黑龙江省牡丹江市省级示范高中2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

牡丹江市省级示范高中2024--2025学年度高三9月份月考数学试卷考试时间:120分钟分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1、已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则()A．A⊆BB．B⊆AC．A∩B＝∅ D．A∪B＝R2、设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3、若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)4、要使不等式成立，，取值条件为（

）．A．同为正数 B．同为负数 C．同号 D．异号5、已知函数的定义域是，则的定义域为（

）A． B． C． D．6、当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7、已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．8、设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9、某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（单位：）与排气时间（单位：分钟）之间满足函数关系（为常数，是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（

）A．B．C．排气12分钟后浓度为D．排气32分钟后，人可以安全进入车库10、已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是A．4 B．12 C．2 D．811、关于函数的图象与性质，下列说法正确的是（

）A．是函数图象的一条对称轴B．是函数图象的一个对称中心C．将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象D．当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12、袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，则，.13、若函数，的值域为，则的取值范围为.14、已知函数，如图，A，B，C是曲线与坐标轴的三个交点，直线BC交曲线于点M，若直线AM，BM的斜率分别为，3，则．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（13分）已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立.(1)若命题p真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围.16、（15分）已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：．17、（15分）已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq\f(sinA－B,cosB)＝eq\f(sinA－C,cosC).(1)若A＝eq\f(π,3)，求B；(2)若asinC＝1，求eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最大值．18、（17分）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率；(2)从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望；(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为､平均数的估计值为（计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出的大小关系．19、（17分）已知，是的极值点（其中是自然对数的底数）.(1)求的值；(2)讨论函数在的零点个数.（参考数据：）.数学试卷答案一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1、已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则()A．A⊆BB．B⊆AC．A∩B＝∅ D．A∪B＝R答案A解析因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}，所以A⊆B.2．设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C3、若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)4、要使不等式成立，，取值条件为（

）．A．同为正数 B．同为负数 C．同号 D．异号【答案】D【详解】当时，即同号时，可得，此时，当且仅当时，等号成立，不符合题意；当时，即异号时，可得，此时，当且仅当时，等号成立，符合题意，故选：D.5、已知函数的定义域是，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数的定义域可得，对于可得，运算求解即可.【详解】因为函数的定义域是，即，则；对于函数，可知，解得，所以函数的定义域为.故选：C.6、当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为即且，所以，当且仅当，即时等号成立，因为不等式恒成立，所以，即，解得，故的取值范围为.故选：A7、已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解.【解析】对于B，当时，，易知，，则，不满足图象，故B错误；对于C，，定义域为，又，则的图象关于轴对称，故C错误；对于D，当时，，由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；检验选项A，满足图中性质，故A正确.故选：A.8、设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、二倍角的正弦公式【分析】构造函数、和，其中，利用导数得到它们的单调性即可比较出三者大小关系.【详解】由已知可得，设，，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，设，，则，所以在上单调递增，所以，即，综上，设，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，所以故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对进行合理变形得，再通过构造函数、和，利用它们的单调性即可比较三者大小关系.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9、某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（单位：）与排气时间（单位：分钟）之间满足函数关系（为常数，是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（

）A．B．C．排气12分钟后浓度为D．排气32分钟后，人可以安全进入车库【答案】ACD【分析】由题意列式，求出，即可判断A，B；可得函数解析式，将代入，即可判断C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断D.【解析】设，代入，得,解得，A正确，B错误．此时，所以，C正确．当时，即，得，所以，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确．故选:ACD．10、已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是A．4 B．12 C．2 D．8【答案】AB【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以，所以，根据，则，因为是在区间上的单调减函数，所以，因为，所以或，当时，，当时，；由于是在区间上的单调减函数，且，所以，所以，，，根据或，可得，或.故选11、关于函数的图象与性质，下列说法正确的是（

）A．是函数图象的一条对称轴B．是函数图象的一个对称中心C．将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象D．当时，【答案】ABC【详解】，对于A项，令，，则，，当时，，所以是函数图象的一条对称轴，故A项正确；对于B项，令，，则，，当时，，所以是函数图象的一个对称中心，故B项正确；对于C项，因为，显然将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，即函数的图象，故C项正确；对于D项，，当时，，结合正弦函数的图像可知函数的值域为，故D项错误.故选:ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12、袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，则，.【答案】//【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.【详解】依题意，每次取到黑球的概率为，所以，所以.故答案为：；13、若函数，的值域为，则的取值范围为.【答案】【解析】由辅助角公式得，令，解得或，，令，解得，，画出函数图象如下，可知，，同时，，所以14、已知函数，如图，A，B，C是曲线与坐标轴的三个交点，直线BC交曲线于点M，若直线AM，BM的斜率分别为，3，则．

【答案】【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式【分析】逆用“五点法”，表示点的坐标，利用斜率可求.【详解】，，，，则，所以，解得，可得.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（13分）已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立.(1)若命题p真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)或【详解】（1）∵p为真命题，∴，∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号.所以.（2）若q为真，则，∵，，，∴，当且仅当，即时取等号.所以.①若p为真，q为假，则且，即；②若p为假，q为真，则且，即.综上，或.16、（15分）已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：．【答案】（1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）构造函数，利用导数判断的单调性，从而证得不等式成立.(1)，，，故曲线在点处的切线方程为.即．(2)设，则．由（1）知，又，所以，所以在上单调递增，故，所以，，．17、（15分）已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq\f(sinA－B,cosB)＝eq\f(sinA－C,cosC).(1)若A＝eq\f(π,3)，求B；(2)若asinC＝1，求eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最大值．解(1)由题意知eq\f(sinA－B,cosB)＝eq\f(sinA－C,cosC)，所以sin(A－B)cosC＝sin(A－C)cosB，所以sinAcosBcosC－cosAsinBcosC＝sinAcosCcosB－cosAsinCcosB，所以cosAsinBcosC＝cosAsinCcosB，因为A＝eq\f(π,3)，所以sinBcosC＝sinCcosB，所以tanB＝tanC，因为B，C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以B＝C，由A＝eq\f(π,3)，所以B＝eq\f(π,3).(2)由(1)知B＝C，所以sinB＝sinC，b＝c，因为asinC＝1，所以eq\f(1,a)＝sinC，由正弦定理得asinC＝csinA＝bsinA＝1，所以eq\f(1,b)＝sinA，因为A＝π－B－C＝π－2C，所以eq\f(1,b)＝sinA＝sin2C，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝sin2C＋sin22C＝eq\f(1－cos2C,2)＋(1－cos22C)＝－cos22C－eq\f(1,2)cos2C＋eq\f(3,2)，因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，则有eq\f(π,4)<C<eq\f(π,2)，得eq\f(π,2)<2C<π，所以－1<cos2C<0，由二次函数的性质可得，当cos2C＝－eq\f(1,4)时，eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)取得最大值eq\f(25,16)，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最大值为eq\f(25,16).18、（17分）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率；(2)从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望；(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为､平均数的估计值为（计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出的大小关系