2020-2021学年广东省深圳市第二外国语学校高一下学期开学考试数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年广东省深圳市第二外国语学校高一下学期开学考试数学试题一、单选题1．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合集合交集的定义即可.【详解】由题意知，故选：2．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用三角函数的定义得到答案.【详解】终边经过点，则故选：【点睛】本题考查了三角函数值的计算，属于简单题.3．函数的零点所在的一个区间是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数的单调性及零点存在性定理即可得解.【详解】由题意，函数在R上单调递增，且，，，所以函数的零点所在的一个区间是.故选：B.4．计算的值为A．5 B．3 C．2 D．0【答案】C【分析】根据对数的运算法则及性质解答.【详解】解：故选：【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.5．已知函数（，且）的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出函数过定点的坐标，再求出幂函数的解析式，即可判断.【详解】解：（，且）令，则，即，故函数（，且）的图象恒过定点.设则解得，故的图象大致是故选：【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，待定系数法求幂函数解析式以及幂函数的图象的识别，属于基础题.6．设，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数，对数函数的性质，及余弦函数的性质解答.【详解】解：，，，综上可得故选：【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题.7．已知，若，则的值为A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系计算出，再由诱导公式计算可得.【详解】解：，故选：【点睛】本题考查同角三角函的基本关系及诱导公式的应用，属于基础题.8．已知函数是上的增函数，且满足，则的值组成的集合为A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上的增函数，求出的取值范围，再由，得到或分类讨论计算可得.【详解】解：是上的增函数，且解得或当时，即解得当时，，此时的单调递增区间为不符题意；当时，，此时的单调递增区间为不符题意；当时，，此时的单调递增区间为符合题意；当时，即解得当时，，此时的单调递增区间为符合题意；当时，，此时的单调递增区间为符合题意；综上可得的值组成的集合为故选：【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，体现了分类讨论思想，属于难题.二、多选题9．下列结论不正确的是（）A．“”是“”的充分不必要条件B．“，”是假命题C．内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件D．命题“，”的否定是“，”【答案】BC【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断AC；利用特例法判断B；利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断D.【详解】自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；，所以“，”是真命题，B错误；由，可得，是直角三角形，但是是直角三角形不一定意味着，所以“”是“是直角三角形”的充分不必要条件，C错误；根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“，”的否定是“，”，D正确.故选：BC.【点睛】方法点睛：断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.10．已知函数，，则（）A．是增函数 B．是偶函数 C． D．【答案】ABD【分析】根据函数解析式，先分别判断单调性，以及奇偶性，再求函数值，即可得出结果.【详解】对于函数当时，显然单调递增；当时，是开口向上，对称轴为的二次函数，所以在上单调递增；且，所以函数在定义域内是增函数；A正确；又，所以，故C错；对于函数，，所以是偶函数，B正确；又，所以，D正确；故选：ABD.11．将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则下列结论正确的是（）A． B．最小正周期为C．的图象关于对称 D．在区间上单调递增【答案】BCD【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，对A，函数，故A错误；对B，最小正周期为，故B正确；对C，当，求得为最小值，故的图象关于直线对称，故C正确；在区间上，单调递增，故D正确，故选：BCD．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12．若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则xy，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（）A．整数集是“紧密集合”B．实数集是“紧密集合”C．“紧密集合”可以是有限集D．若集合A是“紧密集合”，且x，，则【答案】BC【分析】根据“紧密集合”具有的性质逐一排除即可.【详解】A选项：若，，而，故整数集不是“紧密集合”，A错误；B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；C选项：集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；D选项：集合是“紧密集合”，当，时，，D错误．故选：BC.【点睛】新定义题目的关键在于正确理解定义，从题意入手.三、填空题13．设函数，则的值为______.【答案】1【分析】直接根据分段函数的解析式代入求值即可.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.14．汽车从地出发直达地，途中经过地.假设汽车匀速行驶，后到达地.汽车与地的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数关系如图所示，则汽车从地到地行驶的路程为______.【答案】500【分析】根据函数图象求出汽车的速度，从而得到路程.【详解】解：依题意知，汽车小时行驶了，故汽车的速度为汽车全程匀速行驶，从地到地共行驶了，故总路程为故答案为：【点睛】本题考查函数图象的应用，属于基础题.15．函数，的最大值为________.【答案】.【分析】直接利用二次函数的性质求解.【详解】∵，且，∴当时，取最大值16.故答案为：1616．已知，是函数图象上纵坐标相等的两点，线段的中点在函数的图象上，则点的横坐标的值为______.【答案】【分析】依题意画出函数图象，如图设的横坐标分别为，，的中点的横坐标为，根据题意得到方程组，解得.【详解】解：因为则可画函数图象如下图所示：设的横坐标分别为，，的中点的横坐标为，依题意可得①，②，③，①减②得④①乘②得即⑤将④代入⑤得即故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，指数的运算，属于中档题.四、解答题17．计算下列各式：（1）（2）【答案】（1）2；（2）3.【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则化简求解；（2）直接利用对数的运算法则和性质化简求解.【详解】（1）=2（2）=.【点睛】易错点睛：是奇数),是偶数).使用上面的公式时，一定要注意的奇偶性，再化简.18．已知，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由已知可得，再由同角三角函数的基本关系计算可得.（Ⅱ）根据同角三角函数的基本关系求出，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）由，得.∴.（Ⅱ）∵，又，∴.∵，∴.∴.∴.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.19．已知函数（1）当时，解关于的不等式；（2）当时，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为.【分析】（1）利用因式分解法，结合二次函数的图象和性质即可求得不等式的解集；（2）利用十字叉乘法分解因式后，根据函数的零点的大小关系对的不同取值（范围）分类讨论，在各种不同情况下求得不等式的解集.【详解】（1）当时，不等式可化为，即，解得，所以不等式的解集为.（2）当时，不等式可化为，即，则，当时，，则不等式的解集为；当时，不等式化为，此时不等式解集为；当时，，则不等式的解集为.【点睛】本题考查不含参数和含有参数一元二次不等式的解法，关键在于（2）中根据函数零点的大小关系对实数进行分类讨论，属中档题，难度一般.20．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.已知型火箭的喷流相对速度为.（Ⅰ）当总质比为330时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度；（Ⅱ）经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：，.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）279【分析】（Ⅰ）代入计算可得；（Ⅱ）由题意，经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度为，总质比变为.要使火箭的最大速度至少增加，则需.再根据对数的运算及性质计算可得.【详解】（Ⅰ）当总质比为330时，.由参考数据得，∴当总质比为330时，型火箭的最大速度约为.（Ⅱ）由题意，经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度为，总质比变为.要使火箭的最大速度至少增加，则需.化简，得.∴，整理得.∴，则.由参考数据，知.∴.∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为279.【点睛】本题考查对数型函数模型的应用，对数的运算，属于中档题.21．已知函数的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当时，试由实数的取值讨论函数的零点个数.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当或时，函数的零点个数为0；当或时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2.【分析】（Ⅰ）由图可得，再根据最小正周期求出，最后由函数过点代入计算可得.（Ⅱ）在内的零点个数即函数与的图象在时公共点的个数.求出的单调区间及对应的函数值取值范围，再分类讨论可得.【详解】解：（Ⅰ）由图，可知.函数最小正周期，则.∴.又，则，.∴，.又，∴.∴函数的解析式为.（Ⅱ）由题意，在内的零点个数即函数与的图象在时公共点的个数.由（Ⅰ），知，.∵，，，由图，知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（i）当或时，与的图象在时没有公共点，（ii）当或时，与的图象在时恰有一个公共点；（iii）当时，与的图象在时恰有两个公共点.综上可知，当或时，函数的零点个数为0；当或时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2.【点睛】本题考查已知函数图象求函数解析式，函数的零点，体现了转化化归思想，属于中档题.22．设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数.（Ⅰ）证明：函数的图象关于点对称；（Ⅱ）已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据题意计算可得；（Ⅱ）首先求出的值域，若对任意的，总存在，使得成立，则函数值域为函数的值域的子集，再利用二次函数的性质分类讨论可得.【详解】（Ⅰ）∵，，∴.∴.即对任意的，都有成立.∴函数的图象关于点对称.（Ⅱ）∵，易知在上单调递增.∴在时的值域为.记函数，的值域为.若对任意的，总存在，使得成立，则.∵时，，∴，即函数的图象过对称中心.（i）当，即时，函数在上单调递增.由对称性知，在上单调