第03讲 基本不等式（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第03讲基本不等式（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2023年天津卷，第14题,5分余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值2021年天津卷，第13题,5分基本不等式求和的最小值2020年天津卷，第14题,5分基本不等式求和的最小值2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握基本等式的基本内容2.能掌握基本不等式的解题方法3.具备函数与基本不等式思想意识，会利用函数的性质与基本不等式解决最值问题4.能够在基本不等式与其他知识点结合时，灵活运用基本不等式的解题方法【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般最值问题，考虑使用基本不等式知识讲解知识点.基本不等式1．基本不等式的形式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为正数a，b的几何平均数.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)考点一、直接法1．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（

）A．y=x2+2x+4C．y=2x+2．（2021·天津·高考真题）若a>0,b>0，则1a+a1.（2024·宁夏银川·二模）已知A(3,0),B(−3,0)，P是椭圆x225+y22.（2024·甘肃定西·一模）x2A．27 B．37 C．473.（2024·全国·模拟预测）若x>0,y>0,3x+2y=1，则8xA．2 B．22 C．32 4.（2024·重庆·模拟预测）若实数a，b满足ab=2，则a2A．2 B．22 C．4 D．5.（2024·安徽·模拟预测）若a>0，b>0，则“a+b≤2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6.（2024·四川成都·三模）若正实数a,b满足a2+b2=m，则a+b考点二、配凑法1.（2024高三·全国·专题练习）若函数fx=x+1x−3x>3在2.（2022·重庆·模拟预测）已知x>0，则2x+42x+1的最小值为1.（2023高三·全国·专题练习）若x>1，则x2+2x+2x−12.（21-22高三上·安徽安庆·期末）下列函数的最小值为22A．y=cosx+C．y=2x3.（2024·江西赣州·二模）已知y>x>0，则yy−x−4x4.（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于x的不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集为R，则1+2b+4cb−1考点三、常数“1”的代换1.（2024·安徽·模拟预测）已知m,n∈0,+∞，1mA．3 B．4 C．5 D．62.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足1a+1A．8 B．9 C．10 D．121.（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若x>0，y>0，且x+y=1，则4x+12.（2024·广西河池·模拟预测）若实数a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a3.（2024·上海徐汇·二模）若正数a、b满足1a+1b=14.（2024·浙江·模拟预测）已知a>0，b>0，若2a2+2abA．2−2 B．2+2 C．4+225.（2024·宁夏·二模）直线ax+by−1=0过函数f(x)=x+1x−1图象的对称中心，则A．9 B．8 C．6 D．56.（2024·河南·模拟预测）已知点Px,y在以原点O为圆心，半径r=7的圆上，则A．49 B．5+229 C．考点四、和积定值1.（2024·广西·模拟预测）已知a,b∈(−∞,0)，且a+4b=ab−5，则A．[25,+∞) B．[1,+∞) C．2.（2023·河南焦作·模拟预测）已知正数x，y满足23x+2y−xy=0，则当xy取得最小值时，A．4+83 B．2+43 C．3+631.（2024·山东·模拟预测）已知两个不同的正数a,b满足(1+a)3a=(1+b)32.（2024·湖北·模拟预测）若正数a，b满足：a3+bA．13 B．14 C．2考点五、消元法1.（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足x>3，且xy+2x−3y=12，则x+y的最小值为（

）A．1+26 B．8 C．62 2.（2024·云南·模拟预测）已知正数x,y满足x+y=4，则1x−y1.（2024·陕西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x−y=10，则x+y的最小值为．2.（2024·浙江·模拟预测）已知a,b>0,ab=1，求S=13.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足x2+3xy−2=0，则A．2103 B．103 C．2考点六、双换元1.（2024·四川成都·三模）设a>b>0，若a2+λbA．2+22 B．4 C．2+2 2.（23-24高三上·河南·阶段练习）正数a，b满足a>b，ab=4，则a3A．2 B．3 C．4 D．61.（2024·全国·模拟预测）已知x>y>0，6x+y+2x−y=12.（2024高三·全国·专题练习）设正实数x,y满足x>23,y>2，不等式91．（2022·福建泉州·模拟预测）若正实数x，y满足1x+y=2，则A．4 B．92 C．5 2．（2024·天津·二模）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，抛物线上的点M4,y0到F的距离为6，双曲线x2a2A．2 B．3 C．5 D．33．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知a>0，b>0，则“a+b>2”是“ab>1”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023·天津南开·一模）已知实数a>0,b>0,a+b=1，则2a+25．（2022·天津南开·模拟预测）若实数x，y满足x>y>0，且xy=4，则x−yx+y2的最大值为6．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）若a，b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值是．7．（2024·天津·模拟预测）若a>0，b>0，且a+b=1，则a+1ab+1．（2024·天津河西·三模）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=A．3+3 B．5+32 C．2．（2024·天津·二模）已知向量a=1,1,b=2x+y,2，其中a∥A．2+1 B．2+2 C．4 3．（2024高三·天津·专题练习）已知正项等比数列an中，a4，3a3，a5成等差数列．若数列an中存在两项amA．1 B．3 C．6 D．94．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S8A．10 B．14 C．20 D．245．（2024·天津武清·模拟预测）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2，在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，则向量AE在向量CB上的投影向量的模为；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且AM⋅AN=6．（2024·天津·模拟预测）已知正△ABC的边长为3，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N，AM=λAB，AN=μ（1）若AN=2NC，则AD（2）△AMN与△ABC的面积之比的最小值为.7．（23-24高三下·天津·开学考试）已知x>0,y>0,lg2x+lg4y=lg1．（2020·天津·高考真题）已知a>0, b>0，且ab=1，则12a2．（2019·天津·高考真题）设x>0，y>0，x+2y=4，则(x+1)(2y