第13讲函数的极值（教师版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第13讲函数的极值（5类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第20题,16分利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参)2023年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题2022年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的零2021年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析2020年天津卷，第20题,16分利用导数证明不等式2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分【备考策略】1.理解、掌握函数极值的定义，能够通过导数求解函数的极值问题2.能掌握函数极值与图像的关系3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的极值与不等式等问题4.掌握函数图像与极值的关系【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式求解函数的极值，或通过极值求参数的取值范围等。知识讲解知识点一.函数的极值函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f(x)在某一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取得极值的必要条件．可导函数y＝f(x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件：①f′(x0)＝0；②在x＝x0附近的左侧f′(x0)>0(<0)，右侧f′(x0)<0(>0)．导数求极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．注意对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．知识点二.三次函数的图象、单调性、极值设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f′(x)＝0的根，且x1<x2.(1)a>0Δ>0Δ≤0图象单调性在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减在R上是增函数极值点个数20(2)a<0Δ>0Δ≤0图象单调性在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减在R上是减函数极值点个数20考点一、函数极值辨析1.（2024·北京海淀·二模）函数fxA．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点【答案】B【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.【详解】当x≤0时，−x>0，则f(−x)=(当x>0时，−x<0，则f(−x)=3所以函数f(x)是偶函数，由图可知函数f(x)有一个极大值点.

故选：B.2.（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）函数fx=−2cosωx+πA．3 B．4 C．1 D．2【答案】D【分析】由题意，根据函数极值点的定义可得T2=π【详解】因为函数f(x)的相邻极值点之间的距离为π2所以T2=π2，得所以ω=2.故选：D1.（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（

）A．fx=xsinC．fx=e【答案】B【分析】根据函数的奇函数和极值点的概念，结合导数，逐项分析判断即可得解.【详解】对A，x∈R，f(−x)=(−x)sin(−x)=xsin对B，x∈(−∞,0)∪(0,+∞f'(x)=1−1当x∈(0,1)时f'(x)<0，x∈(1,+∞故f1对C，f−x对D，f(x)=2,x>1故选：B2．（2024·江西·模拟预测）已知函数fx=sinωx+3cosωxA．1 B．3 C．−3 【答案】C【分析】先利用辅助角公式化一，再根据x1,x2是fx【详解】fx因为x∈0,π，所以因为x1,x2是fx则ωx1+所以fx故选：C.3．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）“x0是函数fx的一个极值点”是“fxA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用导数的四则运算与函数极值点的定义，举反例说明即可得解.【详解】当fx=x3时，f'当fx=x时，则f因此题干两条件是既不充分也不必要条件.故选：D.考点二、求不含参函数的极值1.（2017·全国·高考真题）若x=−2是函数f(x)=(x2+ax−1)A．−1 B．−2e−3 C．5e【答案】A【详解】由题可得f'因为f'(−2)=0，所以a=−1，f(x)=(x令f'(x)>0，解得x<−2或所以f(x)在(−∞,−2),(1,+∞)上单调递增，在(−2,1所以f(x)的极小值为f(1)=(1−1−1)e【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．2.（2024·全国·高考真题）已知函数fx(1)当a=−2时，求fx(2)当x≥0时，fx≥0，求【答案】(1)极小值为0，无极大值.(2)a≤−【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就a≤−12、−1【详解】（1）当a=−2时，f(x)=(1+2x)ln故f'因为y=2ln(1+x),y=−1故f'(x)在−1,+∞故当−1<x<0时，f'(x)<0，当x>0时，故fx在x=0处取极小值且极小值为f（2）f'设sx则s'当a≤−12时，s'x>0故sx>s0所以fx在0,+∞上为增函数，故当−12<a<0时，当0<x<−故sx在0,−2a+1a上为减函数，故在0,−即在0,−2a+1a上f'故在0,−2a+1a上当a≥0，此时s'x<0同理可得在0,+∞上f综上，a≤−1【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.1.（2024·甘肃张掖·三模）已知函数fx=aex−2(1)求a；(2)求函数fx【答案】(1)a=2(2)答案见解析【分析】（1）直接求导，根据f'（2）直接求导，根据导数分析其单调性和极大值.【详解】（1）因为f'由已知f'(2)=14，即（2）由（1）知a=2，则f'解得x=1或x=2−ln当0<x<1时，x−1<0,2ex−2−1<0当1<x<2−ln2时，x−1>0,2e当x>2−ln2时，x−1>0,2e所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2−ln2,+∞函数f(x)的极大值为f(1)=22.（2024·江苏·三模）已知函数fx(1)若a=1，求fx(2)若fx是单调函数，求a【答案】(1)π(2)−【分析】（1）求导后，借助导数可得其单调性，即可得其极小值；（2）求出导数后，分fx【详解】（1）当a=1时，fx=x−2sin令f'x=0，由x∈当0<x<π3时，f'x<0当π3<x<π时，f'x故fx的极小值为f（2）f'若fx在0,π上单调递增，则即a≥2cosx对∀x∈0,π恒成立，则a≥2cos若fx在0,π上单调递减，则即a≤2cosx对∀x∈0,π恒成立，则综上所述，a的取值范围为−∞3.（23-24高三上·广东江门·开学考试）已知函数fx(1)若a=1,b=3，求函数fx(2)若b=0时，不等式fx≤0在1,+∞【答案】(1)fx的单调递增区间为012,1,+∞，单调递减区间为(2)−【分析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值；（2）问题等价于a≤−lnxx2在区间1,+∞恒成立，设g【详解】（1）a=1,b=3时，fx=xf'令f'x>0，解得：0<x<12或x0,1111,+f+0-0+f单调递增极大值单调递减极小值单调递增x=12时，fxx=1时，fx有极小值f故fx的单调递增区间为012fx的极大值为−54（2）b=0时，fx=ax即a≤−lnxx设gx=−ln令g'x>0，解得x>令g'x<0，解得1≤x<x0,eef-0+f单调递减极小值单调递增故g(x)min=g故a的取值范围为−∞4.（23-24高三上·天津·期中）已知函数fx(1)求fx(2)求fx在区间0,3【答案】(1)答案见解析；(2)最大值为54，最小值为274【分析】（1）利用导数研究f(x)的单调性，并求出极值即可；（2）根据（1）结果，比较区间内端点值、极值大小，即可得最值.【详解】（1）由题设f'(x)=12x2−6x−18=12(x+1)(x−32当f'(x)>0时，即12(x+1)(x−32)>0，解得x>32当f'(x)<0时，即12(x+1)(x−32)<0函数f(x)的极大值为f(−1)=38，极小值为f(3（2）由32∈[0, 3]，f(0)=27且f(x)在区间0, 3上连续，函数f(x)在区间0, 5.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数fx=lnx+x2−kx+1(1)求k的值及切线l的方程；(2)求fx【答案】(1)k=3，y=(2)单调递增区间为0,12和1,+∞，单调递减区间为12【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出k，即可求出f2（2）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间与极值.【详解】（1）因为fx=ln则f'2=92−k，故∴92−k=32因此f2所以函数在点2,f2处的切线l：y−ln2−1（2）由（1）可得fx=ln又f'令f'x>0，解得0<x<12或x>1所以fx在0,12上单调递增，在1,+则fx在x=12即极大值为f12=综上所述，fx的单调递增区间为0,12和1,+∞，单调递减区间为12考点三、求含参函数的极值1.（2024·辽宁·模拟预测）已知函数fx(1)求fx(2)设a=1，若关于x的不等式fx≤b−1ex+1【答案】(1)答案见解析(2)1,+∞【分析】（1）利用导数分类讨论函数的单调区间，可求极值；（2）问题等价于b≥x+3ex+1+x在区间−1,+∞【详解】（1）f'x=ax−1+ae当a>0时，由f'x<0，得x<1−aa故fx在区间−∞,所以fx在x=1−aa当a<0时，由f'x>0，得x<1−a故fx在区间−∞,所以fx在x=1−aa综上，当a>0时，fx的极小值为3−a当a<0时，fx的极大值为（2）a=1时，fx≤b−1ex+1−x等价于令gx=x+3令ℎx=ex+1−x+2,x≥−1所以ℎx在区间−1,+∞内单调递增，即所以g'x≥0所以gx在区间−1,+∞内单调递增，即gx故b的取值范围是1,+∞2.（24-25高三上·上海·单元测试）已知fx=−1(1)若函数fx在x=3处的切线与x轴平行，求a(2)求fx(3)若fx在0,+∞上的最大值是0，求【答案】(1)a=1(2)答案见解析；(3)1,+∞【分析】（1）利用函数导数的几何意义与直线斜率的关系求得a的值；（2）先对函数进行求导，结合对参数分类讨论，计算函数极值点；（3）对参数进行分类讨论，结合函数单调性找到最大值是0，求得a的取值范围；【详解】（1）函数fx的定义域为−1,+f'因为函数fx在x=3所以f'3=−3a+1−（2）函数fx的定义域为−1,+f'令f'x=0得x所以当1a−1<0，即f'x>0的解集为1a−1,0所以函数fx在区间−1,1a−1和x=0是函数fx的极大值点，x=1a当1a−1=0，即a=1时，f'x≤0在区间−1,+当1a−1>0，即f'x>0的解集为0,1a所以函数fx在区间−1,0和1a−1,+x=0是函数fx的极小值点，x=1a综上，当a>1时，x=0是函数fx的极大值点，x=1a当a=1时，函数fx在区间−1,+当0<a<1时，x=0是函数fx的极小值点，x=1a（3）由（2）知，当0<a<1时，函数fx在区间1在区间0,1a−1上严格增，故函数fx在与已知矛盾；当a=1时，函数fx在区间0,+∞上严格减，最大值当a>1时，函数fx在区间0,+∞上严格减，最大值是综上，a的取值范围是1,+∞1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx(1)求函数fx(2)当x≥0时，fx≤gx【答案】(1)极小值a−aln(2)证明见解析【分析】（1）利用导数即可求得函数fx（2）构造新函数，并利用导数求得新函数的最大值，即可证得a≥0.【详解】（1）fa≤0时，f'x>0a>0时，令f'x=则x>lna时，f'x<lna时，f'可得：x=ln函数fx取得极小值ffx（2）解法一：fx≤gxx=0时，不等式成立；只需证明x>0时，a≥e令ℎx=ex令ux=−xu'∴ux<u0=0∴ℎx在0,+∴利用洛必达法则：limx→0∴a≥0．解法二：（切线放缩）要证明fx≤gx只需证明−ax−1≤e令m则x≥0时，n'x=xx<0时，n'x=x则x=0时nx取得极小值n∴n(x)min=n(0)=−1，画出m当x≥0时，mx≤nx恒成立即mnx=exx−1在x=0y=−1为nx在点0,−1∴−a≤0,a≥0．2.（2024·山东威海·二模）已知函数fx(1)求fx(2)证明：lnx+x+1≤x【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案；（2）根据要证明的不等式的结构特点，设g(x)=xe【详解】（1）由题意得fx=ln则f'当a≤0时，f'x>0，f当a>0时，令f'x<0，则x>1a即fx在(0,1a故x=1a为函数的极大值点，函数极大值为（2）证明：设g(x)=xeg'x=则ℎ'x=x+2eℎ1故∃x0∈12当x∈0,x0时，ℎx<0当x∈x0,+∞时，ℎx故g即gx≥0，即xe3.（20-21高三上·四川宜宾·阶段练习）设函数fx=−1(1)当m=1时，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，结合导数的四则运算即可得解；（2）利用导数与函数的性质的关系即可得解.【详解】（1）当m=1时，fx则f'x所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1.（2）因为fx所以f'令f'(x)=0因为m>0,1+m>1−m，当x变化时，f(x)与f'x(−1−m(1−m,1+m)1+m(1+m,+f(x)−0+0−f(x)极小值极大值所以f(x)的单调递减区间为(−∞,1−m)和(1+m函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且f(1+m)=2函数f(x)在x=1−m处取得极小值f(1−m)，且f(1−m)=−24.（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数fx(1)当b>0时，求函数的单调区间和极值(2)若fx在区间1,e2【答案】(1)单调递增区间为b,+∞，单调递减区间为0,b(2)e【分析】（1）根据题意，求导得f'（2）根据题意，分b≤0与b>0讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由fx=x2∵b>0，令f'x>0，即x令f'x<0则fx的单调递增区间为b,+∞fx在x=b处的极小值为（2）当b≤0，f'x>0恒成立，f故fx在区间1,当b>0时，由（1）得fx在0,+∞上最小值为若fx在区间1,e2内恰有两个零点，则需满足1<5.（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知fx(1)讨论fx(2)若x∈0,e时，fx【答案】(1)见解析(2)−【分析】（1）首先求函数的导数，f'x=ax−1x（2）首先不等式参变分离为a≤3x+lnxx，在【详解】（1）f'当a≤0时，f'x<0当a>0时，令f'x=0f'x<0，得0<x<f'x>0，得x>当x=1a，函数取得极小值综上可知，a≤0时，函数的单调递减区间是0,+∞a>0时，函数的单调递增区间是1a,+∞，单调递减区间0,（2）由题意可知，ax−lnx≤3，则a≤3x+lnx设gx=3g'令g'x=0当0<x<1e2时，g当1e2<x≤e时，所以gx的最大值为g1e所以实数a的取值范围是−∞考点四、由极值求参数1.（24-25高三下·重庆·阶段练习）若函数fx=ax2+beA．−2 B．−3 C．−e D．【答案】B【分析】先求出f'x，再根据极值的定义列等式求出a和b，然后检验此时fx在x=1时是否有极小值，即可确定a和b【详解】f'x=ax2+2ax+b所以f'1=0f1此时f'x<−3或x>1时，f'x>0，−3<x<1fx在x=1时有极小值成立，所以a=1，b=−3，ab=−3故选：B.2.（2024·重庆·模拟预测）若函数fx=xA．0,18 B．0,18 C．【答案】C【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得f'x在0,+∞【详解】函数fx=x2−x+a因为函数fx有极值，所以f'x即2x2−x+a=0因为二次函数y=2x2−x+a所以只需Δ=−12−8a>0，解得a<1故选：C1.（2024·重庆·模拟预测）已知f(x)=(1)若f(x)在x=0处的切线平行于x轴，求a的值；(2)若f(x)存在极值点，求a的取值范围．【答案】(1)a=1(2)0<a<1【分析】（1）求出函数的导数，根据已知条件有f'0=0（2）根据条件有f'x在x∈−∞,1上至少有一个变号零点，即a=ex1−x【详解】（1）因为f(x)=ex+aln(1−x)x<1根据题意有f'0=0，即e检验，此时f0=1，切线为y=1，平行与x轴，故（2）因为f(x)=ex+aln(1−x)x<1因为f(x)存在极值点，所以f'x在即a=ex1−xx<1至少有一解，令g则g'x=−xexx<1，令g所以当x∈−∞,0时，g当x∈0,1时，g'x所以gxmax=g0=1所以0<a<1.2.（2024·辽宁·二模）已知函数f(x)=ax(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的极小值为−23，求实数【答案】(1)答案见解析(2)a∈{−【分析】（1）对函数求导，根据a的不同范围，分别求出函数的单调性；（2）结合（1），由a的不同范围确定极小值点，列出方程求解即可．【详解】（1）f'①当a=0时，令f'(x)=−(x−1)=0，当x∈(−∞,1)时，f'当x∈(1,+∞)时，f'②当a<0时，令f'(x)=(3ax−1)(x−1)=0，解得当x∈(−∞,13a)和(1,+当x∈(13a,1)时，f③当a>0时，令f'(x)=(3ax−1)(x−1)=0，解得x=1或i)当13a<1时，即当x∈(−∞,13a)和(1,+当x∈(13a,1)时，fii)当13a>1时，即当x∈(−∞,1)和(13a,+当x∈(1,13a)时，fiii)当13a=1时，即a=13时，f'综上所述，当a<0时，f(x)在(−∞,13a)当a=0时，f(x)在(−∞,1)单调递增，f(x)在当a=13时，f(x)在当a>13时，f(x)在(−∞,13a)当0<a<13时，f(x)在(−∞,1)和(1（2）①当a=13时，f(x)在②当a<0时，f(x)在(−∞,13a)和(1,+所以f(x)的极小值为f(1故f(1化简得，(1a−12)(1a③当a>13时，f(x)在(−∞,13a)所以f(x)的极小值为f(1)，故f(1)=a−12(3a+1)+1=−④当0<a<13时，f(x)在(−∞,1)和(1所以f(x)得极小值为f(1故f(13a)=a(1故实数a∈{−13.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数fx=x(1)求fx(2)若函数y=fx−λ有一个零点，求实数【答案】(1)f(2)−【分析】（1）由已知可得f'−1=3−2a=0，可得出关于实数a的方程，解出a（2）分析可知，直线y=λ与函数fx的图象有1个交点，利用导数分析函数fx的单调性与极值，数形结合可得出实数【详解】（1）因为fx=x由题意可得f'−1=3−2a=0所以fx=x经检验可知，函数fx在x因此fx（2）问题等价于fx=λ有一个的实数根，求由f'x=3x2由f'x=3x2+3x<0，得−1<x<0，所以在−1,0上单调递减，则函数fx的极大值为f极小值为f0

由图可知，当λ>−12或λ<−1时，直线y=λ与函数因此，实数λ的取值范围是−∞4.（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知函数fx(1)讨论fx(2)若fx的极小值为−43【答案】(1)答案见解析(2)4【分析】（1）根据题意先对函数求导后，然后对m分情况讨论，从而可求解；（2）根据函数极小值为−4【详解】（1）因为fx的定义域为R，所以f当m≤0时，f'x≥0，则f当m>0时：若f'x=x2所以得：fx在区间−∞,−若f'x=所以得：fx在区间−综上所述，当m≤0时，fx在R当m>0时，fx在区间−∞,−m和m,+（2）由（1）知，当m≤0时fx在R上单调递增，故f当m>0时，fx在区间−m,m上单调递减，fx在区间m所以13(m)35.（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数fx=ax(1)求a,b的值；(2)若函数gx=fx−mx在【答案】(1)a=3,b=−4(2)−【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可列出相应方程，即可求得a,b的值，验证后即可确定答案；（2）由题意得g'x≥0在−1,1上恒成立，继而参变分离得m≤12x3【详解】（1）由题意知fx因为fx=ax所以f1解得a=3,b=−4，即fx=3x当x<1时，f'x<0，f(x)当x>1时，f'x>0，f(x)即fx=3x故a=3,b=−4.（2）g'x=即m≤12x3−12令ℎx则ℎ'x=12x3x−2，令ℎ'令ℎ'x<0，得−1<x<0所以ℎx在−1,0和23,1因为ℎ−1=−24,ℎ2所以m≤−24，经验证x=−1时，g'x=12即m的取值范围为−∞【点睛】方法点睛：解答第二问根据函数的单调区间求解参数取值范围，得到不等式12x3−12x2−m≥0在考点五、函数极值（点）与图像1.（2023·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数fx的导函数f

A．f1>f3C．fx有三个零点 D．f【答案】A【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可.【详解】根据导函数图像知道：x(−0(0,3)3(3,+f正0非正0正f(x)增极大值减极小值增对于A，1,3∈(0,3)，单调递减，则f1对于B，自变量−1,2在不同区间，都比f(0)小，但不能比较它们大小，则B错误；对于C，不能确定零点个数，则C错误；对于D，函数有两个极值点，则D错误.故选：A．2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率小于零B．函数f（x）在区间（－1，1）上单调递增C．函数f（x）在x＝1处取得极大值D．函数f（x）在区间（－3，3）内至多有两个零点【答案】D【详解】解析：由题意，得f′（1）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率等于零，故A错误；当x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（－1，1）上单调递减，故B错误；当－2＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以x＝1不是f（x）的极值点，故C错误；当x∈（－3，－2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（－2，3）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，所以当f（－2）＜0时，f（x）在（－3，3）上没有零点；当f（－2）＝0时，f（x）在（－3，3）上只有一个零点；当f（－2）＞0时，f（x）在（－3，3）上有两个零点．综上，函数f（x）在区间（－3，3）内至多有两个零点，故选D.1.（2024·云南楚雄·一模）若a>b，则函数y=ax−aA． B．

C．

D．

【答案】B【分析】对比选项可知a≠0，由题意x=a，x=b（a>b）是函数y=ax−ax−b2的零点，x1=b<x2=2a+b【详解】对比各个选项可知a≠0，由三次函数图象与性质可得x=a，x=b（a>b）是函数y=ax−a令y'可知x1=b<x2=2a+b3<a（若a>0，则函数y=ax−a具体为y=ax−ax−b2在−∞,b若a<0，则函数y=ax−a具体为y=ax−ax−b2在−∞,b故选：B.2.（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数fx的导函数f

A．函数fxB．函数fxC．函数fxD．函数fx【答案】A【分析】根据f'x的图象判断出【详解】由函数图象可知f'x、x−−1,11,33,+f−+−+f↘↗↘↗由上表可知fx在−∞,−1和1,3上分别单调递减，在−1,1函数fx的极小值分别为f−1、f3对于A选项：由以上分析可知fxmin=对于B选项：由图可知当x→+∞，有f'x因此当x→+∞，有fx→+对于C选项：若有f−1<0,f3对于D选项：由上表及以上分析可知函数fx故选：A.3.（24-25高三·上海·随堂练习）定义在R上的函数fx的导数f'x的大致图象如题图所示，则函数y=fx的单调增区间为，y=f

【答案】−1,2,【分析】数形结合，根据导函数的图象的正负判断函数的单调性以及极大值点即可求解.【详解】根据导函数的图象可知，函数fx在−1,2,4,+函数fx在−∞,−1,2,4所以fx的严格递增区间为−1,2,4,+∞，所以x=2时，fx所以fx的极大值点为x=2故答案为：−1,2,1．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列{an}中，a7是函数A．33 B．3 C．±3 【答案】D【分析】求出函数f(x)的极大值点得a7【详解】由正弦函数性质知，当2x−π6=π2则a7=π所以tan(故选：D2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数fx=eA．0,12 B．1,e22 【答案】C【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解.【详解】已知fx=ex−ax显然f'x=故原条件等价于f'0=故实数a的取值范围是1,e故选：C.3．（2024·河北承德·二模）设a为实数，若函数fx=13xA．1 B．12 C．0 D．【答案】B【分析】求出函数的导数，根据极值点求出a的值，然后根据极值的概念检验即得．【详解】由题可得f'令f'(x)=0，解得；x=0或因为函数fx=1所以2a=1，即a=1当a=12时，f'(x)=xx−1，所以函数fx在0,1上单调递减，在(−故选：B.4．（2024高三·全国·专题练习）设a∈R，若函数fx＝A．−∞,−3 B．−3,0 C．−1【答案】B【分析】函数有小于零的极值点即导数等于零有负数解.【详解】因为fx有小于零的极值点，且f'由f'x＝0，得eax=−3a，故故选：B．5．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数fx=ax3+bx2+x+c，其导函数y=f'x【答案】13,1【分析】根据导函数的符号确定原函数的单调性，可直接写出原函数的单调区间；分析原函数的单调性，可以得到函数的极大值点.【详解】如图：导函数y=f'x的图象过点1则当x<13时，f'当13<x<1时，f'当x>1时，f'x>0∴函数fx的单调递减区间为13,1故答案为：13,16．（2024·河南·三模）已知函数f(x)=ax−lnx，且f(x)在x=1处的切线方程是(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值．【答案】(1)a=2，b=1(2)单调递减区间为0,12，单调递增区间为12【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得f(x)=2x−ln【详解】（1）因为f(x)=ax−lnx，所以又f(x)在x=1处的切线方程为y=x+b，所以f'(1)=a−1=1，解得a=2，b=1．（2）由（1）可得f(x)=2x−lnx定义域为0,+∞当x∈0,12时，f当x∈12,+∞时，则f(x)在x=1所以f(x)的单调递减区间为0,12，单调递增区间为因此极小值为f17．（2024·山东潍坊·二模）已知函数fx=x−1ex−ax(1)求实数a，b的值；(2)求fx【答案】(1)a=1，b=2(2)单调递增区间是−∞,0，ln2,+∞，单调递减区间是0,ln【分析】（1）求导根据导数的几何意义求解即可；（2）求导分析导函数的正负区间进而求解极值即可.【详解】（1）由题可得f'由题意f'1=又f1=−1+b=e（2）由（1）可得f'令f'x>0可得x>ln2或x<0故fx的单调递增区间是−∞,0，ln则fx的极大值为f0=11．（2024·陕西铜川·三模）若函数fx=axA．−1e4,0 B．0,16【答案】B【分析】根据两个极值点，看将问题转化为a=lnx−12【详解】f'令f'x=0令gx=ln令g'x0=0，则3ln当0<x<x0时，g'x>0,gx在0,x∴g(x)又当x→0+时，gx→−∞∴当0<a<16e4时，方程故选：B2．（2024·陕西宝鸡·三模）若函数f(x)=−12aA．(0,2) B．0,1 C．(−∞,1) 【答案】A【分析】将原问题等价转换为关于t的方程a=−2t−12+2【详解】f(x)=−1故原命题等价于关于x的方程−ax2+4x−2=0即关于x的方程a=4x−2x2令t=1x，则所以关于t的方程a=−2t−12+2令gt因为gt在0,1上单调递增，故gt在0,1上的值域为因为gt在1,+∞上单调递减，故gt在1,+而0,2∩−∞,2=故选：A.3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数f(x)=xA．f(x)有三个极值点 B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线【答案】C【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B；令ℎ(x)=x3−x，得到ℎ(x)是奇函数，(0,0)【详解】对于A，由题，f'令f'x>0得x>33或x<−所以f(x)在(−∞,−33)所以x=±3对应B，因f(−33)=1+23所以，函数fx在−当x≥33时，fx≥f3综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；对于C，令ℎ(x)=x3−x，该函数的定义域为R则ℎ(x)是奇函数，(0,0)是ℎ(x)的对称中心，将ℎ(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；对于D，令f'x=3x2当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x−1，当切点为(−1,1)时，切线方程为y=2x+3，故D错误.故选：C4．（2024·青海西宁·一模）等差数列an中的a2，a2024是函数fA．12 B．1 C．−1 D．【答案】B【分析】先根据极值点求出导函数为0求出a2+a【详解】函数fx=x3−6导函数为f'x=3等差数列a中，a2+a则log2故选：B.5．（2023·天津和平·三模）已知函数fx=3sinωxcosωx−12sin2ωx−π2A．136,196 B．136,19【答案】D【分析】利用三角恒等变换化简得到fx=sin【详解】fxx∈0,2π，函数fx在区间0,2故9π2<4ωπ故选：D6．（2024·吉林·模拟预测）已知函数fx(1)当a=0时，求函数fx(2)求证：当0<a<1,x>0时，fx【答案】(1)极大值4e(2)证明见解析【分析】（1）利用导数研究函数的单调性、极值，计算即可；（2）先利用导数计算函数的最小值f(x)min=fa=−a【详解】（1）当a=0时，ff令f'x=0得x=0或x=−2，当x变化时，fx−-2−2,000,+f+0-0+f单调递增4单调递减0单调递增故当x=−2时，fx取得极大值4当x=0时，fx（2）f∵x>0∴x+2>0令f'x=0，则x=a，当x变化时，fx0,aaa,+f-0+f单调递减−a单调递增故f(x)要证当0<a<1,x>0时，fx法一：只需证当0<a<1时，−aea令ga=1−aea故ga<g0法二：只需证当0<a<1时，−aea令ℎa=令ma=∴ma在0,1∴m∴ℎa在0,1上单调递减，即*式成立，原不等式成立.7．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数f(x)=(x−1)ex−ax(a∈(1)当a=0，求函数f(x)的最小值；(2)若函数f(x)有2个极值点，求a的取值范围；【答案】(1)-1(2)(−【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值；（2）首先求函数的导数f'(x)=xex−a，再设函数ℎ(x)=xex，利用导数分析函数y=ℎ(x)【详解】（1）当a=0时，f(x)=(x−1)ex，所以当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x<0时，f'所以当x=0时，函数f(x)取得最小值f(0)=−1；（2）函数的定义域为R，f'设ℎ(x)=xex，由ℎ'(x)=(x+1)e列表如下：x(−−1(−1,+ℎ−0+ℎ(x)减极小值−增当x<0时，ℎ(x)<0，当x>0时，ℎ(x)>0，做出函数y=ℎ(x)与y=a的图像，如下图，当−1e<a<0时，直线y=a设这两个交点的横坐标分别为x1,x当x<x1或x>x当x1<x<x所以a的取值范围是(−11.（2023·北京·高考真题）设函数f(x)=x−x3eax+b，曲线y=f(x)在点(1)求a,b的值；(2)设函数g(x)=f'(x)(3)求f(x)的极值点个数．【答案】(1)a=−1,b=1(2)答案见解析(3)3个【分析】（1）先对fx求导，利用导数的几何意义得到f(1)=0，f'(1)=−1（2）由（1）得gx的解析式，从而求得g'x，利用数轴穿根法求得g'x（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间−∞,0，0,x1，x1,x【详解】（1）因为f(x)=x−x3e因为fx在(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1所以f(1)=−1+1=0，f'则1−13×所以a=−1,b=1.（2）由（1）得gx则g'令x2−6x+6=0，解得x=3±3，不妨设x1=3−易知e−x+1所以令g'x<0，解得0<x<x1或x>x2所以gx在0,x1，x2,+即gx的单调递减区间为0,3−3和3+3,+∞（3）由（1）得f(x)=x−x3e由（2）知f'x在0,x1，x2当x<0时，f'−1=1−4e所以f'x在−∞,0上存在唯一零点，不妨设为此时，当x<x3时，f'x<0，则fx单调递减；当所以fx在−当x∈0,x1时，f则f'x1所以f'x在0,x1上存在唯一零点，不妨设为此时，当0<x<x4时，f'x>0，则fx单调递增；当所以fx在0,当x∈x1,x2则f'x2所以f'x在x1,x此时，当x1<x<x5时，f'x<0，则f所以fx在x当x>x2=3+所以f'x=1−所以fx在x综上：fx在−∞,0和x1,【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断f'x1与f2.（2024·全国·高考真题）已知函数f(x)=e(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．【答案】(1)e(2)1,+【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析a≤0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得a2+lna−1>0，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知f'(x)=e【详解】（1）当a=1时，则f(x)=ex−x−1可得f(1)=e−2，即切点坐标为1,e−2，切线斜率所以切线方程为y−e−2=（2）解法一：因为f(x)的定义域为R，且f'若a≤0，则f'(x)≥0对任意可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna；令可知f(x)在−∞,ln则f(x)有极小值fln由题意可得：flna=a−a构建ga=a可知ga在0,+∞内单调递增，且不等式a2+lna−1>0等价于所以a的取值范围为1,+∞解法二：因为f(x)的定义域为R，且f'若f(x)有极小值，则f'令f'(x)=e可知y=ex与y=a有交点，则若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna；令可知f(x)在−∞,ln则f(x)有极小值fln由题意可得：flna=a−a构建ga因为则y=a2,y=可知ga在0,+∞内单调递增，且不等式a2+lna−1>0等价于所以a的取值范围为1,+∞3．（天津·高考真题）函数fx的定义域为开区间a,b，导函数f'x在a,b内的图象如图所示，则函数fA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】由导函数的图象可知f'x在开区间a,b内有4个零点x1【详解】从图形中可以看出，f'x在开区间a,b内有4个零点x1在x1处的两边f在x2处的两边f在x3处的两边f在x4处的两边f因此函数fx在开区间a,b故选：A．4．（2022·全国·高考真题）已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex【答案】1【分析】法一：依题可知，方程2lna⋅ax−2ex=0的两个根为x1,【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为f'x=2lna⋅即方程lna⋅ax即函数y=lna⋅a因为x1,x所以函数fx在−∞,x1所以当时−∞,x1x2,+∞当x∈x1,x2时，fa>1，图象显然不符合题意，所以0<a<1．令gx=ln设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x则切线的斜率为g'x0则有−lna⋅ax0因为函数y=lna⋅a所以eln2a<e，解得1e综上所述，a的取值范围为1e[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导f'x因为x1,x所以函数fx在−∞,x1设函数gx=f若a>1，则'x在R上单调递增，此时若f则f'x在−∞,x0上单调递减，在fx=2ax−e若0<a<1，则'x在R上单调递减，此时若'x0=0，则f'x在−∞,x0上单调递增，在x0,+∞上单调递减，令'x0=0，则ax0=e(【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．5．（天津·高考真题）已知函数f(x)=2ax−a2(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，(2)当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值．【答案】(1)6x+25y−32=0(2)见解析【分析】（1）根据题意得到函数fx（2）对函数求导，对参数的取值范围分类讨论，根据导函数的符号确定函数的单调区间和极值.【详解】（1）当a=1时，f(x)=2xx2又f'(x)=2(所以曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为即6x+25y−32=0．（2）f'由于a≠0，以下分两种情况讨论．①当a>0时，令f'(x)=0，得到x1=−1a，x−−−a(af−0+0−f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以f(x)的单调递减区间为−∞，−1a，函数f(x)在x1=−1a处取得极小值函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a)，且②当a<0时，令f'(x)=0，得到x1=a，x−aa−−f+0−0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递增区间为(−∞，a)，−1函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a)，且函数f(x)在x2=−1a处取得极小值6．（2014·天津·高考真题）已知函数f(x)=（1）求f(x)的单调区间和极值；（2）若对于任意的x1∈(2,+∞)，都存在x2∈(1,+∞)，使得【答案】(1)f(x)的单调增区间是(0,1a)，单调减区间是(−∞,0)和(1a,+∞)，当x=0时，f(x)取极小值0，当x=【详解】试题分析：(1)求函数单调区间及极值，先明确定义域：R，再求导数f'(x)=2x−2ax2(a>0).在定义域下求导函数的零点：x=0或x=1a，通过列表分析，根据导函数符号变化规律，确定单调区间及极值，即f(x)的单调增区间是(0,1a)，单调减区间是(−∞,0)和(1a,+∞)，当x=0时，f(x)取极小值0，当x=1a时，f(x)取极大值13a2，(2)本题首先要正确转化：“对于任意的x1∈(2,+∞)，都存在x解(1)由已知有f'(x)=2x−2ax2(a>0).令fx(−∞,0)0(0,1(f−0+0−f(x)↘0↗1↘所以f(x)的单调增区间是(0,1a)，单调减区间是(−∞,0)和(1a,+∞)，当x=0时，f(x)取极小值0，当x=1a时，f(x)取极大值13a2，(2)由f(0)=f(32a)=0及（1）知，当x∈(0,32a)时，f(x)>0，当x∈(下面分三种情况讨论：当32a>2即0<a<34时，由f(3当1≤32a≤2即34≤a≤32时，有f(2)≤0且此时f(x)在(2,+∞)上单调递减，故A=(−∞,f(2))，因而A⊆(−∞,0)由f(1)≥0有当32a<1即a>32时，有f(1)<0且此