2024-2025学年安徽省宿州市埇桥区宿城一中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省宿州市埇桥区宿城一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.ax2+bx+c=0B.x2=02.下列命题中，正确的是(

)A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3.关于x的一元二次方程x2+bx−10=0的一个根为2，则b的值为(

)A.−3 B.2 C.3 D.74.如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，AC=16，BD=12，则菱形的面积为(

)A.48

B.96

C.24

D.65.关于x的一元二次方程2x2+3kx−1=0根的情况是A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.只有一个实数根6.如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥OB于点E，当E为OB中点时，则AC的长为(

)A.23 B.4 C.47.如图，正方形OMNP的顶点O与正方形ABCD的对角线交点O重合，正方形ABCD和正方形OMNP的边长都是2，则图中重叠部分的面积是(

)A.1

B.2

C.12

D.8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是(

)A.23(1−x)2=18.63 B.18.63(1+x)2=239.用配方法解一元二次方程x2−4x−3=0，下列配方正确的是(

)A.(x+2)2=2 B.(x−2)2=710.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是(

)A.2.5

B.5

C.32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.一元二次方程(x−1)2=x−1的根为______．12.如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，E，F为垂足，AB=6，BC=8，则PE+PF的值为______．13.已知a，b是一元二次方程x2−4x−2=0的两个实数根，则ab+a+b的值为______．14.如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)的变化关系图象如图2．

(1)BD=______；

(2)a的值是______．三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分)

解方程：x2−3x−10=0．16.(本小题8分)

已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：四边形AECF是菱形

17.(本小题8分)

如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.问：当梯子的顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？18.(本小题8分)

如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD，连接OE．

求证：OE=BC．

19.(本小题10分)

某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？20.(本小题10分)

如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．

(1)求证：四边形EGFH是菱形；

(2)若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．21.(本小题12分)

社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知AD=52m，AB=28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积为640m222.(本小题12分)

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

(1)求证：AE=DF；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．23.(本小题14分)

【问题情境】

(1)已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为一边构造正方形CEFG，如图1所示，则BE和DG的数量关系为______，位置关系为______．

【继续探究】

(2)若正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一个动点，以CE为一边在CE的右侧作正方形CEFG，如图2所示．

①请判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；

②连接BG，若AE=1，求线段BG长．

参考答案1..B

2..B

3..C

4..B

5..A

6..D

7..A

8..A

9..B

10..B

11..x1=1，12..24513..2

14..5cm

25815..解：(x−5)(x+2)=0，

x−5=0，x+2=0，

x1=5，x16..证明：如图，连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，

∵BE=DF，

∴DO−DF=BO−BE，

∴FO=EO，且AO=CO，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵AC⊥BD，

∴四边形AECF是菱形．

17..解：未滑动前梯子底端距墙的水平距离为102−82=6，

设梯子顶端向下滑动x m，则梯子底端也滑动x m，

此时梯子的顶端距地面的垂直距离为(8−x)m，梯子的底端距墙面的垂直距离为(6+x)m，

可得方程：(8−x)2+(6+x)2=102，18..证明：∵DE/​/AC，CE/​/BD，

∴四边形OCED是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠COD=90°，

∴四边形OCED是矩形，

∴DE=OC，

∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，

∴BC=19..解：设衬衫的单价降了x元．

根据题意，得

(20+2x)(40−x)=1250，

解得：x1=x2=15，20..(1)证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，

∴FG=12CD，HE=12CD，FH=12AB，GE=12AB．

∵AB=CD，

∴FG=FH=HE=EG．

∴四边形EGFH是菱形．

(2)解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，

∴GF/​/DC，HF/​/AB．

∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．

∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．

∴∠GFH=90°．

∴菱形EGFH是正方形．

∵AB=1，21..解：设道路的宽为x米，根据题意结合平移的性质可得：

(52−2x)(28−2x)=640，

4x2−160x+816=0，

x2−40x+204=0，

(x−34)(x−6)=0，

解得：x=34(舍去)或x=6，22..解：(1)证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t．

又∵AE=t，

∴AE=DF；

(2)能；

理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE/​/DF．

又AE=DF，

∴四边形AEFD为平行四边形．

∵∠C=30°，AC=10，

∴AB=5，BC=53

∴AD=AC−DC=10−2t，

若使△DEF能够成为等边三角形，

则平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，

∴t=10−2t，

∴t=103；

即当t=103时，△DEF为等边三角形；

(3)当t=25或4时，△DEF