2024-2025学年福建省福州八中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州八中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.厦门中学生小助团队的几名成员考试成绩分别为73 76 81 83 85 88 91 93 95，则几人考试成绩的中位数是(

)A.76 B.81 C.85 D.912.已知sin(α−π6)+cosα=3A.1825 B.725 C.−73.已知一直角梯形纸片上、下底边边长分别为2、4，高为3，该纸片绕着下底边所在直线旋转120°，则该纸片扫过的区域形成的几何体的体积为(

)A.6π B.8π C.16π D.24π4.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，过对角线AC1的一个平面交BB1A.四边形AEC1F一定为菱形

B.四边形AEC1F在底面ABCD内的投影不一定是正方形

C.四边形AEC5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x).当x∈[0,1]时，f(x)=x3+3x，则f(2023)=A.−4 B.4 C.14 D.06.在△ABC中，点P满足BP=3PC，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若AM=λAB，AN=μAC(λ>0,μ>0)A.22+1 B.32+17.关于x的方程(x2−1)2−|x2−1|+k=0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数A.0 B.1 C.2 D.48.把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在三棱锥A−BCD中，BD⊥CD，AB⊥DB，AC⊥DC，AB=DB=5，CD=4，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为S1，S2，S3，S4，设面积为S2的三角形所在的平面为α，则面积为S4的三角形在平面A.234 B.C.10 D.30二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若(1+i)a+bi=4i，a，b∈R，则(

)A.a=1 B.b=4 C.a−b=−4 D.ab=010.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下记d为负数)，若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则(

)A.当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m

B.盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点

C.盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒

D.盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面11.在三棱锥A−BCD中，AD=BC=4，AB=BD=DC=CA=6，M为BC的中点，N为BD上一点，球O为三棱锥A−BCD的外接球，则下列说法正确的是(

)A.球O的表面积为11π

B.点A到平面BCD的距离为14

C.若MN⊥AB，则DN=6NB

D.过点M作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c由大到小的顺序为______．13.航天(Spacefligℎt)又称空间飞行，太空飞行，宇宙航行或航天飞行，是指进入、探索、开发和利用太空(即地球大气层以外的宇宙空间，又称外层空间)以及地球以外天体各种活动的总称.航天活动包括航天技术(又称空间技术)，空间应用和空间科学三大部分.为了激发学生对航天的兴趣，某校举行了航天知识竞赛.小张，小胡、小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题.已知小张同学答对的概率是13，小张、小胡两位同学都答错的概率是13，小胡、小郭两位同学都答对的概率是1614.若a>0，b>0，且12a+b+1b+1=1，则a+2b四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知f(x)=a⋅b−1，其中向量a=(sin2x,2cosx),b=(3,cosx)，(x∈R)．

(1)求f(x)的最小正周期和最小值；

(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若16.(本小题14分)

在四核锥A−BCDE中，侧棱AP⊥底面BCDE，底面BCDE是直角梯形，DE//BC，BC⊥CD，BC=2AD=2DC=2DE=4，ED∩EC=O，H是棱AD上的一点(不与A、D点重合)

(1)若OH//平面ABE，求AHHD的值；

(2)求二面角A−BE−C的余弦值17.(本小题15分)

如图所示，A，B，C，D四点共面，其中∠BAD=∠ADC=90°，AB=12AD，点P，Q在平面ABCD的同侧，且PA⊥平面ABCD，CQ⊥平面ABCD．

(1)若直线l⊂平面PAB，求证：l//平面CDQ；

(2)若PQ//AC，∠ABP=∠DAC=45°，平面BPQ∩平面CDQ=m，求锐二面角18.(本小题16分)

已知f(x)=x|x−a|+b，x∈R．

(Ⅰ)当a=1，b=0时，判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(Ⅱ)当a=1，b=1时，若f(2x)=54，求x的值；

(Ⅲ)若b<−1，且对任何x∈[0,1]不等式19.(本小题19分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=1，BC=2，PB=3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFFC=12．

(Ⅰ)求证：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)在棱BP上是否存在点G，使得点G到平面

参考答案1.C

2.B

3.B

4.D

5.A

6.B

7.A

8.A

9.BCD

10.ABC

11.BCD

12.c>b>a

13.1314.215.解：∵(1)f(x)=a⋅b−1=(sin2x,2cosx)⋅(3,cosx)−1

=3sin2x+2cos2x−1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)

∴f(x)的最小正周期为π，最小值为−2

(2)f(A4)=2sin(A2+π616.证明：(1)∵OH//平面ABE，OH⊂平面ABD，平面ABD∩平面ABE=AB，

∴OH/​/AB，∴OD：OB=DH：HA，

∵DE/​/BC，BC=2DE，∴OD：OB=DE：BC=1：2，

∴HDAH=12，∴AHHD=2．

解：(2)以D为坐标原点，DE，DC，DA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则点A(0,0,2)，E(2,0,0)，B(4,2,0)，

则AE=(2,0,−2)，AB=(4,2,−2)，

设平面ABE的一个法向量n=(x,y,z)，

则n⋅AE=2x−2z=0n⋅AB=4x+2y−2z=0，取z=1，得n=(1,−1,1)，

平面BCDE的一个法向量17.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CQ⊥平面ABCD，

所以PA//CQ，

因为PA⊂平面PAB，CQ⊄平面PAB，

所以CQ/​/平面PAB，

因为∠BAD=∠ADC=90°，所以AB/​/CD，

因为CD/​/平面PAB，

因为CQ∩CD=C，CD⊂平面CDQ，CQ⊂平面CDQ，

所以平面CDQ//平面PAB，

直线l⊂平面PAB，所以l/​/平面CDQ；

(2)解：因为AP⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以AP⊥AB，AP⊥AD，又因为AB⊥AD，

以A为坐标原点，AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由(1)可得PA//CQ，又因为PQ//AC，所以四边形APQC为平行四边形，

不妨取AB=1，由题意可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，Q(2,2,1)，D(0,2,0)，

所以BP=(−1,0,1)，BQ=(1,2,1)，

设平面BPQ的一个法向量为n=(x,y,z)，

则BP⋅n=−x+z=0BQ⋅n=x+2y+z=0，令x=1，则y=−1，z=1，则n=(1,−1,1)，

易知AD⊥平面CDQ，

则平面CDQ的一个法向量为AD=(0,2,0)，

所以18.解：(Ⅰ)a=1，b=0时，f(x)=x|x−1|既不是奇函数也不是偶函数，

∵f(−1)=−2，f(1)=0，

∴f(−1)≠f(1)，f(−1)≠−f(1)，

∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；

(Ⅱ)当a=1，b=1时，f(x)=x|x−1|+1，

由f(2x)=54，得2x|2x−1|+1=54，

即2x≥1(2x)2−2x−14=0①

或2x<1(2x)2−2x+14=0②

解①得，2x=1+22或2x=1−22(舍)，

解②得，2x=12．

∴x=log219.解：(Ⅰ)证明：在直角梯形中，AD⊥CD，AD//BC，AD=CD=1，BC=2，

可得AB=2，

又PA=1，PB=3，即有PA2+AB2=PB2，

可得PA⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，

可得PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ