2020-2021学年广西来宾市高一上学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年广西来宾市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简集合，再进行集合的交运算，即可得答案；【详解】因为，所以．故选：B.2．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据点，，且线段为直径，可知圆心及直径，半径，进而得到圆的方程.【详解】圆心坐标为，，，所以以线段为直径的圆的方程为，故选：B.【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．3．已知，则（）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】首先求出，再求出即可；【详解】解：因为，所以，所以．故选：A4．与直线垂直，且在轴上的截距为-2的直线方程为（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.【详解】由题得所求直线的斜率为，∴所求直线方程为，整理为．故选：A【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）.5．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】直接由单调性的定义求解即可【详解】解：任取，且，因为函数在上单调递增，所以，即，所以，，因为，所以，，，所以．故选：D6．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列正确的是（）．A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】根据空间直线与直线，直线与平面以及平面与平面位置关系分别判断.【详解】A选项中，、都与垂直，此时，可知A选项错误；B选项中，可以在平面内，可知B选项错误；D选项中，可以在平面内，可知D选项错误；故选：C.7．函数的零点所在的区间为（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用零点存在定理可得出结论.【详解】函数为上的增函数，由，，可得函数的零点所在的区间为．故选：D.8．已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量y（件）满足函数关系式．为了获得最大利润，商品售价应为（）A．80元 B．60元 C．50元 D．40元【答案】D【分析】依题意可得利润函数，进而可得结果.【详解】由题意可知，利润，令，则．当且仅当即（元）时利润最大．故选：D.9．已知实数、满足，则的取值范围为（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由表示圆上任意一点到点的距离求解.【详解】因为表示圆上任意一点到点的距离，所以最短距离为，最大距离为，所以的取值范围为．故选：C10．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在区间上单调递减，，，，则，，的大小关系为（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据函数是偶函数和对数运算，结合函数在上单调递增，得到，再根据函数在区间上单调递减求解.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，又，，又因为，且函数在上单调递增，所以，又因为函数在区间上单调递减，所以．故选：A11．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先取正方形的中心，连接，由知为异面直线与所成的角，再在中求的正弦即可.【详解】连，相交于点，连、，因为为的中点，为的中点，有，可得或其补角为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，由平面，可得，则，，因为，为的中点，所以，．故选：C.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.12．已知函数，若函数无零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，代入解得，若使方程无解，只需即可，解得参数范围.【详解】设，则的解为，由题意可知，无解，即，解得．故选：A二、填空题13．函数的定义域为________．【答案】【分析】根据对数的真数大于零、偶次根式被开方数非负、分母不为零可得出关于的不等式，由此可解得函数的定义域.【详解】由题意可知，解得，因此，函数的定义域为.故答案为：.14．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为________．【答案】4【分析】根据圆柱侧面积公式直径求解.【详解】设圆柱的高为，有，得．故答案为：4.15．若函数为上的奇函数，则实数的值为________．【答案】-1或1【分析】根据函数为上的奇函数，由求解.【详解】因为函数为上的奇函数，所以，得．经检验符合题意，故答案为：-1或116．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为矩形，，则四棱锥的外接球的表面积为________．【答案】【分析】先根据面面垂直，取平面的外接圆圆心G，平面的外接圆圆心H，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果.【详解】如图，取的中点，的中点，连，，在上取点，使得，取的中点，分别过点、作平面、平面的垂线，两垂线相交于点，显然点为四棱锥外接球的球心，由，，可得，，，则半径，故四棱锥外接球的表面积为．故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.三、解答题17．计算下列各式的值（1）；（2）．【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）利用分数指数幂运算性质求解；（2）利用对数的运算性质求解即可【详解】解：（1）；（2）．18．已知函数（且）．（1）求关于的不等式的解集；（2）若函数在区间上的最大值和最小值之和为，求实数的值．【答案】（1）①当时，不等式的解集为，②当时，不等式的解集为；（2）．【分析】（1）由不等式转化为，分，两种情况求解.（2）根据在区间上单调，由求解.【详解】（1）不等式可化为，①当时，不等式可化为，解得，此时不等式的解集为；②当时，不等式可化为，解得，此时不等式的解集为.（2）,因为函数单调，且，，所以，解得．19．如图，在三棱柱中，，．（1）若三棱柱的体积为1，求三棱锥的体积；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据三棱柱的体积为1，由三棱锥的体积为三棱柱三棱柱的求解.（2）取的中点，连，，易得，则，,利用线面垂直的判定定理证得平面即可.【详解】（1）设三棱柱的高为，的面积为，由三棱柱的体积为1，可得，可得三棱锥的体积为.（2）如图所示：取的中点，连，,∵，∴，∴,∵，，∴∵，，∴,∵，，平面，，∴平面∵平面，平面，∴．【点睛】方法点睛：证明线线垂直的方法（1）定义：两条直线所成的角为90°.（2）平面几何中证明线线垂直的方法．（3）线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.（4）线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.20．如图，在长方体中，E为AB的中点，F为的中点．（1）证明：平面；（2）若，，，求点E到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点G，连GF，AG，可得GF为的中位线，即且，又E为AB的中点，则可证明四边行AEFG为平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）根据题意，可求得，再求得的面积，利用等体积法，即可求得答案.【详解】（1）证明：取的中点G，连GF，AG，如图所示：∵G为的中点，F为的中点，∴且，∵E为AB的中点，，，∴且∴四边行AEFG为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）由长方体的性质可得：平面，∵平面，∴，在中，由，，可得，在中，由，，可得，又设点E到平面的距离为d由，有，可得故点E到平面的距离为．【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，并灵活应用，在求解点到平面距离时，常用等体积法求解，考查推理证明，计算化简的能力，属基础题.21．在平面直角坐标系中，圆C的方程为，M为圆C的圆心，过原点O的直线l与圆C相交于A，B两点（A，B两点均不在x轴上）．（1）若，求直线l的方程；（2）求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设直线l的方程为，利用点到直线的距离及，化简计算即可得解；（2）根据弦长公式及三角形面积，设，化简面积可得,利用二次函数性质即可求得最值.【详解】解：由直线l与圆C相交于两点，直线l的斜率必定存在，设直线l的方程为（1）当时，为等边三角形，由圆C的半径为1，可知．圆心到直线l的距离为有，解得故直线l的方程为．（2）由圆心到直线l的距离为，可得设的面积为，有设，可得，有可得当时，，故面积的最大值为．【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.22．已知函数.（1）求函数的值域；（2）关于的方程恰有三个解，求实数的取值集合；（3）若，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）令，换元后结合二次函数知识可得值域；（2）先求出的解（用换元法），，这样问题转化为或恰有三个解，结合二次函数性质得方程有两个等根．由此可得的值；（3）设，转化