中考数学易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型（原卷版+解析）

专题13易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型

丁：匚【考点导航】

目录

【典型例题】...................................................................................1

【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略“aWO”】.....................................1

【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略，力0”】.......................................1

【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“aWO”】...............................2

【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△=（）”].................................................................................3

【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】........................................4

【典型例题】

【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略，W0”】

例题：（2023春•江苏•八年级统考期末）若关于x的方程（机-2）X""2+X+I=。是一元二次方程，则加的值是

（）

A.m=3B.m=2C.m=—2D.m=^2

【变式训练】

1.（2023春•北京门头沟•八年级统考期末）关于x的方程（加-1卜"'7+*-3=0是一元二次方程，则（）

A.m=—lB.m=lC.m=±lD.m=2

2.（2022秋•四川乐山•九年级统考期末）若（机-1）一刊-3尤+5=0是关于x的一元二次方程，则〃?=.

3.（2023春•黑龙江大庆,八年级校联考期中）方程（m+2）铲+3〃a+1=0是关于x的一元二次方程，则机的

值是多少？

【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略

例题：（2023•全国,九年级假期作业）若关于x的一元二次方程（左-2）f+x+/-4=0有一个根是0,则上的

值是（）

A.-2B.2C.0D.—2或2

【变式训练】

1.（2023•四川绵阳•统考三模）若关于x的一元二次方程化-3）x2+6x+^-左=0有一个根为一1,则上的值

为（）

A.-3B.3C.±3D.9

2.（2023春・浙江杭州•八年级校联考期中）若关于尤的■元二次方程（。+3户-4》+/-9=。有■个根为0,

则。的值为.

3.（2023春・重庆北倡•八年级西南大学附中校考阶段练习）若关于x的一元二次方程-d+々2=0的

一个根为1.贝！1。=.

4.（2023•山东济南・统考一模）若关于x的一元二次方程（a-l）Y+x-片+1=。有一个根为0,则。的值等

于.

5.（2023春・北京西城•九年级北师大实验中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程（G+l）x2-a2x-a=0

有一个根是x=l,则。=.

【答案】1

【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“aWO”

例题：（2023春・浙江金华•八年级统考期末）若关于尤的一元二次方程丘2一2丘+4=0有两个相等的实数根，

则左的值为（）

A.0或48.4或8C.8D.4

【变式训练】

1.（2023•山东聊城•统考中考真题）若一元二次方程皿2+2x+i=o有实数解，则机的取值范围是（）

A.m>—1B.m£1C.1且〃2HoD.〃?£1且

2.（2023•福建福州•校考二模）若关于x的一元二次方程自2一以+1=0有两个不相等的实数根，则上的取值

范围为•

3.（2023秋•四川泸州•九年级统考期末）关于x的一元二次方程（m-2）£+3尸1=0有实数根，求相的取值

范围.

4.（2023•湖北荆州•统考中考真题）已知关于尤的一元二次方程"2—（2左+4）龙+左-6=0有两个不相等的实

数根.

⑴求左的取值范围；

⑵当左=1时，用邺方法解方程.

【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△W0”

例题：（2023春,安徽马鞍山,八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若加、〃是关于尤的方程

一+（2左+3户+/=0的两个不相等的实数根，且,+工=一1,贝必的值为.

mn

【变式训练】

1.（2023•全国•九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程V+2〃a+〃z+2=0有两个不相等的实数

根，且%+3+再-2=2,则实数加=.

2.（2023春・山东济宁•八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程V—2x+k+2=0有两个实数根不，巧

⑴求左的取值范围；

311,C…

⑵右毛，々满足［+丁=%-2,求女的值.

3.（2023春•黑龙江大庆•八年级统考阶段练习）已知关于x的方程/+2元+机=。有两个不相等的实数根.

⑴求m的取值范围.

（2）若两个实数根分别是A，巧，且（占尤「1）2+2（占+三）=0,求相的值.

4.（2023春•安徽六安•八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程2f+4x+优=0.

⑴若x=l是方程的一个根，求加的值和方程的另一根；

⑵若再、x2是方程的两个实数根，且满足龙；+x；+5占尤2-X；君=0,求m的值.

【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】

例题：（2023•四川凉山•统考一模）己知等腰三角形ABC的一边长。=6,另外两边的长伉。恰好是关于尤的

一元二次方程（3左+3）x+9k=0的两个根，则AABC的周长为

【变式训练】

1.（2023春•八年级单元测试）已知关于x的方程/-（左+2）x+2k=0,若等腰三角形ABC的一边长a=l,

另外两边长6,c恰好是这个方程的两个根，则AABC的周长为.

2.（2023春•浙江•八年级期中）有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程*2_10了+4=0的两根，则这

个三角形的周长为.

3.（2023春•安徽滁州•八年级校考阶段练习）己知x=2是关于x的方程V-（m+4）x+4m=0的一个实数根，

并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长.则：

（1）机的值为;

（2）AABC的周长为.

专题13易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型

丁：匚【考点导航】

目录

【典型例题】...........................................................................1

【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略.....................................1

【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略，W0”】.......................................1

【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“aWO”】...............................2

【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△?（）”]........................................3

【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】........................................4

*

【典型例题】

【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略，W0”】

例题：（2023春•江苏•八年级统考期末）若关于x的方程（机-2）X""2+X+I=。是一元二次方程，则加的值是

（）

A.m=3B.m=2C.m=—2D.m=^2

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解.

【详解】解：回关于尤的方程（帆-2）/"+x+i=0是一元二次方程，

回根2一2=2且加一2w0,

解得：m=—2,故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整

式方程是一元二次方程是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023春•北京门头沟•八年级统考期末）关于x的方程是一元二次方程，则（）

A.m=-lB.m=lC.m=±lD.m=2

【答案】A

济+1=2

【分析】根据一元二次方程的定义得出।八，解之即可.

【详解】解：国方程-1）X'"2M+X-3=0是一元二次方程，

[m2+1=2

回《，

\m-\w0

解得：m=-l,

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫

一元二次方程.

2.（2022秋•四川乐山•九年级统考期末）若（m-1）/叫-3尤+5=0是关于x的一元二次方程,则机=.

【答案】-3

【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可.

【详解】解：团（〃z—l）#+"-3x+5=0是关于x的一元二次方程，

（m—1w0

+=2'

团机二一3,

故答案为：-3.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如双2+版+°=0（〃、b、C是常数，且4W0）

的方程叫做一元二次方程.

3.（2023春•黑龙江大庆•八年级校联考期中）方程（机+2）/+3,加+1=0是关于x的一元二次方程，则相的

值是多少？

【答案】2

【分析】一元二次方程两个条件：①二次项系数不为0;②未知数的最高次数为2,由题意可以得到关于加

的方程和不等式，求解即可.

【详解】解：由题意可得：I刈=2且m+2*0,

解得：m=2.

即加的值是2.

【点睛】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二

次方程，一般形式是奴2+6X+C=。（且。20）.特别要注意。力0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知

识点.

【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略

例题：（2023•全国•九年级假期作业）若关于x的一元二次方程（笈-2）f+x+公一4=0有一个根是0,则左的

值是（）

A.-2B.2C.0D.—2或2

【答案】A

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这

个数代替未知数所得式子仍然成立.

【详解】解：原方程（％-2）x?+x+K-4=0,

把x=0代入可得至！］公一4=0,

解得上=2或左=-2,

当上=2时，笈—2=0,一元二次方程不成立，故舍去，

所以左=—2.

故选：A.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.本题容易出现的错误是忽视二次项系数不等

于0这一条件.

【变式训练】

1.（2023・四川绵阳•统考三模）若关于x的一元二次方程（左-3）f+6x+/-k=0有一个根为T,则左的值

为（）

A.-3B.3C.±3D.9

【答案】A

【分析】根据一元二次方程根的定义，将-1代入关于尤的一元二次方程化-3）尤2+6%+左2-左=0得到关于4

的方程求解，再根据一元二次方程定义确定左值即可得到答案.

【详解】解：由题意得：

寸巴1=—1代入方程（左一3）f+6x+〃—左=0,得：

（左一3）—6+左2—左=0,整理得

解得：左=±3,

•:k—3w0,

.,.左w3

/.k=-3,

故选：A.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键.

2.（2023春•浙江杭州•八年级校联考期中）若关于x的一元二次方程（a+3）f-4x+/-9=0有一个根为0,

则”的值为.

【答案】3

【分析】将犬=0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得。的值.

【详解】解：根据题意，将x=0代入方程可得片一9=0,

解得：〃=3或a=-3,

•「a+3w0,即〃。一3,

a=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不

能为0,难度不大.

3.（2023春•重庆北倍•八年级西南大学附中校考阶段练习）若关于x的一元二次方程（a-1）f-依+/=0的

一个根为1.则"=.

【答案】-1

【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到/-1=0,根据题意求解即可.

【详解］解：将x=］代入（。_1）/_方+〃=0得

^a—l^—a+a2=0,整理得4—1=0,

解得＜7=1或a=-1

当4=1时，原方程二次项系数为零，不满足题意，

a=-1,

故答案为：-1

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键.

4.（2023•山东济南•统考一模）若关于x的一元二次方程（。-1）彳2+*-/+1=0有一个根为0,则。的值等

于.

【答案】-1

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入（。-1）/+了一标+1=。得一/+i=o,再解关于。的方

程，然后利用一元二次方程的定义确定。的值.

【详解】把x=0代入（a—+x—〃+1=。得―片+]=0,

解得a=±l,

而a—1w0,

所以a=-l.

故答案为：T.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

5.（2023春•北京西城•九年级北师大实验中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程（a+l）x2-a2x-a=0

有一个根是x=l,则。=.

【答案】1

【分析】根据一元二次方程的定义可得根据一元二次方程的解的定义将X=1代入原方程，得到关

于。的一元二次方程，解方程即可求解.

【详解】解：回关于彳的一元二次方程（。+1）/-02工一。=0有一个根是*=1,

回。+1—标―。=0且aw—1,

解得：«=1,

故答案为：L

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“aWO”

例题：（2023春・浙江金华•八年级统考期末）若关于尤的一元二次方程fcc2-2fcc+4=0有两个相等的实数根，

则人的值为（）

A.0或48.4或8C.8D.4

【答案】D

【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=廿一4℃=0,建立方程，求出值即可.

【详解】解：回关于尤的一元二次方程去。一2履+4=0有两个相等的实数根，

EA=Z>2-4ac=（-2jl）2-4^x4=0,

解得勺=4,左2=。（舍去）.

瞅的值为4,

故选：D.

【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式.一元二次方程加+bx+c=0（a丰0）的根与△=〃-4“c有如

下关系：（1）△>（）=方程有两个不相等的实数根；（2）A=0=方程有两个相等的实数根；（3）A<0o方

程没有实数根.

【变式训练】

1.（2023•山东聊城•统考中考真题）若一元二次方程〃/+2彳+1=0有实数解，则根的取值范围是（）

A.m>—lB.m£1C.租2—1且机中0D.〃?£1且

【答案】D

【分析】由于关于x的一元二次方程32+2x+l=0有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知ANO,

且mwO,据此列不等式求解即可.

【详解】解：由题意得，4-4m>0,且〃zwO,

解得，m£l,且/0.

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程加+云+。=0（"0）的根的判别式A=^_4ac与根的关系，熟练掌握根

的判别式与根的关系式解答本题的关键.当△>（）时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当A=0时，一

元二次方程有两个相等的实数根；当△<（）时，一元二次方程没有实数根.

2.（2023・福建福州•校考二模）若关于x的一元二次方程依2-以+1=0有两个不相等的实数根，则左的取值

范围为.

【答案】发片0且％<4

【分析】由方程区2-4x+l=0有两个不相等的实数根，则有且A>0,然后求它们的公共部分即可.

【详解】解：根据题意得，ZwO且A>0,

即A=(T)2-4无*1=16-4左>0,

国原方程有两个不相等的实数根，

回忆中0且％<4.

故答案为：ZwO且％<4.

【点睛】本题考查了一元二次方程法+c=o(。片0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>(),方程有

两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当A<0,方程没有实数根.同时考查了一元一

次不等式的解法.

3.(2023秋•四川泸州•九年级统考期末)关于龙的一元二次方程(m-2)f+3x_l=0有实数根，求相的取值

范围.

【答案】且相片2

4

【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列出算式，计算即可求解.

【详解】解：回关于X的一元二次方程(帆-2)f+3xT=0有实数根，

0m-2^O>32-4x(m-2)x(-l)>O,

解得加2,且7〃w2,

4

故m的取值范围〃栏——且相片2.

4

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程/+笈+。=0(。70)的根与A=62-4ac有

如下关系：①当△>()时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<()时，方程无实数根.

4.(2023•湖北荆州・统考中考真题)己知关于尤的一元二次方程去2_(2k+4)x+无-6=0有两个不相等的实

数根.

⑴求％的取值范围；

(2)当人=1时，用邺方法解方程.

2

【答案】⑴二且左。0

(2)^=3+714,%2=3-9

【分析】（1）根据题意，可得（2左+4）2-必依-6）>0,注意一元二次方程的系数问题，即可解答，

（2）将％=1代入小-（2k+4卜+左-6=0,利用配方法解方程即可.

上w0

【详解】（1）解：依题意得：（…八26皿八，

△A=（2女+4）一4A无（1［l一l6）=40-+16>0

2

解得k>-二且左w0；

（2）解：当左=1时，原方程变为：6%一5=0,

则有：X2-6X+9=5+9,

.-.（X-3）2=14,

x-3=±V14;

，方程的根为与=3+Ji值，x,=3-V14.

【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程

是解题的关键.

【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略"△#（）''】

例题：（2023春•安徽马鞍山,八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若加、”是关于无的方程

9+（2左+3）x+左2=0的两个不相等的实数根，且工+工=一1,则左的值为.

mn

【答案】3

【分析】根据根与系数的关系得到切+”=一2々一3,mn=k2,再根据,+工=-1得至11%2-2&-3=0,解方程

mn

求出女的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可.

【详解】解：团加、〃是关于龙的方程f+（2左+3卜+严=。的两个不相等的实数根，

^m+n=-2k-3,mn=k2,

111

回一+—=—1,

mn

m+n

团----=-1,gpm+n=—mn,

mn

回一（一2斤一3）=左2,

0F-2^-3=O,

解得左=3或左=-1,

又回方程有两个不相等的实数根，

回A=（2左+3）2-4左2>0,

,3

回上〉——，

4

回％=3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方

程的相关知识是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023・全国•九年级专题练习）已知关于尤的一元二次方程/+2如+加2一〃7+2=0有两个不相等的实数

根，且可+々+巧-2=2,则实数加=.

【答案】3

【分析】利用一元二次方程X2+2MC+/2—m+2=0有两个不相等的实数根求出机的取值范围，由根与系数

关系得至！］占+3=一2九七々=〃，一根+2,代入玉+々+无/％=2,解得"2的值，根据求得的机的取值范围，

确定m的值即可.

【详解】解：团关于尤的一元二次方程尤2+2蛆+疗—根+2=0有两个不相等的实数根，

0A=（2m）2-4（〃，一7"+2）=4〃z—8>0,

解得m>2,

2

0Xj+x2=-2m,XjX2=m-m+2,xt+x2+x1-x2=2,

0—2m+nr—m+2=2,

解得网=3,吗=0（不合题意，舍去），

0m=3

故答案为：3

【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系

数关系的内容是解题的关键.

2.（2023春•山东济宁•八年级统考期中）己知关于尤的一元二次方程/-2x+左+2=0有两个实数根为，巧

⑴求上的取值范围;

,117c

⑵若为，巧满足一+—=k-2,求上的值.

%马

【答案】⑴心-1

(2)-76

【分析】(1)根据判另IJ式的意义得至!]A=(-2尸—4(k+2)20,然后解不等式即可得到左的范围；

(2)根据根与系数的关系得到%+%=2,%々=k+2,由题意得出关于左的方程，则可求出答案.

【详解】⑴解：根据题意得)=(-2)2-4/+2)作0,

解得k<-l;

.•"的取值范围是左W—1.

(2)根据题意得%+%=2,咨=4+2,

4117c

•・•玉，X/两足一+——=k-2,

x2

石九2

.2

..----=K—Z,

k+2

k2=6f

k—±^/6,

经检验k=±76是原方程的根，

k=—\/6•

b

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若毛，巧是一元二次方程/+法+c=0("0)的两根时，%+赴=一，

a

占尤,='.也考查了根的判别式的意义.

a

3.(2023春•黑龙江大庆•八年级统考阶段练习)已知关于x的方程V+2x+〃z=0有两个不相等的实数根.

⑴求m的取值范围.

(2)若两个实数根分别是毛，巧，且(士马-1)2+2(%+%)=0，求优的值.

【答案】⑴加〈1

⑵机=-1

【分析】(1)根据题意可得A>0,继而求得实数机的取值范围；

(2)由方程的两个实数根为占、X-且无；+君+(中2)2=7,可得方程/+2加一3=0,解关于"?的方程求得

答案.

【详解】（1）解：・关于X的一元二次方程f+2x+m=0有两个不相等的实数根.

\=b~—4ac=22—4xlxm>0,

即m<1；

（2）解：由根与系数的关系可知：玉+3=-2,xx-x1=m,

（XjX2-1）2+2（*+x2）=0,

.［（机-1）2-4=0

m—1=±2,

解得机=3或机=-l,

而机<1,

机的值为-1.

【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系.注意A>0o方程有两个不相等的实数根，若二次项

系数为1，常用以下关系：毛，巧是方程尤2+px+q=0的两根时，xl+x2=-p,XjX2=q.

4.（2023春・安徽六安•八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程2尤2+以+加=0.

⑴若x=l是方程的一个根，求机的值和方程的另一根；

⑵若玉、X?是方程的两个实数根，且满足X；+石+5占尤2-X/=。，求加的值.

【答案】（1）加的值为-6,另一个根为-3

（2）加的值为-2

【分析】（1）直接把x=l代入方程2/+4尤+加=0中，求出根的值，再根据根与系数的关系求出另一个根

即可；

（2）根据根与系数的关系得到玉+马=-2,玉・尤2=最，再利用判别式求出〃叱2,结合已知条件推出

（川+%）2+3玉%-（玉%）2=0，即（一2）2+3=0,解方程即可得到答案.

【详解】（1）解：将尤=1代入方程得，2xf+4xl+根=0,

解得m=-6

4

设另一个根为巧，贝也+九2=-,，

解得％2=-3

回机的值为-6,另一个根为-3；

4m

（2）解：由题意得：%+々=—5=-2,项•々二万，

同时满足A20即42-4x2m>0,

^\m<2，

团x；+x；+5玉％2-xix2-0，

回（玉+工2）2+3%1%2一（％1兀2）2=0

解得相=-2或m=8,

0m<2

回相=—2,

回加的值为一2.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二

次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键.

【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】

例题：（2023•四川凉山•统考一模）已知等腰三角形A5C的一边长a=6,另外两边的长伉。恰好是关于冗的

一元二次方程尤2-（3左+3）x+9左=0的两个根，则AABC的周长为

【答案】15

【分析】分情况讨论：若。作为腰，则方程的一个根为6,将6代入求出左的值，然后求出方程的解，得出

三角形的周长；将。作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据A=0求出左的值，然后将左的值代

入方程求出解，得出周长.

【详解】若。=6为腰，则氏c中还有一腰，即6是方程尤2-（3左+3）尤+9左=。的一个根.

回62—（3左+3）x6+9左=0

解得：k=2

将左=2代入f—（3k+3）x+9左=0得：X2—9.X+18=0

解得：.占=3,%=6,

此时能构成三角形，AABC的周长为：6+3+6=15

若。=6为底，贝防=c,即方程丁-（3左+3）尤+9左=。有两个相等的实根.

0A=[-（3^+3）]2-4X%=O

解得：=卜2=1

将％=1代入龙2—（3左+3）尤+9左=0得：尤2—6x+9=0

解得：.X]=马=3,

03+3=6

回此时不能构成三角形，不能计算周长

综上可得："LBC的周长为15.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按

若。是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键.特别注意验证是否能构成三角形.

【变式训练】

1.（2023春•八年级单元测试）已知关于x的方程/一（左+2）x+2K=0,若等腰三角形ABC的一边长a=l,

另外两边长6,c恰好是这个方程的两个根，则A48C的周长为.

【答案】5

【分析】己知a=l,则。可能是