第10讲 函数的方程与零点（教师版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第10讲函数的方程与零点（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第15题,5分函数与方程的综合应用,根据函数零点的个数求参数范围,已知方程求双曲线的渐近线2023年天津卷，第15题,5分根据函数零点的个数求参数范围2022年天津卷，第15题,5分根据函数零点的个数求参数范围,根据二次函数零点的分布求参数的范围2021年天津卷，第9题,5分根据函数零点的个数求参数范围2020年天津卷，第9题,5分函数与方程的综合应用，根据函数零点的个数求参数范围2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度较高，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握函数的零点，能够理解函数的方程，函数的零点与交代你的含义2.能掌握函数图像与性质3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像解决零点问题4.理解并掌握二分法思想，会用零点的存在性定理判断零点的个数【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般难度系数较高，通常为判断零点的个数，或者已知零点个数求取值范围。知识讲解知识点一.零点1.函数零点概念对函数y=f(x)，把使fx=0的实数x叫做函数2.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有fafb<0f，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在cϵ(a,b)，使得3.零点存在唯一性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有fafb<0，且在[a,b]上单调，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点.即存在唯一的cϵ(a,b)，使得fc4.函数零点、方程的根与函数图像的关系函数y=Fx方程Fx=fx−gx=0有实数根⟺求函数y=fx①直接解方程fx②利用图象求其与x轴的交点(交点的横坐标即是零点);③将方程fx④可通过二分法求函数的零点的近似值.5.二次函数的零点:二次函数y=a(1)∆>0，方程ax2+bx+c=0(2)∆=0，方程ax2+bx+c=0(3)∆<0，方程ax2+bx+c=0知识点二．函数的图象1.函数的图像将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x2．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．3．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y=f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y=−f(x)；②y=f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y=f−(x)③y=f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y=−f(−x)；④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a>0且a≠1)．(3)伸缩变换①把函数y=f(x)图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1)②把函数y=f(x)图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1)③把函数y=f(x)图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1)④把函数y=f(x)图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1)(4)翻折变换①y=f(x)eq\o(→,\s\up11(保留x轴上方图象),\s\do4(将x轴下方图象翻折上去))y=|fx||.②y=f(x)eq\o(→,\s\up11(保留y轴右边图象，并作其),\s\do4(关于y轴对称的图象))y=f(|x|)．考点一、函数图像的识别1.（2024·全国·高考真题）函数fx=−xA． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得f1【详解】f−x又函数定义域为−2.8,2.8，故该函数为偶函数，可排除A、C，又f1故可排除D.故选：B.2.（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是（

）A．y=−x3+3xx2+1 B．【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设fx=x设ℎx=2xcosx所以ℎx设gx=2故选：A.1.（2024·安徽合肥·模拟预测）函数fx=eA．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由函数的奇偶性可排除B，C；再由x趋近0+，f【详解】fx=ef−x所以fx当x趋近0+，e2x>1，所以e所以fx故选：A.2.（2024·山东·模拟预测）函数fxA． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数f(x)的定义域及奇偶性，再由奇偶性在(0,1)内函数值的正负判断即可.【详解】依题意，函数f(x)=ex−f(−x)=e−x−当x∈(0,1)时，ex−e故选：C考点二、函数的图像变换1.（2023·四川成都·模拟预测）要得到函数y=122x−1A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位 D．向右平移1【答案】D【分析】根据指数函数解析式说明图象平移过程即可.【详解】由y=14x=(故选：D2.（22-23高三·全国·对口高考）把函数y=log3(x−1)的图象向右平移1【答案】y=【分析】根据函数图象变换规律可得答案.【详解】把函数y=log3(x−1)的图象向右平移12个单位，得函数y=log故答案为：y=1.（22-23高三·全国·对口高考）利用函数f(x)=2(1)y=f(−x)；(2)y=f(|x|)(3)y=f(x)−1；(4)y=f(x)−1(5)y=−f(x)；(6)y=f(x−1)．【答案】(1)图象见详解(2)图象见详解(3)图象见详解(4)图象见详解(5)图象见详解(6)图象见详解【分析】先作出函数f(x)=2（1）把f(x)的图象关于y轴对称即可得到y=f(−x)的图象；（2）保留f(x)图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称即可得到y=f(|x|)的图象；（3）把f(x)图象向下平移一个单位即可得到y=f(x)−1的图象；（4）结合（3），保留x上方部分，然后把x下方部分关于x轴翻折即可得到y=f(x)−1（5）把f(x)图象关于x轴对称即可得到y=−f(x)的图象；（6）把f(x)的图象向右平移一个单位得到y=f(x−1)的图象．【详解】（1）把f(x)的图象关于y轴对称得到y=f(−x)的图象，如图，

（2）保留f(x)图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称得到y=f(|x|)的图象，如图，

（3）把f(x)图象向下平移一个单位得到y=f(x)−1的图象，如图，

（4）结合（3），保留x上方部分，然后把x下方部分关于x轴翻折得到y=f(x)−1

（5）把f(x)图象关于x轴对称得到y=−f(x)的图象，如图，

（6）把f(x)的图象向右平移一个单位得到y=f(x−1)的图象，如图，

2.（2024·辽宁·三模）已知对数函数f(x)=logax，函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f(x)A．32 B．23 C．33【答案】D【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可【详解】因为将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数gx所以g(x)=logax将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式y=log因为所得图象恰好与函数fx所以−log所以a2=3，又a>0且解得a=3故选：D3.（2023·河北·模拟预测）已知函数fxA．fx−1 B．fx−2 C．【答案】B【分析】根据对称性分析可得函数fx有且仅有一个对称中心0,2【详解】由题意可得：fx因为f=6−2×2若fa+x则22a+1=2，解得a=0，此时所以函数fx有且仅有一个对称中心0,2对于选项A：fx−1有且仅有一个对称中心为对于选项B：fx−2有且仅有一个对称中心为对于选项C：fx−2有且仅有一个对称中心为2,2对于选项D：fx+2有且仅有一个对称中心为−2,2故选：B.4.（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数f(x)=x2,x≥0,A． B．C． D．【答案】B【分析】由gx=f−x可知gx图像与fx【详解】因为gx=f−x，所以gx图像与由fx解析式，作出f从而可得gx故选：B.考点三、由函数图象确定解析式1.（2024·内蒙古呼和浩特·二模）函数fx的部分图象大致如图所示，则fA．fx=sinC．fx=e【答案】A【分析】结合图象可知f(x)为奇函数且f(0)=0，在(0,+∞)上先增后减.根据函数的奇偶性和【详解】由图可知，f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，且f(0)=0，在(0,+∞A：f(x)=sinxeB：f(x)=ef'(x)=ex+e则f'(x)=ex+eC：f(x)=ex+e−xD：f(x)=ef'(x)=ex+e则f'(x)=ex+e故选：A2.（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数fx的部分图象如下图所示，则fA．fx=eC．fx=x【答案】A【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断.【详解】由题意可知：fx的定义域为x|x≠0当x>0，fx对于C：因为e−x<1<e可知fx对于D：因为ex>1，则ex故选：A.1.（2024·上海奉贤·二模）已知函数y=fx，其中y=x2+1，A．y=gxfC．y=fx+gx【答案】A【分析】根据函数图象和fx【详解】易知fx=xA.y=ℎx又ℎ−x=4B.y=fxgC.y=ℎx但ℎ−xD.y=ℎx但ℎ−x故选：A2.（2024·湖南·二模）已知函数fx的部分图象如图所示，则函数fA．fx=−2C．fx=−2x【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.【详解】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；由图可知，当x→+∞时，y→−而对于D选项，当x→+∞时，y→0故选：A.3.（2024·广东江门·二模）若函数f(x)的图象与圆C:x2+A．f(x)=||x|−2| B．f(x)=C．f(x)=2x−2【答案】D【分析】利用绝对值函数的图象特征，分别作出选项中的函数图象，观察即可判断.【详解】作出y=|x|−2作出y=x2−2|x|,y=故选：D.考点四、函数零点及零点个数1.（22-23高三上·江西鹰潭·阶段练习）函数fxA．2，3 B．2 C．2,0 D．2,0【答案】A【分析】根据给定条件，解方程求出函数零点作答.【详解】由f(x)=0，得(3x−27)ln(x−1)=0，即3x−27=0所以函数fx故选：A2.（2023高三·全国·专题练习）已知指数函数为fx=4A．−1 B．0C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.【详解】函数fx=4x，由fx−2所以函数y=fx故选：C1.（22-23高三·全国·对口高考）已知a=12，方程a|x|【答案】2【分析】分别作出fx=1【详解】由a=12，则则令fx=1分别作出它们的图象如下图所示，

由图可知，有两个交点，所以方程a|x|故答案为：2．2.（2023·全国·模拟预测）已知函数fx满足fx+32=fx−32.当x∈0,3【答案】161【分析】由条件先得出函数的最小正周期为3，解方程fx=2x3−11【详解】因为函数fx满足f所以fx+3=fx当x∈0,3时，令f解得x=0或x=2，所以当x∈0,3时，f所以fx在−120,120上的零点个数为2×故答案为：161.考点五、复合函数的零点1.（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数fx=lgA．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】将函数y=f2x−3fx+2的零点个数转化为方程fx=1和【详解】函数y=f即方程fx=1和fx由图可得方程fx=1和fx故选：C．2.（2022高三上·河南·专题练习）已知函数fx=eA．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】画出fx的大致图象，由y=f【详解】作出函数fx由ex−3=1解得x=ln4，由2−x+12=1令ffx−1=0得fx=−2或fx结合图象可知：当fx=−2时，有1个解；当当fx=ln4时，由于故y=ff故选：C

1.（23-24高三上·天津·期中）已知函数fx=xA．m>1 B．m<0C．0<m<1 D．−1<m<0【答案】C【分析】由f(x)=0有解得出m≤1，同时否定m=1，m<1时f(x)=0有两根−1±1−m，由大根等于f(x)的最小值可得m【详解】显然f(x)=0有解，因此Δ=4−4m≥0，m≤1若m=1，则f(x)=x2+2x+1只有一个零点x=−1，但此时f(x)=−1所以m<1，f(x)=(x+1)2+m−1由f(x)=0得x=−1±1−m，由题意−1+1−m=m−1，解得m=−1+52（故选：C．2.（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数fx=−A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】令fx−1=t，先求出使ft=0时的t的值，然后画出函数fx【详解】由已知ff令fx−1=t，即当−t2+2t=0t≥0时，得当ln−t+1t=0t<0时，明显函数gt故存在t3∈−2,−1画出fx再画出直线y=t+1，其中t∈0,2,

观察图象可得交点个数为5个，即函数y=ffx−1故选：D.3.（23-24高三上·河北·阶段练习）已知函数fx=2x+3,x≤0,A．2 B．3 C．0 D．1【答案】D【分析】令t=fx，得到gt=t2−ft，令g【详解】由函数gx=fx2令gt=0，可得当t>0时，由t2=ft，可得t2=当t<0时，由t2=ft，可得t2=2t+3，即t所以t=±1，即fx当x>0时，令x−22=1或x−22=−1（舍去），解得当x<0时，令2x+3=±1，解得x=−1或x=−2，所以函数gx=f故选：D.4.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=eA．−1e,0C．−1e∪【答案】C【分析】根据题意，先判断fx在−∞,1和1,+【详解】当x≤1时，f'x=x+1e当x∈−1,1时，f'x>0，所以fx在−∞,−1上单调递减，在−1,1当x>1时f'x=x−2e当x∈2,+∞时，f'x>0，所以fx在作出函数fx由图象可知，x=0是函数fx的零点，要使函数gx=fx由图可知a=−1e或0<a<e24故选：C．【点睛】此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，需要会熟练应用导数判断单调性、求最值并作出函数的大致图象.考点六、二分法的应用1.（2023高三·全国·专题练习）用二分法求函数fx=lnx+1+x−1A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过nn∈N∗次操作后，区间长度变为12n，若要求精确度为0.01【详解】因为开区间0,1的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过nn∈N∗令12n<0.01，解得n≥7，且故所需二分区间的次数最少为7.故选：C.2.（22-23高三·全国·对口高考）函数fx在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间1,2A．5次 B．6次 C．7次 D．8次【答案】C【分析】根据a−b<0.01【详解】区间1,2的长度为1，第1次二等分，区间长度变为12第2次二等分，区间长度变为122；第3次二等分，区间长度变为123；第4次二等分，区间长度变为124；第5次二等分，区间长度变为第7次二等分，区间长度变为12所以要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间1,2至少二等分7次.故选：C1.（2023·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数fx在x0附近一点的函数值可用fx≈fxA．0.333 B．0.335 C．0.345 D．0.347【答案】D【分析】求出迭代关系为xk+1=x【详解】令fx=x令fx=0，即fx迭代关系为xk+1取x0=12，则故选：D.2.（2023·广西·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方程x3+2x2+3x+3=0的近似解，先用函数零点存在定理，令fx=x3+2x2+3x+3，f−2=−3<0，f−1=1>0【答案】−75【分析】由牛顿法公式结合二分法的定义求解即可.【详解】已知fx=x迭代1次后，x1迭代2次后，x2用二分法计算第1次，区间−2,−1的中点为−32，f−所以近似解在−3用二分法计算第2次，区间−32,−1的中点为−54，f−54=故答案为：−75；3.（23-24高三下·北京·阶段练习）函数fxA．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,4【答案】B【分析】先判断fx【详解】因为fx的定义域为0,+∞，且y=ln可知fx在0,+且f1所以函数fx的唯一一个零点所在的区间是1,2故选：B.1．（2019高三·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案．【详解】根据二分法的思想，函数fx在区间[a,b]上的图象连续不断，且fa⋅f对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．故选：C.2．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）f(x)=tanxsinA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】借助因式分解的方法，结合特殊角的三角函数值求解即得.【详解】依题意，f(x)=tan而x∈[0,2π]，显然x≠π2且由f(x)=0，得tanx=1，解得x=π4所以f(x)在[0,2π故选：B3．（2024·陕西安康·模拟预测）函数fxA．0,22 B．22,1 C．【答案】C【分析】由零点存在性定理可得答案.【详解】因为函数fx的定义域为0,+∞，又f'x=又f1=−1<0,f2=ln2=故选：C.4．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数y=cosx与A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.【详解】函数y=cosx与y=lgx都是偶函数，其中在同一坐标系中，作出函数y=cosx与由图可知，两函数的交点个数为6.故选：D5．（23-24高三下·江西·阶段练习）设函数f(x)=sin(2ωx+π3)(ω>0)在(0,A．83 B．53 C．176【答案】A【分析】由f(π2)=0求出ω【详解】当x∈(0,π6)时，2ωx+π3由f(π2)=0，得ωπ+故选：A6．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数f(x)=1x,x>02x2+4x+1,x≤0，若关于x【答案】0,1【分析】将问题转化为函数y=fx与y=a【详解】关于x的方程fx=a恰有三个实数根等价于函数y=fxy=fx由图可知当0<a≤1时，两函数图象有3个交点，所以a的取值范围为0,1，故答案为：0,17．（2024·河南·二模）已知函数fx是偶函数，对任意x∈R，均有fx=fx+2，当x∈0,1时，f【答案】4【分析】转化为函数y=fx的图象与y=【详解】函数fx是偶函数，说明函数fx的图象关于y轴对称，fx在同一平面直角坐标系中画出函数y=fx的图象与y=如图所示，共有4个不同的交点，即gx故答案为：4.1．（2024高三·全国·专题练习）方程1+x3A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】解法一：令fx=1+x34−x2+x2−4【详解】解法一：令fx=1+xf'x=x→−2时，f'x→+∞，f'−1而当x∈−2,−1时，1+x34−x2<0，x2从而在−2,0上恒小于0，当x≥0时，f'所函数fx在0,+∞上单调递增，而f0∴函数fx在0,+∞上有一个零点即方程故选：D．解法二：令x=2cosα0≤x≤方程可以转化为1+2cosα32sin平方可得sincosα=38故选：D．2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数fx=xexA．12e2,13e B．【答案】B【分析】利用导数求出函数fx的单调区间和极值，作出函数fx的大致图象，结合题意可知【详解】易知函数fx的定义域为R，且f当x<1时，f'x>0；当x>1所以fx在−∞,1即fx又当x趋近于−∞时，fx趋近于−∞，当x趋近于+∞时，作出函数fx易知y=ax+2恒过定点−2,0由不等式fx−ax+2令gx当a≤0时，fx>gx当a>0时，若fx所以可得f1>g1f2即实数a的取值范围是12故选：B3．（2024·全国·高考真题）曲线y=x3−3x与y=−x−12+a在【答案】−2,1【分析】将函数转化为方程，令x3−3x=−x−12+a，分离参数a【详解】令x3−3x=−x−12则g'x=3x2当x∈0,1时，g'x当x∈1,+∞时，g'x>0因为曲线y=x3−3x与y=−所以等价于y=a与gx有两个交点，所以a∈故答案为：−2,14．（2024高三·全国·专题练习）若方程cos2x−sinx+a=0在【答案】−1,1【分析】设sinx=t∈0,1，则问题转化为方程t2【详解】方程cos2x−sin因为x∈0,π2，则0<则问题转化为方程t2+t−a−1=0在又方程t2+t−a−1=0对应的二次函数ft

故有f0⋅f1≤0f所以a的取值范围是−1,1.故答案为：−1,1.5．（2024·天津河东·二模）已知函数fx=−x−a+a，gx=x【答案】(12,32【分析】作出y=|g(x)|的图象，分a<12、a=12、12<a<13【详解】依题意画出y=|g(x)|的图象如图所示：因为函数f(x)=−|x−a|+a，所以f(x)=x,x<a当直线y=−x+2a与y=−x由y=−x+2ay=−x2Δ=25−4(a+3)=0，解得a=由图可知，①当a<12时，函数f(x)的图象与②当a=12时，函数f(x)的图象与|g(x)|的图象交于点③12<a<138时，当f(x)=−x+2a经过函数|g(x)|图象上的点(2,1)时，恰好经过函数则要使方根f(x)=|g(x)|恰有2个不同的实数根，只需2a<3，即a<32，故④当a=138时，函数f(x)的图象与⑤当a>138时，函数f(x)的图象与综上，12<a<3所以a的取值范围为：(12,32故答案为：(12,32【点睛】方法点睛：求解函数y=fx(1)直接法：令fx(2)零点存在性定理法：判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且fa6．（2024·湖南长沙·二模）若平面直角坐标系内A,B两点满足:（1）点A,B都在f(x)的图象上;（2）点A,B关于原点对称，则称点对(A,B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”，且点对(A,B)与(B,A)记为一个“姊妹点对”.已知函数f(x)=x2+2x,x<02e【答案】2【分析】问题转化为x≥0,f(x)关于原点对称的函数与f(x)=x2+2x在(−∞,0)交点的个数，先求出x≥0,f(x)关于原点对称的函数g(x)【详解】设P(x,y)(x≤0)是y=f(x)(x≥0)关于原点对称函数图象上的点，则点P关于原点的对称点为P'(−x,−y)在−y=2e−x,y=−2ex，设g(x)=−2e于是−2ex=x2由2ex>0，得x2+2x<0求导得φ'(x)=2ex+2x+2而φ'(−2)=2e−2−4+2<0，φ当x∈(−2,x0),而φ(−2)=2e−2>0，φ(因此函数φ(x)在区间(−2,−1)，(−1,0)分别各有一个零点，所以函数f(x)的“姊妹点对”有2个.故答案为：2【点睛】思路点睛：函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键.7．（23-24高三下·上海·期中）已知f(x)=2−x+1，且g(x)=log2【答案】3【分析】令g(x)−2=0，