2020-2021学年安徽省六安市第一中学高一下学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages33页2020-2021学年安徽省六安市第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．从数字1，2，3，4中，有放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于4的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得出所有的两位数的个数，再列举出其各位数字之和为4的两位数，根据古典概率公式可得选项.【详解】两位数共有个，其各位数字之和为4的两位数有：13，31，22共3个数，所以各位数字之和等于4的概率为，故选：D.2．若直线与直线平行，则它们之间的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两条直线平行可得，求出，再利用两平行线之间的距离即可求解.【详解】直线与直线平行，则，且，求得，两直线即为直线与直线，它们之间的距离为，故选：C．3．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，所以，解得，又，所以，故选：C．4．如图，在矩形中，，直线的斜率为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直角三角形求，设直线的倾斜角为，由直线的倾斜角为，应用两角和正切公式即可求直线的斜率.【详解】由题意，在中，，，∴，即.设直线的倾斜角为，则，∴直线的倾斜角为，故.故选：A.5．已知点，，点在轴上，则的最小值为（）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.【详解】点，，点在轴上，点关系轴的对称点为，.故选：B.6．下列叙述错误的是（）A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B．甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为C．从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D．在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率为【答案】C【分析】对于A，由互斥事件与对立事件的意义及关系可作判断；对于B，由给定条件求出甲不输的概率而作判断；对于C，两个事件有一红一黑的公共基本事件而作判断；对于D，计算给定事件概率而作判断.【详解】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A正确；对于B选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，则甲不输的概率为，B正确；对于C选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，C错误；对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，从而所求概率为，D正确.故选：C7．已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（）A．6 B．3 C．4 D．7【答案】B【分析】把直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识求得定点坐标，然后由点到直线距离公式求解．【详解】由直线方程变形为：，由，解得，所以直线恒经过定点，故点到直线的距离是，故选：B.8．已知是直线上的一个动点，定点，是线段延长线上的一点，且，则点的轨迹方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】设点，根据已知条件可知点为线段的中点，求出点的坐标，代入直线的方程即可得出点的轨迹方程.【详解】设点、，由题意可知，点为线段的中点，所以，，可得，由于点在直线上，则，所以，，化简可得.故选：C.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.二、多选题9．以下命题正确的是（）A．若直线的斜率，则其倾斜角为B．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面C．不经过原点的直线都可以用方程表示D．若点在线段上运动，则的最大值为【答案】BD【分析】根据倾斜角的定义判断A，根据空间向量基本定理判断B，根据截距式方程判断C，根据反比例函数的性质判断D；【详解】解：对于A：因为倾斜角的取值范围为，显然，但是不是直线的倾斜角，故A错误；对于B：知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，即，则，，，四点共面，故B正确；对于C：平行于轴或轴的直线不能用方程表示，故C错误；对于D：因为点在线段上运动，所以，因为，所以，，所以，故的最大值为，故D正确；故选：BD10．设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则的最小值是【答案】ABD【分析】设，利用复数的运算法则以及共轭复数的定义即可判断A、B，根据复数的模的定义可判断C，根据复数的模的几何意义即可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】设，对于选项A：，所以，所以，故选项A正确；对于选项B：，所以，即，故选项B正确；对于选项C：，则，故选项C不正确；对于选项D：即表示点到点和到点的距离相等，所以复数对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，因为中点为，，所以的中垂线为，整理可得：，所以表示点到的距离，所以，故选项D正确，故选：ABD.11．百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下，根据图中信息，下列论断正确的有（）（名词解释：高中阶段毛入学率≡在校生规模÷适龄青少年总人数×100%）A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人【答案】BD【分析】根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.【详解】对A，在前四年有下降的过程，故A错误；对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；对C，，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；对D，，故D正确.故选：BD12．正方体的棱长为1，､､分别是棱､､的中点，下列结论正确的有（）A．面B．面C．过三点所得正方体的截面的面积为D．在面上的投影为【答案】ABC【分析】先作出截面图形，再根据点线面的位置关系进行求解.【详解】如图，分别取BB1，C1D1，AD的中点H，J，K，易得：过点的正方体的截面为正六边形.对A，易有BD∥EK，又面，面，所以面，A正确；对B，连接，易有，且，所以面，所以，因为，所以，同理：，又，所以面，故B正确；对C，易有，如图，O为正六边形的中心，则，则截面的面积为：，故C正确；对D，如图，由前面证明可知，面，所以在面上的投影为，易知，故D错误.故选：ABC.三、填空题13．已知一组数据，，的方差是2，那么另一组数据，，的方差是___________.【答案】8【分析】根据方差的性质可得答案.【详解】数据，，的方差是数据的方差的4倍，所以数据，，的方差是，故答案为：8.14．设，，若从集合中一次性随机抽取两个数，分别记为，则满足的概率为______．【答案】【分析】根据向量共线的坐标表示可得，从而列出满足条件的，再利用古典概型即可求解.【详解】，，若，则，即，且，当时，；当时，；所以满足的概率为.故答案为：15．已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的四等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为___________.【答案】【分析】画出图形，连接，说明，在上取点，使得，设与的交点为，连接，说明的边即为点的轨迹；然后求解即可．【详解】解：依题意，平面，所以，在上取点，使得，连接，则，，在上取点，使得，设与的交点为，连接，在中，，，，在中，，，，所以，故，所以，故的边即为点的轨迹；而，，，则动点的轨迹长度为．故答案为：．四、双空题16．如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为__；若为棱的中点，平面，则的值为__．【答案】【分析】①，不妨取，利用，即可得出．②连接，与交于点．连接，交于点，连接．平面，可得．根据点为的中点，可得点为的中点．延长交线段的延长线于点．利用平行线的性质即可得出．【详解】解：①，不妨取，．．②连接，与交于点．连接，交于点，连接．平面，．点为的中点，点为的中点．延长交线段的延长线于点．，．．，．则．故答案为：，．【点睛】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质、平行线的性质、线面平行的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、解答题17．在中，已知，.（1）若直线过点，且点，到的距离相等，求直线的方程；（2）若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）直线过的中点或直线平行两种情况分别求出直线的方程即可；（2）设关于的角平分线的对称点为，根据点关于直线对称求出对称点的坐标，再由，在直线上，即可求出直线的方程；【详解】（1）∵点，到的距离相等，∴直线过线段的中点或，①当直线过线段的中点时，直线斜率不存在，则的方程为；②当时，则斜率，则的方程为，即；综上，的方程为或；（2）设关于的角平分线的对称点为，，解得，∴，再由，在直线上，所以所以的方程为整理得.18．如图，在三棱柱中，平面，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）首先连接，交于点，连接，根据三角形中位线得到，再利用线面平行的判定证明即可.（2）首先根据题意得到或其补角为异面直线与所成角，再利用余弦定理求解即可.【详解】（1）连接，交于点，连接，如图所示：因为分别为，的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为，所以或其补角为异面直线与所成角，因为，所以.因为，，，所以.即直线与所成角的余弦值为.19．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计本次考试数学成绩的第55百分位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率.【答案】（1）分数在内的频率为：，直方图答案见解析；（2）；（3）.【分析】（1）由频率分布直方图，计算分数在内的频率，可以补全频率直方图；（2）根据百分位数的概念可得；（3）用分层抽样的方法计算出分数段为中抽取的学生数和分数段为中抽取的学生数，再运用古典概率公式可得答案.【详解】（1）由频率分布直方图，得：分数在内的频率为：.频率除以组距为，补全后的直方图如图所示.（2），得.（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为中抽取的学生数为：人，分数段为中抽取的学生数为：人，将该样本看成一个总体，从中任取2个，基本事件总数，至多有1人在分数段内包含的基本事件为：，∴至多有1人在分数段内的概率.20．如图，四棱台的上､下底面均为菱形，，，平面，，，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成的角.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先证明得四边形为平行四边形，可得，即可求证；（2）如图建系，写出各点坐标，由求出，计算平面的法向量，面的法向量，由即可求解.【详解】（1）由四棱台的上､下底面均为菱形，且，连接.则，为的中点，所以因为平面平面，平面平面,平面平面，由面面平行的性质定理可得，即，所以四边形为平行四边形，所以，又因为面，所以面.（2）以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，所以，，，所以，，，则，所以，若为面的法向量，则，易得，若为面的法向量，则，易得，所以，平面与平面所成的角为，所以.21．如图，已知斜三棱柱，，，的中点为.且面，.（1）求证：；（2）在线段上找一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用直线的方向向量证明线线垂直；（2）利用空间向量法，求出平面的法向量和直线方向向量，利用向量的夹角公式，即可得解.【详解】（1）作交于点，分别以，，所在直线为，，轴建系，，，，所以，，，所以（2）设，，设面的一个法向量为有∴∴∴因为若直线与平面所成角的正弦值为.，即，解得.所以当时，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了立体几何的线线垂直的证明，考查了求二面角的大小，有一定的计算量，属