第19讲 解三角形（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第19讲解三角形（11类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第16题,14分用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角形余弦定理解三角形2023年天津卷，第16题,14分用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理解三角形余弦定理解三角形2022年天津卷，第16题,14分用和、差角的正弦公式化简、求值二倍角的余弦公式正弦定理解三角形乡余弦定理解三角形2021年天津卷，第16题,14分用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理边角互化的应用余弦定理解三角形2020年天津卷，第16题,14分正弦定理解三角形余弦定理解三角形2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为14分【备考策略】1.理解、掌握正余弦定理，能够运用正余弦定理解三角形2.能掌握正余弦定理与三角形的面积周长问题3.具备数形结合的思想意识，会灵活运用三角形的知识点解决中线，高线，角平分线问题4.会解三角形的最值与取值范围问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出三角形，解决三角形中的周长与面积，同时解三角形会与两角和差二倍角进行结合，求解凑求值问题。知识讲解知识点一．正弦定理、余弦定理1.定理内容：在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)使用条件1.两角一边求角2.两边对应角1.三边求角2.两边一角求边2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解知识点二.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．知识点三．测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比知识点四．常用结论1．三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC.(2)cos(A＋B)＝－cosC.(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.4．三角形中的大角对大边在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.考点一、正弦定理解三角形1.（2024·北京东城·二模）在△ABC中，A=π4，C=7π12A．1 B．2 C．3 D．22.（2024·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，已知∠B=30∘，c=2，则“b=2A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要1.（2024·河北沧州·一模）在△ABC中，AC=1，tanB=A．A=π3 B．cos2B=32 C．BC=2.（2024·江西赣州·一模）在△ABC中，AB=7,AC=2,C=120A．714 B．2114 C．573.（2024·广东江门·一模）在△ABC中，B=30∘,b=2A．45∘ B．135∘或45∘ C．15∘ 4.（2024·浙江金华·三模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c.若a=7，b=2，A=60°，则cA．1 B．2 C．3 D．1或35.（2024·云南昆明·三模）已知△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，则△ABCA．3 B．11 C．5 D．2考点二、正余弦定理的边角互化1.（2024·江西九江·三模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2c−a=2bcosA，则A．π6 B．π3 C．2π2.（2024·陕西安康·模拟预测）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+π6=bsinAA．1 B．2 C．23 1.（2024·吉林·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，“acosB=bcosA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3a=2b，B=2A，则cosB=A．−716 B．716 C．−3.（2024·安徽·模拟预测）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA=32A．332 B．2213 C．4.（2024·辽宁·二模）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且6csinC+2bsinA．−2 B．−3 C．3 D．25.（23-24高三下·浙江·阶段练习）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，满足ab+sinAsinB=2bsin考点三、三角形的形状1.（22-23高三上·河南·阶段练习）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是114A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在2.（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，若acosA=bcosA．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形1.（2024·陕西安康·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，以AC为直径的圆的面积为2π，若S△ABC=2A．钝角三角形 B．直角三角形 C．非等腰三角形 D．等边三角形2.（2024·陕西安康·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，以边AC为直径的圆的面积为4π，若△ABC的面积不小于43，则A．等腰非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形3.（2024·河南新乡·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=7，b=3，c=5，则（

）A．△ABC为锐角三角形 B．△ABC为直角三角形C．△ABC为钝角三角形 D．△ABC的形状无法确定4.（2022高三·全国·专题练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，sinBA．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形5.（20-21高三上·河北·阶段练习）在△ABC中，角A,B,C对边为a,b,c，且2c⋅cos2AA．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形考点四、三角形的周长1.（2024·北京·三模）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，则△PBC的周长为（

）A．10 B．11 C．7+17 2.（2024·四川绵阳·一模）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinCsinA−B=sin1.（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=2acosB−ccosB，2.（2024·天津北辰·三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acos(1)求角B的大小；(2)若cosA=33(3)若△ABC的面积为433，b=3，求3.（2024·陕西商洛·模拟预测）在①2sinB=3sin设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA−sinC=(1)求B；(2)若______，求△ABC的周长.注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.4.（2024·江苏南通·三模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2b−c(1)求A；(2)若△ABC的面积为3,BC边上的高为1，求△ABC考点五、三角形的面积1.（2024·陕西西安·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=6，6cosB=3c−bcos2.（2024·山西·模拟预测）在△ABC中，C=π6，且CA⋅CB=41.（2024·安徽·三模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a=3,(a+c)(sinA+sinC)=b2.（2024·山东·二模）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，2a2+b2−c3.（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，∠A=60(1)求sinC(2)若a=7，求△ABC的面积．4.（2024·北京丰台·二模）已知△ABC满足3sin(1)求A；(2)若△ABC满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求△ABC的面积．条件①：a−b=2；条件②：cosB=714；条件③5.（2024·辽宁·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知3a=22c，(1)求sinC(2)若b=3，求△ABC的面积.考点六、三角形个数问题1.（2024·湖北·模拟预测）在△ABC中，已知AB=x，BC=22，C=π4，若存在两个这样的三角形ABCA．22,+∞ B．0,22 C．2.（2024·宁夏银川·三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，sinC=14A．3 B．4 C．5 D．61.（2024·陕西渭南·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，则能使同时满足条件A=πA．3,6 B．3,+∞ C．0,62.（23-24高三上·四川·阶段练习）若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,A．若b2+cB．若acosC．若a=1,b=2,A=30D．若△ABC是锐角三角形，则sin3.（23-24高三上·北京顺义·期中）在△ABC中，∠A=60°，a=5，b=6，满足条件的△ABC（

）A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在4.（23-24高三上·北京大兴·期中）在△ABC中，∠A=π6 ,AB=4 A．0,2 B．2,2C．2,4 D．25.（2020高三·全国·专题练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=π4，a=5，c=4，则满足条件的△ABC的个数为考点七、中线问题1.（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=3,BC边上中线AD长为1，则A．74 B．72 C．3 2.（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，A=π3，BC边上的中线AD=3A．23 B．3 C．32 1.（2024·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积等于3，D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AC边的长.2.（2024·湖南长沙·三模）如图，在△ABC中，已知AB=3,AC=6,A为锐角，BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,△ABC的面积为93(1)求BC的长度；(2)求∠APB的余弦值.3.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos(1)求A的大小；(2)若sinC=3sinB，BC边上的中线AD长为74.（2024·陕西西安·三模）在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知b1+(1)证明:b=c;(2)若BC边上的高AD为2,AC边上的中线BE为27,求△ABC5.（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数fx(1)求fx在0,(2)已知锐角△ABC中，BC=7，BA⋅AC=−3，且fA考点八、角平分线问题1.（2024·广东深圳·模拟预测）已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3c+b(1)求角A的大小；(2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求BCAD2.（2024·河北沧州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2(1)求证：B+3C=π(2)若∠ABC的角平分线交AC于点D，且a=12，b=7，求BD的长．1.（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在△ABC中，A,B,C分别为边a,b,c所对的角，且满足2a+c=2bcos(1)求∠B的大小；(2)∠A的角平分线AD交BC边于点D，当c=2,AD=72.（2024·山东·模拟预测）从①c+2ab=cosπ−CcosB已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且______.(1)求角B的大小；(2)若A的角平分线交边BC于点D，且AD=6，c=2，求边b注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.3.（2024·江西·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其外接圆的半径为23，且b(1)求角B；(2)若∠B的角平分线交AC于点D,BD=3，点E在线段AC上，EC=2EA，求△BDE4.（23-24高三上·河北邢台·期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3c(1)求角C的大小；(2)若∠ACB的角平分线交AB于点D，CD=4，AD=2DB，求a．5.（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2asin(1)求A；(2)若a=23，BA⋅CA=3考点九、高线与多三角形问题1.（2024·四川自贡·三模）如图，D为△ABC的边AC上一点，|AD|=2|DC|，∠ABC=60°，|AB|+2|BC|=4，则BD的最小值为.2.（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AC=BD=10，当四边形ABCD的面积最大时，BC2+C1.（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形ABCD中，AB=3,AC=2BC,AD=DC,∠ADC=90∘，则四边形ABCD面积的最大值为2.（2024·青海海西·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD,cos(1)求AC；(2)若△ACD的面积为32，求CD3.（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在△ABC中，记角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a=(1)求角C；(2)已知点D在AC边上，且AD=2DC，BC=6，BD=27，求△ABC4.（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形ABCD满足B，D点在AC的两侧，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，设∠ABC=α.

(1)当α=π3时，求(2)当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.5.（23-24高三上·广西南宁·阶段练习）已知四边形ABCD内接于⊙O，若AB=1,BC=3,CD=DA=2(1)求⊙O的半径长.(2)若∠BPD=60°，求ΔBDP考点十、基本不等式求最值与取值范围问题1.（2024·天津北辰·三模）在△ABC中，AB=22，O为△ABC外心，且AO⋅A．30° B．45° C．60° D．90°2.（2024·河南·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若acosA+A．43 B．83 C．21.（2024·重庆九龙坡·三模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，已知asinA+B2=csinA，c=2.则C=2.（2024·四川绵阳·模拟预测）在钝角△ABC中，a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，点G是△ABC的重心，若AG⊥BG，则cosC的取值范围是3.（2024·江苏盐城·一模）在△ABC中，已知AB=2，BC=3，点P在△ABC内，且满足CP=2，∠APC+∠ABC=π，则四边形ABCP面积的最大值为4.（2024·江西·二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3asinB=b2+cosA，若△ABC的面积等于5.（2024·江西吉安·模拟预测）已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2+2c2=3考点十一、三角函数求最值与取值范围问题1.（2024·江苏连云港·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，bcosA．0,1 B．1,2 C．0,2 D．2,32.（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=2,B=2C，则a+b的取值范围为（

）A．2,10 B．2+22,10 C．2+221.（2024·陕西安康·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b=2，2acosC=2cos2.（23-24高三下·吉林通化·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S=3(1)求角C的大小；(2)求sinA3.（2024·江苏盐城·模拟预测）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin(1)求角C的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，求a+bc4.（2024·重庆渝中·模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足3c(1)求角A的大小；(2)若△ABC为锐角三角形且a=26，求△ABC5.（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2(1)求角A的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，AF=6，求CF+BF的取值范围.1．（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c，若B=π3，b2A．32 B．2 C．72 2．（22-23高三上·河南濮阳·阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且acosB−1−bcosA−1A．1 B．2 C．3 D．43．（2024高三·全国·专题练习）在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若cos2B+cos2C+2sinB4．（23-24高一下·广东清远·期末）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcos(1)求B；(2)若C=π4且△ABC的面积为3+35．（2024·江西新余·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S=1(1)求角B；(2)若∠ABC的平分线交AC于点D，a=3，c=4，求BD的长.6．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinC2cos(1)求sinB+(2)若b=1，求△ABC的面积．7．（2024·天津·一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b=2，sinA=2(1)求a的值；(2)求cosC(3)求sin2C+B1．（2024·天津南开·二模）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为FA．x23−C．x29−2．（2024