△=廿一4ac=4—4x(m—1)》0,

解得m42；

p是方程的一个实数根，则p?—2p+Tn—1=0,则/—2p+3=4—

则-2p+3)(m+4)=7即(4一m)(4+m)=7,

解得：皿=3(舍去)或一3.

故m的值为—3.

【解析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=族-4ac20,建立关于加的不等式，求出优的

取值范围.p是方程的一个实数根，则/—2p+m—1=0,则/—2p+3=4—m，代入

(/—2p+3)(m+4)=7,求得机的值.

本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键.

20.【答案】/尸2£一组对边平行且相等的四边形是平行四边形邻边相等的四边形是菱形

【解析】(1)解：菱形/8£尸即为所求.

⑵证明：=AB,BE=AB，

:.AF=BE,

在。/BCD中，AD//BC,

即AF//BE.

二四边形N3昉为平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，)(填推理的依据)

-：AF=AB,

二四边形访为菱形.(邻边相等的四边形是菱形)

第14页，共18页

故答案为：AF=BE，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的四边形是菱形.

(1)根据要求画出图形即可.

(2)利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可.

本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

21.【答案】解：⑴设则(40—2乃加，

依题意得：①(40-22)=150,

整理得：/—20/+75=0，

解得：xi=5,x2—15.

当x=5时，40—2a;=30>25,不合题意，舍去；

当2=15时，40—2c=10<25,符合题意.

答：当长度是15%时，矩形花园的面积为150W?.

(2)不能，理由如下：

设=则=(40—2g)nz,

依题意得：以40-2妨=220,

整理得：y2-20y+110=0.

△=(-20)2-4x1x110=-40<0,

二该方程无实数根，

.•.不能围成面积为220m2的矩形花园.

【解析】⑴设48=/机，则8。=(40—2乃加，根据矩形花园的面积为150m2,即可得出关于x的一元

二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙"N最长可利用25如即可确定结论；

⑵设AB=ym,则8C=(40-2g)m,根据矩形花园的面积为22062,即可得出关于〉的一元二次方程,

由根的判别式△=-40<0,即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为22062的矩形花园.

本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方

程；⑵牢记“当△<0时，方程无实数根”.

22.【答案】解：(1)•.•四边形N5CD是菱形，

：,OB=OD,

是/。的中点，

」.OE是的中位线，

第15页，共18页

：.OE//CD//FG,

-：OG//EF,

.四边形OEFG是平行四边形，

■：EFLAB，

.•.NEFG=90°,

,平行四边形。EFG是矩形；

(2)•.•四边形N8CD是菱形，

BD.LAC,AB=AD==10,

=90°，

是4D的中点，

：,OE=AE=^AD=5；

由(1)知，四边